Nachhilfe-Kurs Mathematik Klasse 13 Freie Waldorfschule Mitte

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1 Nachhilfe-Kurs Mathematik Klasse 3 Freie Waldorfschule Mitte März 8 Aufgaben zur analytischen Geometrie Musterlösung Gegeben sind die Ebenen E und E sowie die Punkte A und B: E : 4x + y + 3z = 3 E : x = + r + s ; r, s R A(6 4) ; B(8 5). Bestimmen Sie zu E eine Gleichung in Normalenform und zu E je eine Gleichung in Normalenform und in Koordinatenform. Aus E folgt: 4 n = 3 P ( ) liegt in der Ebene. Die Normalengleichung von E ist also E : 4 OX = 3 Jetzt brauchen wir den Normalenvektor n von E, also n mit n und n Mit Orthogonalitätskriterium folgt n + n n 3 = n + n n 3 = + n n 3 = n = n 3. Wählen n = = n 3. n eingesetzt ergibt das n =. Daraus folgt n = und E : OX =

2 Gesucht ist jetzt die Koordinatengleichung dieser Ebene. Man könnte natürlich das Skalarprodukt ausrechnen, aber so geht s schneller: n in die allgemeine Koordinatengleichung eingesetzt ergibt y + z = d Brauchen also nur noch d und das gibts gratis, sobald wir einen Punkt haben. Wir haben ja schon einen, nämlich Q ( ). Eingesetzt erhalten wir d = + = 3 und damit E : y + z = 3. Bestimmen Sie den Abstand von E zum Ursprung. Die allgemeine Methode wäre, die HNF als Normalengleichung von E auszurechnen (hat dieselbe Form nur n = n anstatt n), dann den Nullpunkt einzusetzen, davon den Betrag nehmen und gucken was rauskommt. n Schneller geht s wiedermal mit der Koordinatengleichung: d(e, ) ist nichts anderes als das d der Koordinatengleichung (= 3 in unserem Fall) durch die Länge des Normalenvektors (aber als Betrag!), also d(e, ) = 3 = 3. n Fertig. (Aufgabe: Warum ist das kein Zufall? Tipp: Die HNF gibt s nicht nur als Normalengleichung.) 3. Zeigen Sie, dass E und E weder parallel noch identisch sind und berechnen Sie die Größe des Schnittwinkels γ. E parallel zu E genau dann, wenn n = t n für irgendein t R. Da aber 4 kann das nicht sein. Die Ebenen sind also nicht parallel geschweige denn identisch. Die Schnittwinkelberechnung hattet ihr ja eigentlich (fast) alle bestens gemacht. Also spar ich mir den Spaß. Bestimmen Sie die Gleichung für die Schnittgerade g. E als einen Vektor schreiben und in die (vollständige und richtig abgelesene!) Koordinatengleichung von E einsetzen: 4( + r s) + ( + r + s) + 3( r s) = 3 Bißchen 8. Klasse ergibt r = 5 + 5s. r in E eingesetzt ergibt die Geradengleichung g : OX = +( 5+5s) +s = 8 3 +s Das ist zwar wahr und gut und richtig, aber schön ist das nicht gerade. Durch scharfes Hinsehen, sieht man (vielleicht), dass wir für s = einen hübscheren Geradenpunkt bekommen, nämlich die Vorwahl von Berlin

3 (hab ich das nicht toll gemacht?). Jetzt kann man aus dem Richtungsvektor noch die 4 rausziehen und erhält ein Prachtexemplar derselben (!) Geraden g : 7 OX = 3 + s Die Gerade h sei durch die Punkte A und B gegeben. Ermitteln Sie den Schnittpunkt und den Schnittwinkel β von h mit der y-z-ebene. h : OX = 6 + t 4 So, jetzt kommt s, diese y z Ebene. Wir machen das mal ganz langsam nach Schema F: Um eine Ebene zu bekommen, brauchen wir mal mindestens drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen. Wir haben die Wahl und nehmen deshalb die einfachsten Punkte der Koordinatenwelt: O( ), P ( ) und P ( ) Der Normalenvektor ist ja senkrecht zu OP und OP. Mit dem schönen Orthogonalitätskriterium folgt damit: n = n 3 = Beiden Gleichungen ist es völlig egal, was mit n los ist. Wir können also n so wählen wie wir wollen. n = ist an der Stelle vielleicht nicht die beste dee, aber das nächstschöne ist ja n =. Unser Normalenvektor sieht demnach folgendermaßen harmlos aus: n 3 = n die allgemeine Koordinatengleichung eingesetzt erhalten wir dann x = d Wenn wir hier den Nullpunkt (oder irgendeinen anderen Punkt der y-z- Ebene) einsetzen, erhalten wir die vollständige Koordinatengleichung E 3 : x = Kaum zu glauben, dass das eine Ebene sein soll. Aber stellt euch das einfach fogendermaßen vor: Die Ebene sagt zum Punkt: st mir doch alles egal was du drauf hast, solang deine x-koordinate ist, biste dabei. Das muss man im Abitur natürlich nicht so ausrechnen. Man schreibt dann einfach x = und fertig. Bei der x y und x z Ebene läuft s selbstredend genauso. Der Schnittwinkel β ist jetzt wieder reine Grammatik. Nur 3

4 aufpassen, das wir zunächst einen anderen Winkel berechnen: cosβ = = 35, 3 und β = 9 β 54, Wie liegen die Geraden g und h zueinander?. Frage: Sind sie parallel? 7 = t 4 kann nicht sein, da t = 4 und t = 4 4. Frage: Schneiden sie sich dann wenigstens? 7s = 6 + t 3 + 4s = t 4s = 4 t Aus folgt t = 4s + 4 (nennen wir mal V). Das in eingesetzt, ergibt (irgendwann) s = 4. Das wiederum ergibt mit V t = 5. An dieser Stelle ist das Gleichungssystem noch nicht gelöst! Wir müssen erstmal gucken, ob unsere Ergebnisse wirklich Sinn ergeben. s und t in eingesetzt, ergibt (irgendwann) 53 = 53 Widerspruch, Unsinn, Feierabend. Durch beide Tests durchgefallen, also windschief. Berechnen Sie gegebenenfalls den Abstand oder den Schnittpunkt S und den Schnittwinkel α. Das heißt, für uns kann s hier nur um den Abstand gehen. Abstand Gerade- Gerade (siehe B S.5, Fall ). Die Hilfsebene H enthalte g und der Richtungsvektor von h sei parallel zu H (und damit ein Richtungsvektor der Ebene selbst). Daraus folgt: H : OX = 3 + s t Das reicht uns aber nicht, wir brauchen die HNF davon. Also erstmal Normalenverktor berechnen. Da ihr das alle könnt, hier die (einfachste) Lösung: n H = 4

5 Die Länge von dem Ding ist (näch?) und damit ist die HNF ist auch schon fertig: H : OX 3 = } {{ } unser n Dieses Teil hat die wunderbare Eigenschaft, dass, wenn man für OX einen Ortsvektor zu einem Punkt der Ebene einsetzt, rauskommt und für alle anderen Punkte gerade der Abstand zu diesen Punkten. Allerdings muss man dafür (wie immer) die ganze Sache als Betrag auffassen. Weil H die eine Gerade (g) enthält und zur anderen (h) parallel ist, können wir einen beliebigen Punkt von h einsetzten und erhalten den Abstand zwischen den beiden Geraden. Genau das ist der Trick: Wir berechnen also eigentlich Punkt-Ebene und erhalten Gerade-Gerade (versteht ihr, was ich hier sage?). Das war s. d(p, H) = = = 5

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