2005 Nachtermin Nichttechnik 12 Testen korrigiert! Analysis

Transkript

1 Analysis Gegeben ist die reelle Funktion f : xa x + x x ; D f = IR. 4 3 Der Graph der Funktion f heißt G. In den folgenden Teilaufgaben kann auf zwei Nachkommastellen gerundet werden. f 1.1 Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f. Geben Sie auch die zugehörigen Vielfachheiten an. 1.2 Ermitteln Sie Art und Koordinaten aller relativen Extrempunkte von G f.(7 BE) 1.3 Bestimmen Sie die maximalen Intervalle für einheitliches Krümmungsverhalten des Graphen G. (5 BE) f 1.4 Zeichnen Sie unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse und geeigneter Funktionswerte den Graphen G für 3 x 2 in ein Koordinatensystem. f Verwenden Sie eine eigene Seite. Maßstab auf beiden Achsen: 1 LE = 2cm. (5 BE) 2.0 Die reelle Funktion 3 g': x a ax + bx ; D g' = R ist bei geeigneter Wahl der reellen Parameter a und b die erste Ableitung der Funktion g : x a g(x). Der Graph dieser Funktion g heißt G g Der Graph G g geht durch den Punkt A(0; ). Die Tangente an G g verläuft 3 13 im Punkt B( 1; ) parallel zur Winkelhalbierenden des II. und IV. Quadranten. Berechnen Sie den Funktionsterm g(x) der Funktion g. (7 12 BE) [Mögliches Ergebnis: g(x) = x ] Begründen Sie rechnerisch, dass die Graphen G f und G g genau zwei gemeinsame Punkte besitzen, von denen einer ein Berührpunkt ist. Berechnen Sie deren Koordinaten und zeichnen Sie unter Verwendung der bisherigen Ergebnisse G für 2 x 2 in das Koordinatensystem von Aufgabe 1.4 ein. g (8 BE) Seite 1 von 7

2 2.3 Die Graphen G f und G g schließen miteinander ein Flächenstück ein. Berechnen Sie, in welchem Verhältnis die y-achse dieses Flächenstück teilt. 3.0 Gegeben ist nun die abschnittsweise definierte Funktion mit f (x) für x 1 k : x a D g(x) für x > 1 k = IR. Der Graph dieser Funktion wird G k genannt. (7 BE) 3.1 Markieren Sie den Graphen G k farbig im Koordinatensystem von Aufgabe 1.4. Entscheiden Sie mit Hilfe der Zeichnung ob die Funktion k an der Stelle x = 1 stetig und differenzierbar ist. 0 Begründen Sie ihre Aussage in Worten. (3 BE) 3.2 Die Funktion k ist überall stetig. Untersuchen Sie nunmehr rechnerisch, ob die Funktion k an der Stelle x0 = 1 differenzierbar ist. (3 BE) 4.0 Aus einem quadratischen Stück Blech mit der Seitenlänge a = 100 cm soll durch Abschneiden von zwei Dreiecken und zwei Quadraten (siehe Skizze links) und anschließendes Aufbiegen der Seitenteile eine Schaufel gefertigt werden (siehe Skizze rechts). a h h a h 4.1 Stellen Sie die Maßzahl des Volumens V(h) der Schaufel ( halbierter Quader ) in Abhängigkeit von der Höhe h dar. Geben Sie zudem eine sinnvolle Definitionsmenge D V an. [Mögliches Teilergebnis: 3 2 V(h) = h 150h h ] (5 BE) 4.2 Bestimmen Sie nun h so, dass das Volumen der Schaufel den größten Wert annimmt. Berechnen Sie auch das maximale Volumen V max. (6 BE) Seite 2 von 7

3 Stochastik 1.0 Eine Molkerei stellt Kondensmilch her. Diese Milch wird in Dosen gefüllt, die Dosen werden dann mit einem Deckel versehen und etikettiert. Im Durchschnitt werden 900 von 1000 Dosen exakt gefüllt (F), bei 485 von 500 Dosen schließt der Deckel richtig (S), bei jeder 50. Dose ist das Etikett fehlerhaft angebracht ( E ). Die Fehler bei den einzelnen Teilschritten treten unabhängig voneinander auf. Der Ablauf Füllen, Verschließen, Etikettieren wird als Zufallsexperiment aufgefasst. Die aus den Angaben zu ermittelnden relativen Häufigkeiten werden als Wahrscheinlichkeiten interpretiert. Runden Sie alle Wahrscheinlichkeiten auf 4 Stellen nach dem Komma. 1.1 Ermitteln Sie alle Elementarereignisse des Zufallsexperiments und deren Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe eines Baumdiagramms. (6 BE) 1.2 Es werden nun folgende Ereignisse betrachtet: E 1 : Eine zufällig ausgewählte Dose hat alle drei Produktionsschritte fehlerfrei durchlaufen. E = FSE;FSE;FSE 2 { } Geben Sie das Ereignis E 1 in aufzählender Mengenschreibweise an und beschreiben Sie das Ereignis E 2 mit Worten. Ermitteln Sie auch die zugehörigen jeweiligen Wahrscheinlichkeiten. [Teilergebnis: P(E 1 ) = 0,8555] 1.3 Gegeben sind ferner die Ereignisse: E 3 : Eine zufällig ausgewählte Dose ist richtig befüllt und etikettiert. E 4 : Bei einer zufällig ausgewählten Dose schließt der Deckel nicht. Untersuchen Sie, ob die Ereignisse stochastisch unabhängig sind. 1.4 Nun werden 8 zufällig ausgewählte Dosen daraufhin untersucht, ob alle drei Produktionsschritte fehlerfrei durchlaufen wurden. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass a) nur die ersten beiden Dosen fehlerhaft sind. b) höchstens zwei Dosen fehlerhaft sind. c) mindestens eine Dose fehlerhaft ist. (6 BE) Seite 3 von 7

4 2.0 Die Dosen werden in Kartons zu je 100 Stück verpackt, wobei jeweils höchstens 5 fehlerhafte auftreten. Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der fehlerhaften Dosen in einem Karton an. Dabei ergibt sich mit a, b IR folgende Verteilung. x P(X = x) 0,2 a 0,2 b 0,1 0, Berechnen Sie a und b, wenn mit durchschnittlich 1,8 fehlerhaften Dosen pro Karton gerechnet werden darf. [Teilergebnis: a = 0,3] 2.2 Berechnen Sie jeweils die Wahrscheinlichkeit dafür, dass sich a) mehr als drei fehlerhafte Dosen in einem solchen Karton befinden. b) die Zufallswerte innerhalb der einfachen Standardabweichung um den Erwartungswert befinden. (6 BE) 3.0 Ein Hersteller der Dosenabfüll- und Etikettieranlage bietet eine neue Maschine an, von der er behauptet, dass die Quote für eine fehlerhaft gefertigte Dose 5% beträgt. Es wird vermutet, dass die Fehlerquote höher liegt (Gegenhypothese). Um dies zu überprüfen, werden einer Demonstrationsanlage 200 Dosen entnommen und auf Fehler untersucht. 3.1 Geben Sie die Testgröße und die Nullhypothese an. Berechnen Sie den größtmöglichen Ablehnungsbereich der Nullhypothese auf dem 5%-Niveau. Entscheiden Sie aufgrund dieses Tests, ob die Nullhypothese abgelehnt wird, wenn 14 fehlerhafte Dosen festgestellt werden. (7 BE) 3.2 Beschreiben Sie, worin bei diesem Beispiel der Fehler 2. Art besteht. Erläutern Sie, worin die Schwierigkeit bei der Berechnung dieser Fehlerwahrscheinlichkeit liegt. (3 BE) Seite 4 von 7

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7 Testgröße T: Anzahl der fehlerhaften Dosen von 200 H 0 : p = 0,05 ; Annahmebereich von H 0 : A ={ 0;...:c}Ablehnungsbereich V = {c+1;...;200} 1-0,05 0,95: Tafelwerk: c = 15 A = { 0;...:15}; V = {16;...;200}. Bei 14 fehlerhaften Dosen wird H 0 nicht abgelehnt. Seite 7 von 7