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Rosa Solberg
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1 Abiturprüfung Mathematik Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit sin() f() =. Aufgabe : ( VP) Berechnen Sie das Integral ( ) 4 d Aufgabe : ( VP) Lösen Sie die Gleichung 4e + 6e = 4. Aufgabe 4: (4 VP) Gegeben sind die Funktion f und g mit f() = e und g() = e +. a) Beschreiben Sie, wie das Schaubild von g aus dem Schaubild von f entsteht. b) Zeigen Sie, dass sich die Schaubilder von f und g im Punkt P(/) berühren. Aufgabe 5: (5 VP) Die Abbildung zeigt das Schaubild einer Funktion f. F ist eine Stammfunktion von f. Begründen Sie, dass folgende Aussagen wahr sind: () F ist im Bereich monoton wachsend () f hat im Bereich,5,5 drei Nullstellen. () f ()d = (4) O(/) ist Hochpunkt des Schaubilds von f Zuletzt aktualisiert:..

a) Beschreiben Sie, wie das Schaubild von g aus dem Schaubild von f entsteht. b) Zeigen Sie, dass sich die Schaubilder von f und g im Punkt P(/) berühren.

2 Aufgabe 6: (4 VP) Lösen Sie das lineare Gleichungssystem: 5 + = 7 5 = + = Interpretieren Sie das Gleichungssystem und seine Lösungsmenge geometrisch. Aufgabe 7: ( VP) 8 Gegeben sind die Ebenen E: 4 = 4 7 und die Gerade g: = 5 + t 4. 7 a) Zeigen Sie, dass E und g parallel zueinander sind. b) Bestimmen Sie den Abstand von E und g. Aufgabe 8: ( VP) Gegeben sind eine Gerade g und ein Punkt A, der nicht auf g liegt. Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem man denjenigen Punkt B auf g bestimmt, der den kleinsten Abstand von A hat. Zuletzt aktualisiert:..

7 a) Zeigen Sie, dass E und g parallel zueinander sind. b) Bestimmen Sie den Abstand von E und g.

3 Abiturprüfung Mathematik Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Lösungen Aufgabe : Umschreiben der Funktion: f() = sin() Ableitung mit Produktregel und Kettenregel: Produktregel: f() = u() v() f () = u () v() + u() v () Mit u() = sin() und v() = folgt u () = cos() und cos() sin() f () = cos() + sin() ( ) = = = v () Hinweis: Alternativ kann die Ableitung auch mit der Quotientenregel durchgeführt werden, die aber ab der Abiturprüfung nicht mehr prüfungsrelevant ist: Quotientenregel: u() u () v() f() f () u() v = = () v() v() Mit u() = sin() und v() = folgt u () = cos() (Kettenregel) und v () =. cos() sin() cos() sin() f () = = Aufgabe : = 5 = = + = 5 ( ) d ( ) ( ) ( ) Aufgabe : 4e + 6e = 4 4e + 6e 4 = e + e = Substitution: u = e Daraus folgt u + u = ± 9 4 ( ) ± 5 Lösung der quadratischen Gleichung: u, = = 4 4 u =,5 und u = Rücksubstitution:,5 = e = Lösungsmenge: L = { ln(,5) } ln(,5) = e daraus ergibt sich keine Lösung. Zuletzt aktualisiert:..

werden, die aber ab der Abiturprüfung nicht mehr prüfungsrelevant ist: Quotientenregel: u() u () v() f() f () u() v = = () v() v() Mit u() = sin() und v() = folgt u () = cos() (Kettenregel) und v ()

4 Aufgabe 4: a) e e e e + Zunächst erfolgt eine Spiegelung an der y-achse. Als nächstes erfolgt eine Spiegelung an der -Achse. Zum Schluss wird das Schaubild noch um Einheiten nach oben verschoben. Fazit: g entsteht aus f durch Spiegelung an beiden Koordinatenachsen und Verschiebung um Einheiten nach oben. b) Eine Berührung an der Stellle liegt vor, wenn f() = g() und f () = g () gilt. f () = e = und g() = e + =, also f() = g() =. f () = e f () = und g () = e g () = also f () = g () = Damit ist gezeigt, dass sich die Schaubilder von f und g im Punkt P(/) berühren. Aufgabe 5: () F ist im Bereich monoton wachsend, da das Schaubild von f in diesem Intervall oberhalb der -Achse verläuft. () f besitzt dort Nullstellen, an denen das Schaubild von f waagrechte Tangenten besitzt. Dies ist bei = -,5 und = und =,5 der Fall, also besitzt f drei Nullstellen. () [ ] f ()d = f() = f() f() = = (4) Das Schaubild von f besitzt bei = einen Sattelpunkt (also einen Wendepunkt). Somit besitzt f bei = einen Etrempunkt. Es gilt f () = und f () < links und rechts von =. Somit besitzt das Schaubild von f an der Stelle = ein Maimum. Aufgabe 6: Die letzten Zeile ist eine Nullzeile, das heißt, es verbleiben nur noch Gleichungen mit Variablen. 4 Zuletzt aktualisiert:..

f () = e = und g() = e + =, also f() = g() =. f () = e f () = und g () = e g () = also f () = g () = Damit ist gezeigt, dass sich die Schaubilder von f und g im Punkt P(/) berühren.

5 Das bedeutet, dass das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen besitzt. Setze = t mit t. Aus der.zeile folgt: 4t = 4 = t + Aus der.zeile folgt: 5 + ( t + ) t = 7 5 = 5t + 5 = t Die drei Gleichungen beschreiben drei Ebenen im dreidimensionalen Raum. Die unendlich vielen Lösungen beschreiben eine Schnittgerade, in der sich alle drei Ebenen schneiden. Aufgabe 7: a) E und g sind parallel, wenn der Normalenvektor von E und der Richtungsvektor von g orthogonal zueinander sind. Es gilt 8 4 = = 4 und damit sind die Vektoren orthogonal zueinander. b) Der Abstand von E und g wird dadurch bestimmt, dass der Abstand des Geradenpunktes P(7/5/-7) zur Ebene E ermittelt wird. Ebenengleichung als Koordinatengleichung: = d Punktprobe mit Ebenenpunkt B(-/4/-) ergibt 8 ( ) ( ) = 8 = d E: = HNF von E: = Einsetzen von P in die HNF von E: ( 7) 8 d = = 9 9 Die Gerade von der Ebene den Abstand 9. Aufgabe 8:.Schritt: Stelle eine Hilfsebene auf, die orthogonal zur Gerade verläuft und den Punkt A Enthält (Richtungsvektor von g ist Normalenvektor der Ebene). Schritt: Schneide die Hilfsebene mit der Gerade. Der Schnittpunkt ist der Punkt B. 5 Zuletzt aktualisiert:..

Die unendlich vielen Lösungen beschreiben eine Schnittgerade, in der sich alle drei Ebenen schneiden.

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