Nachhilfe-Kurs Mathematik Klasse 13 Freie Waldorfschule Mitte

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1 Nachhilfe-Kurs Mathematik Klasse 13 Freie Waldorfschule Mitte März 2008 Zusammenfassung IB 1. Lagebeziehungen zwischen geometrischen Objekten 1.1 Punkt-Gerade Ein Punkt kann entweder auf einer gegebenen Geraden liegen oder nicht. Wie testen wir, was von beidem der Fall ist? Mit dem Punkt-Gerade-Test: 1. Sei eine Gerade g durch einen Punkt A mit einen Richungsvektor m festgelegt, ihre Parametergleichung ist demnach g : OX = x a 1 m 1 x a 1 + r m 1 OA + r m bzw. g : y = a 2 + r m 2 bzw. g : y = a 2 + r m 2 z a 3 m 3 z a 3 + r m 3 2. Der Punkt P soll die Koordinaten (p 1, p 2, p 3 ) haben. Wir bilden den Ortsvektor von P : p 1 OP = 3. Die Frage Liegt der Punkt auf der Geraden? kann übersetzt werden in: Erfüllt sein Ortsvektor die Geradengleichung?. Damit meint man: Finden wir ein r, sodass OP = OA + r m? 4. Wir setzten also OP für OX ein: p 1 a 1 + r m 1 p 2 = a 2 + r m 2 p 3 a 3 + r m 3 5. Da alles bis auf den Parameter r bekannt ist, haben wir ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und einer Unbekannten: p 2 p 3 p 1 = a 1 + r m 1 (1) p 2 = a 2 + r m 2 (2) p 3 = a 3 + r m 3 (3) 6. Ergebnis: Wenn wir für r eine Lösung erhalten, liegt P auf der Geraden, sonst nicht. 1.2 Punkt-Ebene Um zu entscheiden, ob ein Punkt in einer Ebene liegt, machen wir den Punkt-Ebene-Test: 1. Wir bilden den Ortsvektor OP und setzen ihn anstelle von OX in unsere Ebenengleichung ein. 2. Je nachdem, welche Form unsere Gleichung hat, bekommen wir verschiedene Lösungsverfahren: (a) Ebene als Parametergleichung OX = OA + r m + s q ergibt ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei unbekannten Parametern r und s: p 1 = a 1 + r m 1 + s q 1 (1) p 2 = a 2 + r m 2 + s q 2 (2) p 3 = a 3 + r m 3 + s q 3 (3) Wir können eine Gleichung (z.bsp. (2)) nach einem Parameter (z.bsp. s) auflösen. Diesen Parameter setzen wir dann in eine andere Gleichung ein (z.bsp. (3)) um den zweiten Parameter (also r) herauszubekommen. Wenn wir r wieder in eine der Ausgangsgleichungen einsetzen (z.bsp. (1)), bekommen wir s. Wir haben also für r und s zwei Zahlen. Ergebnis: Wenn eine der Ausgangsgleichungen mit diesen beiden Zahlen stimmt, liegt P in der Ebene, sonst nicht. 1

2 (b) Ebene als Normalengleichung OX OA n = 0 ergibt: p 1 p 2 p 3 a 1 a 2 a 3 n 1 n 3 = 0 Wenn wir die ersten beiden Vektoren zusammenziehen und das Skalarprodukt ausrechnen, erhalten wir folgende Gleichung: (p 1 a 1 ) n 1 + (p 2 a 2 ) + (p 3 a 3 ) n 3 = 0 Da wir keine Unbekannten haben, können wir die linke Seite einfach ausrechnen und schauen ob s stimmt. Ergebnis: Wenn s stimmt, liegt P in der Ebene, sonst nicht. (c) Ebene als Koordinatengleichung xn 1 + y + zn 3 = d ergibt: p 1 n 1 + p 2 + p 3 = d Da wir keine Unbekannten haben, können wir die linke Seite einfach ausrechnen und schauen ob s stimmt. Ergebnis: Wenn s stimmt, liegt P in der Ebene, sonst nicht. 1.2 Gerade-Gerade Für die Lage von zwei Geraden zueinander, gibt es drei Möglichkeiten: Fall 1: Die Geraden sind parallel (im Sonderfall sogar identisch). Der Geraden-Parallel-Test 1. Wir vergleichen die Richtungsvektoren der beiden Geraden. 2. Entweder lässt sich der eine aus dem anderen darstellen (sie sind also kollinear) oder nicht (also komplanar). 3. Nennen wir die Richtungsvektoren m und q. Sie sind kollinear, wenn gilt: m = r q oder ausformuliert: m 1 q 1 m 2 = r q 2 m 3 q 3 bzw. m 1 r q 1 m 2 = r q 2 m 3 r q 3 4. Wir haben also wieder ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und einer Unbekannten r. Jetzt wie gewohnt eine Gleichung nach r auflösen. Wenn wir eine Lösung erhalten, sind die beiden Richungsvektoren kollinear. 5. Ergebnis: Sind zwei Vektoren kollinear, beschreiben sie eine parallele Verschiebung. Die beiden Geraden sind also parallel. Sonderfall: Ist ein Punkt der einen Geraden auch ein Punkt der anderen (siehe Punkt-Geraden-Test), sind sie sogar identisch. Wenn die beiden Richtungsvektoren komplanar sind, gilt einer der beiden folgenden Fälle: Fall 2: Die Geraden schneiden sich. 1. Bei dem Geraden-Parallel-Test kam also heraus, dass die beiden Richtungsvektoren komplanar sind (die Geraden sind durchgefallen). Wenn die beiden Geraden sich schneiden, heißt das, sie haben einen gemeinsamen Punkt, einen Schnittpunkt S. 2. Der Geraden-Schnittpunkt-Test: Um zu testen, ob es so einen Punkt gibt, setzt man die beiden Geradengleichungen gleich und schaut, ob es eine Lösung gibt: Zwei Geraden: gleichsetzen: g 1 : OX = OA + r m OA + r m = OB + s q bzw. g 2 : OX = OB + s q a 1 + r m 1 b 1 + s q 1 a 2 + r m 2 = b 2 + s q 2 a 3 + r m 3 b 3 + s q 3 3. Das Gleichungssystem mit drei Gleichungen und den zwei unbekannten Parametern lösen (siehe Punkt-Ebene-Test). 4. Ergebnis: Wenn wir eine Lösung bekommen, schneiden sich die beiden Geraden. Ansonsten tritt Fall 3 ein. 5. Schnittpunktberechnung: Um den Schnittpunkt zu bekommen, muss man einen errechneten Parameter (z.bsp. r) in die entsprechende (wichtig: nicht in die andere!) Geradengleichung einsetzen (also g 1 ) und erhält damit OS. 6. Schnittwinkelberechnung: Der Winkel zwischen den beiden Geraden ist nichts anderes als der (kleinere) Winkel zwischen den bei Richtungsvektoren (siehe Winkelberechnung IA S.1). Fall 3: Wenn zwei Geraden durch beide Tests durchfallen, sind sie windschief. Das heißt, sie sind nicht parallel und sie schneiden sich nicht. Man kann auch sagen: sie liegen nicht in einer Ebene. 2

3 1.3 Gerade-Ebene Um zu zu testen, ob eine Gerade eine Ebene schneidet oder parallel zu ihr verläuft, machen wir (wer hätte es gedacht) den Gerade-Ebene-Test: 1. Zunächst muss die Gerade, genau wie beim Punkt-Gerade-Test unter 1., als ein Vektor geschrieben werden: x a 1 + r m 1 g : y = a 2 + r m 2 z a 3 + r m 3 OX 2. Jetzt die rechte Seite in die Ebenengleichung einsetzen. Und zwar, je nachdem wie die Ebene gegeben ist, als Koordinaten x, y und z oder als Vektor OX. 3. Wir bekommen entweder eine Gleichung (bei Normalen- und Koordinatenform der Ebene) oder ein Gleichungssystem (bei Parameterform). 4. Ergebnis 1: Im ersten Fall (einzelne Gleichung) ist r die einzige Unbekannte. Wenn wir r errechnen können (sprich r nicht rausfällt ), schneiden sich Ebene und Gerade, ansonsten sind sie parallel (Sonderfall: r fällt zwar raus, es entsteht aber eine wahre Aussage. Dann liegt die Gerade sogar in der Ebene). 5. Ergebnis 2: Im zweiten Fall (Gleichungssystem) erhalten wir drei Gleichungen und mit den drei unbekannten Parametern. Wenn wir das System lösen können, schneiden sich die Geraden, ansonsten sind sie parallel. Dieser Fall ist aber meistens sehr aufwendig und kostet viel Zeit. Lieber also die Parametergleichung der Ebene in eine Normalen- oder, noch besser, in eine Koordinatengleichung umwandeln. 6. Schnittpunktberechnung: Setzt man den errechneten Parameter r in die Geradengleichung ein, erhalten wir den Ortsvektor für den Schnittpunkt, also OS. 7. Schnittwinkelberechnung: Aus der Koordinatengleichung lässt sich der Normalenvektor ablesen. Wir können also wieder den (kleineren) Winkel α zwischen dem Richtungsvektor und dem Normalenvektor berechnen (siehe Zusammenfassung IA S.1). Achtung: Das ist noch nicht der gesuchte Winkel! Der Winkel γ zwischen Gerade und Ebene beträgt γ = 90 α. 1.4 Ebene-Ebene Zwei Ebenen sind entweder parallel oder schneiden sich in einer Gerade. Der Ebenen-Ebenen-Test geht am schnellsten, wenn man beide Normalenvektoren hat. 1. Berechnung der Normalenvektoren, wenn sie nicht schon ablesbar sind. 2. Testen, ob die beiden Normalenvektoren kollinear sind oder nicht. 3. Ergebnis: Wenn ja, sind die Ebenen parallel. Wenn nein, schneiden sie sich in einer Geraden. Schnittgeradenberechnung: Am einfachsten ist es, wenn man eine Ebene als Parametergleichung hat und eine als Koordinatengleichung (also notfalls eine umwandeln). 1. Die Ebene in Parameterform (in unserem Fall E 1 ) als ein Vektor schreiben, wie wir es schon von den Geraden kennen: E 1 : x y = a 1 + r m 1 + s q 1 OA + r m + s q = a 2 + r m 2 + s q 2 z a 3 + r m 3 + s q 3 OX 2. Wir setzen jetzt x, y und z von E 1 in E 2 ein, wobei E 2 als Koordinatengleichung (also in der Form E 2 : xn 1 +y +zn 3 = d) gegeben sein muss. 3. Wir erhalten eine Gleichung in der alles bekannt ist, bis auf die Parameter r und s. Wir können also die Gleichung nach einem Parameter (z.bsp. r) auflösen und erhalten ein Ergebnis in Abhängigkeit von dem anderen Parameter (also s). 4. Den so errechneten Parameter in die Parametergleichung von E 1 einsetzen. Durch einfaches Zusammenfassen der Vektoren erhält man die Parametergleichung der Schnittgeraden. Schnittwinkelberechnung: Der Winkel zwischen zwei Ebenen ist gerade der Winkel zwischen ihren Normalenvektoren. Man muss also nur die beiden Normalenvektoren aus der Koordinatenform ablesen und in die Winkelformel einsetzen. 3

4 2. Abstandsberechnung Jeder Abstand ist eine spezielle Strecke (und zwar die kürzeste Strecke zwischen zwei Objekten). Strecken gibt es aber nur zwischen zwei Punkten. Deshalb ist jede Abstandsberechnung nichts anderes als eine Punkt-Punkt-Berechnung. Wenn allerdings Geraden und Ebenen im Spiel sind, ist nicht immer einfach zu entscheiden, welche Punkte die richtigen sind. 2.1 Punkt-Ebene Hierzu brauchen wir die Normalengleichung der Ebene, die wir noch ein bißchen frisieren müssen. Was wir brauchen ist die sogenannte Hesse-Normalform (HNF) der Ebene: 1. Sei die Normalengleichung der Ebene: E : x a 1 y a 2 z a 3 OX OA n 1 n 3 Normalenvektor n = 0 2. Der Normalenvektor n hat die Länge n = 1 + n2 2 + n2 3. Wir wollen aber einen Normalenvektor, der die Länge eins hat. Den nennen wir Normaleneinheitsvektor n 0. Er berechnet sich wie folgt: n 0 = n n = 1 n n 1 n 1 n n = 2 n n n 3 3 n 3. Die Hesse-Normalform (HNF) einer Ebene ist damit fertig: E : OX OA n 0 = 0 oder ausformuliert: x a 1 y a 2 z a 3 OX OA n }{{} 0 = 0 Normaleneinheitsvektor Mit dieser HNF kann man jeden Abstand d eines Punktes zu einer Ebene einfach ausrechnen: 1. Sei ein Punkt P mit den Koordinaten P (p 1, p 2, p 3 ) gegeben. 2. OP statt OX in die HNF einsetzten. Der Betrag davon ist der gesuchte Abstand: [ d(p, E) = OP OA n 0 Gerade-Ebene Das geht natürlich nur, wenn Gerade und Ebene parallel sind. Die Berechnung ist dasselbe, wie bei Punkt-Ebene. Wir können uns einen beliebigen Punkt der Gerade raussuchen und in die HNF einsetzen, weil jeder Punkt der Gerade denselben Abstand zur Ebene hat. Ebene-Ebene Hierfür gilt dasselbe wie bei Gerade-Ebene (geht nur, wenn beide Ebenen parallel sind; ein beliebiger Punkt der zweiten Ebene tut s). 4

5 Punkt-Ebene Gegeben ist eine Gerade g 1 : OX = OA + r m und ein Punkt P (p 1, p 2, p 3 ). Der Abstand ist gerade die Strecke von P zu dessen Lotfußpunkt L auf der Gerade. Das einzige Problem besteht darin diesen Punkt zu finden. 1. L ist der Schnittpunkt einer Hilfsebene H, die senkrecht zu g steht und den Punkt P enthält. 2. Die Normalengleichung der Hilfsebene ist schnell gefunden, denn wir brauchen nur zwei Dinge: den Normalenvektor und einen Punkt (a) Einen Punkt haben wir schon, nämlich P. (b) Der Richtungsvektor der Geraden steht senkrecht zu H, ist also gleichzeitig ein Normalenvektor von H. (c) Damit hat die Hilfsebene folgende Gleichung: H : OX OP m = 0 3. Der gesuchte Punkt L ist jetzt der Schnittpunkt von H und g. Und das berechnen wir wie unter 1.3 (Gerade als einen Vektor schreiben; den dann statt OX in H einsetzen; den Parameter r ausrechnen; den in die Geradengleichung einsetzen OL). 4. Der gesuchte Abstand ist dann die Länge der Strecke zwischen P und L, also d = (P, L) (siehe Zusammenfassung IB S.1). Gerade-Gerade Hierbei können zwei Fälle auftreten: Die Geraden sind parallel (Fall 1) oder die Geraden sind windschief (Fall 2). Mehr geht nicht, denn ansonsten schneiden sie sich ja. Fall 1: Wenn zwei Geraden parallel sind, wählen wir uns einfach einen beliebigen Punkt der einen Geraden und machen dasselbe Spiel wie bei Punkt-Gerade (aber natürlich mit der anderen Geraden). Fall 2: Was wir brauchen, ist jeweils ein Punkt auf jeder Geraden, sodass ihre Verbindungslinie die kürzeste ist. Diese zwei Punkte (wir nennen sie P und Q) liegen auf einer Geraden, die senkrecht zu den beiden anderen Geraden steht. An dieser Stelle müssen wir wieder eine Hilfebene H basteln. 1. Die Hilfsebene soll eine der beiden Geraden enthalten und gleichzeitig senkrecht zu der Gerade stehen, die durch P und Q geht. Was wir dazu brauchen sind wieder die zwei Dinge: Punkt und Normalenvektor 2. Als Punkt wählen wir uns einfach einen beliebigen Punkt A der Gerade, die in der Ebene enthalten sein soll. 3. Als Normalenvektor kann der Richtungsvektor der Geraden dienen, die durch P und Q geht. Dieser ist senkrecht zu den beiden Geraden und also auch zu den jeweiligen Richtungsvektoren. Wir können also ein Gleichungssystem zur Normalenvektorberechnung wie in IA 6.2 aufstellen und ausrechnen. 4. Wenn wir den Normalenvektor haben, können wir auch den Normaleneinheitsvektor berechnen. Wir erhalten also zusammen mit unserem Punkt A eine HNF einer Ebene H, die eine der beiden Geraden enthält. Diese Ebene H ist parallel zu der anderen Geraden. Die restliche Berechnung erfolgt also genau so wie bei Gerade-Ebene. Was ihr können müsst: 1. Entscheiden, ob ein Punkt auf einer Geraden oder in einer Ebene liegt. 2. Entscheiden, ob zwei Geraden parallel, identisch, schneidend oder windschief sind. 3. Bei schneidenden Geraden: Schnittpunkt und Schnittwinkel berechnen. 4. Bei parallelen (nicht identischen) und bei windschiefen Geraden den Abstand berechnen. 5. Entscheiden, ob zwei Ebenen parallel, identisch oder schneidend sind. 6. Bei schneidenden Ebenen: Schnittgerade berechnen. 7. Bei parallelen Ebenen den Abstand berechnen. 8. (Abstand Punkt-Gerade ist dasselbe wie Abstand paralleler Geraden und Abstand Punkt-Ebene sowie Gerade- Ebene ist dasselbe wie Abstand Ebene-Ebene.) 5 Was ich mit euch leider nicht machen konnte: Eigenschaften bestimmter geometrischer Flächen (Dreieck, Rechteck, Parallelogramm,...) und deren Fächeninhalte (könnt ihr sicher schon einiges). Elementare geometrische Körper, wie Quader, Pyramide,... und die Berechnung der Schnittmengen mit Geraden und Ebenen (seid ihr aber fast von allein in der Lage zu). Gleichungen bestimmter Ebenen und Geraden: z.bsp. Ebenen oder Geraden parallel zu den Koordinatenachsen (geht mit unseren Berechnungen aber auch). Spurgeraden, Spurpunkte (kommt selten vor und ist etwas sehr Anschauliches und schnell zu verstehen). Kugelgleichungen und die Berechnung der Schnittmengen von Gerade-Kugel, Gerade-Ebene (Buch S ). Das heißt: Für die die mehr als einen guten Pflichtteil wollen, nochmal mit dem Lehrer reden bzw. auf eigene Faust versuchen (gilt vor allem für den letzten Punkt).