Hauptprüfung Abiturprüfung 2014 (ohne CAS) Baden-Württemberg

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1 Baden-Württemberg: Abitur 04 Pflichtteil Hauptprüfung Abiturprüfung 04 (ohne CAS) Baden-Württemberg Pflichtteil Hilfsmittel: keine allgemeinbildende Gymnasien Alexander Schwarz März 04

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2 Baden-Württemberg: Abitur 04 Pflichtteil Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die Ableitung der Funktion f mit x f(x) = x e. Aufgabe : ( VP) Berechnen Sie das Integral 0 4 (x+ ) dx Aufgabe : ( VP) Lösen Sie die Gleichung x 4 = 4+ x Aufgabe 4: (4 VP) π Gegeben sind die Funktionen f und g mit f(x) = cos(x) und g(x) = cos x. a) Beschreiben Sie, wie man den Graphen von g aus dem Graphen von f erhält. b) Bestimmen Sie die Nullstellen von g für 0 x 4 Aufgabe 5: (4 VP) Die Abbildung zeigt die Graphen K f und K g zweier Funktionen f und g. a) Bestimmen Sie f(g()). Bestimmen Sie einen Wert für x so, dass f(g(x)) = 0 ist. b) Die Funktion h ist gegeben durch h(x) = f(x) g(x). Bestimmen Sie h(). Aufgabe 6: (5 VP) Gegeben sind die Ebenen E: x+ x = 4 und F: x+ x + x = 4. a) Stellen Sie die beiden Ebenen in einem gemeinsamen Koordinatensystem dar. Geben Sie eine Gleichung der Schnittgeraden von E und F an. b) Die Ebene G ist parallel zur x-achse und schneidet die xx Ebene in derselben Spurgeraden wie die Ebene F. Geben Sie eine Gleichung der Ebene G an.

a) Beschreiben Sie, wie man den Graphen von g aus dem Graphen von f erhält.

3 Baden-Württemberg: Abitur 04 Pflichtteil Aufgabe 7: (4 VP) Gegeben sind die Punkte A(/0/), B(-//) und C(//). Die Gerade g verläuft durch A und B. Bestimmen Sie den Abstand des Punktes C von der Geraden g. Aufgabe 8: ( VP) An einem Spielautomaten verliert man durchschnittlich zwei Drittel aller Spiele. a) Formulieren Sie ein Ereignis A, für das gilt: P(A) = b) Jemand spielt vier Spiele an dem Automaten. Mit welcher Wahrscheinlichkeit verliert er dabei genau zwei Mal? Aufgabe 9: ( VP) Gegeben sind der Mittelpunkt einer Kugel sowie eine Ebene. Die Kugel berührt diese Ebene. Beschreiben Sie, wie man den Kugelradius und den Berührpunkt bestimmen kann.

a) Formulieren Sie ein Ereignis A, für das gilt: 8 9 0 0 P(A) = 0 8 + + b) Jemand spielt vier Spiele an dem Automaten.

4 Baden-Württemberg: Abitur 04 Pflichtteil Lösungen Aufgabe : Zunächst wird die Funktionsgleichung von f umgeschrieben in 0,5 x f(x) = x e Für die Ableitungsfunktion werden die Produkt- und Kettenregel benötigt: f (x) = 0,5x e + x e = e + x e x 0,5 x 0,5 x x x Aufgabe : ( ) (x+ ) (x+ ) dx= 4 x+ dx = (x+ ) = = ( ) = 9 9 Aufgabe : Zunächst wird die Gleichung gleich Null gesetzt: 4 x x 4= 0 Mit der Substitution x = u folgt: u u 4= 0 ± 9 4 ( 4) ± 5 Anwendung der Lösungsformel: u, = = u = 4 und u = Rücksubstitution: x = 4 x=± x = ergibt keine Lösung. Lösungsmenge L = {-; } Aufgabe 4: a) Der Graph von f wird mit dem Faktor in y-richtung gestreckt. Anschließend wird er mit dem Faktor π in x-richtung gestaucht. Danach wird er um Längeneinheiten nach unten verschoben. b) Nullstellen von g: g(x) = 0 π π π cos x = 0 cos x = cos x = Die Funktion y= cos(x) nimmt an den Stellen x = 0, π, 4 π,... den Wert an. π x = 0 x = 0 π x = π x = 4 Im gegebenen Intervall gibt es daher zwei Nullstellen x = 0 und x = 4. 4

x e x 0,5 x 0,5 x x x Aufgabe : ( ) (x+ ) 0 0 0 (x+ ) 0 4 4 8 dx= 4 x+ dx = (x+ ) = = ( ) = 9 9 Aufgabe : Zunächst wird die Gleichung gleich Null gesetzt: 4 x x 4= 0 Mit der Substitution x = u folgt:

5 Baden-Württemberg: Abitur 04 Pflichtteil Aufgabe 5: a) Aus dem Schaubild kann man ablesen, dass g() = - ist. Somit ist f(g()) = f(-) = 5. Gesucht ist x, so dass f(g(x)) = 0 ist..lösungsmöglichkeit: Es ist f(4) = 0. Gesucht ist daher ein x-wert, so dass g(x) = 4 ist. Dies wäre für x = - der Fall..Lösungsmöglichkeit: Es ist f(0) = 0. Gesucht ist daher ein x-wert, so dass g(x) = 0 ist. Dies wäre für x = der Fall. b) Mit der Produktregel folgt: h() = f () g() + f() g() Es ist f () = 0, da an der Stelle x = die Parabel einen Tiefpunkt besitzt. Es ist g() =, da die Gerade die Steigung m = - besitzt. Außerdem gilt f() = -4 und g() = 0. h() = ( 4) ( ) = 4 Hinweis: Man könnte auch die Aufgabe dadurch lösen, dass man für die beiden Schaubilder die zugehörigen Funktionsgleichungen aufstellt und das ganze dann rechnerisch löst. Dies wäre jedoch deutlich aufwändiger und würde vom zeitlichen Aufwand her nicht zu der Punktzahl passen, die man bei der Aufgabe erzielen kann. Aufgabe 6: a) Schnittpunkte der Ebene E: x+ x = 4 mit den Koordinatenachsen: S (x /0/0) = S (4/0/0) x x S (0/ x /0) = S (0/ 4/0) x x S (0/0/ x ) existiert nicht, da dies auf einen Widerspruch 0 = 4 führt. x Die Ebene ist folglich parallel zur x-achse. Schnittpunkte der Ebene F: x+ x + x = 4 mit den Koordinatenachsen: S (x /0/0) = S (4/0/0) x x S (0/ x /0) = S (0/ 4/0) x x S (0/0/ x ) = S (0/0/) x x 5

Gesucht ist daher ein x-wert, so dass g(x) = 0 ist. Dies wäre für x = der Fall.

6 Baden-Württemberg: Abitur 04 Pflichtteil Die Schnittgerade der Ebenen E und F ist die Gerade durch die Punkte S (4/0/0) und S (0/ 4/0). x x g: 4 4 x= 0 + s b) Da die Ebene G parallel zur x-achse verläuft, taucht die Variable x nicht in der Koordinatengleichung auf. Ansatz für die Koordinatengleichung von G: bx + cx = d Damit G dieselbe Spurgerade mit der xx-ebene wie F besitzt, muss G die Punkte S x (0/ 4/0) und Einsetzen von Einsetzen von S x (0/0/) besitzen. S x in die Koordinatengleichung: 4b= d S x in die Koordinatengleichung: c = d Wenn man z.b. d = 4 wählt, ergibt sich b = und c =. Eine mögliche Koordinatengleichung von G lautet damit: x + x = 4 Aufgabe 7: Zunächst benötigt man die Gleichung der Geraden g. 4 Es ist g: x= 0 + s 0 Zur Berechnung des Abstandes von g zu Punkt C(//) benötigt man eine Hilfsebene H. Diese Hilfsebene steht orthogonal zur Geraden g und enthält den Punkt C. Der Normalenvektor von H ist der Richtungsvektor von g. 4 Normalenform von H: x = 0 0 Koordinatengleichung von H: 4x+ x = Der Schnittpunkt von g mit H ergibt den Lotfußpunkt F: 4( 4s) + (0+ s) = 4+ 6s+ 0+ 9s= s= Einsetzen von s = - in die Gerade ergibt den Lotfußpunkt F(5/7/). Abstand von g zu C = CF= CF = 4 = = 5 LE 0 6

Ansatz für die Koordinatengleichung von G: bx + cx = d Damit G dieselbe Spurgerade mit der xx-ebene wie F besitzt, muss G die Punkte S x (0/ 4/0) und Einsetzen von Einsetzen von S x (0/0/) besitzen.

7 Baden-Württemberg: Abitur 04 Pflichtteil Aufgabe 8: a) Die dargestellte Formel ergibt sich aus der Formel der Binomialverteilung: n k n k P(X= k) = p ( p) k Die Formel P(A) setzt sich aus drei Summanden zusammen: 8 0.Summand = 8 entspricht der obigen Formel mit n = 0, k = 8, p= Dieser stellt die Wahrscheinlichkeit dar, mit der man bei 0 Spielen am Automaten bei einer Verlustwahrscheinlichkeit von genau 8 Spiele verliert..summand = 0 9 entspricht der obigen Formel mit n = 0, k = 9, p= 0 0 Hinweis: Der.Summand lautet ausführlich 9, da = 0 ist 9 Dieser stellt die Wahrscheinlichkeit dar, mit der man bei 0 Spielen am Automaten bei einer Verlustwahrscheinlichkeit von genau 9 Spiele verliert. 9.Summand = 0 entspricht der obigen Formel mit n = 0, k = 0, p= Hinweis: Der.Summand lautet ausführlich 0 0, da = und = 0 Dieser stellt die Wahrscheinlichkeit dar, mit der man bei 0 Spielen am Automaten bei einer Verlustwahrscheinlichkeit von genau 0 Spiele verliert. 0 Fazit: Ereignis A heißt, dass man bei 0 Spielen am Automaten bei einer Verlustwahrscheinlichkeit von mindestens 8 verliert. b) Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der verlorenen Spiele am Automaten an. X ist binomialverteilt mit n = 4 und p= Es ist P(X= ) = 6 = = = Mit der Wahrscheinlichkeit 8 verliert der Spieler genau zwei von vier Spielen. 7 7

Summand = 8 entspricht der obigen Formel mit n = 0, k = 8, p= Dieser stellt die Wahrscheinlichkeit dar, mit der man bei 0 Spielen am Automaten bei einer Verlustwahrscheinlichkeit von genau 8 Spiele

8 Baden-Württemberg: Abitur 04 Pflichtteil Aufgabe 9:.Schritt: Man stellt die Gleichung einer Hilfsgeraden g auf. Diese Gerade g steht senkrecht auf der gegebenen Ebene (Richtungsvektor von g ist der Normalenvektor von E) und geht durch den Mittelpunkt M der Kugel (Ortsvektor der Gerade ist OM ).Schritt: Der Schnittpunkt der Geraden g mit der Ebene E ist der gesuchte Berührpunkt B..Schritt: Den Abstand der Punkte M und B erhält man durch Berechnung von MB und entspricht dem Radius der Kugel. 8

Diese Gerade g steht senkrecht auf der gegebenen Ebene (Richtungsvektor von g ist der Normalenvektor von E) und geht durch den

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