Bayern FOS BOS 12 Fachabiturprüfung 2015 Mathematik (Nichttechnische Ausbildungsrichtungen) Analysis A I

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1 Bayern FOS BOS Fachabiturprüfung 05 Mathematik (Nichttechnische Ausbildungsrichtungen) Analysis A I.0 Nebenstehende Abbildung zeigt den Graphen G f ' der ersten Ableitungsfunktion einer in ganz 0 definierten ganzrationalen Funktion f dritten Grades. Alle im Folgenden zu entnehmenden Werte sind ganzzahlig.. Geben Sie nur mithilfe des Graphen G f ' die maximalen Monotonieintervalle und die Wendestelle des Graphen der Funktion f an. Begründen Sie das Vorliegen der Wendestelle hinreichend. ( BE). Bestimmen Sie ausgehend vom Graphen G f ' den Funktionsterm f '(x) und dann den Funktionsterm f(x) für den Fall, dass G f den Ursprung enthält. [Mögliches Teilergebnis: f(x) = (x3 x )] (5 BE).3 Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f mit der jeweiligen Vielfachheit und ermitteln Sie unter Verwendung vorliegender Ergebnisse Art und Koordinaten der Extrempunkte und den Wendepunkt des Graphen G f. ( BE).4 Zeichnen Sie die Graphen der Funktionen f und f ' im Bereich x in ein kartesisches Koordinatensystem. (5 BE).5 Berechnen Sie die Maßzahl des im 4. Quadranten liegenden endlichen Flächenstücks, das nur von den Graphen G f und G f ' begrenzt wird, und runden Sie das Ergebnis auf zwei Nachkommastellen..0 Gegeben ist die abschnittsweise definierte Funktion 3 (x x ) für x < 0 h: x x x für x 0. Markieren Sie den Graphen der Funktion h farbig im vorhandenen Koordinatensystem und machen Sie damit Aussagen zur Stetigkeit und Differenzierbarkeit der Funktion h an der Stelle x = 0 (kurze Begründung erforderlich). (4 BE). Geben Sie die maximalen Monotonieintervalle sowie Art und Koordinaten sämtlicher Extrempunkte des Graphen der Funktion h an. (4 BE).3 Die Funktion h entsteht aus h, wenn für x 0 der Term x x+ verwendet wird. Erläutern Sie, welche Aussagen man zur Stetigkeit und Differenzierbarkeit von h an der Stelle x = 0 machen kann. 05-

2 3.0 Auf einem Campingplatz möchte der Pächter in einem Zelt ein Kino einrichten. Als Projektionsfläche dient eine Seitenwand, welche durch die Parabel G p und die x-achse begrenzt wird. Am Boden hat das Zelt eine Spannweite von 0 m. Bei den folgenden Rechnungen wird auf Einheiten verzichtet. 3. Bestimmen Sie den Funktionsterm p(x) der Parabel G p. [Mögliches Ergebnis: p(x) = 0,08x + 8] 3. Es ist beabsichtigt, eine Leinwand von 7 m x 4 m anzubringen, wobei sich die Unterkante der Leinwand in einer Höhe von 3 m befindet. Untersuchen Sie durch Rechnung, ob dies an der Seitenwand möglich ist Ein Filmverleih rät dem Pächter zu einer Leinwand bei einer Unterkante in 3 m Höhe (siehe Skizze 3.0) Stellen Sie die Maßzahl A(u) des Flächeninhalts der Leinwand auf und bestimmen Sie eine sinnvolle Definitionsmenge D A der Funktion A: u A(u). [Mögliches Teilergebnis: A(u) = 0,u 3 + 0u] 3.3. Ermitteln Sie u so, dass A(u) den absolut größten Wert annimmt. Berechnen Sie für diesen Fall Höhe, Breite und Flächeninhalt der Leinwand. Runden Sie auf zwei Nachkommastellen. (0 BE) 05-

3 Tipps und Hinweise zur Lösung von Aufgabe A I Teilaufgabe. r Das Vorzeichen von f ' bestimmt das Monotonieverhalten in einem Intervall. r Hinreichende Bedingung für eine Wendestelle x 0 ist die Extremaleigenschaft der Funktion f ' bei x 0. Teilaufgabe. r Beachten Sie, dass die Funktion f ' eine quadratische Funktion ist. r Integrieren Sie f ' und ermitteln Sie die auftretende Integrationskonstante anhand der gegebenen Eigenschaft. Teilaufgabe.3 r Ermitteln Sie mithilfe der Nullproduktregel die Nullstellen und geben Sie deren Vielfachheiten an. r Bestimmen Sie die Art der Extremstellen anhand des Vorzeichenwechsels von f '. Teilaufgabe.4 r Zeichnen Sie die Graphen der Funktionen f und f ' mithilfe vorliegender Ergebnisse und Berechnung zusätzlicher geeigneter Funktionswerte. Teilaufgabe.5 r Bestimmen Sie die Schnittstellen der Graphen G f und G f '. r Berechnen Sie die Maßzahl des Flächeninhalts unter Verwendung des bestimmten Integrals. Teilaufgabe. r Beachten Sie den Zusammenhang zwischen Sprungstelle und Stetigkeit sowie zwischen Knickstelle und Differenzierbarkeit. Teilaufgabe. r Mit Teilaufgabe. folgt das Monotonieverhalten der Funktion h für x < 0. r Beachten Sie, dass der Graph der Funktion h für x 0 eine nach oben geöffnete Parabel ist. Teilaufgabe.3 r Untersuchen Sie, ob die Stetigkeitsbedingung an der Nahtstelle erfüllt ist. r Beachten Sie, dass Stetigkeit eine notwendige Voraussetzung für Differenzierbarkeit ist. Teilaufgabe 3. r Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Parabel G p mit dem Ansatz p(x) = a (x x S ) + y S und den gegebenen Eigenschaften. Teilaufgabe 3. r Bestimmen Sie mithilfe der Parabelgleichung die Höhe der Oberkante der Leinwand. 05-3

4 Teilaufgabe 3.3. r Verwenden Sie die Flächenformel für den Inhalt des Rechtecks. r Beachten Sie, dass das Rechteck die Breite u und die Höhe p(u) 3 hat. r Eine sinnvolle Definitionsmenge ergibt sich aus den jeweils positiven Maßzahlen der Seitenlängen des Rechtecks. Teilaufgabe 3.3. r Bestimmen Sie zunächst das relative Maximum der Funktion A. r Zeigen Sie, dass das relative Maximum das absolute ist. 05-4

5 Lösung. Monotonieverhalten Anhand der Abbildung des Graphen G f ' ergibt sich: f '(x) > 0 für x ] ; 0 [ sowie für x ] 4; [ f '(x) < 0 für x ] 0; 4 [ f ist im gesamten Definitionsbereich stetig, somit folgt: f ist streng monoton zunehmend im Intervall ] ; 0] sowie im Intervall [4; [. f ist streng monoton abnehmend im Intervall [0; 4]. Wendepunkt G f ' hat bei x = eine Extremstelle (Minimalstelle). Also hat der Graph von f bei x = eine Wendestelle.. Der Abbildung des Graphen G f ' lassen sich die einzigen Nullstellen x = 0 bzw. x = 4 entnehmen. Die Funktion f ist eine ganzrationale Funktion 3. Grades. Deshalb ist die Ableitungsfunktion f ' eine quadratische Funktion. In faktorisierter Darstellung ergibt sich für f ' die Funktionsgleichung: f '(x) = a x (x 4) Formfaktor a 0 \ {0} Der Punkt S(; ) liegt auf G f ', somit gilt: f '() = eingesetzt ergibt: a ( 4) = a = Ergebnis: f'(x) = x(x 4) f'(x) = x x Die Funktion f ergibt sich durch Integration: f(x) = f'(x)dx f(x) = x x dx f(x) = x3 x+ C; C 0 Bestimmung der Integrationskonstanten C Der Ursprung O(0; 0) liegt auf G f, somit gilt: f(0) = 0 eingesetzt ergibt: C = 0 C= 0 Ergebnis: f(x) = x3 x 05-5