V 2 B, C, D Drinks. Möglicher Lösungsweg a) Gleichungssystem: 300x y = x + 500y = 597,5 2x3 Matrix: Energydrink 0,7 Mineralwasser 0,775,
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- Achim Lorentz
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1 Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang V B, C, D Drinks Ein gastronomischer Betrieb kauft 300 Dosen Energydrinks (0,3 l) und 400 Liter Flaschen Mineralwasser und zahlt dafür 50, Euro. Einen Monat später kauft er nochmals 300 Dosen Energydrinks und 500 Flaschen Mineralwasser und zahlt 597,5 Euro. a) Wie viel kostet eine Dose Energydrink und eine Flasche Mineralwasser? b) Wie viele verschiedene Berechnungsarten gibt es für dieses Beispiel, mit und ohne Technologieeinsatz? Erklären Sie die Unterschiede und Vor und Nachteile der einzelnen Berechnungsmethoden! c) Stellen Sie den Sachverhalt grafisch dar! Wählen Sie dazu eine sinnvolle Maßeinheit! d) Vergleichen Sie den Kostensatz für jeweils 1 Liter der gekauften Getränke! Möglicher Lösungsweg a) Gleichungssystem: 300x y = x + 500y = 597,5 x3 Matrix: Energydrink 0,7 Mineralwasser 0,775, b) Einsetzverfahren: Man berechnet aus der 1. Gleichung 300x und setzt den Term in die. Gleichung ein (50 400y) y = 597,5. Auch damit lässt sich y relativ einfach berechnen. Gleichsetzverfahren: Man setzt die Terme für 300x aus beiden Gleichungen einander gleich: y = 597,5 500 y, y lässt sich einfach berechnen Eliminationsverfahren: hier sehr günstig, weil man einfach abziehen kann und gleich y erhält. c) d) Energydrink:,33 / l Mineralwasser: 0,3875 / l
2 V D Gegenseitige Lage der Geraden Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang x y g: 1 3 h:ax 3y b Setzen Sie für die beiden Parameter a und b konkrete Zahlen so ein, dass die folgende Aussage richtig sind und begründen Sie Ihr Entscheidungen in Worten: Für a ist. und b ist.gilt: Für a ist. und b ist.gilt: Für a ist. und b ist.gilt: Für a ist. und b ist.gilt: g = h g parallel zu h aber g h g nicht parallel zu h g normal zu h Möglicher Lösungsweg: k(g) = /3, d(g) =, k(h) = a/3, d(h)= b/3 Für a ist und b ist 6 gilt: g = h bringt man die Gleichung von g auf gemeinsamen Nenner 6, dann erhält man die Gleichung für h. Für a ist und b ist ungleich 6 gilt: Für a ungleich und b ist beliebig gilt: Für a ist 4,5 und b ist beliebig gilt: g parallel zu h aber g h g nicht parallel zu h V B,C,D Gleichungssysteme interpretieren Gegeben ist: Die Steigung k = a/3 = / 3 ist in beiden Fällen gleich, d =b/3 muss ungleich sein, b ungleich 6 Das d(h) kann beliebig sein, wenn a ungleich ist, dann sind die beiden Steigungen unterschiedlich, die Geraden sind nicht parallel. g normal zu h Für a = 4,5 folgt, dass die Steigung von h = 3/ ist. g,h stehen normal aufeinander. i. y = x ii. x y = iii. x y = y = x + 4 x ½y = 0 x ½y = 1 a. Stellen Sie die Gleichungssysteme grafisch dar! (Technologie verwenden) b. Wie lautet jeweils die Lösungsmenge der drei Gleichnungssysteme? c. Sieht man auch ohne grafische Darstellung die Lagebeziehung? Begründen Sie die Antwort! Möglicher Lösungsweg: a) I Hat Schnittpunkt, II sind parallel III sind identisch b) I (/) II (keine Lösung, parallel) III (unendlich viele Lösungen, identisch) c) Eine leichte Veränderung der Gleichungen zeigt, ob sie identisch oder parallel sind, bzw. ob sie einen Schnittpunkt haben.
3 Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang V A, D Lösungspaare Argumentieren Sie ob die angegebenen geordneten Paare Lösung bzw. keine Lösung des gegebenen Gleichungssystems sind! Finden Sie auch andere Lösungen? Begründen Sie, warum es bei diesem Beispiel mehrere Lösungen geben könnte. Möglicher Lösungsweg Man erkennt, dass die beiden Gleichungen ident sind. Grafisch bedeutet dies, dass es unendlich viele Schnittpunkte gibt, die entlang der Geraden x + y = 1 liegen. Von den angegebenen Paaren führen die Lösungen auf wahre Aussagen, die Nichtlösungen auf falsche: Lösungen sind: ( 1/0) ( / 1) keine Lösungen: (0/ 1) (3/3) ( 1/5) Weitere mögliche Lösungen unter unendlich vielen sind: (0/1) (3/4) ( 1/0) V A,B Kanu Bei einer Kanuveranstaltung sind Einer, Zweier und Vierer auf dem Wasser. Es wurden 135 Boote und 167 Wassersportler gezählt. Wie viele Einer und Zweier waren unterwegs, wenn man weiß, dass nur zwei Vierer auf dem Wasser waren? Möglicher Lösungsweg Einer x Zweier y Vierer Gleichungen: x + y + = 135 x + y = 133 x + y + 8 = 167 x + y = 159 x + y = 133 / x + y = 159 y = 6 Zweier x = 107 Einer
4 Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang V C,D Richtig oder Falsch? Das Doppelte der Summe zweier Zahlen ist 6. Die Hälfte ihrer Differenz ist 3,5. Begründen Sie welche der folgenden Ansätze zur Lösung dieser Aufgabe richtig oder falsch sind! Möglicher Lösungsweg: a) Falsche Antwort, zwei Fehler: 1.)Die Hälfte der Differenz bedeutet in Variablen.)Die rechte Seite der Gleichung wurde fälschlicherweise durch dividiert. b) Falsche Antwort, ein Fehler in der ersten Gleichung. Das Doppelte der Summe zweier Zahlen bedeutet in Variablen. c) Richtige Antwort. d) Richtige Antwort. Die Wahl der Variablen ist nicht vorgegeben. e) Falsche Antwort, ein Fehler in der ersten Gleichung. Die Summe wurde zweimal verdoppelt.
5 V C,D Gleichungssysteme interpretieren Gegeben ist ein lineares Gleichungssystem Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang Welcher der folgenden Graphen veranschaulicht dieses System? Begründen Sie Ihre Entscheidung! 1 3 Möglicher Lösungsweg: Es gibt hier viele unterschiedliche Entscheidungshilfen. Bei diesen drei Grafiken ist eine sichere und schnelle Methode die Berechnung des Schnittpunkts und eine kurze Kontrolle der Steigungen: Schnitt bei x = 6/7= 0,86, y = 5/7=0,7, k(i) = 1,5, k (II)= die 1. Grafik stimmt.
6 V A,B, C, D Kaffee und Kuchen Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang Zwei Tassen Kaffee und ein Stück Kuchen kosten 8, drei Tassen Kaffee und vier Stück Kuchen kosten 0. a.) Berechnen Sie den Preis für eine Tasse Kaffee bzw. ein Stück Kuchen mit einem Verfahren welches erscheint am optimalsten und warum? Erklären Sie anhand des Beispiels die Vorteile. c.) Formen Sie beide Gleichungen nun um auf die Form einer linearen Funktion f: y =., und stellen Sie jede Funktion als Graph einer Geraden im Koordinatensystem dar. d.) Haben die beiden Geraden einen Punkt gemeinsam? Wenn ja, was bedeutet dieser und warum kann es diesen gemeinsamen Punkt geben? Mögliche Lösungswege: a.) Einsetzverfahren, Eliminationsverfahren oder Gleichsetzverfahren: Begründen der Entscheidung für das jeweilige Verfahren ( Vorteil ) Am optimalsten sind das Eliminations oder Einsetzverfahren, da dabei mit keinen Brüchen zu rechnen (vielleicht dadurch geringer Fehlerhäufigkeit!?) ist und diese von Arbeitsaufwand am geringsten sind. Das Einsetzverfahren ist nicht schwierig, aber günstiger ist das Eliminieren. Vorteile der beiden günstigeren Verfahren: - Auftreten weniger Rechenfehler - Rasches Lösen Eliminieren: Eine Gleichung äquivalent und dann untereinander addieren x 1y 8 /.( 4) 3x 4y 0 5x = 1 x =,40 /Kaffee. Variable berechnen durch einsetzen in eine der Ausgangsgleichungen: 1 y:. y 8 y = 3,0 /Kuchen 5 oder Einsetzverfahren:
7 Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang x 1y 8 y 8 x 3x 4y 0 8 x 0 3x 4. 3x 3 8x 0 5x 3 0 / 3 5x 1 / : ( 5) x 1 5,40 / Kaffee Berechnen der. Variable: In die oben bereits nach y umgeformte Variable x einsetzen: 1 y 8. 3,0 / Kuchen 5
8 c.) und d) Lineare Funktion vom Typ y = kx + d kennen: Aufgabenpool für angewandte Mathematik / 1. Jahrgang Gemeinsamer Punkt entsteht durch Schneiden der beiden Geraden Schnittpunkt S existiert Umformen nach y =. f : y = kx + d f k f k 1 1 : x y 8 y x 8, d 3 : 3x 4y 0 y x 5 4 3, 4 d 8 5 Da k1 k und d1 d es existiert ein Schnittpunkt S. Einzeichnen der Geraden in Koordinatensystem und daraus dann den Schnittpunkt ablesen : S (,4 / 3,)
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