11.3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen

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1 .3 Komplexe Potenzreihen und weitere komplexe Funktionen Definition.) komplexe Folgen: z n = x n + j. y n mit zwei reellen Folgen x n und y n.) Konvergenz: Eine komplexe Folge z n = x n + j. y n heißt konvergent in C, wenn die reellen Folgen x n und y n beide konvergent in R sind. ( keine Konvergenz gegen - und gegen + ) 3.) komplexe Reihen: z n mit einer komplexen Folge z n n = 0 n 4.) komplexe Potenzreihen: f ( z ) = a. n ( z - z 0 ) n = 0 mit a n, z, z 0 ε C Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis.3 Folie

2 Bemerkung Wie die reellen Potenzreihen haben auch komplexe Potenzreihen einen Konvergenz- radius r ; dieser hat die gleiche Bedeutung und kann auch mit den gleichen Formeln berechnet werden wie bei reellen Potenzreihen. Es gilt also: n Eine komplexe Potenzreihe f ( z ) = a. n ( z - z 0 ) mit a n, z, z 0 ε C n = 0 konvergiert in C für alle komplexen Zahlen z mit z - z 0 < r, also für alle komplexen Zahlen, deren Abstand vom Entwicklungspunkt < r ist ( diese Zahlen bilden in C jedoch kein Intervall wie in R, sondern einen Kreis; daher der Name Konvergenzradius ). divergiert für alle komplexen Zahlen z mit z - z 0 > r, also für alle komplexen Zahlen außerhalb dieses Kreises. Die Konvergenz ist unklar für alle komplexen Zahlen z mit z - z 0 = r, also für alle komplexen Zahlen auf dem Rand dieses Kreises. Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis.3 Folie

3 n Eine komplexe Potenzreihe f ( z ) = a. n ( z - z 0 ) mit a n, z, z 0 ε C n = 0 konvergiert in C für alle komplexen Zahlen z mit z - z 0 < r, also für alle komplexen Zahlen, deren Abstand vom Entwicklungspunkt < r ist ( diese Zahlen bilden in C jedoch kein Intervall wie in R, sondern einen Kreis; daher der Name Konvergenzradius ). divergiert für alle komplexen Zahlen z mit z - z 0 > r, also für alle komplexen Zahlen außerhalb dieses Kreises. Die Konvergenz ist unklar für alle komplexen Zahlen z mit z - z 0 = r, also für alle komplexen Zahlen auf dem Rand dieses Kreises. Der Konvergenzradius r kann berechnet werden mit den Formeln r = l i m n a n a n + bzw. r = l i m n n a n ( mit = 0, = ). 0 Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis.3 Folie 3

4 Skizze des Konvergenzbereichs Für reelle Potenzreihen f ( x ) = a n. ( x - x 0 ) n : n = 0 Reihe divergiert? Reihe konvergiert? Reihe divergiert x 0 - r r x 0 r x 0 + r x Für komplexe Potenzreihen Im ( z ) Reihe divergiert f ( z ) = a n. ( z - z 0 ) n : n = 0 Bei komplexen Potenzreihen gibt es viele Randpunkte, in denen die Konvergenz unklar ist. D f z 0 Reihe konvergiert r Re ( z ) Diese werden i.a. nicht auf Kon- vergenz untersucht. Konvergenz fraglich Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis.3 Folie 4

5 Beispiel f ( z ) =. ( z - ( - j )) n = 0 r = l i m n n ( + j ) n + j a n a n + = l i m n n n ( + j ) n + j. n + + j n ( + j ) + = l i m n n + + j. + j n + j = l i m n + n + +. n + = l i m n 5. n + n + = 5 Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis.3 Folie 5

6 Beispiel n = 0 n ( + j ) f ( z ) =. ( z - ( - j )) n + j n Im ( z ) z 0 = - j, r = 5 Re ( z ) D f z 0 = - j r = 5 Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis.3 Folie 6

7 Weitere komplexe Funktionen Wie kann man z.b. den Funktionswert sin ( 3 + j ) sinnvoll definieren? ( dabei bedeutet sinnvoll, dass die üblichen Rechenregeln wie z.b. die Additions- theoreme gültig bleiben ). Bekanntlich gilt für alle x ε R sin ( x ) = k ( - ) k. x +. ( k + )! Diese Reihe (MacLaurin - Reihe zu sin ( x ) ) hat also den Konvergenzradius r =. Da die Formeln zur Berechnung des Konvergenzradius bei komplexen Potenzreihen die gleichen sind wie bei reellen Potenzreihen, hat daher auch die komplexe Potenz- reihe f ( z ) = ( - ) k k. z + den Konvergenzradius r =. ( k + )! Diese Potenzreihe konvergiert also für alle z ε C und stimmt für z ε R mit sin ( z ) überein. Daher definiert man für alle z ε C sin ( z ) durch diese Reihe. Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis.3 Folie 7

8 Weitere komplexe Funktionen Ebenso verfährt man mit allen reellen Funktionen, deren MacLaurin - Reihen den den Konvergenzradius r = haben. z Für alle z ε C gilt also z.b. e =. z n n! n = 0 sin ( z ) = ( - ) k ( k + )! k. z + cos ( z ) = ( - ) k ( k )! k. z sinh ( z ) = ( k + )! k. z + cosh ( z ) = ( k )! k. z Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis.3 Folie

9 Die komplexe e - Funktion jz e =. ( jz ) n n! n = 0 =. z n n! n = 0 j n z e =. z n n! n = 0 j k =. z k +. z k + ( k )! ( k + )! j k + ( - ) k =. z k ( - ) k + j.. z k + ( k )! ( k + )! Diese Formel wurde schon beim Übergang von der Polarform zur Euler schen Form einer komplexen Zahl benutzt. = cos ( z ) + j. sin ( z ) Allgemein gilt: z x x e = e + jy = e x x = e. (cos ( y ) + j. sin ( y )) = e. cos ( y ) + j x. e jy. e. sin ( y ) Darstellung der komplexen e - Funktion durch reelle Funktionen Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis.3 Folie 9

10 e x + jy = e x. (cos ( y ) + j. sin ( y )) = e x. cos ( y ) + j. e x. sin ( y ) Mit dieser Formel kann man den Wertebereich der komplexen e - Funktion bestimmen: Im ( z ) Im ( z ) y Re ( z ) z e sin ( y ) y Re ( z ) cos ( y ) Definitionsbereich Wertebereich Zum Wertebereich der komplexen e - Funktion gehören also alle komplexen Zahlen außer 0 : W e z = C* Es gelten folgende Rechenformeln: z e = e Re ( z ) arg (e z ) = Im ( z ) Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis.3 Folie 0

11 Ferner gilt: z e + j x = e + jy + j x + j. ( = e y + ) e x + jy = e x. (cos ( y ) + j. sin ( y )) = e x. (cos ( y + ) + j. sin ( y + )) x x = e. (cos ( y ) + j. sin ( y )) = e + jy z = e Die komplexe e - Funktion ist also periodisch mit der Periode j injektiv. und daher nicht Zusammenfassung der Eigenschaften der komplexen e - Funktion z e = e x + jy = e x. cos ( y ) + j. e x. sin ( y ) D e z = C, W e z = C* Die komplexe e - Funktion ist j - periodisch und daher nicht injektiv Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis.3 Folie

12 Die komplexen Funktionen sin ( z ), cos ( z ), sinh ( z ), cosh ( z ) sin ( z ) = k ( - ) ( k + )! k. z + cos ( z ) = k ( - ) ( k )! k. z ( - ) k sin ( jz ) =. ( jz ) k + ( k + )! ( - ) k. j k = j.. z k + ( k + )! ( - ) k. ( - ) k = j.. z k + ( k + )! = j.. z k + ( k + )! = j. sinh ( z ) cos ( jz ) = ( - ) k ( k )!. ( jz ) k =. z k ( k )! = cosh ( z ) Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis.3 Folie

13 sin ( jz ) = j. sinh ( z ), cos ( jz ) = cosh ( z ) Mit Hilfe dieser Formeln und der Additionstheoreme erhält man die folgenden Darstellungen der komplexen Funktionen durch reelle Funktionen: ( Bemerkung: Alle Formeln aus.5 und.6 mit den hyperbolischen und den trigonometrischen Funktionen außer den Aussagen zu den jewei- ligen Definititions- und Wertebereichen gelten auch über C ) sin ( z ) = sin ( x + jy ) = sin ( x ). cos ( jy ) + cos ( x ). sin ( jy ) = sin ( x ). cosh ( y ) + j. cos ( x ). sinh ( y ) cos ( z ) = cos ( x + jy ) = cos ( x ). cos ( jy ) - sin ( x ). sin ( jy ) sinh ( z ) =. sin ( jz ) = - j. sin ( - y + jx ) j = cos ( x ). cosh ( y ) - j. sin ( x ). sinh ( y ) = - j. (sin (- y ). cosh ( x ) + j. cos (- y ). sinh ( x )) = cos ( y ). sinh ( x ) + j. sin ( y ). cosh ( x ) cosh ( z ) = cos ( jz ) = cos ( - y + jx ) = cos ( - y ). cosh ( x ) - j. sin ( - y ). sinh ( x ) = cos ( y ). cosh ( x ) + j. sin ( y ). sinh ( x ) Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis.3 Folie 3

14 Eigenschaften der komplexen Funktionen sin ( z ), cos ( z ), sinh ( z ), cosh ( z ) D f = C, W f = C sin ( z ) und cos ( z ) sind auch als komplexe Funktionen ist - periodisch, sinh ( z ) und cosh ( z ) sind als komplexe Funktionen ebenso wie die kom- plexe e - Funktion j - periodisch. Alle vier Funktionen können durch die komplexe e - Funktion ausgedrückt werden:. ( e z - e - z sinh ( z ) = ) cosh ( z ). ( e z + e - z = ). ( e jz - e - jz sin ( z ) = ) cos ( z ). ( e jz + e - jz = ) j Alle vier Funktionen können durch reelle Funktionen ausgedrückt werden: sin ( z ) = sin ( x + jy ) = sin ( x ). cosh ( y ) + j. cos ( x ). sinh ( y ) cos ( z ) = cos ( x + jy ) = cos ( x ). cosh ( y ) - j. sin ( x ). sinh ( y ) sinh ( z ) = sinh ( x + jy ) = cos ( y ). sinh ( x ) + j. sin ( y ). cosh ( x ) cosh ( z ) = cosh ( x + jy ) = cos ( y ). cosh ( x ) + j. sin ( y ). sinh ( x ) Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis.3 Folie 4

15 Der komplexe Logarithmus Log ( z ) Der reelle Logarithmus f ( x ) = ln ( x ) hat bei x = 0 eine Polstelle und besitzt somit keine Taylor - Reihe mit Konvergenzradius r =. Daher kann der reelle Logarithmus nicht so wie die bisherigen 5 Funktionen zu einer komplexen Funktion mit Definitionsbereich C erweitert werden. Stattdessen führt man den komplexen Logarithmus als Umkehrfunktion zur komplexen e - Funktion ein. Dabei ist allerdings zu beachten, dass die komplexe e - Funktion nicht injektiv ist und daher der komplexe Logarithmus nur eine Not - Umkehrfunktion ist. Um ihn zu definieren, muss man also wie bei den reellen Not - Umkehrfunktionen den Definitionsbereich der komplexen e - Funktion auf einen Teilbereich D einschränken, auf dem sie injektiv ist, ohne dabei ihren Wertebereich einzuschränken. Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis.3 Folie 5

16 Der komplexe Logarithmus Log ( z ) Nach den Überlegungen zum Wertebereich der komplexen e - Funktion haben alle waagerechten Streifen der Breite, die den oberen Rand enthalten und den unteren nicht ( oder umgekehrt ), die für den Teilbereich D erforderlichen Eigenschaften. Im ( z ) Im ( z ) y + y + Re ( z ) y Re ( z ) y für D geeignete Teilbereiche von C = D e z Zur Definition des komplexen Logarithmus wählt man den Streifen, der symmetrisch zur reellen Achse liegt und den oberen Rand enthält, den unteren aber nicht: Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis.3 Folie 6

17 Zur Definition des komplexen Logarithmus wählt man den Streifen, der symmetrisch zur reellen Achse liegt und den oberen Rand enthält, den unteren aber nicht: Man setzt also Im ( z ) D = z ε C Im ( z ) ε - ; D Re ( z ) und definiert damit den komplexen Logarithmus durch - Log ( z ) = e z D = z ε C Im ( z ) ε - ; - Damit gilt: D Log = C* W Log = D Da der komplexe Logarithmus im Gegensatz zum reellen Logarithmus also nur eine Not - Umkehrfunktion ist, gibt es wieder die üblichen Fettnäpfchen: Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis.3 Folie 7

18 W arcosh D cosh > cosh (arcosh ( x )) = x gilt zwar für alle x ε D arcosh = R. arcosh (cosh ( x )) = x gilt aber nicht für alle x ε D cosh = R, > sondern nur für x ε D = R 0. arcosh (cosh ( x )) = x ist eine für alle x ε R gültige Ersatzformel. Umformen von Gleichungen: cosh ( x ) = a x = + arcosh ( a ) für a >. W Log D e z e Log ( z ) = z gilt zwar für alle z ε D Log = C*. Log ( e z ) = z gilt aber nicht für alle z ε D e z = C, Es gibt keine für alle z ε C anwendbare Ersatzformel. sondern nur für z ε D = z ε C Im ( z ) ε - ;. Umformen von Gleichungen: e z = w z = Log ( w ) + k. j für alle w ε C. Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis.3 Folie

19 Rechenregeln zum komplexen Logarithmus Log ( z ) = Log ( z. e j. arg ( z ) ) = Log ( z ) + j. arg ( z ) = ln ( z ) + j. arg ( z ) Bemerkung ε - ; Die üblichen Rechenregeln für Logarithmen gelten nur mit der Einschränkung, dass der Imaginärteil des Funktionswertes stets im Intervall - ; sein muss. Beispiel Log ( j ) = ln ( j ) + j. arg ( j ) = 0 + j. = j. ε - ; Log ( j 3 ) = 3. Log ( j ) = j. 3 Log ( j 3 ) = 3. j. f = Log ( - j ) = 0 + j. - = ln ( - j ) + j. arg ( - j ) = - j. ε - ; Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis.3 Folie 9

20 Beispiel z n = e j. ( + ) n Im ( z ) z 6 z z 4 5 z 3 l i m ( z n ) n = - Re ( z ) z z Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis.3 Folie 0

21 z n = e j. ( + ) n j. ( l i m Log ( z n ) e + ) n = l i m Log n n j. ( = l i m Log e n + - ) n = l i m j. - n n = - j. bzw. l i m Log ( z n ) n = l i m ln ( z n ) + j. arg ( z n ) n = 0 ε - ; = - j., also = - n Log l i m ( z n ) = Log ( - ) n = ln ( - ) + j. arg ( - ) ε - ; = j., also = Der komplexe Logarithmus ist also nicht stetig an der Stelle z = -! Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis.3 Folie

22 z n = e j. ( + ) n Im ( z ) z 6 z z 4 5 z 3 l i m ( z n ) n = - Re ( z ) z z < 0 Es gilt allgemein: Der komplexe Logarithmus ist unstetig auf R. Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis.3 Folie

23 Bemerkung Auch alle weiteren reellen Funktionen aus, z.b. tan ( z ), coth ( z ), arsinh ( z ) etc. können als komplexe Funktionen definiert werden (vgl. Übung 0). Komplexe Gleichungen Zum Lösen komplexer Gleichungen gibt es zwei verschiedene Methoden:.) Auflösen der Gleichung nach der komplexen Variablen ( wie bei reellen Gleichungen ).) Ersetzen der komplexen Variablen durch ihre kartesische bzw. Euler sche Form und Aufstellen eines reellen Gleichungssystems mit zwei Gleichungen und zwei reellen Unbekannten durch Koeffizientenvergleich ( die eine komplexe Variablen wird also ersetzt durch zwei reelle, nämlich x und y bzw. r und φ, und diese sind dann auch die beiden reellen Variablen im Gleichungssystem ). Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis.3 Folie 3

24 Beispiele.) e z = + j. Methode: e z = + j z = Log ( + j ) + k. j z = ln ( + j ) + j. arg ( + j ) + k. j z = ln ( ) + j. 4 + k. j z =. ln ( ) + j. + k. j z = 4. ln ( ) + j. ( + k). Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis.3 Folie 4

25 Beispiele.) e z = + j. Methode: e x + jy = e x. cos ( y ) + j. e x. sin ( y ) e z = + j z = x + jy e x + j. y = + j e x. cos ( y ) + j. e x. sin ( y ) = + j Koeffizientenvergleich: Realteil: e x. cos ( y ) = Imaginärteil: e x. sin ( y ) = e x = cos ( y ) Setzt man die Realteilgleichung in die Imaginärteilgleichung ein, so erhält man tan ( y ) = y = arctan ( ) + k. y = + k. Setzt man dies in die Realteilgleichung ein, so erhält man e x = cos ( + k. ) 4 Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis.3 Folie 5

26 tan ( y ) = y = arctan ( ) + k. y = + k. Setzt man dies in die Realteilgleichung ein, so erhält man x e = > 0 cos ( + k. ) 4 * Da die linke Seite der Gleichung positiv ist, muss auch die rechte Seite positiv sein. Dies trifft genau dann zu, wenn k gerade ist ( also k = n mit n ε Z ). In diesem Fall gilt y = + n. und cos ( + k. ) =.. 4 Daraus ergibt sich: * e x = x = ln ( ) x =. ln ( ) Ergebnis: z = x + jy 4 =. ln ( ) + j. ( + n). Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis.3 Folie 6

27 Beispiele.) z +. z* = - + j. Methode: Die. Methode ist hier nicht anwendbar, da z und z* nicht zusammengefasst werden können.. Methode: z +. z* = - + j z = x + jy x + xy. j - y + x - y. j x - y + x + j. ( xy - y ) = - + j = - + j Koeffizientenvergleich: Realteil: x - y + x = - Imaginärteil: xy - y = y. ( x - ) = y = 4 x - Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis.3 Folie 7

28 Koeffizientenvergleich: Realteil: x - y + x = - Imaginärteil: xy - y = y. ( x - ) = y = 4 x - Setzt man dies in die Realteilgleichung ein, so erhält man x x = - x - ( x + x ). ( x - ) - 6 = -. ( x - ) x 4 - x - 5 = 0 x = + 5 y = 4 x - = = = + 5 Ergebnis: z = 5 + j. + 5 z = j. - 5 Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis.3 Folie

29 Beispiele 3.) z 4. z* = 4 + 4j. Methode: z 4. z* = 4 + 4j z = r. e jφ (r. e jφ ) 4. (r. e j. ( - φ ) ) (r 4. e j.4φ ). (r. e j. ( - φ ) ) j. = e = 3. e j. 4 4 r 5. e j.3φ = 3. e j. 4 Koeffizientenvergleich: Betrag: r 5 = 3 r = Argument: 3φ = 4 + k.! φ = + k. 3 Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis.3 Folie 9

30 Koeffizientenvergleich: Betrag: r 5 = 3 r = Argument: 3φ = 4 + k.! φ = + k. 3 Ergebnis: Die Lösungen der gegebenen Gleichung sind also die drei komplexen Zahlen z 0 =. e j. =. cos + j. sin =,366 + j. 0,366 z =. e j. 9 = - + j z =. e j. 7 = - 0,366 - j.,366 Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis.3 Folie 30

31 Beispiele 4.) sin ( z ) =. Methode: Diese Gleichung könnte man durch Unformung mit dem arcsin direkt lösen. Da wir die komplexe Funktion arcsin ( z ) aber nicht kennen, können wir diese Umformung nicht durchführen. Dennoch können wir diese Gleichung auf die. Methode lösen, da wir die kom- plexe Funktion sin ( z ) durch die komplexe e - Funktion ersetzen können und zu letzterer auch die ( Not- ) Umkehrfunktion Log ( z ) kennen. sin ( z ) = j. ( e jz - e - jz ) = e jz - e - jz = 4j (e jz ) - 4j. e jz - = 0 w - 4j. w - = 0 w = e jz Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis.3 Folie 3

32 sin ( z ) = j. ( e jz - e - jz ) = e jz - e - jz = 4j (e jz ) - 4j. e jz - = 0 w = e jz w - 4j. w - = 0 w = j w = e jz jz = Log (j + 3. j) + k. j jz = ln ( j + 3. j ) + j. arg (j + 3. j) + k. j z = - j. ln ( j + 3. j ) + arg (j + 3. j) + k. z = - j. ln ( + 3 ) + + k. z = + k. - j. ln ( + 3 ) Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis.3 Folie 3

33 Beispiele 4.) sin ( z ) =. Methode: sin ( z ) = sin ( x ). cosh ( y ) + j. cos ( x ). sinh ( y ) = z = x + jy Koeffizientenvergleich: Realteil: sin ( x ). cosh ( y ) = Imaginärteil: cos ( x ). sinh ( y ) = 0 cos ( x ) = 0 sinh ( y ) = 0 x = + k. y = 0 Einsetzen von x = + k. bzw. y = 0 in die Realteilgleichung ergibt für y = 0 : sin ( x ). cosh ( 0 ) = für x = + k. : sin ( + k. ). cosh ( y ) = sin ( x ) = keine Lösung wegen x ε R Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis.3 Folie 33

34 für y = 0 : sin ( x ). cosh ( 0 ) = für x = + k. : sin ( + k. ). cosh ( y ) = sin ( x ) = keine Lösung wegen x ε R Dies trifft genau dann zu, wenn k gerade ist ( also k = n mit n ε Z ). In diesem Fall gilt x = + n. und sin ( + k. ) =. > 0 Da cosh ( y ) und die rechte Seite der Gleichung positiv ist, muss auch sin ( + k. ) positiv sein. cosh ( y ) = y = + arcosh ( ) = + ln * ( + - ) Ergebnis: z = x + jy = + n. + j. ln ( + 3 ) * Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Analysis.3 Folie 34