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Reinhold Krämer
vor 8 Jahren
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1 geben. Die Wahrscheinlichkeit von 100% ist hier demnach nur der Vollständigkeit halber aufgeführt. Gehen wir einmal davon aus, dass die von uns angenommenen 70% im Beispiel exakt berechnet sind. Was würde dies nun für die Auswahl der Wettquote bei unserem Buchmacher bedeuten? Nun, es würde bedeuten, dass wir nur dann eine Wette auf einen Heimsieg der Bayern platzieren dürften, wenn wir eine Wettquote von mindestens 1,43 erhalten. Es spielt überhaupt keine Rolle, wie sehr wir von einem Sieg der Bayern überzeugt sind. Auch wenn wir uns hundertprozentig sicher sind, dürfen wir nur eine Wette platzieren, wenn wir eine Quote größer oder gleich 1,43 erhalten. Warum ist das so? Ich möchte versuchen, die Wichtigkeit dieser Regel im nächsten Kapitel anhand eines simplen Beispiels zu erläutern. Kopf oder Zahl Stellen Sie sich vor, Sie würden mit einem Freund 100 Mal eine Münze werfen. Der Einsatz pro Wurf soll einen Euro betragen. Die Wahrscheinlichkeit für Kopf beträgt exakt 50%. Die Wahrscheinlichkeit für Zahl beträgt exakt 50%. Berechnen wir mit der zuvor genannten Formel die Wettquoten, indem wir die Wahrscheinlichkeit von 50% in die Formel einsetzen: 79

Nun, es würde bedeuten, dass wir nur dann eine Wette auf einen Heimsieg der Bayern platzieren dürften, wenn wir eine Wettquote von mindestens 1,43 erhalten.

2 Wir erhalten einen Wert von 2,00. Nach mathematischen Gesichtspunkten dürften Sie die Wette also nur dann eingehen, wenn Sie für Ihren Einsatz von einem Euro pro Wurf eine Quote von mindestens 2,00 angeboten bekommen. Da Sie mit Ihrem Freund vereinbart haben, dass der Sieger einer Runde stets den eingesetzten Euro des anderen erhalten soll und seinen Einsatz somit verdoppelt, ist die mathematische Voraussetzung für eine faire Wette gegeben. Fair deshalb, weil eine faire Wette einen Erwartungswert von 0 hat. Der Erwartungswert gibt an, wie viel im Durchschnitt pro Wurf gewonnen oder verloren wird. Ein Erwartungswert von 0 bedeutet, dass keiner der Spieler im Mittel auf lange Sicht einen Gewinn machen wird. Jedoch auch keinen Verlust. Mathematisch lässt sich der Erwartungswert wie folgt berechnen: 80

Da Sie mit Ihrem Freund vereinbart haben, dass der Sieger einer Runde stets den eingesetzten Euro des anderen erhalten soll und seinen Einsatz somit verdoppelt, ist die mathematische Voraussetzung

3 X steht für die monetäre Veränderung bei Eintritt eines der Ereignisse. Bei Kopf verlieren wir einen Euro, bei Zahl erhalten wir einen Euro. P(X) drückt die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten der beiden Ereignisse aus, nämlich jeweils 0,5. Dies entspricht 50%. Um den Erwartungswert E(X) zu berechnen, multiplizieren wir nun einfach den Gewinn bzw. Verlust beider Ereignisse (Kopf bzw. Zahl) mit den jeweiligen Wahrscheinlichkeiten (0,5) und addieren dann diese Werte. Das Ergebnis ist 0. Ein Erwartungswert von 0 bedeutet, dass man auf lange Sicht einen Gewinn bzw. Verlust von 0 erwarten kann. Es handelt sich also mathematisch betrachtet um ein faires Spiel. Wenn Sie nun ein Mal spielen, gewinnt einer von Ihnen beiden einen Euro. Spielen Sie einige weitere Male, könnte es durchaus sein, dass einer von Ihnen sehr viel häufiger gewonnen hat, als der andere. Grund hierfür ist die Varianz. Hierbei handelt es sich um einen weiteren Begriff aus der Stochastik. Vereinfacht gesagt ist die Varianz ein Maß zur Messung der Abweichung einer Zufallsvariablen von ihrem Erwartungswert. Sie gibt also an, wie stark das Endergebnis vom Erwartungswert abweicht. Mit steigender Anzahl an Versuchen (in unserem Beispiel mit steigender Anzahl an Würfen) sinkt die Varianz. Das bedeutet, dass sie nach 100 Würfen viel niedriger ist, also nach zwei oder drei Würfen. Und mit abnehmender Varianz nähert sich das Ergebnis dem Erwartungswert an. Vereinfacht ausgedrückt: Je 81

Um den Erwartungswert E(X) zu berechnen, multiplizieren wir nun einfach den Gewinn bzw. Verlust beider Ereignisse (Kopf bzw.

4 öfter Sie spielen, desto geringer wird der Unterschied zwischen gewonnenen und verlorenen Würfen und somit Gewinn oder Verlust ausfallen. Was ich mit dem Rechenbeispiel von eben sagen möchte ist schlicht Folgendes: Platzieren Sie niemals eine Wette, wenn Sie durch die angebotene Quote einen mathematischen Nachteil erhalten. Denn das Schöne an der Mathematik ist, dass sie am Ende immer Recht behält. Sehen wir uns einmal die Wettquoten für ein Basketballspiel der NBA an, in dem der Buchmacher beiden Teams exakt die gleiche Quote gibt. Quelle: Sowohl für einen Sieg der Washington Wizards als auch für einen Sieg der Milwaukee Bucks erhalten wir eine Quote von 1,91. Hier sollten Sie hellhörig werden! Da die Quoten exakt gleich sind, dürfen wir davon ausgehen, dass (zumindest laut der Einschätzung des Buchmachers) die Wahrscheinlichkeiten für den Sieg des Spiels mit 50% zu 50% genau ausgeglichen sind. Laut unserer Formel müssten wir für einen Tipp auf ein Ergebnis, 82

Denn das Schöne an der Mathematik ist, dass sie am Ende immer Recht behält.

5 das mit 50-prozentiger Wahrscheinlichkeit eintritt aber mindestens eine Quote von 2,00 erhalten! Gehen wir noch einmal zurück zu unserem Beispiel mit der Münze. Auch hier waren die Wahrscheinlichkeiten exakt ausgeglichen. Hätten Sie dem Spiel zugestimmt, wenn Ihr Freund Ihnen lediglich eine Quote von 1,91 pro Wurf angeboten hätte, selbst aber eine Quote von 2,00 verlangt hätte? Genau. Sie hätten nicht zugestimmt. Werfen wir einen kurzen Blick darauf, wie sich eine Quote von 1,91 in unserem Beispiel auf den Erwartungswert auswirken würde: Bei Kopf verlieren wir weiterhin einen Euro, während wir bei Zahl nur noch 0,91 Euro gewinnen. Daraus folgt am Ende ein negativer Erwartungswert. Es handelt nun nicht mehr um ein faires Spiel, da wir im Mittel 0,045 Euro (4,5 Cent) pro Wurf verlieren werden und somit einen mathematischen Nachteil im Vergleich zu unserem Gegenspieler haben. Wenn wir also davon ausgehen, dass die Wahrscheinlichkeiten für einen Sieg der Washington Wizards bzw. der Milwaukee Bucks je 50% betragen, würden wir mit dem Platzieren einer 83

Hätten Sie dem Spiel zugestimmt, wenn Ihr Freund Ihnen lediglich eine Quote von 1,91 pro Wurf angeboten hätte, selbst aber eine Quote von 2,00 verlangt hätte? Genau. Sie hätten nicht zugestimmt.

6 Wette einen mathematischen Fehler begehen. Natürlich könnte es sein, dass wir diese Wette gewinnen. Jedoch fährt man auf Dauer mit Sicherheit einen Verlust ein, wenn man auf Quoten setzt, die einen negativen Erwartungswert mit sich bringen. Faire Quote vs. Buchmacherquote Wie wir eine faire Quote berechnen, haben Sie im vorigen Abschnitt gelernt. Hier zur Erinnerung die Formel: Ein Buchmacher bietet jedoch keine fairen Quoten an, da er sonst keinen Gewinn machen würde. Stattdessen erzeugt er für sich bewusst einen positiven Erwartungswert, indem er eine Gewinnmarge in seine Quoten einrechnet. Wie das funktioniert sehen wir uns an einem Beispiel an. Die folgende Tabelle zeigt die Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten der drei verschiedenen Spielausgänge im Spiel FC Bayern München gegen Borussia Dortmund: Berechnen wir nun zunächst die fairen Quoten mit der bekannten Formel: 84

Buchmacherquote Wie wir eine faire Quote berechnen, haben Sie im vorigen Abschnitt gelernt.

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