6 Symmetrische Matrizen und quadratische Formen

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1 Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag. $Id: quadrat.tex,v.5 9//5 ::59 hk Exp $ $Id: orthogonal.tex,v.4 9// ::54 hk Exp $ $Id: fourier.tex,v. 9// :: hk Exp $ Symmetrische Matrizen und quadratische Formen.4 Definite Matrizen Wir hatten positiv und negativ definite Matrizen definiert und auch das Determinantenkriterium für positiv definite Matrizen angegeben. Ein eigenes Determinantenkriterium für negativ definite Matrizen ist dabei nicht nötig, da eine symmetrische Matrix A genau dann negativ definit ist, wenn A positiv definit ist. Auf welchen der beiden Fälle man testen muss läßt sich dabei am Vorzeichen von a ablesen. 7 Orthogonale Matrizen Bereits in hatten wir den Begriff einer orthogonalen Matrix eingeführt. Wir hatten auch verschiedene Beschreibung für die Orthogonalität einer Matrix A gesehen A ist orthogonal A t A = AA t = Die Spalten von A sind eine Orthonormalbasis des R n Für alle x, y R n gilt (Ax) (Ay) = x y. In diesem Abschnitt interessiert uns vor allem der letztgenannte Aspekt. Mit x = y folgt für eine orthogonale n n Matrix A auch Ax = (Ax) (Ax) = x x = x für jedes x R n, d.h. die Matrix A erhält die Länge von Vektoren. Weiter folgt, dass eine orthogonale Matrix A auch den Winkel φ zwischen Vektoren x, y R n erhält, denn dieser bestimmt sich ja durch die Formel x y = x y cos φ, und da A Länge und Skalarprodukt nicht ändert, haben wir auch (Ax) (Ay) = Ax Ay cos φ. -

2 Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag. Orthogonale Matrizen sind also die linearen Abbildungen, die Längen und Winkel erhalten. Nehmen wir verschiebungen hinzu, so ergeben sich die sogenannten Bewegungen, dies sind die Abbildungen der Form f : R n R n ; x Ax + u mit einer orthogonalen n n Matrix A und einem Vektor u R n. Die Bewegungen sind gerade diejenigen Transformationen unter denen sich die Gesetze der klassischen Mechanik nicht ändern. Wir halten zwei Grundtatsachen über orthogonale Matrizen fest: Satz 7. (Eigenwerte und Determinante orthogonaler Matrizen) Sei A eine orthogonale n n Matrix. Dann gelten: (a) Ist λ C ein komplexer Eigenwert von A, so ist λ =. (b) Es gilt det A = oder det A =. Beweis: Die Aussage (a) wollen wir hier glauben. Aussage (b) folgt aus der Rechnung = det() = det(aa t ) = det(a) det(a t ) = det(a) = det A = ±. Die Bewegungen f(x) = Ax + u bei denen A eine orthogonale Matrix mit det A = ist nennt man auch eigentliche Bewegungen. Dies sind diejenigen Bewegungen, die sich tatsächlich physikalisch realisieren lassen. Die Bewegungen mit det A = haben immer einen Spiegelungsanteil. 7. Spiegelungen Wir werden jetzt einen speziellen Typ orthogonaler Abbildungen untersuchen, die Spiegelung an einer Hyperebene. Im zweidimensionalen Fall n = sind dies Geradenspiegelungen und im dreidimensionalen Fall n = handelt es sich um Ebenenspiegelungen. Da die Dimension für diese Überlegungen keine Rolle spielt, wollen wir hier gleich den n-dimensionalen Fall behandeln, und eine Hyperebene des R n war dann definitionesgemäß ein (n )-dimensionaler affiner Teilraum des R n. Im letzten Semester hatten wir im Abschnitt. über die Hessesche Normalform bereits die auch hier nützliche Beschreibung von Hyperebenen kennengelernt. Jede solche Hyperebene ließ sich in Hessescher Normalform als E = {x R n u x = c} schreiben, wobei c R ist und u ein senkrecht auf E stehender Vektor der Länge u = ist, ein sogenannter Normalenvektor auf E. Da wir hier an orthogonalen Matrizen, also an linearen Abbildungen, interessiert sind, brauchen wir Hyperebenen durch den Nullpunkt, also c =. -

3 Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag. Eine Hyperebene durch den Nullpunkt läßt sich somit in der Form x u E = {x R n u x = } λ u beschreiben, wobei u ein Normalenvektor auf E ist. Wir wollen die Spiegelung S an der Hyperebene E berechnen. Sei also x R n. Dann schreiben wir x x = x + λu E mit einem Vektor x E und einem λ R. Beim Spiegeln an E bleibt der Anteil x von Sx x in E erhalten während der zu E senkrechte Anteil λu zu λu wird, d.h. insgesamt wird der Punkt x auf Sx = x λu abgebildet. Den zu u parallelen Anteil λu hatten wir auch bereits im des letzten Semesters ausgerechnet, wegen u = ist λ = u x, also λu = (u x)u. Für das Bild von x unter der Spiegelung folgt die Spiegelungsformel Sx = x λu = x + λu λu = x λu = x (u x)u. Damit haben wir die Spiegelung an E berechnet. Auch als Matrix bezüglich der kanonischen Basis des R n läßt sich S leicht berechnen, es ist ja Sx = x (u x)u = x u(u x)u = x uu t x = ( uu t )x, als Matrix ist also S = uu t. Wir wollen zwei Beispiele rechnen. Sei g die Gerade ( ) {( ) t g := = t R} 4 4t im R. Senkrecht auf dem Richtungsvektor steht beispielsweise ( ) 4 v = Für die Spiegelungsmatrix ergibt sich S = uu t = 5 vvt = ( 4 5 Als ein zweites Beispiel betrachte die Ebene und normiert u = v v = 5 v = ( ) (4 ) = ( 5 9 ). ) ( 7 = ). E := {(x, y, z) R x + y z = } -

4 Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag. im R. Dann steht der Vektor v = (,, ) senkrecht auf E, und wegen v = ist u := v = ein Normalenvektor von E. Als die Spiegelungsmatrix an der Ebene E ergibt sich S = uu t = 4 4 = Die Formel für Spiegelungen an Ebenen die nicht durch den Nullpunkt gehen läßt sich auf unsere Spiegelungsformel zurückführen. Angenommen die Hyperebene E R n ist in Hessescher Normalform als E = {x R n u x = c} gegeben, wobei u ein Normalenvektor auf E ist und c R ist. Wähle dann irgendeinen Punkt x E, also u x = c. Die Spiegelung kann man dann realisieren, indem zuerst x nach verschoben wird, dann an der zu E parallelen Hyperebene durch gespiegelt wird, und anschließend wieder nach x zurückgeschoben wird. Die zu E parallele Hyperebene durch hat dabei auch den Normalenvektor u. Wie sieht das als Formel aus? Sei x R n. Beim Verschieben geht x auf x x, und beim Spiegeln an der parallelen Hyperebene geht dieser Punkt auf x x (u (x x ))u = x x (u x)u + (u x )u = x x (u x)u + cu. Dann wird zurückgeschoben und als Spiegelung ergibt sich wobei S = uu t ist. 7. Drehungen S c x = x (u x)u + cu = Sx + cu, Die wohl wichtigste Sorte othogonaler Matrizen sind die Drehungen. Wir werden diese im zwei und im dreidimensionalen Fall behandeln. In Dimension kennen wir uns dabei bereits bestens aus, die Drehung um einen Winkel φ wird durch die Matrix ( ) cos φ sin φ D(φ) = sin φ cos φ beschrieben, wie wir schon in Abschnitt 7. im letzten Semester eingesehen haben. Im zweidimensionalen Fall kennen wir damit bereits alle orthogonalen Matrizen, es gilt nämlich: Satz 7. (Orthogonale Matrizen) Ist A eine orthogonale Matrix, so ist A im Fall det A = eine Drehung und im Fall det A = eine Spiegelung. -4

5 Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag. Interessanter ist der dreidimensionale Fall. Hier reicht es zur Beschreibung einer Drehung nicht mehr aus, einen Winkel anzugeben. Neben dem Winkel benötigen wir auch noch die Drehachse, also die Ursprungsgerade um die herum die Drehung stattfindet. Die Achse sei dabei durch einen Vektor u der Länge gegeben. Als ein Beispiel wollen wir einmal die Drehung um die durch u := φ u gegebene Achse mit dem Drehwinkel φ = π/ berechnen. Eine einfache Strategie ist es eine positiv orientierte Orthogonalbasis zu suchen so, dass die Drehachse u zur x-achse wird. Wir suchen also eine Orthogonalbasis u, u, u des R mit u = u. Die Basis soll positiv sein, und nach. aus dem letzten Semester bedeutet dies einfach det(u, u, u ) =. Für den Vektor u nehmen wir einfach irgendeinen auf u senkrechten Vektor der Länge, beispielsweise u := Für den dritten Basisvektor können wir dann das Vektorprodukt u := u u = = verwenden. Die Transformationsmatrix von der Basis u, u, u zur kanonischen Basis des R ist dann S := mit S = S t = Bezüglich der Basis u, u, u können wir die Drehung um einen Winkel φ leicht hinschreiben, die x-komponente wird nicht verändert während in den (y, z)-komponenten die Drehung um den Winkel φ stattfindet, also D (φ) := cos φ sin φ sin φ cos φ -5

6 Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag. Bezüglich der kanonischen Basis wird unsere Drehmatrix damit zu SD (φ)s t = = cos φ+sin φ sin φ cos φ sin φ = cos φ sin φ sin φ cos φ cos φ sin φ cos φ+ sin φ cos φ + cos φ + sin φ cos φ sin φ cos φ sin φ cos φ + cos φ + sin φ cos φ + sin φ cos φ sin φ cos φ + cos φ Setzen wir hier φ = π/ ein, so wird wegen sin(π/) = / und cos(π/) = / unsere Drehmatrix zu D = So kann man im Prinzip jede Drehmatrix ausrechnen. Es gibt aber auch noch einen zweiten Weg zur Bestimmung von Drehungen, der sich als rechnerisch angenehmer herausstellt. Um diese Drehungsformel herzuleiten, führen wir die eben gerade gemachte Rechnung noch einmal mit einem unbestimmten Einheitsvektor u aus, und werden so eine allgemeine Formel für Drehungen D mit Achse in Richtung von u und Winkel φ erhalten. Seien also ein Vektor u mit u = und ein Winkel φ R gegeben. Sei x R mit x / u, d.h. u und x sind linear unabhängig. Wie oben starten wir mit der Berechnung einer Orthonormalbasis indem wir u := u setzen. Den zweiten Basisvektor Basisvektor u wählen wor jetzt aber nicht mehr völlig willkürlich sondern zum Argument x passend. Den Punkt x selbst können wir leider nicht verwenden, da dieser weder normiert noch senkrecht zu u ist. Dies ist aber kein großes Problem, wir wenden einfach die und schon bekannte Gram Schmidt Orthonormalisierung auf u, x an, d.h. wir setzen y := x (u x)u und u := y y. Die Orthonormalbasis wird dann vervollständigt durch u := u u = u x u (x (u x)u) = y y da u u = ist. Bezüglich der Basis u, u, u wird x zu x = (u x)u + y = (u x)u + y u = - u x y

7 Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag. In dieser Basis berechnet sich das Bild von x unter unserer Drehung als u x u x Dx = cos φ sin φ y = y cos φ sin φ cos φ y sin φ Bezüglich der Standardbasis haben wir damit das Ergebnis Dx = (u x)u + y cos(φ)u + y sin(φ)u = (u x)u + cos(φ)y + sin(φ)u x = (u x)u + cos(φ)x (u x) cos(φ)u + sin(φ)(u x) = cos(φ)x + ( cos φ)(u x)u + sin(φ)(u x). Dies ist bereits eine für praktische Zwecke nützliche Drehungsformel. Wir können die Formel auch noch in Matrixform umschreiben, hierzu müssen wir uns nur überlegen wie die Matrix der linearen Abbildung f(x) = u x aussieht. Dies ist schnell berechnet u e = u u u = u u, u e = u e = u u u u u u u =, u u = u, die Matrix von f ist also û := u u u u u u Die Drehmatrix wird damit insgesamt zu D u (φ) := D = cos φ + ( cos φ)uu t + sin(φ)û. Damit können wir nun Drehmatrizen berechnen. Wir können den Drehwinkel φ auch direkt aus der Matrix D u (φ) ablesen, es ist ja tr û =, tr uu t = u + u + u = und somit tr D u (φ) = cos φ + cos φ = + cos φ. Auch die von u aufgespannte Gerade können wir an der Matrix D u (φ) ablesen. Es ist ja (uu t ) t = uu t aber û t = û, also D u (φ) + D u (φ) t = cos φ + ( cos φ)uu t = tr D u (φ) + ( cos φ)uu t. Ist also φ kein Vielfaches von π, so ist cos φ und es folgt u = Bild(D u (φ) + D u (φ) t tr(d u (φ)) + ). -7

8 Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag. Ist φ dagegen ein Vielfaches von π, also cos φ =, so findet überhaupt keine Drehung statt, und daher ist es nicht überraschend das wir keine Drehachse bestimmen können. Beachte übrigens das die Formel für die Drehachse nur den Teilraum u liefert, aber nicht u selbst, d.h. wir können auf diese Weise nicht zwischen u und u unterscheiden. Wenn man aber φ und ±u kennt, so ist ein leichtes durch Einsetzen in die Matrixform der Drehformel abzulesen welchen der beiden wir nehmen müssen. Wir wollen die Matrixformel einmal auf unser oben per Hand gerechnetes Beispiel von Drehungen um u = (/ )(,, ) anwenden. Es gelten uu t = (,, ) = Die Drehung um u mit dem Winkel φ wird damit zu und û = D u (φ) = cos φ + ( cos φ)uu t + sin(φ)û = + cos φ cos φ sin φ cos φ + sin φ cos φ + sin φ + cos φ cos φ sin φ cos φ sin φ cos φ + sin φ + cos φ Dies ist wieder das schon früher berechnete Ergebnis nur das die Rechnung diesmal wesentlich einfacher war. In zwei Dimensionen sind Drehungen und Spiegelungen die einzigen orthogonalen Matrizen. In drei Dimensionen ist es auch noch möglich alle auftretenden Typen orthogonaler Matrizen aufzulisten, und wie im zweidimensionalen Fall sind die Drehungen genau die orthogonalen Matrizen mit Determinante. Satz 7. (Orthogonale Matrizen) Sei A eine orthogonale Matrix. (a) Ist det A =, so ist A eine Drehung um den Winkel ( ) tr(a) φ = arccos mit der Drehachse Bild(A + A t tr(a) + ). (b) Ist det A =, so ist A ein Spiegelung oder das Produkt einer Spiegelung und einer Drehung. Produkte von Spiegelungen und Drehungen nennt man gelegentlich auch Drehspiegelungen. Diese spielen für uns keine Rolle, und daher wollen wir sie auch nicht untersuchen. Ab Dimension 4 werden die Verhältnisse komplizierter, es gibt dann auch orthogonale Matrizen mit Determinante die keine Drehungen sind. Da auch dies für uns keine Rolle spielt, wollen wir dies hier nicht näher ausführen. -8

9 Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag. Zum Abschluß wollen wir noch eine eine weitere Beschreibung von Drehungen besprechen, die sogenannten Eulerwinkel. Wir hatten bereits mehrfach die Drehungen um die x-achse verwendet, und entsprechend haben auch die Drehungen um y- und z-achse eine sehr einfache Form, nämlich D (φ) := cos φ sin φ sin φ cos φ, D (φ) := cos φ sin φ sin φ cos φ D (φ) :=, cos φ sin φ sin φ cos φ Aus diesen drei speziellen Drehungen kann man alle anderen Drehungen zusammensetzen, d.h. zu einer beliebigen Drehmatrix A gibt es immer drei Winkel α, β, γ, die sogenannten Euler Winkel von A, so, dass A = D (α)d (β)d (γ) = cos β cos γ cos β sin γ sin β sin α sin β cos γ + cos α sin γ sin α sin β sin γ + cos α cos γ sin α cos β cos α sin β cos γ + sin α sin γ cos α sin β sin γ + sin α cos γ cos α cos β gilt. Aus dieser Formel lassen sich die Euler Winkel bei gegebener Matrix A berechnen. Wir wollen dies einmal am Beispiel der Drehmatrix D = vorführen. Es ist sin β = /, also insbesondere sin β <. Damit ist π/ < β <. Außerdem ist cos β = sin β = 5/9, also cos β = 5/. Explizit ist β = arcsin(/). Wegen / = cos β sin γ = ( 5/) sin γ ist sin γ = / 5 und weiter / = cos β cos γ = ( 5/) cos γ, d.h. cos γ = / 5. Also ist < γ < π/ und γ = arcsin(/ 5). Analog folgt α = γ = arcsin(/ 5). 8 Euklidische Vektorräume und Fourierreihen 8. Allgemeine Skalarprodukte Wir haben bisher das gewöhnliche Skalarprodukt x y = x y + + x n y n für Vektoren x, y R n verwendet. Diesen Begriff verallgemeinern wir nun zu Skalarprodukten auf allgemeineren Vektorräume, und werden dann am Beispiel der Fourierreihen sehen wozu derartige Dinge gut sind. Um Verwechslungen in der Notation zu vermeiden, wird -9

10 Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Freitag. für allgemeine Skalarprodukte nicht mehr x y geschrieben, sondern die Schreibweise x y verwendet. Definition 8.: Sei V ein reeller Vektorraum. Ein Skalarprodukt auf V ist eine Abbildung : V V R; (v, w) v w die die folgenden drei Bedingungen erfüllt: (a) Für alle u, v, w V, c R ist (b) Für alle u, v V ist u v = v u. (c) Für alle u V gilt u u >. u + v w = u w + v w und cu v = c u v. Das Grundbeispiel eines Skalarprodukts ist natürlich das gewöhnliche Skalarprodukt v w := v w auf dem R n und seinen Teilräumen. Bei der Behandlung von Fourierreihen wird ein anderes Skalarprodukt eine wichtige Rolle spielen. Um dieses einzuführen betrachten wir den Vektorraum V aller stetigen Funktionen f : [, π] R. Auf diesem Vektorraum V können wir dann durch ein Skalarprodukt definieren. f g := π f(x)g(x) dx -