Kernfach Mathematik Thema: Analysis

Transkript

1 Kernfach Mathemati Bahnlinie Bei A-Stadt endet eine Bahnlinie. In nebenstehender Zeichnung ist ein Koordinatenreuz so gelegt worden, dass A mit dem Ursprung zusammenfällt. Die Bahnlinie verläuft entlang der Winelhalbierenden im II.Quadranten. In B-Dorf (B(/)) soll ein Großbetrieb einen Gleisanschluss beommen. Dazu soll ein Gleis von A nach B gebaut werden, das an die bestehende Bahnlinie nic- und rümmungssprungfrei anschließt (d.h. die Funtionen, die zur Bahnlinie und zum Verbindungsgleis gehören, stimmen bei A in den ersten beiden Ableitungen überein.) Als Verbindungsfuntion wird im Folgenden die Funtion, die den Verlauf des Verbindungsgleises beschreibt, bezeichnet. y in m A B x in m a) Bestimmen Sie die Gleichung der Funtion h, entlang deren Graph die Bahnlinie im II.Quadraten verläuft und berechnen Sie die Werte der ersten und zweiten Ableitung beim Punt A (also an der Stelle x = 0). [Kontrolle: h( 0) = ; h( 0) = 0 ] Begründen Sie, warum eine ganzrationale Funtion.Grades nie als Verbindungsfuntion von A und B in Frage ommen ann. Ermitteln Sie eine ganzrationale Funtion.Grades, die Verbindungsfuntion sein ann. b) Ein Verehrsplaner schlägt die Funtion f mit 4 f(x) = x + x x, 0 x 6 4 als Verbindungsfuntion vor. (9 P) Überprüfen Sie, ob die Vorgaben eingehalten worden sind. Die direte Straße von A nach B (s.zeichnung) und die Trasse, beschrieben durch den Graphen zu f, haben außer A und B eine gemeinsamen Punte (das muss nicht gezeigt werden) und schließen eine Fläche ein. Bestimmen Sie den Inhalt dieser Fläche in m. ( P) Seite von 5

2 Kernfach Mathemati Der Planer behauptet, die Gerade x =, würde die eingeschlossene Fläche in etwa halbieren. Untersuchen Sie diese Aussage. c) Zur Beschreibung der Bahnlinie von A nach B standen auch g(x) = (x )ln x + zur Funtionen der Schar g ( R) mit ( ) Disussion. Bestimmen Sie die ersten beiden Ableitungen der Funtionen g. x (Kontrolle: g(x) = + ln ( x + ), x + + g(x) = + ) (x + ) x + Untersuchen Sie, ob es Graphen der Schar g gibt, die die Anschlussbedingungen bei A erfüllen. Entscheiden Sie, ob es eine Funtion g gibt, die Verbindungsfuntion sein ann. (6 P) d) Bestimmen Sie durch eine geeignete Integrationsmethode eine Stammfuntion von g. ( P) Seite von 5

3 Kernfach Mathemati Aufg. Erwartete Leistung Zuordnung Bewertung a) Die Funtionsgleichung der Bahnlinienfuntion ist h(x) = x, da hier eine Ursprungsgerade mit Steigung vorliegt. Wegen h(x) = gilt h( 0) = und h( 0) = 0. Eine ganzrationale Funtion.Grades hat als Funtionsgleichung p(x) = ax + bx + c mit a,b,c R,a 0. Nun ist aber p(x) = a 0, also wäre der Anschluss nicht nicfei. I II III Der Ansatz für die Funtionsgleichung einer ganzrationalen Funtion.Grades ist f(x) = ax + bx + cx + d. Wegen f(0) = 0 muss d = 0 sein. Da = + + und f( 0) f(x) ax bx c = ist, folgt c =. Mit f (x) = 6ax + b und f ( 0) = 0 erhält man b = 0. Damit ist zunächst f(x) = ax x. Da der Graph durch B laufen muss, gilt f( ) =, also f( ) = 8a =, d.h. Die mögliche Verbindungsfuntion.Grades ist f(x) = x x. 8 a =. 8 b) 4 Es ist f(x) = x + x x, 0 x. Die Ableitungen 6 4 sind f(x) = x + x und f (x) = x + x. Somit ist f( 0) = 0, f( 0) = und f ( 0) = 0. Damit erfüllt die vorgeschlagene Funtion die Anschlussbedingung bei A. Wegen f( ) = = verläuft der Graph auch 6 4 durch B, alle Vorgaben sind also erfüllt. Seite von 5

4 Kernfach Mathemati Die Straße verläuft entlang der Geraden s mit s(x) = x. Da nur A und B gemeinsame Punte sind, gilt für den Inhalt der eingeschlossenen Fläche: 4 A = s(x) f(x)dx = x x + x dx A = x x + x = + =, Der eingeschlossene Flächeninhalt beträgt,6 m. Betrachtet man nun die eingeschlossene Fläche bis zur Geraden x =,, so ergibt sich 5 4, 5 4,,, 6 A = x x + x = + 0, A Da 0, 497 ist, ist die Aussage des Planers zutreffend. A c) Mit g(x) (x )ln ( x ) = + folgt g(x) = (x ) + ln(x + ) und auch x + (x + ) (x ) + g(x) = + = + (x + ) x + (x + ) x + Weil g( ) ( )ln ( ) 0 = = 0, g( 0) = ( 0 ) + ln( 0 + ) = und g ( 0) = + = + ist, sind alle geforderten ( 0 + ) 0 + Bedingungen nur für = erfüllt, dh die Funtion g erfüllt die Anschlussbedingungen. Aber es ist g ( ) = ( )ln ( + ) = ln( ), d.h. ein Graph der Schar g ommt als Verbindungsurve in Frage. Seite 4 von 5

5 Kernfach Mathemati d) g (x) ( x ) ln ( x ) = +. Man verwendet die partielle Integration: ( ) u(x) = ln x + v(x) = x x + = = u(x) v(x) x x, also x + x ( x ) ln ( x + ) dx = ( x x)ln(x + ) dx x + x + = ( x x)ln(x + ) + x dx x + = ( x x)ln(x + ) + xdx = (x + x)ln(x + ) + x. 5 Seite 5 von 5