( ) als den Punkt mit der gleichen x-koordinate wie A und der

Transkript

1 ETH-Aufnahmeprüfung Herbst 05 Mathematik I (Analysis) Aufgabe [6 Punkte] Bestimmen Sie den Schnittwinkel α zwischen den Graphen der Funktionen f(x) x 4x + x + 5 und g(x) x x + 5 im Schnittpunkt mit der grössten x-koordinate. g(x) y α f(x) Aufgabe [6 Punkte] Bestimmen Sie die Funktionsgleichung des Polynoms dritten Grades f(x), das einen Wendepunkt in W 0 ein Maximum in M ( ) hat. x ( ) und Aufgabe [ Punkte] Einer Kugel mit Radius R wird ein gerader Kreiskegel umschrieben. Bestimmen Sie die Höhe h des Kegels mit minimalem Volumen. h R Aufgabe 4 [8 Punkte] Eine unendliche Folge von Würfeln ist aufeinander gestapelt. Die Grundflächenecken eines jeden Würfels liegen auf den Kanten des darunterliegenden Würfels und teilen diese im Verhältnis zu (vgl. Abbildung mit den ersten zwei Würfeln). a) Sei a die Kante des ersten Würfels. Bestimmen Sie das Volumen des Turms bestehend aus unendlich vielen Würfeln. b) Wie viele Würfel sind nötig, um eine Höhe zu erreichen, die sich von der Endhöhe um weniger als 0.0% unterscheidet? a Aufgabe 5 [7 Punkte + 5 Punkte] Die Versiera der Agnesi ist eine ebene Kurve, die 748 von der italienischen Mathematikerin Maria Gaetana Agnesi veröffentlicht wurde. Gegeben ist der Kreis k (Mittelpunkt M 0 r Geraden g einen beliebigen Punkt A y A ( ) und Radius r) und die Gerade a: y r. Man verbindet mittels der ( ) a mit dem Ursprung. Sei B( x B y B ) der Schnittpunkt der Geraden g ( ) als den Punkt mit der gleichen x-koordinate wie A und der mit dem Kreis k. Man definiert nun C y B gleichen y-koordinate wie B. Die Versiera besteht aus allen so definierten Punkten C. y A g A g A g a: y r B C M B C k O B x C Versiera a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Versiera der Agnesi im kartesischen Koordinatensystem. b) In welchem Verhältnis stehen die Inhalte des Kreises und der Fläche zwischen Versiera und x-achse? Tipp: benutzen Sie dafür die Liste der speziellen unbestimmten Integrale in der Formelsammlung. Falls Sie Teilaufgabe a) nicht lösen konnten, nehmen Sie anstatt der Versiera die Funktion t( x) r x +6r.

2 Lösungen Mathematik I (Analysis) Herbst 05 Die Note N berechnet sich für die Punktzahl p gemäss der Formel N + p, wobei auf halbe Noten zu runden 8 ist (Viertelnote aufrunden). Lösung Schnittpunkt: x 4x + x + 5 x x + 5 x 5x + 6x 0 ( )( x ) 0 ( ) x x x x 0, x Ableitungen: g'(x) x, f '(x) x 8x + Steigungen: g'(), f '() 6 Winkel: α arctan( f '()) arctan( g'() ) arctan( 6) arctan( ) bzw. α 8.97 [ pt] Lösung Sei f(x) ax + bx + cx + d das gesuchte Polynom. Die ersten zwei Ableitungen sind: f '(x) ax + bx + c und f ''(x) 6ax + b Dann gilt: f() 0 8a + 4b + c + d 0 (I) f ''() 0 a + b 0 (II) f() a + b + c + d (III) f '() 0 a + b + c 0 (IV) [ pt] Aus (II) folgt: 6a + b 0 (V) Aus (I) und (III) folgt: 7a + b + c (VI) [ pt] Aus (IV) und (VI) folgt: 4a + b (VII) Aus (V) und (VII) folgt: a (VIII) Lösung: a, b 6, c 9, d bzw. f(x) x 6x + 9x Bemerkung: Die zusätzliche Überprüfung, dass M ( ) tatsächlich ein Maximum und W( 0) tatsächlich ein Wendepunkt ist ( f ''(x) 6x f ''() 6 < 0 bzw. f '''(x) 6 f '''() 6 0 ), wird mit einem Bonuspunkt gewürdigt.

3 Lösung Querschnitt: x. h r r Für die ganze Aufgabe gilt: h > Volumen: V πr h Nebenbedingungen: h + r r + x, wobei ( h ) x [ pt] Vereinfachung: h + r r + h + r r + ( h ) h h h + r r + r h h + h h 0 r h h h h r h h h r ( h h) h h h r h h r [ pt] πh Zielfunktion: V( h) ( h ) Lösung: V' ( h) 0 V' ( h) π h( h ) h 0 ( h ) Überprüfung des Minimums: V( h) ist für h > stetig; lim h V(h) und lim h V(h) Folglich muss P 4 V(4) ( ) ein Minimum sein. Der letzte Punkt soll selbstverständlich auch gegeben werden, wenn stattdessen die Bedingung V'' ( 4) > 0 überprüft wird... V'' ( h) π ( h 4) ( h ) ( h 4h) ( h ) V'' ( 4) π ( h ) 4 > 0 oder das Vorzeichenwechsel-Verfahren angewendet wird. ( ) π h( h 4) V' ( h) < 0 für h ] ;4[ und V' ( h) > 0 für h ] 4; [. ( h ) V' h h( h ) h 0 h 4h h 0 h 4h h 4

4 Lösung 4.a Kante des zweiten Würfels: a a + a 5 a Quotient der geometrischen Folge a, a,... (Kanten): q 5 Quotient der geometrischen Folge ( a ), ( a ),... (Volumen): q' q Volumen des unendlichen Turms: V a q' 7 a Lösung 4.b Sei n die gesuchte Anzahl Würfel. n a i i > 99.99% a i a i q n q i > a i q q n > > q n [ pt] Sei m! so dass q m. m log q (0.000) ln(0.000).9 ln(q) n

5 Aufgabe 5.a) Der Kreis k wird durch die Gleichung k: x + ( y r) r definiert. Sei A( r) ein beliebiger Punkt auf der Geraden a. Die Gerade g hat die Gleichung y r x. Koordinate y des Schnittpunkts B: y r + ( y r) r 4r y + y ry + r r 4r y + y ry 0 4r + y ry 0 (y 0) 4r + y r y r 8r 4r + x A + 4r [ pt] 8r Koordinaten des Punkts C: C x A + 4r Die Versiera der Agnesi hat also die Funktionsgleichung f( x) 8r x + 4r. Aufgabe 5.b) Aus der Formelsammlung: Sei a r, so gilt: Es folgt: x + a dx a arctan x a x + 4r dx r arctan x r 8r A x + 4r dx 8r lim lim b a r arctan 8r r π 8r r π 4πr x b r a [ pt] Kreisinhalt: A πr Verhältnis der Flächen: A : A 4πr : πr 4 :

6 Aufgabe 5.b) mit t(x) anstatt der Versiera Aus der Formelsammlung: Sei a 4r, so gilt: Es folgt: x + a dx a arctan x a x +6r dx 4r arctan x 4r r A x +6r dx r lim lim b a 4r arctan r 4r π r 4r π 8πr x b 4r a [ pt] Kreisinhalt: A πr Verhältnis der Flächen: A : A 8πr : πr 8 :