Numerische Verfahren und Grundlagen der Analysis

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1 Numerische Verfahren und Grundlagen der Analysis Rasa Steuding Hochschule RheinMain Wiesbaden Wintersemester 2011/12 R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 2011/12 1 / 16

2 4. Groß-O R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 2011/12 2 / 16

3 Polynome Zu a 0, a 1,..., a n R, a n 0, heißt p : R R x p(x) = Polynom (n-ten Grades). n a k x k = a n x n + + a 1 x + a 0 k=0 Eine Stelle x 0 heißt Nullstelle einer Funktion f (x), falls f (x 0 ) = 0 ist. Nullstellen eines Polynomes kann man durch deren Faktorisierung in Linearfaktoren bestimmen: x 0 = 42 und x 0 = 42 sind Nullstellen von p 1 (x) = x = (x 42)(x + 42); p 2 (x) = x hat keine Nullstellen über R. R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 2011/12 3 / 16

4 Rationale Funktionen Unter einer rationale Funktion versteht man den Quotienten zweier Polynome: r : D R x p(x) q(x), wobei p(x) und q(x) Polynome sind und D = {x R : q(x) 0}. Eine Stelle x 0 heißt Polstelle einer rationalen Funktion r(x) = p(x) q(x), falls die Funktion r bei x 0 unbeschränkt ist. Die rationale Funktion r(x) hat bei x 0 R eine Polstelle, wenn entweder q(x 0 ) = 0 und p(x 0 ) 0 oder q(x 0 ) = 0 und p(x 0 ) = 0 und die Vielfachheit der Nullstelle des Nenners ist größer ist als die des Zählers. R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 2011/12 4 / 16

5 Beispiel Sei r(x) = x 5 + 3x 4 + 2x 3 + 5x 2 2 x 4 + 3x 3 + 3x 2 + 6x + 2. Bestimmung von Nullstellen des Zählers und des Nenners durch Faktorzerlegung ist nicht bequem zu bewerkstelligen. (x 5 + 3x 4 + 2x 3 + 5x 2 2) = x(x 4 + 3x 3 + 3x 2 + 6x + 2) +( x 3 x 2 2x 2) (x 4 + 3x 3 + 3x 2 + 6x + 2) = ( x 2)( x 3 x 2 2x 2) +( x 2 2) (x 3 + x 2 + 2x + 2) = (x + 1)( x 2 2) + 0. Es ergibt sich als größter gemeinsamer Teiler x und nach Kürzen r(x) = x 3 + 3x 2 1 x 2 + 3x + 1. R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 2011/12 5 / 16

6 Das Bild von r(x) Die Pollstellen von r(x) sind x p = 3 2 ± Die Nullstellen von r(x) sind (numerisch mit SAGE berechnet): x 1 = , x 2 = , x 3 = R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 2011/12 6 / 16

7 Größter gemeinsamer Teiler von Polynomen Wir dividieren P m (x) durch Q n (x) und erhalten als Rest Q n1 (x) ein Polynom von einem Grade n 1 < n. Fortsetzung dieses Verfahrens liefert eine Folge von Restpolynomen Q nj. Deren Grade n j beständig abnehmen, so dass auschließlich der Rest Null aufterten muss. Der letzte Rest vor Null ergibt den grössten gemeinsamen Teiler von P und Q. P m (x) = S 1 (x)q n (x) + Q n1 (x), Q n (x) = S 2 (x)q n1 (x) + Q n2 (x),... Q nl 1 (x) = S l+1 (x)q nl (x) + Q nl+1 (x), Q nl (x) = S l+2 (x)q nl+1 (x) + 0. Daraus folgt: Jeder Faktor von Q nl+1 ist auch Faktor von Q nl, daher auch von Q nl 1 usw., schließlich also gemeinsamer Faktor von Q n und P m. Dies ist eine Verallgemeinerung vom Euklidischen Algorithmus. R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 2011/12 7 / 16

8 Euklidischer Algorithmus. I (Euklid von Alexandria ca v.chr.) Euklidischer Algorithnmus liefert den grössten gemeinsamen Teiler von ganzen Zahlen a und b (bezeichnet als ggt (a, b)). Idee: ggt (a, b) = ggt (a, 0) = a für a 0, ggt (a, b) = ggt (b, a q b) für jedes q Z. Beispiel: ggt (3054, 1002) ist gesucht = = = = Daraus folgt ggt (3054, 1002) = 6. R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 2011/12 8 / 16

9 Euklidischer Algorithmus. II Satz 4.1 Die natürlichen Zahlen a > b sei gegeben. Setzt man r 0 = a, r 1 = b und definiert man rekursiv r k+2 als Rest bei Division von r k durch r k+1, so bricht diese Rekursion irgendwann ab, d.h. r n+1 = 0, und es gilt r n = ggt (a, b). Also r 0 = q 1 r 1 + r 2, 0 < r 2 < r 1, r 1 = q 2 r 2 + r 3, 0 < r 3 < r 2,... r n 2 = q n 1 r n 1 + r n, 0 < r n < r n 1, r n 1 = q n r n, mit r n = ggt (a, b). Der letzte nichtverschwindende Rest ist also der größte gemeinsame Teiler. R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 2011/12 9 / 16

10 Euklidischer Algorithmus und Fibonacci Zahlen Die Anzahl der benötigten Divisionen mit Rest hängt logarithmisch von der Eingabe a und b ab. Dies zeigt eine worst-case Analyse: der Algorithmus dauert am längsten, wenn alle q j = 1 sind. Für a = F n+1, b = F n ergeben sich n Divisionen mit Rest F n+1 = 1 F n + F n 1, F n = 1 F n 1 + F n 2,... F 3 = 1 F 2 + F 1, F 2 = 1 F 1 + F 0, (1 = ). Es folgt ggt (F n+1, F n ) = F 1 = 1. R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 2011/12 10 / 16

11 Laufzeit der Algorithmen Wie effizient (in Bezug auf Geschwindigkeit) ist ein Algorithmus? Ansätze: Direktes Messen der Laufzeit, zum Beispiel in Sekunden (hängt von vielen Faktoren wie Computerkonfiguration, Compiler... ab). Zählen der Elementaroperationen des Algorithmus in Abhängigkeit von der Größe der Eingabe Wie verhält sich der Algorithmus bei sehr großen Eingaben? Wie ändert sich die Laufzeit, wenn die Größe der Eingabe variiert? Die Komplexität bezüglich Laufzeit eines Algorithmus kann man mit der O-Notation charakterisieren. R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 2011/12 11 / 16

12 O-Notation. I Seien f n und g n zwei Folgen. Wenn es eine Konstante C und einen Folgenindex n 0 gibt, sodass f n C g n für alle n n 0, dann schreiben wir f n = O(g n ) und sagen f n ist von der Ordnung g n oder f n ist Groß-O von g n. Wenn die Folge fn g n konvergent ist, so ist fn = O(g n ). Falls der Grenzwert sogar gleich Null ist, dann bezeichnet man dies mit f n = o(g n ). Die Notation O(f ) hat erstmals Bachmann (1894) in seinem Buch über die Zahlentheorie eingeführt, etwas später hat Landau (1909) auch die Notation o(f ) eingeführt. R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 2011/12 12 / 16

13 O-Notation. II Beispiel: 2n 2 + 3n + 1 = O(n 2 ) f (n) = 2n 2 + 3n + 1 (blau) und f (n) = 6n 2 (rot). Satz 4.2 Ein Polynom p(n) = a 0 + a 1 n + + a k n k vom Grad k ist von der Ordnung n k, d.h. a 0 + a 1 n + + a k n k = O(n k ). R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 2011/12 13 / 16

14 Wachstum elementarer Folgen Satz 4.3 Es gilt 1 = O(log a (n)), für a > 0, a 1, log a (n) = O(n b ) für a > 0, a 1, b > 0, n b 1 = O(n b 2 ) für 0 b 1 b 2, n b = O(a n ) für b 0, a > 1, a n 1 = O(a n 2) für 0 < a 1 < a 2, a n = O(n!) für a > 0 n! = O(n n ). Die Algorithmen der Komplexität O(n k ) heißen polynomial und zeigen sich in der Praxis als effizient. Im Gegensatz dazu stehen Algorithmen exponentiellen Wachstums O(a n ), a > 1. R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 2011/12 14 / 16

15 Rechnen mit dem Groß-O Sind f n = O(h n ) und g n = O(h n ) und sind a, b R, so gilt af n + bg n = O(h n ); Sind f n = O(g n ) und h n = O(k n ), so ist f n h n = O(g n k n ); Aus f n = O(g n ) und g n = O(h n ) folgt, dass auch f n = O(h n ). Insbesondere gilt: In einer Summe bestimmt der Summand mit der höchsten Ordnung die Ordnung der gesamten Summe. Beispiel: f n = n n = O(5 n ). R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 2011/12 15 / 16

16 Laufzeit des Euklidischen Algorithnmus Mit der Binetsche Formel F n = 1 5 (G n ( G) n ), G := 5 + 1, 2 folgt F n = 1 5 G n (1 + O(1)) bzw. n = O ( ) log Fn. log G Also gilt i. A. für die Schrittlänge S(a, b) bei euklidischen Algorithmus für a, b F n+1. S(a, b) = O(log(max{a, b})) R. Steuding (HS-RM) NumAna Wintersemester 2011/12 16 / 16