Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen

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1 Elemente der Analysis I Kapitel 2: Einführung II, Gleichungen Prof. Dr. Volker Schulz Universität Trier / FB IV / Abt. Mathematik 8. November schulz/elan-ws1011.html Prof. Dr. Volker Schulz (FB IV - Mathematik) Kapitel 2: Gleichungen 8. November / 12 Gleichungen Gleichungen sind Ausdrücke vom Typ L(x) = R(x), die einen Zusammenhang darstellen, der die Lösung x (hoffentlich eindeutig) charakterisiert. Dies ist bildlich vergleichbar mit einer Waage. L(x) = R(x) Beispiele: 3x + 10 = x + 4 einfache Gleichung z z 5 + b 3 = 5 5 z Gleichung mit Parameter Prof. Dr. Volker Schulz (FB IV - Mathematik) Kapitel 2: Gleichungen 8. November / 12

2 Äquivalenzumformungen Am Bild der Waage erkennen wir bereits die häufigsten Äquivalenzumformungen, d.h. Operationen, die wir mit beiden Seiten der Gleichung durchführen können, ohne die Lösung der Gleichung zu verändern. Addition (Subtraktion) derselben Zahl c ist eine Äquivalenzumformung. L(x) + c = R(x) + c Multiplikation (Division) mit derselben Zahl c 0 ist eine Äquivalenzumformung. L(x) c = R(x) c Prof. Dr. Volker Schulz (FB IV - Mathematik) Kapitel 2: Gleichungen 8. November / 12 weitere Äquivalenzumformungen Äquivalenzumformungen Sofern sich eine auf beide Seiten der Gleichung angewendete Operation eindeutig wieder rückgängig machen lässt (d.h. invertierbar ist, vgl. später), handelt es sich um eine Äquivalenzumformung. Diese lassen die Lösungsmenge der Gleichung unverändert. Die Äquivalenz von Gleichungen notieren wir mit dem Symbol. Beispiele: x 1 = 1 x = 2 (Addition/Subtraktion) 5x = 10 x = 2 (Division/Multiplikation) 10 x = 10 2 x = 2 (Exponentialfunktion/Logarithmus, vgl. später) x = 1 x 2 = 1 (Quadrierung nicht eindeutig umkehrbar) x a = 2 a x = 2 (Potenzierung, für alle a Q nicht gerade) Prof. Dr. Volker Schulz (FB IV - Mathematik) Kapitel 2: Gleichungen 8. November / 12

3 Anwendung Nullstellenproblem Eine Gleichung vom Typ L(x) = R(x) ist äquivalent zu einem so genannten Nullstellenproblem g(x) = 0, wobei g(x) = L(x) R(x) Also sind alle Methoden zur Lösung von Nullstellenproblemen (engl. root finding ) auch anwendbar auf Gleichungssysteme Prof. Dr. Volker Schulz (FB IV - Mathematik) Kapitel 2: Gleichungen 8. November / 12 Gleichungstypen Eine Gleichung der Form a x = b nennt man linear; sie hat die eindeutige Lösung x = b a, falls a 0 ist. Ein Gleichung der Form a x + b c x + d = s nennt man gebrochen-linear. Durch Multiplikation mit cx + d wird daraus eine lineare Gleichung. Eine Gleichung der Form a n x n + a n 1 x n a 2 x 2 + a 2 x + a 0 = 0 mit gegebenen Zahlen a 0, a 1,..., a n R und a n 0 nennt man eine algebraische Gleichung vom Grad n oder der Ordnung n. Prof. Dr. Volker Schulz (FB IV - Mathematik) Kapitel 2: Gleichungen 8. November / 12

4 Beispiele Makroökonomisches Modell (i) Y = C + I (ii) C = a + by (strukturelle Form) Y = a 1 b + 1 I (reduzierte Form) 1 b Umformungen der Zinseszinsgleichung aus der ersten Vorlesung ( ) Löse Gesamtnachfrage einer Volkswirtschaft M = αy + β(r γ) δ nach Zinsrate r auf. Löse x 3 = x 2 Prof. Dr. Volker Schulz (FB IV - Mathematik) Kapitel 2: Gleichungen 8. November / Quadratische Gleichungen x 2 + px + q = 0 x 2 + px = q ( p ) 2 ( p ) 2 ( x 2 + px + = q x + p ) 2 p 2 = q ( ) Falls p2 4 q < 0 gibt es keine Lösung, da für die linke Seite der Gleichung immer gilt ( x + p ) Sonst folgen zwei Möglichkeiten, die wir gemeinsam notieren x + p p 2 = ± 2 4 q Satz 2.1 (pq-formel) Falls für eine quadratische Gleichung x 2 + px + q = 0, mit p, q R, gilt q, so besitzt sie die Lösungen p 2 4 x 1/2 = p 2 ± p 2 4 q Prof. Dr. Volker Schulz (FB IV - Mathematik) Kapitel 2: Gleichungen 8. November / 12

5 abc-formel Allgemeinere Formulierung ax 2 + bx + c = 0, a 0 ergibt sich durch p = b/a und q = c/a. Dieses eingesetzt in die pq-formel liefert Satz 2.2 (abc-formel) Falls für eine quadratische Gleichung ax 2 + bx + c = 0, mit a, b, c R, und a 0, gilt b 2 4ac 0, so besitzt sie die Lösungen x 1/2 = b ± b 2 4ac 2a Prof. Dr. Volker Schulz (FB IV - Mathematik) Kapitel 2: Gleichungen 8. November / 12 Faktorzerlegung eines quadratischen Ausdruckes Wir können Gleichung ( ) oben umschreiben und die dritte binomische Formel anwenden und erhalten x 2 +px +q = ( x + p ) ( ) ) ( ) 2 2 p 2 4 q = (x + p2 p 2 4 q x + p 2 + p 2 4 q = (x x 1 )(x x 2 ). Somit lässt sich ein quadratischer Ausdruck als Produkt seiner Nullstellen schreiben. Das gilt auch für Polynome höherer Ordnung und ist die Grundlage der Polynomdivision (später: Kapitel 4). Somit kommt man bei Gleichungen höherer Ordnung, wenn man Glück hat, mit Raten + Polynomdivision weiter: Beispiel Wir betrachten die kubische Gleichung x 3 x 2 + x 1 = 0. Dann ist x = 1 eine Lösung (die man durch Probieren findet), und es gilt x 3 x 2 + x 1 = (x 1) (x 2 + 1). Der zweite Faktor x hat keine reellen Lösungen, und x = 1 ist die einzige reelle Lösung. Prof. Dr. Volker Schulz (FB IV - Mathematik) Kapitel 2: Gleichungen 8. November / 12

6 3. Lineare Gleichungen mit zwei Unbekannten ax + by = c dx + ey = f Gegeben: a, b, c, d, e, f R, gesucht: x, y R Lösungstheorie: die beiden Gleichungen lassen sich als Geraden in der Ebene interpretieren, deren Schnittpunkt gesucht ist. Somit gibt es 3 Möglichkeiten: (i) keine Lösung, (ii) genau eine Lösung, (iii) unendlich viele Lösungen. Lösungsmethode: (i) Multipliziere eine der beiden Gleichungen mit einem Faktor so, dass nach Addition der Gleichungen eine Variable wegfällt. (ii) Bestimme aus der addierten Gleichung die Lösung für die verbleibende Gleichung. (iii) Die andere Variable wird nach Einsetzen aus einer der Ausgangsgleichungen bestimmt. Üben mit Beispielen Prof. Dr. Volker Schulz (FB IV - Mathematik) Kapitel 2: Gleichungen 8. November / 12 Anmerkungen zu nichtlinearen Gleichungen Viele praktisch relevante Gleichungen lassen sich nicht mit Bleistift und Papier lösen. Es sind numerische Methoden wie z.b. das Newton-Verfahren gefragt (später). Man beachte, dass ein Produkt schon dann 0 ist, wenn nur ein Faktor 0 ist. Beispielsweise hat die Gleichung x(y + 3)(z 2 + 1) w 3 = 0 die Lösungen x = 0 oder y = 3 oder w = 3 (z wird nie 0) Ähnlich könnte man leicht übersehen, dass die Gleichung x 3 = x 2 nicht nur die Lösung x = 1 besitzt, sondern auch x = 0 Produktterme Im Allgemeinen gilt ab = ac a = 0 oder b = c Prof. Dr. Volker Schulz (FB IV - Mathematik) Kapitel 2: Gleichungen 8. November / 12