Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt
|
|
- Jürgen Rüdiger Krause
- vor 8 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2009/10 Blatt Aufgabe 35: Thema: Singulärwertzerlegung und assoziierte Unterräume Sei A eine m n Matrix mit Rang r und A = UDV T ihre Singulärwertzerlegung. Welche der folgenden Aussagen sind richtig bzw. falsch? Lösung: Die Antworten lauten: a) Ja! b) Ja! a) Der Spaltenraum von A wird von den ersten r Spalten von U aufgespannt. b) Jeder Vektor y im Kern von A T steht senkrecht auf jeder Spalte von A. c) Der Kern von A T wird von den letzten n r Spalten von U aufgespannt. d) Der Spaltenraum von A T wird von den ersten r Spalten von V aufgespannt. e) Der Kern von A wird von den letzten m r Spalten von V aufgespannt. c) Nein! Der Kern von A T wird von den letzten m r Spalten von U aufgespannt. d) Ja! e) Nein! Der Kern von A wird von den letzten n r Spalten von V aufgespannt. Aufgabe 36: Thema: Zu einer Matrix assoziierte Unterräume Sei A eine m n Matrix mit Rang r. Welche der folgenden Aussagen sind richtig bzw. falsch? a) Es gilt dim BildA = r und dim KerA = m r. b) Es gilt dim BildA T = r und dim KerA T = n r. c) Es gilt dim BildA T = r und dim KerA T = m r. d) Es gilt BildA = (KerA T ) und BildA T = (KerA). e) Das lineare Gleichungssystem Ax = b ist genau dann lösbar, wenn aus A T y = 0 stets b T y = 0 folgt.
2 Lösung: Die Antworten lauten: a) Nein! dim KerA = n r b) Nein! dim KerA T = m r c) Ja! d) Ja! e) Ja! Aufgabe 37: Thema: Eigenschaften schiefsymmetrischer Matrizen Sei A eine n n Matrix mit A T = A, d. h. A ist schiefsymmetrisch. Welche Aussagen sind richtig? a) Die Spur von A, tr A, ist gleich null. b) Es gilt det A = 0 für n = 2. c) Es gilt det A = 0 für n = 3. d) Es gilt Ax x = 0 für alle x R n. e) Wenn λ R ein Eigenwert von A ist, dann folgt λ = 0. Lösung: Die Antworten lauten: f) exp A ist eine orthogonale Matrix. g) Es gilt det (exp A) = exp (tra) = e 0 = 1. a) Ja! b) Nein! Beispiel A = ( ) c) Ja! d) Ja! e) Ja! f) Ja! g) Ja!
3 Aufgabe 38: Thema: Orthonormalsystem und orthogonale Projektion Sei V ein euklidischer Raum und U = span{u 1,..., u n } ein Unterraum, wobei {u 1,..., u n } ein Orthonormalsystem sei. Welche Aussagen sind richtig? a) Wenn v V und v u i = 0 für i = 1,..., n, dann ist v = 0. b) Die orthogonale Projektion P v U eines Vektors v V ist eindeutig bestimmt und es gilt: P v = n i=1 (v u i)u i. c) Für v, w V gilt: P v P w = n i=1 (v u i)(w u i ). d) Wenn v V, dann gilt: v 2 = n i=1 (v u i) 2. e) Wenn v U, dann gilt: v 2 = n i=1 (v u i) 2. Lösung: Die Antworten lauten: a) Nein! b) Ja! c) Ja! d) Nein! e) Ja! Aufgabe 39: Thema: Determinate, Eigenwerte, definite Matrizen Welche Aussagen sind richtig? a) Eine n n Matrix A ist genau dann negativ definit, wenn A nur negative Eigenwerte hat. a 11 a 12 a 13 b) Die 3 3 Matrix A = a 21 a 22 a 23 sei positiv definit, dann a 31 a 32 a 33 gilt: ( ) a11 a a 11 > 0, det 12 > 0, det (A) > 0. a 21 a 22 c) Für n n Matrizen A, B gilt: det (A + B) = det A + det B. Lösung: Die Antworten lauten: a) Ja! b) Ja! c) Nein!
4 Aufgabe 40: Thema: Normalengleichungssystem Sei A eine m n Matrix. Betrachten Sie das Normalengleichungssystem A T Ax = A T b für b R m. Welche Aussagen sind richtig? a) Das Normalengleichungssystem ist für alle b R m lösbar. Lösung: Die Antworten lauten: a) Ja! b) Nein! b) Für b = 0 hat das System stets nur die triviale Lösung. c) Ax ist eindeutig bestimmt, auch wenn es mehrere Lösungen x R n gibt. d) Gilt Rang von A gleich n, dann ist A T A positiv definit. e) Ist A eine symmetrische n n Matrix, dann ist jede Lösung des Systems auch Lösung von Ax = b. c) Ja! Seien x 1 und x 2 Lösungen der Gleichung A T Ax = A T b. Dann folgt daraus d) Ja! Rang von A gleich n, daraus folgt: A T A(x 1 x 2 ) = 0 (x 1 x 2 )A T A(x 1 x 2 ) = 0 A(x 1 x 2 ) 2 = 0 A(x 1 x 2 ) = 0 Ax 1 = Ax 2 Ax = 0 x = 0. A T Ax x = Ax 2 0 für x 0 Zudem wissen wir, dass die Matrix A T A positiv semidefinit ist und somit ist A T A positiv definit. e) Nein! Beispiel: A sei die Nullmatrix.
5 Aufgabe 41: Thema: Positiv definite Matrizen Sei A eine symmetrische n n Matrix. Welche Aussagen sind richtig? a) Gilt det A > 0, dann ist A positiv definit. b) Ist A positiv definit, dann gilt det A > 0. c) Hat das homogene System Ax = 0 eine nichttriviale Lösung, dann ist A nicht positiv definit. d) Ist A positiv definit, dann ist das Gleichungssystem Ax = b für alle b R n eindeutig lösbar. Lösung: Die Antworten lauten: ( ) 1 0 a) Nein! Beispiel: A = 0 1 b) Ja! Da die Matrix A positiv definit ist, sind alle ihre Eigenwerte größer Null. Da die Determinante von A sich schreiben läßt als das Produkt der Eigenwerte von A ist auch die Determinante größer Null. c) Ja! Wenn das homogene System Ax = 0 eine nicht triviale Lösung hat, sind die Spalten von A linear abhängig. Daraus folgt, dass die Determinante von A gleich Null ist und somit muss mindestens ein Eigenwert von A gleich Null sein, so dass die Matrix nicht positiv definit sein kann. d) Ja! Wenn die Matrix A positiv definit ist, gilt det A 0. Daraus folgt A ist invertierbar und somit ist das Gleichungssystem eindeutlich lösbar. Aufgabe 42: Thema: Offene und abgeschlossene Mengen in R Welche Mengen sind offen in R? a) {x R x 2 > 5} b) {x R x 2 < 5} c) {1, 2, 3,... } Welche Mengen sind abgeschlossen in R? Lösung: Die Antworten lauten: a) Ja! d) {x R x 2 5} e) {x R x 2 5} f) {1, 2, 3,...} b) Nein! Die Menge läßt sich auch schreiben als [0, 5).
6 c) Nein! d) Ja! e) Ja! f) Ja! Aufgabe 43: Thema: Differenzierbarkeit Lösung: a) Was bedeutet für eine Funktion f : R n R, dass f an der Stelle x 0 R n differenzierbar ist? b) Wie hängen Differenzierbarkeit und Stetigkeit zusammen? c) Welche Voraussetzung an die partiellen Ableitungen impliziert die Differenzierbarkeit? d) Welche geometrische Interpretation hat der Gradient von f an der Stelle x 0? e) Wie berechnet man den Gradienten? f) Was besagt der Satz von Schwarz? g) Was ist eine Richtungsableitung? h) Was ist ein lokales Minimum bzw. ein lokales Maximum einer Funktion vom R n nach R? i) Welches Gleichungssystem muss man lösen, um solche lokalen Extremwerte zu finden? j) Was ist eine positiv (bzw. negativ) definite (n n)-matrix? k) Was ist die Hesse-Matrix einer Funktion f : R n R? l) Was folgt, wenn der Gradient an einer Stelle x 0 im Innern des Definitionsbereiches verschwindet und die Hessematrix dort positiv definit ist? Was gilt, wenn sie dort negativ definit ist? a) Eine Funktion f : R n R heißt differenzierbar an der Stelle x 0, falls es eine lineare Abbildung a : R n R gibt, so dass wobei o : R n R mit o(h) h f(x) = f(x 0 ) + a(x x 0 ) + o(x x 0 ), h 0 0. b) Differenzierbare Funktionen sind stetig, aber nicht umgekehrt. Bsp: f : R R, x x ist stetig an x 0 = 0, aber nicht differenzierbar an der Stelle.
7 c) Wenn alle partiellen Ableitungen existieren und stetig sind, dann ist f differenzierbar. d) Die Richtung des Gradienten von f an der Stelle x 0 ist die Richtung des steilsten Anstieges von f, und seine Länge ist dieser steilste Anstieg. ( ) T f e) grad f = x 1, f x 2,, f x n. f) Satz von Schwarz: Sei f : R n R zweimal stetig differenzierbar, dann gilt für alle v, w R n : D 2 f(x)(v, w) = D 2 f(x)(w, v). D.h. die Bilinearform D 2 f(x) ist symmetrisch und damit ist dann auch D 2 f(x) eine symmetrische Matrix: 2 xi xj f(x) = 2 xj xi f(x). g) Sei v ein Vektor; Die Richtungsableitung v f(x 0 ) eine Funktion f an der Stelle x 0 ist die Variation dieser Funktion in der Richtung v. v f(x 0 ) = t f(x 0 + tv) t=0 = grad f(x 0 ) v. Man bezeichnet auch die partielle Ableitung als Richtungsableitung. h) Ein lokales Minimum einer Funktion f ist ein Punkt x 0, zu dem es eine Umgebung V (x 0 ) gibt mit der Bedingung x V (x 0 ) : f(x) f(x 0 ). Ebenso ist ein lokales Maximum einer Funktion f ein Punkt x 0, zu dem es eine Umgebung V (x 0 ) gibt mit der Bedingung x V (x 0 ) : f(x) f(x 0 ) i) Um solche lokalen Extremwert zu finden, sucht man nach kritischen Punkten, das heißt, man löst die Gleichung f(x) = 0. Dann ist zu entscheiden, ob es sich um einen Sattelpunkt oder ein lokales Extremum handelt. j) Eine symmetrische Matrix A heißt positiv definit, falls die Eigenwerte von A alle positiv sind. Eine symmetrische Matrix A heißt negativ definit, falls die Eigenwerte von A alle negativ sind. k) Die Hesse-Matrix von f ist die die Ableitung des Gradienten dieser Funktion. ( ) f(x) D 2 f(x) = xj xi l) Wenn der Gradient an einer Stelle x 0 im Innern des Definitionsbereiches einer Funktion f verschwindet und die Hessematrix dort positiv definit ist, dann ist f ein lokales Minimum, wenn die Hessematrix dort statt dessen negativ definit ist, ist der Punkt ein lokales Maximum. i,j
8 Aufgabe 44: Für welche α R sind die folgenden Matrizen positiv (bzw. negativ) definit: a) A := ( α) b) c) d) B := C := ( ) α 4 4 2α ( ) 1 α α 1 2α 2 0 α D := α 0 1 Tipp: Falls x 2 + px + q = 0, so gilt für die beiden Lösungen x 1 und x 2, dass x 1 + x 2 = p x 1 x 2 = q Lösung: a) Für α < 0 ist A positiv definit, für α > 0 negativ definit. b) Das charakteristische Polynom ist in dem Fall λ 2 3αλ + 2α 2 16 = 0 Seien λ 1 und λ 2 die Eigenwerte von B. Sie sind Lösungen der oberen Gleichung, und es ist dann klar, daß { λ 1 + λ 2 = 3α λ 1 λ 2 = 2α 2 16 B ist positiv definit, wenn λ 1 > 0 und λ 2 > 0, das heißt (α 2 8) > 0 und α > 0, also wenn α ] 8, + [. B ist negativ definit, wenn λ 1 < 0 und λ 2 < 0, das heißt (α 2 8) > 0 und α < 0, also wenn α ], 8[.
9 c) Das charakteristische Polynom ist in dem Fall λ 2 2λ + 1 α 2 = 0 Seien λ 1 und λ 2 die Eigenwerte von C. Sie sind Lösungen der oberen Gleichung, und es ist dann klar daß { λ 1 + λ 2 = 2 λ 1 λ 2 = 1 α 2 (1) C ist positiv definit, wenn λ 1 > 0 und λ 2 > 0, das heißt (1 α 2 ) > 0 (wir haben schon λ 1 + λ 2 = 2) und α ] 1, +1[. C ist negativ definit, wenn λ 1 < 0 und λ 2 < 0, das ist unmöglich weil λ 1 +λ 2 = 2 und dann ist C nie negativ definit. d) Das charakteristische Polynom ist in dem Fall (2α 2 λ)(2 λ)(1 λ) (2 λ)α 2 = 0 (2) (2 λ) ( λ 2 (2α 2 + 1)λ + α 2) = 0 (3) { λ 3 = 2 (4) λ 1, λ2 lösen λ 2 (2α 2 + 1)λ + α 2 = 0 Wir haben dann { λ 1 + λ 2 = 2α λ 1 λ 2 = α 2 D ist positiv definit, wenn λ 1 > 0 und λ 2 > 0, das heißt α 0. Wegen λ 3 = 2 > 0 ist D nie negativ definit.as ist unmöglich weil λ 1 + λ 2 > 0. Aufgabe 45: Thema: Differenzierbarkeit bei vektorwertigen Funktionen Lösung: a) Wie ist Differenzierbarkeit für Funktionen von R n nach R m definiert? b) Nennen Sie ein hinreichendes Kriterium für Differenzierbarkeit! c) Was versteht man unter der Jacobimatrix einer differenzierbaren Abbildung an einer Stelle x 0? d) Was besagt die mehrdimensionale Kettenregel? e) Sind differenzierbare Abbildungen immer stetig? f) Wie sind Polarkoordinaten im R 2 definiert? g) Was sind Kugel-, was Zylinderkoordinaten?
10 a) Eine Funktion f : R n R m heißt differenzierbar in einem Punkt x 0 R n, falls es eine lineare Abblidung a : R n R m gibt, so dass wobei o : R n R m mit o(h) h f(x) = f(x 0 ) + a(x x 0 ) + o(x x 0 ), h 0 0. b) f ist differenzierbar genau dann wenn f partiell differenzierbar nach alle Variablen ist und alle partielle Ableitungen stetig sind. c) Die Jacobimatrix einer differenzierbaren Abbildung an einer Stelle x 0 ist die Darstellung von Df(x 0 ) in Matrixform. ( ) Df(x 0 ) = f i (x 0 ) xj d) Sei g : R p R n und f : R n R m, D(f g)(x) = (Df) (g(x)) (Dg(x)) Bemerkung: Dg ist eine (n p) Matrix, Df ist eine (m n) Matrix, und D(f g) ist eine (m p) Matrix. f 1 f 1 f x 1 x 2 1 g 1 g 1 g x n x 1 x 2 1 x p f 2 f 2 f x 1 x 2 2 g x n 2 g 2 g x 1 x 2 2 x p Df =, Dg = f m g x 2 n x 2 f m x 1 f m x n e) Ja, differenzierbare Abbildungen sind immer stetig. f) Definition von Polarkoordinaten im R 2 : Sei M ein Punkt im R 2 mit Koordinaten (x, y) im kanonischen Koordinatensystem. Man nennt r = x 2 + y 2 den Abstand zwischen M und dem Ursprungspunkt O = (0, 0) von R 2, und θ den Winkel zwischen die x Achse und OM. Die Polarkoordinaten von M sind (r, θ), ihre Verbindung mit den kartesischen Kordinaten von M ist { x = r cos(θ) y = r sin(θ) g) Definition von Zylinderkoordinaten im R 3 : Sei M ein Punkt im R 3 mit Koordinaten (x, y, z) im kanonischen Koordinatsystem. Man nennt r = x 2 + y 2 die Abstand zwischen der Projektion N von M auf den (x, y)-ebene und dem Ursprungspunkt O = (0, 0, 0) von R 3, und θ den Winkel zwischen der x Achse und ON. Die Zylinderkoordinaten von M sind (r, θ, z) und ihre Verbindung mit den kartesische Kordinate von M ist x = r cos(θ) y = r sin(θ) z = z i,j g n x 1 g n x p
11 Definition von Kugelkoordinaten im R 3 : Sei M ein Punkt im R 3 mit Koordinaten (x, y, z) im kanonischen Koordinatensystem. Man nennt r = x2 + y 2 + z 2 den Abstand zwischen M und dem Ursprungspunkt O = (0, 0, 0) von R 3, N die Projektion von M auf den (x, y) Achse, θ den Winkel zwischen x-achse und ON, und φ den Winkel zwischen den y-achse und OM. Die Kugelkoordinaten von M sind (r, φ, θ) und ihre Verbindung mit den kartesischen Kordinaten von M ist x = r sin(φ) cos(θ) y z = r sin(φ) sin(θ) = r cos(φ) Aufgabe 46: Geben Sie den Satz von Gauß an Lösung: a) einmal mit Differentialoperatoren und b) und einmal mit ausgeschriebenen partiellen Ableitungen und ausgeschriebenem Skalarprodukt. a) Sei Ω R n eine beschränkte, offene Menge und Ω sein Rand, unter Voraussetzung daß es eine glatte Fläche ist; (in dem Sinn, daß der Rand Ω eine lokale, Stetig differenzierbare Parametrisierung besitzt). Wir bezeichnen mit N(x) die äußere Normale auf Ω, dann gilt für ein stetig differenzierbares Vektorfeld V (x) auf Ω div (V (x)) dx = V (x) N(x)da b) Die Gleichung ist explizit ( n ) V i (x) dx = x i Ω Ω i=1 Ω Ω ( n ) V i (x)n i (x) da wobei V (x) = (V 1 (x), V 2 (x),, V n (x)) and N(x) = (N 1 (x), N 2 (x),, N n (x)). Aufgabe 47: Geben Sie die Formel für die Integration einer Funktion f : R 2 R über einer Kurve γ : [0, 1] R 2 an. Lösung: Die Formel für die Integration der Funktion f : R 2 R über eine stetige differenzierbare Kurve γ : [0, 1] R 2 ist. 1 fdl = f(γ(t)) γ(t) dt γ 0 Aufgabe 48: Geben Sie das Flächenelement bei der Integration über eine Graphenfläche g : [0, 1] 2 R an. Lösung: Laut Skript ist das Flächenelement bei der Integration über eine Graphenfläche g : [0, 1] R 2 gegeben durch 1 + g 2. i=1
12 Aufgabe 49: a) Was ist die Definition einer orthogonalen linearen Abbildung f : R n R n? Lösung: b) Wann ist eine Matrix A R n,n orthogonal? a) Eine orthogonale lineare Abbildung f : R n R n ist eine längentreue Abbildung ( f(x) = x für alle x R n ). b) Eine Matrix A R n,n ist orthogonal, falls A 1 = A T. Aufgabe 50: Geben Sie die Formel der Taylorentwicklung einer Funktion f : R n R bis zur Ordnung 2 an. Lösung: Die Formel der Taylorentwicklung einer Funktion f : R n R an der Stelle x 0 bis zur Ordnung 2 lautet: f(x) = f(x 0 ) + grad f(x 0 ) (x x 0 ) wobei D 2 f die Hesse-Matrix ist. ( D 2 f(x 0 )(x x 0 ) ) (x x 0 ) + O( x x 0 3 ) Frohe Festtage!
Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2012/13 Blatt
Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2012/13 Blatt 9 19.12.2012 Aufgabe 35: Thema: Differenzierbarkeit a) Was bedeutet für eine Funktion f : R n R, dass f an der Stelle x 0 R n differenzierbar ist?
MehrEigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen
Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Das Eigenwertproblem Sei A eine quadratische Matrix vom Typ m,m. Die Aufgabe, eine Zahl λ und einen dazugehörigen Vektor x zu finden, damit Ax = λx ist, nennt
MehrMathematik für Informatiker II. Beispiellösungen zur Probeklausur. Aufgabe 1. Aufgabe 2 (5+5 Punkte) Christoph Eisinger Sommersemester 2011
Mathematik für Informatiker II Christoph Eisinger Sommersemester 211 Beispiellösungen zur Probeklausur Aufgabe 1 Gegeben sind die Polynome f, g, h K[x]. Zu zeigen: Es gibt genau dann Polynome h 1 und h
MehrOptimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung ohne Nebenbedingungen
Optimierung für Wirtschaftsinformatiker: Analytische Optimierung ohne Nebenbedingungen Dr. Nico Düvelmeyer Freitag, 1. Juli 2011 1: 1 [1,1] Inhaltsübersicht für heute 1 Einführung und Wiederholung Beispiel
Mehr3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung
3.3 Eigenwerte und Eigenräume, Diagonalisierung Definition und Lemma 3.3.1. Sei V ein K-Vektorraum, φ End K (V ), λ K. Wir defnieren den zu λ gehörigen Eigenraum von φ als Dies ist ein Unterraum von V.
MehrMathematik 1 für Wirtschaftsinformatik
Mathematik 1 für Wirtschaftsinformatik Wintersemester 2012/13 Hochschule Augsburg : Gliederung 7 Folgen und Reihen 8 Finanzmathematik 9 Reelle Funktionen 10 Differenzieren 1 11 Differenzieren 2 12 Integration
MehrUmgekehrte Kurvendiskussion
Umgekehrte Kurvendiskussion Bei einer Kurvendiskussion haben wir eine Funktionsgleichung vorgegeben und versuchen ihre 'Besonderheiten' herauszufinden: Nullstellen, Extremwerte, Wendepunkte, Polstellen
MehrÜbungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15
Übungen zum Ferienkurs Lineare Algebra WS 14/15 Linearkombinationen, Basen, Lineare Abbildungen 2.1 Lineare Unabhängigkeit Sind die folgenden Vektoren linear unabhängig? (a) 1, 2, 3 im Q Vektorraum R (b)
Mehr9.2. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83
9.. DER SATZ ÜBER IMPLIZITE FUNKTIONEN 83 Die Grundfrage bei der Anwendung des Satzes über implizite Funktionen betrifft immer die folgende Situation: Wir haben eine Funktion f : V W und eine Stelle x
MehrMusterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 5
Musterlösungen zur Linearen Algebra II Blatt 5 Aufgabe. Man betrachte die Matrix A := über dem Körper R und über dem Körper F und bestimme jeweils die Jordan- Normalform. Beweis. Das charakteristische
MehrUniversität Bonn, Institut für Angewandte Mathematik. WS 2012/2013 Prüfung Angewandte Mathematik und Statistik - Agrarwiss. /ELW
Universität Bonn, Institut für Angewandte Mathematik Dr. Antje Kiesel WS 2012/2013 Prüfung Angewandte Mathematik und Statistik - Agrarwiss. /ELW 08.03.2013 Matrikelnummer Platz Name Vorname 1 2 3 4 5 6
MehrIm Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. z(t) = at + b
Aufgabe 1: Im Jahr t = 0 hat eine Stadt 10.000 Einwohner. Nach 15 Jahren hat sich die Einwohnerzahl verdoppelt. (a) Nehmen Sie lineares Wachstum gemäß z(t) = at + b an, wobei z die Einwohnerzahl ist und
MehrLineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme Sei K ein Körper, a ij K für 1 i m, 1 j n. Weiters seien b 1,..., b m K. Dann heißt a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2... a m1
MehrDIFFERENTIALGLEICHUNGEN
DIFFERENTIALGLEICHUNGEN GRUNDBEGRIFFE Differentialgleichung Eine Gleichung, in der Ableitungen einer unbekannten Funktion y = y(x) bis zur n-ten Ordnung auftreten, heisst gewöhnliche Differentialgleichung
MehrLineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme
Übung Lineare Algebra und Lösung linearer zeitinvarianter Differentialgleichungssysteme Diese Übung beschäftigt sich mit Grundbegriffen der linearen Algebra. Im Speziellen werden lineare Abbildungen, sowie
Mehr( ) als den Punkt mit der gleichen x-koordinate wie A und der
ETH-Aufnahmeprüfung Herbst 05 Mathematik I (Analysis) Aufgabe [6 Punkte] Bestimmen Sie den Schnittwinkel α zwischen den Graphen der Funktionen f(x) x 4x + x + 5 und g(x) x x + 5 im Schnittpunkt mit der
MehrModulabschlussklausur Analysis II
Modulabschlussklausur Analysis II. Juli 015 Bearbeitungszeit: 150 min Aufgabe 1 [5/10 Punkte] Es sei a R und f a : R 3 R mit f a (x, y, z) = x cos(y) + z 3 sin(y) + a 3 + (z + ay a y) cos(x) a) Bestimmen
Mehr13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen.
13. Lineare DGL höherer Ordnung. Eine DGL heißt von n-ter Ordnung, wenn Ableitungen y, y, y,... bis zur n-ten Ableitung y (n) darin vorkommen. Sie heißt linear, wenn sie die Form y (n) + a n 1 y (n 1)
MehrFachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS. Herbstsemester 2015. gehalten von Harald Baum
Fachschaft Mathematik und Informatik (FIM) LA I VORKURS Herbstsemester 2015 gehalten von Harald Baum 2. September 2015 Inhaltsverzeichnis 1. Stichpunkte zur Linearen Algebra I 2. Körper 3. Vektorräume
MehrLineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme Eines der am häufigsten auftretenden Standardprobleme der angewandten Mathematik ist das Lösen linearer Gleichungssysteme, etwa zur Netzwerkberechnung in der Elektrotechnik oder
Mehr7 Die Determinante einer Matrix
7 Die Determinante einer Matrix ( ) a11 a Die Determinante einer 2 2 Matrix A = 12 ist erklärt als a 21 a 22 det A := a 11 a 22 a 12 a 21 Es ist S 2 = { id, τ}, τ = (1, 2) und sign (id) = 1, sign (τ) =
MehrWelche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen?
Welche Lagen können zwei Geraden (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen können zwei Ebenen (im Raum) zueinander haben? Welche Lagen kann eine Gerade bezüglich einer Ebene im Raum einnehmen? Wie heiÿt
MehrLineare Gleichungssysteme
Brückenkurs Mathematik TU Dresden 2015 Lineare Gleichungssysteme Schwerpunkte: Modellbildung geometrische Interpretation Lösungsmethoden Prof. Dr. F. Schuricht TU Dresden, Fachbereich Mathematik auf der
MehrExtrema von Funktionen in zwei Variablen
Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Extrema von Funktionen in zwei Variablen Literatur: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen,
MehrDivision Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema
Division Für diesen Abschnitt setzen wir voraus, dass der Koeffizientenring ein Körper ist. Betrachte das Schema 2x 4 + x 3 + x + 3 div x 2 + x 1 = 2x 2 x + 3 (2x 4 + 2x 3 2x 2 ) x 3 + 2x 2 + x + 3 ( x
MehrBasis und Dimension. Als nächstes wollen wir die wichtigen Begriffe Erzeugendensystem und Basis eines Vektorraums definieren.
Basis und Dimension Als nächstes wollen wir die wichtigen Begriffe Erzeugendensystem und Basis eines Vektorraums definieren. Definition. Sei V ein K-Vektorraum und (v i ) i I eine Familie von Vektoren
MehrDefinition 27 Affiner Raum über Vektorraum V
Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V ist die Menge A = Definition 27 Affiner Raum über Vektorraum V ist die Menge A = mit einer Abbildung + : A V A,
Mehr7 Rechnen mit Polynomen
7 Rechnen mit Polynomen Zu Polynomfunktionen Satz. Zwei Polynomfunktionen und f : R R, x a n x n + a n 1 x n 1 + a 1 x + a 0 g : R R, x b n x n + b n 1 x n 1 + b 1 x + b 0 sind genau dann gleich, wenn
Mehr2 Die Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen
2 Die Darstellung linearer Abbildungen durch Matrizen V und V seien Vektorräume über einem Körper K. Hom K (V, V ) bezeichnet die Menge der K linearen Abbildungen von V nach V. Wir machen Hom K (V, V )
MehrOptimierung für Nichtmathematiker
Optimierung für Nichtmathematiker Typische Prüfungsfragen Die folgenden Fragen dienen lediglich der Orientierung und müssen nicht den tatsächlichen Prüfungsfragen entsprechen. Auch Erkenntnisse aus den
MehrEinführung in die Vektor- und Matrizenrechnung. Matrizen
Einführung in die Vektor- und Matrizenrechnung Matrizen Definition einer Matrix Unter einer (reellen) m x n Matrix A versteht man ein rechteckiges Schema aus reellen Zahlen, die wie folgt angeordnet sind:
MehrAufgabe 1. Zunächst wird die allgemeine Tangentengleichung in Abhängigkeit von a aufgestellt:
Aufgabe 1 1.1. Bestimmung von D max : 1. Bedingung: x >0 ; da ln(x) nur für x > 0 definiert ist. 2. Bedingung: Somit ist die Funktion f a nur für x > 0 definiert und sie besitzt eine Definitionslücke an
MehrHöhere Mathematik 3. Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr. Wintersemester 2015/16. FB Mathematik
Höhere Mathematik 3 Apl. Prof. Dr. Norbert Knarr FB Mathematik Wintersemester 2015/16 4. Homogene lineare Dierentialgleichungen 4.1. Grundbegrie 4.1.1. Denition. Es sei J R ein Intervall und a 0 ; : :
Mehrx 2 2x + = 3 + Es gibt genau ein x R mit ax + b = 0, denn es gilt
- 17 - Die Frage ist hier also: Für welche x R gilt x = x + 1? Das ist eine quadratische Gleichung für x. Es gilt x = x + 1 x x 3 = 0, und man kann quadratische Ergänzung machen:... ( ) ( ) x x + = 3 +
MehrAbituraufgabe zur Stochastik, Hessen 2009, Grundkurs (TR)
Abituraufgabe zur Stochastik, Hessen 2009, Grundkurs (TR) Eine Firma stellt USB-Sticks her. Sie werden in der Fabrik ungeprüft in Packungen zu je 20 Stück verpackt und an Händler ausgeliefert. 1 Ein Händler
Mehr5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform
Mathematik für Physiker II, SS Mittwoch 8.6 $Id: jordan.tex,v.6 /6/7 8:5:3 hk Exp hk $ 5 Eigenwerte und die Jordansche Normalform 5.4 Die Jordansche Normalform Wir hatten bereits erwähnt, dass eine n n
Mehr50. Mathematik-Olympiade 2. Stufe (Regionalrunde) Klasse 11 13. 501322 Lösung 10 Punkte
50. Mathematik-Olympiade. Stufe (Regionalrunde) Klasse 3 Lösungen c 00 Aufgabenausschuss des Mathematik-Olympiaden e.v. www.mathematik-olympiaden.de. Alle Rechte vorbehalten. 503 Lösung 0 Punkte Es seien
Mehrwww.mathe-aufgaben.com
Abiturprüfung Mathematik Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit sin() f() =. Aufgabe : ( VP) Berechnen Sie das Integral ( )
MehrGegeben ist die Funktion f durch. Ihr Schaubild sei K.
Aufgabe I 1 Gegeben ist die Funktion f durch. Ihr Schaubild sei K. a) Geben Sie die maximale Definitionsmenge D f an. Untersuchen Sie K auf gemeinsame Punkte mit der x-achse. Bestimmen Sie die Intervalle,
MehrAbiturprüfung Mathematik 2008 (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe 1
Abiturprüfung Mathematik (Baden-Württemberg) Berufliche Gymnasien ohne TG Analysis, Aufgabe Für jedes t f t () + t R ist die Funktion f t gegeben durch = mit R. Das Schaubild von f t heißt K t.. (6 Punkte)
MehrFunktionen (linear, quadratisch)
Funktionen (linear, quadratisch) 1. Definitionsbereich Bestimme den Definitionsbereich der Funktion f(x) = 16 x 2 2x + 4 2. Umkehrfunktionen Wie lauten die Umkehrfunktionen der folgenden Funktionen? (a)
Mehr!(0) + o 1("). Es ist damit möglich, dass mehrere Familien geschlossener Orbits gleichzeitig abzweigen.
Bifurkationen an geschlossenen Orbits 5.4 167 der Schnittabbldung konstruiert. Die Periode T (") der zugehörigen periodischen Lösungen ergibt sich aus =! + o 1 (") beziehungsweise Es ist also t 0 = T (")
MehrDie Gleichung A x = a hat für A 0 die eindeutig bestimmte Lösung. Für A=0 und a 0 existiert keine Lösung.
Lineare Gleichungen mit einer Unbekannten Die Grundform der linearen Gleichung mit einer Unbekannten x lautet A x = a Dabei sind A, a reelle Zahlen. Die Gleichung lösen heißt, alle reellen Zahlen anzugeben,
MehrAbiturvorbereitung Mathematik -Dierentialrechnungc Max. Hoffmann
Abiturvorbereitung Mathematik -Dierentialrechnungc Max Hoffmann 1 Ganzrationale Funktionen Im Folgenden wollen wir uns mit ganzrationale Funktionen und der Untersuchung solcher beschäftigen. Dabei werden
MehrKapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme
Kapitel 15. Lösung linearer Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Wir befassen uns nun mit der Lösung im allgemeinen nichthomogener linearer Gleichungssysteme in zweifacher Hinsicht. Wir studieren
Mehr1.9 Eigenwerte und Eigenvektoren
.9. EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 0.9 Eigenwerte und Eigenvektoren Alles in diesem Abschnitt bezieht sich auf quadratische reelle oder komplexe n n-matrizen. Statt E n (n n-einheitsmatrix) wird kurz E geschrieben..
MehrKevin Caldwell. 18.April 2012
im Rahmen des Proseminars Numerische Lineare Algebra von Prof.Dr.Sven Beuchler 18.April 2012 Gliederung 1 2 3 Mathematische Beschreibung von naturwissenschaftlich-technischen Problemstellungen führt häufig
MehrTangentengleichung. Wie lautet die Geradengleichung für die Tangente, y T =? Antwort:
Tangentengleichung Wie Sie wissen, gibt die erste Ableitung einer Funktion deren Steigung an. Betrachtet man eine fest vorgegebene Stelle, gibt f ( ) also die Steigung der Kurve und somit auch die Steigung
MehrCharakteristikenmethode im Beispiel
Charakteristikenmethode im Wir betrachten die PDE in drei Variablen xu x + yu y + (x + y )u z = 0. Das charakteristische System lautet dann ẋ = x ẏ = y ż = x + y und besitzt die allgemeine Lösung x(t)
MehrZ = 60! 29!31! 1,1 1017.
Aufgabe : Eine Hochzeitsgesellschaft besteht aus 60 Personen. a Wieviele verschiedene Möglichkeiten für Sitzordnungen gibt es? b Nehmen Sie nun an, dass 9 Gäste aus dem Familien- und Freundeskreis der
MehrOptimalitätskriterien
Kapitel 4 Optimalitätskriterien Als Optimalitätskriterien bezeichnet man notwendige oder hinreichende Bedingungen dafür, dass ein x 0 Ω R n Lösung eines Optimierungsproblems ist. Diese Kriterien besitzen
MehrVorkurs Mathematik Übungen zu Polynomgleichungen
Vorkurs Mathematik Übungen zu en 1 Aufgaben Lineare Gleichungen Aufgabe 1.1 Ein Freund von Ihnen möchte einen neuen Mobilfunkvertrag abschließen. Es gibt zwei verschiedene Angebote: Anbieter 1: monatl.
MehrRekursionen. Georg Anegg 25. November 2009. Methoden und Techniken an Beispielen erklärt
Methoden und Techniken an Beispielen erklärt Georg Anegg 5. November 009 Beispiel. Die Folge {a n } sei wie folgt definiert (a, d, q R, q ): a 0 a, a n+ a n q + d (n 0) Man bestimme eine explizite Darstellung
MehrLineare Funktionen. 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition... 3 1.2 Eigenschaften... 3. 2 Steigungsdreieck 3
Lineare Funktionen Inhaltsverzeichnis 1 Proportionale Funktionen 3 1.1 Definition............................... 3 1.2 Eigenschaften............................. 3 2 Steigungsdreieck 3 3 Lineare Funktionen
Mehru + v = v + u. u + (v + w) = (u + v) + w. 0 V + v = v + 0 V = v v + u = u + v = 0 V. t (u + v) = t u + t v, (t + s) u = t u + s u.
Universität Stuttgart Fachbereich Mathematik Prof. Dr. C. Hesse PD Dr. P. H. Lesky Dipl. Math. D. Zimmermann Msc. J. Köllner FAQ 3 Höhere Mathematik I 4..03 el, kyb, mecha, phys Vektorräume Vektorräume
MehrTheoretische Grundlagen der Informatik WS 09/10
Theoretische Grundlagen der Informatik WS 09/10 - Tutorium 6 - Michael Kirsten und Kai Wallisch Sitzung 13 02.02.2010 Inhaltsverzeichnis 1 Formeln zur Berechnung Aufgabe 1 2 Hamming-Distanz Aufgabe 2 3
MehrMathematischer Vorkurs für Physiker WS 2009/10
TU München Prof. Dr. P. Vogl, Dr. S. Schlicht Mathematischer Vorkurs für Physiker WS 2009/10 Vorlesung 1, Montag vormittag Vektoralgebra Ein Vektor lässt sich geometrisch als eine gerichtete Strecke darstellen,
MehrApproximation durch Taylorpolynome
TU Berlin Fakultät II - Mathematik und Naturwissenschaften Sekretariat MA 4-1 Straße des 17. Juni 10623 Berlin Hochschultag Approximation durch Taylorpolynome Im Rahmen der Schülerinnen- und Schüler-Uni
MehrMATHEMATIK 3 STUNDEN. DATUM: 8. Juni 2009
EUROPÄISCHES ABITUR 2009 MATHEMATIK 3 STUNDEN DATUM: 8. Juni 2009 DAUER DES EXAMENS : 3 Stunden (180 Minuten) ZUGELASSENE HILFSMITTEL : Europäische Formelsammlung Nicht graphischer und nicht programmierbarer
MehrMathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen
Mathematischer Vorbereitungskurs für Ökonomen Dr. Thomas Zehrt Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Gleichungen Inhalt: 1. Grundlegendes 2. Lineare Gleichungen 3. Gleichungen mit Brüchen
Mehrwww.mathe-aufgaben.com
Abiturprüfung Mathematik 008 Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe 1: ( VP) x Gegeben ist die Funktion f mit f(x). x Bilden Sie die Ableitung von f und fassen Sie diese so weit wie
MehrLineare Algebra und analytische Geometrie II (Unterrichtsfach)
MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Prof. Dr. D. Rost SS 0 Blatt.06.0 Übungen zur Vorlesung Lineare Algebra und analytische Geometrie II (Unterrichtsfach) Abgabe: Dienstag, 0. Juli 0, bis 4:00
MehrEinführung in die Algebra
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 13 Einheiten Definition 13.1. Ein Element u in einem Ring R heißt Einheit, wenn es ein Element v R gibt mit uv = vu = 1. DasElementv
MehrLineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren
Lineargleichungssysteme: Additions-/ Subtraktionsverfahren W. Kippels 22. Februar 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 2 Lineargleichungssysteme zweiten Grades 2 3 Lineargleichungssysteme höheren als
MehrAbsolute Stetigkeit von Maßen
Absolute Stetigkeit von Maßen Definition. Seien µ und ν Maße auf (X, Ω). Dann heißt ν absolut stetig bezüglich µ (kurz ν µ ), wenn für alle A Ω mit µ(a) = 0 auch gilt dass ν(a) = 0. Lemma. Sei ν ein endliches
Mehr11.3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen
.3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen Definition.) komplexe Folgen: z n = x n + j. y n mit zwei reellen Folgen x n und y n.) Konvergenz: Eine komplexe Folge z n = x n + j. y n heißt
MehrLösungen zum 3. Aufgabenblatt
SS, Lineare Algebra Die Lösungen wurden erstellt von: Isabel Voigt, Vanessa Lamm und Matthias Rehder Hinweis: Eine Liste der zur Bearbeitung verwendeten Literatur ist unter www.mathematiwelt.com aufrufbar.
MehrMatrizennorm. Definition 1. Sei A M r,s (R). Dann heißt A := sup die Matrixnorm. Wir wissen zunächst nicht, ob A eine reelle Zahl ist.
Matrizennorm Es seien r,s N Mit M r,s (R bezeichnen wir die Menge der reellen r s- Matrizen (also der linearen Abbildungen R s R r, und setze M s (R := M s,s (R (also die Menge der linearen Abbildungen
MehrGrundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen
Grundlagen der höheren Mathematik Einige Hinweise zum Lösen von Gleichungen 1. Quadratische Gleichungen Quadratische Gleichungen lassen sich immer auf die sog. normierte Form x 2 + px + = 0 bringen, in
MehrLösungsvorschlag für die Probeklausuren und Klausuren zu Algebra für Informations- und Kommunikationstechniker bei Prof. Dr.
Lösungsvorschlag für die Probeklausuren und Klausuren zu Algebra für Informations- und Kommunikationstechniker bei Prof. Dr. Kurzweil Florian Franzmann André Diehl Kompiliert am 10. April 2006 um 18:33
MehrVorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume?
Vorlesung Diskrete Strukturen Graphen: Wieviele Bäume? Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de WS 2013/14 Isomorphie Zwei Graphen (V 1, E 1 ) und (V
Mehrklar. Um die zweite Bedingung zu zeigen, betrachte u i U i mit u i = 0. Das mittlere -Zeichen liefert s
Nachtrag zur allgemeinen Vektorraum-Theorie. 1.5.15. Direkte Summen. Sei V ein Vektorraum, seien U 1,..., U t Unterräume, wir schreiben V = U 1 U 2 U t = t i=1 U i falls die folgenden beiden Bedingungen
MehrZeichen bei Zahlen entschlüsseln
Zeichen bei Zahlen entschlüsseln In diesem Kapitel... Verwendung des Zahlenstrahls Absolut richtige Bestimmung von absoluten Werten Operationen bei Zahlen mit Vorzeichen: Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren
MehrLösungsmethoden gewöhnlicher Differentialgleichungen (Dgl.)
Lösungsmethoden gewöhnlicher Dierentialgleichungen Dgl) Allgemeine und partikuläre Lösung einer gewöhnlichen Dierentialgleichung Eine Dierentialgleichung ist eine Gleichung! Zum Unterschied von den gewöhnlichen
MehrERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN
ERGÄNZUNGEN ZUR ANALYSIS II MITTELWERTSATZ UND ANWENDUNGEN CHRISTIAN HARTFELDT. Zweiter Mittelwertsatz Der Mittelwertsatz Satz VI.3.4) lässt sich verallgemeinern zu Satz.. Seien f, g : [a, b] R auf [a,
MehrV 2 B, C, D Drinks. Möglicher Lösungsweg a) Gleichungssystem: 300x + 400 y = 520 300x + 500y = 597,5 2x3 Matrix: Energydrink 0,7 Mineralwasser 0,775,
Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang V B, C, D Drinks Ein gastronomischer Betrieb kauft 300 Dosen Energydrinks (0,3 l) und 400 Liter Flaschen Mineralwasser und zahlt dafür 50, Euro. Einen
Mehr2 3 x3 17. x k dx = x k x k+1 k +1. Mit jeder weiteren partiellen Integration reduziert sich der Grad des Faktors x n, induktiv erhalten wir also
Universität Konstanz Fachbereich Mathematik und Statistik Repetitorium Analysis 0 Dr DK Huynh Blatt 8 Aufgabe 6 Bestimmen Sie (a) (x + x 7x+)dx (c) (f) x n exp(x)dx (n N fest) sin (x)dx (g) (b) (d) ln(x)dx
MehrLineare Gleichungssysteme I (Matrixgleichungen)
Lineare Gleichungssysteme I (Matrigleichungen) Eine lineare Gleichung mit einer Variable hat bei Zahlen a, b, die Form a b. Falls hierbei der Kehrwert von a gebildet werden darf (a 0), kann eindeutig aufgelöst
Mehr4. Übungsblatt Matrikelnr.: 6423043
Lineare Algebra I 1. Name: Bleeck, Christian 4. Übungsblatt Matrikelnr.: 6423043 Abgabe: 15.11.06 12 Uhr (Kasten D1 320) Übungsgruppe: 03 Patrick Schützdeller 2. Name: Niemann, Philipp Matrikelnr.: 6388613
MehrAbituraufgabe zur Analysis, Hessen 2009, Grundkurs (TR)
Abituraufgabe zur Analysis, Hessen 2009, Grundkurs (TR) Gegeben ist die trigonometrische Funktion f mit f(x) = 2 sin(2x) 1 (vgl. Material 1). 1.) Geben Sie für die Funktion f den Schnittpunkt mit der y
MehrDAS ABI-PFLICHTTEIL Büchlein
DAS ABI-PFLICHTTEIL Büchlein für Baden-Württemberg Alle Originalaufgaben Haupttermine 004 0 Ausführlich gerechnete und kommentierte Lösungswege Mit vielen Zusatzhilfen X π Von: Jochen Koppenhöfer und Pascal
Mehr6.2 Scan-Konvertierung (Scan Conversion)
6.2 Scan-Konvertierung (Scan Conversion) Scan-Konvertierung ist die Rasterung von einfachen Objekten (Geraden, Kreisen, Kurven). Als Ausgabemedium dient meist der Bildschirm, der aus einem Pixelraster
MehrOptimale Steuerung. Sequentielle Quadratische Programmierung. Kevin Sieg. 14. Juli 2010. Fachbereich für Mathematik und Statistik Universität Konstanz
Optimale Steuerung Kevin Sieg Fachbereich für Mathematik und Statistik Universität Konstanz 14. Juli 2010 1 / 29 Aufgabenstellung 1 Aufgabenstellung Aufgabenstellung 2 Die zusammengesetzte Trapezregel
Mehr3.1. Die komplexen Zahlen
3.1. Die komplexen Zahlen Es gibt viele Wege, um komplexe Zahlen einzuführen. Wir gehen hier den wohl einfachsten, indem wir C R als komplexe Zahlenebene und die Punkte dieser Ebene als komplexe Zahlen
Mehr4 Vorlesung: 21.11. 2005 Matrix und Determinante
4 Vorlesung: 2111 2005 Matrix und Determinante 41 Matrix und Determinante Zur Lösung von m Gleichungen mit n Unbekannten kann man alle Parameter der Gleichungen in einem rechteckigen Zahlenschema, einer
MehrUnterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen: Analysis
Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form Auszug aus: Übungsbuch für den Grundkurs mit Tipps und Lösungen: Analysis Das komplette Material finden Sie hier: Download bei School-Scout.de
MehrGleichungen Lösen. Ein graphischer Blick auf Gleichungen
Gleichungen Lösen Was bedeutet es, eine Gleichung zu lösen? Was ist überhaupt eine Gleichung? Eine Gleichung ist, grundsätzlich eine Aussage über zwei mathematische Terme, dass sie gleich sind. Ein Term
MehrAustausch- bzw. Übergangsprozesse und Gleichgewichtsverteilungen
Austausch- bzw. Übergangsrozesse und Gleichgewichtsverteilungen Wir betrachten ein System mit verschiedenen Zuständen, zwischen denen ein Austausch stattfinden kann. Etwa soziale Schichten in einer Gesellschaft:
MehrBayern FOS BOS 12 Fachabiturprüfung 2015 Mathematik (Nichttechnische Ausbildungsrichtungen) Analysis A I
Bayern FOS BOS Fachabiturprüfung 05 Mathematik (Nichttechnische Ausbildungsrichtungen) Analysis A I.0 Nebenstehende Abbildung zeigt den Graphen G f ' der ersten Ableitungsfunktion einer in ganz 0 definierten
MehrH. Gruber, R. Neumann. Erfolg im Mathe-Abi. Übungsbuch für die optimale Vorbereitung in Analysis, Geometrie und Stochastik mit verständlichen Lösungen
H. Gruber, R. Neumann Erfolg im Mathe-Abi Übungsbuch für die optimale Vorbereitung in Analysis, Geometrie und Stochastik mit verständlichen Lösungen Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Analysis Von der
MehrKommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler
Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler Wintersemester 3/4 (.3.4). (a) Für z = + i und z = 3 4i berechne man z z und z z. Die Ergebnisse sind in kartesischer Form anzugeben.
MehrProfessionelle Seminare im Bereich MS-Office
Der Name BEREICH.VERSCHIEBEN() ist etwas unglücklich gewählt. Man kann mit der Funktion Bereiche zwar verschieben, man kann Bereiche aber auch verkleinern oder vergrößern. Besser wäre es, die Funktion
Mehr0, v 6 = 2 2. 1, v 4 = 1. 2. span(v 1, v 5, v 6 ) = span(v 1, v 2, v 3, v 4, v 5, v 6 ) 4. span(v 1, v 2, v 4 ) = span(v 2, v 3, v 5, v 6 )
Aufgabe 65. Ganz schön span(n)end. Gegeben sei folgende Menge M von 6 Vektoren v, v,..., v 6 R 4 aus Aufgabe P 6: M = v =, v =, v =, v 4 =, v 5 =, v 6 = Welche der folgenden Aussagen sind wahr? span(v,
MehrPrimzahlen und RSA-Verschlüsselung
Primzahlen und RSA-Verschlüsselung Michael Fütterer und Jonathan Zachhuber 1 Einiges zu Primzahlen Ein paar Definitionen: Wir bezeichnen mit Z die Menge der positiven und negativen ganzen Zahlen, also
MehrStellen Sie bitte den Cursor in die Spalte B2 und rufen die Funktion Sverweis auf. Es öffnet sich folgendes Dialogfenster
Es gibt in Excel unter anderem die so genannten Suchfunktionen / Matrixfunktionen Damit können Sie Werte innerhalb eines bestimmten Bereichs suchen. Als Beispiel möchte ich die Funktion Sverweis zeigen.
MehrHauptprüfung Abiturprüfung 2015 (ohne CAS) Baden-Württemberg
Hauptprüfung Abiturprüfung 205 (ohne CAS) Baden-Württemberg Wahlteil Analysis Hilfsmittel: GTR und Formelsammlung allgemeinbildende Gymnasien Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com März 205 Aufgabe A
MehrUnterlagen für die Lehrkraft
Ministerium für Bildung, Jugend und Sport Zentrale Prüfung zum Erwerb der Fachhochschulreife im Schuljahr 01/01 Mathematik. Juni 01 09:00 Uhr Unterlagen für die Lehrkraft 1. Aufgabe: Differentialrechnung
Mehr6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen
Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag. $Id: quadrat.tex,v.5 9//5 ::59 hk Exp $ $Id: orthogonal.tex,v.4 9// ::54 hk Exp $ $Id: fourier.tex,v. 9// :: hk Exp $ Symmetrische Matrizen und quadratische
MehrDie reellen Lösungen der kubischen Gleichung
Die reellen Lösungen der kubischen Gleichung Klaus-R. Löffler Inhaltsverzeichnis 1 Einfach zu behandelnde Sonderfälle 1 2 Die ganzrationale Funktion dritten Grades 2 2.1 Reduktion...........................................
MehrDefinition 3.1: Ein Differentialgleichungssystem 1. Ordnung
Kapitel 3 Dynamische Systeme Definition 31: Ein Differentialgleichungssystem 1 Ordnung = f(t, y) ; y R N ; f : R R N R N heißt namisches System auf dem Phasenraum R N Der Parameter t wird die Zeit genannt
Mehr