Lösung. Prüfungsteil 1: Aufgabe 1

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1 Zentrale Prüfung 01 Lösung Diese Lösung wurde erstellt von Cornelia Sanzenbacher. Sie ist keine offizielle Lösung des Ministeriums für Schule und Weiterbildung des Landes. Prüfungsteil 1: Aufgabe 1 a) Jungen: x; Mädchen x; insgesamt x 1 Anteil der Jungen: 1x von x Anteil der Mädchen: x von x b) (1) Berechnung der Höhe h h = s r h = (50 cm) (0 cm) h = 45,8 cm Berechnung des Volumens V 1 V = π r h 1 V = π (0cm) 45,8cm V = 19184,659 cm V = 19, l () Berechnung von α h 45,8 tan α = = =, 9 α = 66,4 r 0 s = 50 cm r = 0 cm α h ca. 5 cm c) (1) Berechnung des Durchmessers d eines Stützpfeilers Die 17,5 cm langen echten Bleistifte werden in der Vergrößerung durch,5 m lange Säulen dargestellt. Es gilt also der Maßstab 50 : 17,5. Man kann mit dem Dreisatz rechnen: d : 50 = 0,7 : 17,5 Daraus folgt: d = 10 cm r = 5 cm () Von den,5 m hohen Stützpfeilern sind etwa,5 m dunkel gefärbt (der Rest ist die Spitze). Mantel des Zylinders mit einer Höhe von,5 m: M Zyl = π r h M Zyl = π 5 5 M Zyl = 7068,58 cm = 0,71 m Stützpfeiler h M =,50 0,5 h M =,5 m echter Bleistift h = 17,5 cm d = 0,7 cm Zu streichen sind die Mäntel der beiden Stützpfeiler, also eine Fläche von F = M Zyl = 0,71 = 1,4 m. Die vorhandene Farbe reicht aus. Klett Lerntraining c/o PONS GmbH, Stuttgart 014 1/6

2 Zentrale Prüfung 01 d) Die Lösungen des Gleichungssystems y = x + und y = x + 0,4 entsprechen grafisch der Schnittstelle zwischen den beiden Geraden, als deren Funktionsgleichungen man die beiden Gleichungen ansehen kann. Beide Geraden haben die gleiche Steigung. Zwei Geraden mit der gleichen Steigung haben keine Schnittpunkte, sie sind parallel. Es gibt also keine Lösung des Gleichungssystems. (Da die Achsenabschnitte der Geraden nicht gleich sind, liegen die beiden Geraden auch nicht aufeinander, dann gäbe es unendlich viele Lösungen.) Versucht man, das Gleichungssystem rechnerisch zu lösen, so erhält man eine falsche Aussage: Gleichsetzen der beiden Gleichungen: x + = x + 0,4 Auflösen nach der Variablen x führt zu der falschen Aussage: = 0,4 Es gibt keine Lösungen. IL = { } e) Es gilt (a + c) c = a a. Auflösen dieser Gleichung nach c: (5 + c) c = 5 5 5c + c = 5 5 c + 5c 5 = 0 a h a = 5 cm c 1 =,1 cm (c = 8,09) c c Klett Lerntraining c/o PONS GmbH, Stuttgart 014 /6

3 Zentrale Prüfung 01 Prüfungsteil : Aufgabe a) 1. Woche 5 Blattläuse 1 5 = 5. Woche 5 Blattläuse 5 5 = 5. Woche 15 Blattläuse 5 5 = 15 b) Die Anzahl der Blattläuse entwickelt sich gemäß der Funktion f(x) = 5 x. (1) Die Variable x gibt die Anzahl der Wochen an, die seit dem Start der Vermehrung vergangen sind. () f(0) = 5 0 = 1. Dies ist der Funktionswert, also die Anzahl der Blattläuse, zu Beginn der Vermehrung. c) Anzahl Wochen d) Es muss die Gleichung 5 x = Blattläuse gelöst werden. Ermitteln von x durch Probieren: 5. Woche x = = Woche x = = Woche x = = Woche x = = Zu Beginn der 8. Woche ist die Anzahl der Blattläuse auf mehr als angestiegen. e) (1) Ein Jahr später, d. h. nach 5 Wochen, ist die Anzahl der Blattläuse: =, Die Rechnung von Frau Schmidt stimmt. () Die Aussage ist nicht realistisch, da die exponentielle Vermehrung nicht unbegrenzt gilt. Im Winter vermehren sich Blattläuse kaum oder gar nicht, wenn nicht mehr ausreichend Ressourcen vorhanden sind, geht die Vermehrung zurück, Blattläuse sterben auch. f) Die Funktion g(x) = x beschreibt die Situation richtig. Das kann man erkennen, wenn man einige x-werte betrachtet: Beginn x = 0 g(0) = = 100 Zu Beginn werden 100 Blattläuse gezählt. 1. Woche x = 1 g(1) = = 500 Die Anzahl der Blattläuse hat sich verfünffacht.. Woche x = g() = = = 500 5: Die 500 Blattläuse haben sich nach einer Woche wieder verfünffacht. Klett Lerntraining c/o PONS GmbH, Stuttgart 014 /6

4 Zentrale Prüfung 01 Prüfungsteil : Aufgabe a) 1.Runde.Runde.Runde 4.Runde 5.Runde 6.Runde 7.Runde 8.Runde Anne Papier Papier Stein Schere Stein Schere Stein Papier Paul Stein Schere Stein Papier Schere Stein Papier Schere Gewinner Anne Paul unentsch. Anne Anne Paul Paul Paul (1) Anne hat von den ersten 5 Runden gewonnen. () Paul muss die letzten drei Runden gewinnen, damit er Gesamtsieger wird. Die Tabelle gibt eine Möglichkeit an, bei der dies erreicht wird. b) Paul Anne Stein Schere Papier Stein unentschieden Anne gewinnt Paul gewinnt Schere Paul gewinnt unentschieden Anne gewinnt Papier Anne gewinnt Paul gewinnt unentschieden (1) Die Spiele, deren Ergebnisse auf der Diagonalen stehen, gehen unentschieden aus () P(Anne Stein;Paul Papier) = = 9 1 () P(Paul gewinnt) = = (4) P(Paul gewinnt zweimal) = = 9 Klett Lerntraining c/o PONS GmbH, Stuttgart 014 4/6

5 Zentrale Prüfung 01 c) (1) Paul Anne Stein Schere Papier Brunnen Stein unentschieden Anne gewinnt Paul gewinnt Paul gewinnt Schere Paul gewinnt unentschieden Anne gewinnt Paul gewinnt Papier Anne gewinnt Paul gewinnt unentschieden Anne gewinnt Brunnen Anne gewinnt Anne gewinnt Paul gewinnt unentschieden 1 () Die Wahrscheinlichkeit für unentschieden war ohne Brunnen P(unent. o. B.) = =, jetzt beträgt sie P(unent. m. B.) = =. Sie ist also kleiner, nicht größer geworden () Mit den Zeichen Papier und Brunnen gewinnt Anne in von 4 Fällen, sonst nur in 1 von 4. Prüfungsteil : Aufgabe 4 a) (1) Zeichne zunächst ein Quadrat mit der Kantenlänge cm, dann ein Quadrat mit der Seitenlänge 1 cm. () 1. Schritt: 1 Quadrat. Schritt: Quadrate. Schritt: Quadrate 4. Schritt: Quadrate = 1 Quadrate Die Figur besteht nach dem 4. Schritt aus 1 Quadraten. () Im ersten Schritt besteht die Figur aus einem Quadrat, dann kommen in jedem Schritt 4 weitere Quadrate hinzu. Zu der 1, die das Quadrat des ersten Schritts angibt, werden deshalb erst ab dem. Schritt je 4 Quadrate addiert, bei n Schritten also (n 1)-mal. Damit gilt: (n 1). Klett Lerntraining c/o PONS GmbH, Stuttgart 014 5/6

6 Zentrale Prüfung 01 (4) Das erste Quadrat hat den Flächeninhalt a. Die Seitenlänge der 4 Quadrate, die im. Schritt hinzukommen, beträgt a, die der 4 Quadrate aus dem. Schritt 4 a. Damit gilt A = a a a A = a a a A = a + a a + 4 Setzt man nun a = 4 cm ein, so ergibt sich: 4 A = A = = 6 cm Die gesamte Figur hat nach dem dritten Schritt einen Flächeninhalt von 6 cm. (5) Der Flächeninhalt der Figur nimmt vom. Schritt zum 4. Schritt um den folgenden Betrag zu: a a 4 1 A zu = 4 = 4 = 4 = 4 = 1 cm Der prozentuale Anteil dieses Zuwachses am Flächeninhalt nach dem. Schritt beträgt: p = PW = =,78%. G 6 Der Flächeninhalt wächst um,78 %. b) (1) Im 6. Schritt kommen vier Quadrate hinzu, die zusammen den Flächeninhalt 0,00906 cm haben. () D5 gibt den Flächeninhalt der Figur nach dem 5. Schritt an. Nach dem 4. Schritt beträgt der Flächeninhalt 7,15 cm (D4), hierzu kommen vier Quadrate mit dem Flächeninhalt 0,01565 cm (C5). In D5 steht also: 7,15 cm + 0,01565 cm = 7,815 cm. () D10 = D9 + C10; C10 = 4*(B10)^; B10 = 4/(^(A10)) (4) Der Gesamtflächeninhalt nähert sich offensichtlich dem Wert Schritten recht genau erreicht sein dürfte. 1 7, der nach 1 Millionen Klett Lerntraining c/o PONS GmbH, Stuttgart 014 6/6