MATHEMATISCHER FITNESSTEST - LÖSUNGEN. (2) Welche Menge stellt die schraerte Fläche dar?

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1 MATHEMATISCHER FITNESSTEST - LÖSUNGEN DR. ROGER ROBYR Die Aufgaben sollten alle ohne Unterlagen und ohne programmierbare oder graphikfähige Rechner gelöst werden können. Lösung. ) Gegeben sind die Mengen A {, 4, 6} und a): Wir haben B {x x x + ) x 4) x ) 0} {, 0, 4, 6}. A B {, 0,, 4, 6} und A B {4, 6}. b): Die Teilmengen von A sind:, {}, {4}, {6}, {, 4}, {, 6}, {4, 6}, {, 4, 6}. ) Welche Menge stellt die schraerte Fläche dar? a): L M N) b): L N) M L N) M c): N L M) 3) Schraeren Sie die Menge in einem Mengendiagramm. M N L) roger.robyr@bfh.ch.

2 DR. ROGER ROBYR 4) Gegeben sind die Mengen I [, 3.5[, J { ;.5;.3} und K 0, 3. a): Wir haben b): Wir haben I J I I K [, 3 J K { } 0, 3 I J J I K 0, 3.5[ J K {.5,.3} c): Wir haben I K, ) [ [3.5, [ K [3.5, 3 J K ) ), [,.5[.5,.3[.3, [, 0 3, [, [, 0 3, [ Lösung. Wir haben: a) + 5) 3 5) 3 [ + 5) 5) 3 [ 5 3 4) b).5 5 ) ) 5 3 ) c) ln e 4 + eln ln e 4 + e 0 4 ln e d) sin 30 ) + cos 50 ) + tan5 ) sin30 ) + [ cos30 ) + tan45 ) + [ e) ) f) log ) 4 È5 ) 5 + ) + log ! 3 3 g) 0! !!! h) 35! 34! 34! 33! + 33! ! i) 3! )!! + )! 6 )! + )! 4! 3! Lösung 3. Vereinfachen Sie so weit wie möglich: a) y 3) y ) 6 4y y + y 6 y 3) y ) 6 y 3) y + 3) + 5 y + 3) y ) y + 3) 6 y ) + 5 y 3) y 3) y + 3) y ) y 3 y 3) y + 3) y ) y + 3) y ) b) [a + b) a b) a + b) [a b a + b) a4 a b + b a4 + a b + b ) 3ab) b + 5a 9a b b + 5a 9a b + 5a c) 4a b 9a b + 5a 4b 9b + 5 a + +a + a 4 a +a + +a a 4 + a 4 a 4 + +a a 4 + a 4 a 4 + a a a + a + a Ê ab d) 4 5 a b 4 a b 5 a b [a + b [a b 4 a 3 4 b a 8 b 8 e) ln aln a ln a+ln a ln a e ln a ln a e a + ln a a + ln a ln a) ln a e a + ln a ln a) a a + ln a [ln a) a [ln a) + a a + ln a a + ln a

3 [ f) logab) log b a MATHEMATISCHER FITNESSTEST - LÖSUNGEN 3 log b [ logab) logab) log b log ab) ) ) π sin x) + cos x) + sin x π + cos x g) cosx + π) + cosx + π) + cosx + 3π) sin α + sin α sin α cos α i) +tan α + sin α cos α cos α+sin α cos α ab) log b log ab) ab) b log a4 b 3 sinx) + cosx) + cosx) + sinx) cosx) + cosx) cosx) cos α cos α cos α cos α cos α cosx) cosx),für π < α < π Lösung 4. Wir betrachten die Funktionen: f :R R, x fx) ax + 3, a R; g :R R, x gx) px + qx, p, q R. ) Wir betrachten das Gleichungssystem: g) p + q p + q 3 g ) p ) + q ) 4p q 3 p + q 3 4p q 3 p + q 6 4p q 3 Wir addieren die zwei Gleichungen und wir erhalten: p + q + 4p q 6 + 3) 6p 3 3 6p 6 p Da p + q 3 gilt, für q haben wir: Somit ist Kontrolle: Wir berechnen: q 3 + p 4 3. g : R R, x gx) x + 3x. g) und g ) ) + 3 ) ) Wir schreiben: fx) gx) ax + 3 x + 4x x + a 4) x Die Bedingung um genau eine Lösung zu erhalten lautet: a 4) a a 8) 0 Somit haben wir die zwei Möglichkeiten: a 0 und f x) 3 und die Lösung der Gleichung ist x a 4). a 8 und f x) 8x + 3 und die Lösung der Gleichung ist x a 4). 3) Wir betrachten die Funktionen: Skizze: f :R R, x fx) x + 3; g :R R, x gx) x.

4 4 DR. ROGER ROBYR Für die Schnittpunkte lösen wir die Gleichung: Die zwei Lösungen sind: fx) gx) x + 3 x x + x 4 0 x, ± 4 4) und somit die zwei Schnittpunkte sind: + P ) 7, P P ) 7, P , 7 7 7, 7+ 7 Lösung 5. Lösungsmengen: a): Da man nicht durch Null teilen kann, dürfen die folgende Werte nicht Lösungen der Gleichung sein 3x + 0 x 3 7 3x x x x Die Gleichung x x x + 0 und dann x 70 ) { } 356 Die Lösungsmenge ist L 639. b): Wir betrachten jetzt die biquadratische Gleichung ) ) 3x x 4 8 x x 4 x x

5 MATHEMATISCHER FITNESSTEST - LÖSUNGEN 5 Wir setzen z x und somit erhalten wir die "neue" Gleichung: Die Lösungen lauten: x 4 x 8 0 z z 8 0. z, ) ± ) 4 8) 4 ± 5 4 ± Die Rücktransformation ergibt: Zu z 4 assoziieren wir die Lösungen x und x d.h. die Lösungen der Gleichung z x ) Aus z 7 < 0 erhalten wir keine zusätzliche Lösungen x, da die Gleichung z x keine reelle Lösung besitzt. Die Lösungesmenge der Gleichung x 4 8 x ist L {, }. c): Da man nicht durch Null teilen kann, dürfen die folgende Werte nicht Lösungen der Gleichung sein 4 x 0 x 4 + x 0 x Die Gleichung 4 x + x 4 und somit + x 4 x) 4 x) + x) 4 Die Lösungen sind + x 8 + x x 4 x + 6x 6 0 x + 8) x ) 0 x 8 und x x 8 + x x und die Lösungsmenge lautet L { 8, }. d): Da unter dem Wurzelzeichen nur positive Werte erlaubt sind, haben wir: x 0 x 3x 0 x 0 Insbesondere kann man nur die Lösungen x akzeptieren, so dass x ist. Für die Gleichung x 3x rechnen wir x + 3x x + 3x) x + 3x + 3x x 3 3x x 3) 4 3x 4x und somit muss gelten x 9 4 Es existiert keine Lösung und die Lösungsmenge ist L. e): Die Gleichung und somit 9 x 3 x 7 [3 x 3 x x 3 x x 3 7 { Die Lösungsmenge ist L 7 3 }. 3x 7 x 7 3

6 6 DR. ROGER ROBYR f): Die Gleichung und somit Die Lösungsmenge ist L g): Die Ungleichung 3 5 x+ 7 x x 7 x 60 5x 5 ) x 7 x ) x 5 ln ln 4 x ln 7 { ln 4 ln 5 ln 7 }. 7 ln 4 x ln 4 ln 5 ln 7 3 5x π 5x 3 + 3π 3 5x π π 5x und somit + 3π x 5 π) + 3π x 5 + 5π Die Lösungsmenge ist L, +3π 5+5π. h): Die Ungleichung x + x < + 3π π x + x + x ) < 0 < 0 x + 3 x x x < 0. Wir stellen eine Vorzeichentabelle auf: x < 3 x 3 3 < x < x < x x x x+3 x + [ Die Lösungsmenge ist L 3,. i): Die Gleichung und somit haben wir die zwei Möglichkeiten n 0 n. n n. Die Lösungsmenge ist L {, }. l): Die Gleichung n! n n )! n n n )! n )! n + )! n! n n n )! n n! n + ) n! n n n! n! n + ) n! n n n + n und somit haben wir n n

7 MATHEMATISCHER FITNESSTEST - LÖSUNGEN 7 Die Lösungsmenge ist L {}. Lösung 6. Gegeben sind die zwei Funktionen: Bestimmen Sie: a): Die Bedingung lautet f : D f W f, x fx) x + x Somit ist D f R\{}. b): Wir lösen die Gleichung: nach x. Es gilt: x + x Daher erhalten wir Die inverse Funktion ist x 0 x. x + x y, g : R R, x gx) e x. y x + y y x x + y) y x y + y. f : W f D f, x f x) x + x. c): Da D f W f ist d.h. die Denitionsmenge von f entspricht die Wertmenge von f), schreiben wir die Bedingung: d): Es gilt: e): Es gilt: f): Wir berechnen: g): Wir berechnen: + x 0 x D f W f R\{ }. fx + ) + f x) f 3) 3) + 3) f 3 ) 3 ) + 3 ) f x) x + x x + ) + x + ) x x x x + x) + x) x x x + 3) + x) + x) x + ) x + x) h): Wir haben: g g) ) gg )) g e ) i): Wir haben: g f)0) f g)0) gf0)) fg0)) g) f x + 3 x + x + + x 4x + x + 6 x x e e e e e e + e 4 e 9 e 0 ) g) f )

8 8 DR. ROGER ROBYR l): Es gilt: m): Wir erhalten f g)x) fgx)) f e x ) f f )x) ff x)) f n): Wir lösen die Gleichung: somit ist fx) x + x ) e x + e x x ) x +x + + x x +x ) ex e x + 3 x ++x +x +x x+ +x x + x 4x x 4 Lösung 7. Wir betrachten den Graphen G, G und G3 4ex e x + 3 3x + x + x x 3 Algebraische Transformationen: ) Algebraische Transformationen der Form fδ x): Eine algebraische Transformationen der Form fδ x) für δ R bewirkt als geometrische Transformation auf den Graphen von f für δ > 0 eine Streckung um δ parallel zur x -Achse und für δ eine Spiegelung an der y -Achse. Der Denitionsbereich verschiebt sich also gegenüber dem Denitionsbereich von f. ) Algebraische Transformationen der Form fx + β): Eine algebraische Transformationen der Form fx+β) für β R bewirkt als geometrische Transformation auf den Graphen von f eine Verschiebung um β parallel zur x -Achse. Ist β grösser als 0, verschiebt sich der Graph nach links, und ist β kleiner als 0, so verschiebt er sich nach rechts. Die Form des Graphen bleibt hingegen gleich. 3) Algebraische Transformationen der Form γ fx): Eine algebraische Transformationen der Form γ fx) für γ R bewirkt als geometrische Transformation auf den Graphen von f für γ > 0 eine Streckung um γ parallel zur y -Achse und für γ eine Spiegelung an der x-achse. Der Denitionsbereich ist gleich wie von f. Die Form des Graphen ändert sich, falls γ ± ist.

9 MATHEMATISCHER FITNESSTEST - LÖSUNGEN 9 Lösung 8. Wie viele Wege führen von A nach D? Zwischen A und B gibt es 3 mögliche Wege. Zwischen B und C gibt es 4 mögliche Wege. Zwischen C und D gibt es 5 mögliche Wege. Insgesamt zwischen A und D gibt es: mögliche Wege. Lösung 9. ) Gegeben sind 4 verschiedenfarbige Rot, Schwarz, Blau und Weiss) Kugeln. Diese 4 Kugeln sollen auf alle möglichen Arten auf einer Linie angeordnet werden. Für die erste Position auf der Linie haben wir 4 Farben zur Verfügung. Für die zweite Position auf der Linie haben wir nur noch 3 Farben zur Verfügung. Für die dritte Position auf der Linie haben wir nur noch Farben zur Verfügung. Für die vierte Position auf der Linie haben wir nur noch Farbe zur Verfügung. Somit haben wir 4! Möglichkeiten diese vier Kugeln anzuordnen. Hier die Liste: RSBW RSWB RBSW RBWS RWBS RWSB SRBW SRWB SBRW SBWR SWBR SWRB BRSW BRWS BSRW BSWR BWSR BWRS WRSB WRBS WSRB WSBR WBSR WBRS ) Anzahl Anagramme ): MATH hat 4 verschiedene Buchstaben, daher gibt es 4! 4 Anagramme. ): PARFUM hat 6 verschiedene Buchstaben, daher gibt es 6! 70 Anagramme. Lösung 0. ) Gegeben seien a 7. cm, b 5.3 cm und h c 3.5 cm. Nach Pythagoras c a h c + È È b h c 7.) 3.5) + 5.3) 3.5) 0. cm. ) Gegeben seien b 5.8 cm, α 35. Da ist, für h c gilt: sin α h c b h c b sin α 5.8 sin cm 3) Gegeben seien a 4.7 cm, c.3 cm, β 7. Nach dem Cosinusatz gilt b a + c ac cos β und daher erhalten wir b È a + c ac cos β 4.7) +.3) 4.7).3) cos 7.85 cm.

10 0 DR. ROGER ROBYR 4) Gegeben seien a.3 cm, b.6 cm, α 35. Nach dem Sinusatz gilt sin α sin β a b Erste Lösung: Wir erhalten [ β arcsin b sin α a arcsin [.6 sin β b sin α a. sin Somit ist α 35 β 3.5 γ.48. Zweite Lösung: Da sin80 β) sin β ist, überprüfen wir jetzt ob auch eine passende Lösung ist. Da ist, gibt es keine zusätzliche Lösung. β 80 β α + β > 80 Lösung. Erinnerung: Einfache Verzinsung: Die Formel lautet ) Kapital nach t-tagen: Kt) K0) + Zt) K0) + t 360 i Zinseszins: Die Formel lautet Kapital nach n Jahren: Kn) Kn ) + i) K0) + i) n Somit haben wir: Endkapital: Zinseszins: K0) 000 CHF, i.5%, n 6 Jahren. Kn) K0) + i) n ) CHF. 00 Für einf. Verz.: K0) 000 CHF, i.5%, t 70 Tagen. Kt) K0) + t ) 360 i ) 0.8 CHF. 00 Anfangskapital: Zinseszins: K) 5550 CHF, i.5%, n Jahren. K0) Kn) + i) n 5550 ) 49.9 CHF Für einf. Verz.: K95) 5550 CHF, i.5%, t 95 Tagen. K0) Kt) + t 360 i CHF. 00 Zinssatz: Zinseszins: K0) 500 CHF, K7) 9500 CHF, n 7 Jahren. Ê É Kn) 9500 i n K0) % 500. Für einf. Verz.: K0) 500 CHF, K3) 3000 CHF, t 3 Tagen. [ Kt) i K0) 360 [ 3000 t % 3

11 MATHEMATISCHER FITNESSTEST - LÖSUNGEN Dauer: Zinseszins: K0) 950 CHF, Kn) 40CHF, i 3%. log Kn) K0) n log + i) log log ) J. Für einf. Verz.: K0) 950 CHF, Kt) 40 CHF, i 3%. [ Kt) t K0) 360 [ 40 i T ; 00 wobei T agen 09.7 Jahren mit Zinsenszins waren n Jahren).