Pflichtaufgaben Teil A. 1. Dargestellt ist der Graph einer ganzrationalen Funktion f, der punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist.

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1 Pflichtaufgaben Teil A 1. Dargestellt ist der Graph einer ganzrationalen Funktion f, der punktsymmetrisch zum Koordinatenursprung ist. a) Geben Sie je eine Stelle an, an der die Funktion f die folgende Eigenschaft besitzt: An der Stelle x 1 ist die erste Ableitung von f negativ. An der Stelle x 2 ist die erste Ableitung von f maximal. y 4 3 f x b) Der Graph von f, die x-achse, die Geraden x = 2 und x = 1 begrenzen Flächen. Geben Sie einen Term zur Berechnung des gesamten Flächeninhaltes an. c) Bestimmen Sie den Wert des Integrals (f(x) + 2)dx Gegeben ist die Funktion f durch f(x) = x 2 e x (x R). Zeigen Sie, dass gilt: f (x) = (x 2 + 2x) e x. Bestimmen Sie an der Stelle x = 1 die Gleichung der Tangente an den Graphen von f. 3. Der Graph der Funktion f(x) = sin x wird um drei Einheiten nach oben verschoben und danach an der x-achse gespiegelt. Geben Sie eine Gleichung der veränderten Funktion an.

2 2 4. Gegeben ist das Viereck ABCD mit A(2 3 4), B(1 2 4), C(4 5 7) und D(5 6 7). a) Zeigen Sie, dass dieses Viereck ein Parallelogramm ist. b) Ermitteln Sie die Koordinaten eines Punktes E, der die Diagonale BD im Verhältnis 1 : 3 teilt. c) Die Gerade g verläuft durch die Punkte A und B. Untersuchen Sie die Lage von g bezüglich der x-achse. 5. Fünf Freunde buchen in einer Jugendherberge ein Doppelzimmer und ein Dreibettzimmer. Ein Zufallsexperiment soll über die Zimmerbelegung entscheiden. Beschreiben Sie ein dafür geeignetes Zufallsexperiment. 6. Ein Behälter enthält 100 Kugeln, davon sind genau 20 gelb. Es wird mehrmals eine Kugel zufällig entnommen und wieder zurückgelegt. a) Für ein Ereignis A gilt: P(A) = ( 25 7 ) 0,27 0,8 18. Formulieren Sie das Ereignis A in Worten. b) Geben Sie einen Term für die Berechnung der Wahrscheinlichkeit des Ereignisses B an. B: = Unter zehn entnommenen Kugeln ist mindestens eine gelbe.

3 3 Wahlaufgabe B1 Gegeben ist für jede positive reelle Zahl a eine Funktion f a durch f a (x) = ax 4 a 2 x (x R). Die Funktion g ist gegeben durch g(x) = 1 4 x (x R, x 0). 2 x a) Geben Sie zwei gemeinsame Eigenschaften der Graphen von f 3 und g an. b) Die Graphen von f 3 und g begrenzen zwei Flächen vollständig. Berechnen Sie den gesamten Flächeninhalt. c) Die Stellen, an denen die Differenz der Funktionswerte von f 2 und f 3 im Intervall 2 x 2 am größten ist, sollen mit Mitteln der Differenzialrechnung bestimmt werden. Beschreiben Sie das Vorgehen. Geben Sie diese Stellen und die maximale Differenz an. d) Es gibt eine positive reelle Zahl a B, für die sich die Graphen von f a und g berühren. Beschreiben Sie ein Verfahren, um a B zu bestimmen. Eine gute Näherung für diese Zahl ist a B 2,8. Geben Sie die Anzahl der gemeinsamen Punkte der Graphen von f a und g in Abhängigkeit von a an. 5 BE

4 4 e) Die Tangenten und Normalen an den Graphen von g an den Stellen x 1 = 4 und x 2 = 4 bilden ein Viereck. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Vierecks. f) Die Gleichung der Funktion h ist gegeben durch h(x) = c g(x + b) (b, c R). Die Hochpunkte des Graphen von h haben die Koordinaten H 1 (0 2015) und H 2 ( ). Bestimmen Sie die Werte der Parameter b und c.

5 5 Wahlaufgabe B2 Die Begrenzung eines künstlich angelegten Kanals kann durch den Graphen einer Funktion f mit f(x) = 4 e 1 4 x2 + 4 ( 5 x 5, x und f(x) in Meter) beschrieben werden. a) Geben Sie die maximale Tiefe des Kanals an. Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte, in denen die Begrenzungslinie des Kanalquerschnittes am steilsten ist. b) Zur Ermittlung der Durchflussmenge benötigt man den Flächeninhalt des Kanalquerschnittes. Berechnen Sie diesen Flächeninhalt. c) Der durchschnittliche Wasserspiegel liegt in einer Höhe von 3 m. Durch das letzte Hochwasser lagerte sich am Boden des Kanals Gestein ab. Diese Ablagerung hat eine Höhe von 0,5 m. Untersuchen Sie, ob dadurch der durchschnittliche Wasserspiegel um 15 cm gestiegen ist. d) Vor dem Hochwasser stand ein 4,50 m langer Messstab im Punkt P(1 f(1)) senkrecht zur Wasseroberfläche in einer Halterung. Berechnen Sie die Länge des Stückes, das bei einem Wasserstand von 3 m Höhe aus dem Wasser herausragte.

6 6 Nach dem Hochwasser stellt der Kanalwärter bei einem Kontrollgang fest, dass der Messstab nicht mehr in der Halterung steckt und umgefallen ist. Der Stab liegt in der Querschnittsfläche des Kanals und berührt die Begrenzung im Punkt B(2 f(2)). Das untere Stabende befindet sich auf der Ablagerung. Untersuchen Sie, ob bei vollständig gefülltem Kanal der Messstab noch aus dem Wasser herausragen würde. 5 BE e) Die durchschnittliche Fließgeschwindigkeit im Kanal beträgt 1,5 m s. Ein Holzstück fällt in den Kanal. Ermitteln Sie die Zeit, die das Holzstück für eine Strecke von einem Kilometer benötigt. Durch Ausbaggern wurden die Ablagerungen im Kanal beseitigt. Berechnen Sie die Wassermenge, die bei vollständig gefülltem Kanal in einer Stunde eine Stelle des Kanals passiert. f) Die Begrenzungslinie des Kanalquerschnittes soll durch eine andere Funktion v beschrieben werden. Geben Sie einen geeigneten Funktionstyp an und begründen Sie ihre Wahl. Bestimmen Sie eine Funktionsgleichung von v.

7 7 Wahlaufgabe C1 1. Gegeben sind eine Gerade g durch die Punkte A(4 8 2) und B( 2 5 1) sowie für jede reelle Zahl t ein Punkt C t (t 2t 3t). a) Zeigen Sie, dass keine reelle Zahl t existiert, so dass der Punkt C t auf der Geraden g liegt. Berechnen Sie den Abstand des Punktes C 3 (3 6 9) zur Geraden g. b) Der Punkt C 3 wird an der Geraden g gespiegelt. Ermitteln Sie die Koordinaten des Bildpunktes von C 3. c) Die Gerade g schneidet die y-achse im Punkt S. Berechnen Sie die Koordinaten von S und die Größe des Winkels, unter dem die Gerade g die y-achse schneidet. d) Alle Punkte C t liegen auf einer Geraden. Geben Sie eine Gleichung für diese Gerade an. e) Geben Sie die Gleichungen zweier Geraden k und m in Parameterform an, die parallel aber nicht identisch zueinander sind, und weisen Sie nach, dass die von Ihnen gewählten Geraden die geforderten Bedingungen erfüllen.

8 8 2. Die Blutgruppen A, B, AB und 0 sind in Deutschland wie folgt verteilt. Blutgruppe A B AB 0 Rhesusfaktor Anteil in % Nach: ( ) In einem Blutspendezentrum in Deutschland spenden 270 Personen Blut. Legen Sie für die folgenden Berechnungen das Modell der Binomialverteilung zugrunde. a) Berechnen Sie die zu erwartende Anzahl der Spender mit Blutgruppe 0. b) Drei Spender werden zufällig ausgewählt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse, wenn die Rhesusfaktoren nicht berücksichtigt werden. E 1 : = Alle 3 Spender haben Blutgruppe A. E 2 : = Genau 2 der 3 Spender haben die gleiche Blutgruppe. c) Gesucht werden Spender für Patienten mit der Blutgruppe AB. Dafür kommen Träger der Blutgruppen 0, B, A und AB in Frage. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass unter den 270 Spendern folgende Anzahlen möglicher Spender gefunden werden: E 3 : = genau 30 E 4 : = mindestens 30 E 5 : = höchstens 30 d) Ermitteln Sie die Anzahl der Spender, die man mindestens nach ihrer Blutgruppe befragen muss, damit man mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 97 % mindestens einen Träger der Blutgruppe A + findet.

9 9 Wahlaufgabe C2 1. Von einer geraden Pyramide mit quadratischer Grundfläche ABCD und der 2 Spitze S sind A(2 1 2), B(2 5 2) und AS = ( 2 ) gegeben. 5 a) Bestimmen Sie die Koordinaten der Spitze S, des Höhenfußpunktes F sowie der Punkte der Grundfläche C und D. Stellen Sie die Pyramide in einem Koordinatensystem dar. b) Durch die Punkte A und S verläuft eine Gerade g. Berechnen Sie den Abstand der Geraden g vom Koordinatenursprung. Geben Sie die Koordinaten des Punktes an, in dem die Gerade g die x-y-ebene durchstößt. 2. Eines der größten Laufsportereignisse Thüringens ist der Rennsteiglauf mit jährlich etwa Teilnehmern. Lena und ihr Opa absolvieren eine Wanderstrecke. Während ihrer Wanderung beobachtet Lena die Farben der T-Shirts der vorbeikommenden Läufer. Unter 100 Läufern findet sie 17 rote, 33 blaue, 18 grüne und 32 andersfarbige T-Shirts. Nun versuchen beide, die T-Shirt-Farben der nachfolgenden Läufer vorherzusagen. a) Geben Sie an, unter welchen Bedingungen für die Berechnung der Wahrscheinlichkeiten der nachfolgenden Ereignisse das Modell der Binomialverteilung angewendet werden kann. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse. A: = Unter den nächsten 20 Läufern tragen genau fünf ein rotes T-Shirt. B: = Unter den nächsten 20 Läufern tragen mindestens 4 und höchstens 7 ein blaues T-Shirt. C: = Unter den nächsten 100 Läufern tragen mehr als die Hälfte keine roten oder blauen T-Shirts. 5 BE

10 10 b) Lena wählt sich eine Farbe aus und stellt fest, dass genau drei der nächsten 20 Läufer ein T-Shirt dieser Farbe tragen. Opa soll nun erraten, welche Farbe Lena gewählt hat. Geben Sie eine Farbe an, für die sich Opa entscheiden sollte. Begründen Sie Ihre Entscheidung. c) Beschreiben Sie ein Ereignis, dessen Wahrscheinlichkeit mit folgendem Term berechnet werden kann. ( 10 0 ) 0,180 0, ( 10 1 ) 0,181 0, ( 10 2 ) 0,182 0,82 8 d) Am Abend findet eine Läuferparty statt. Der Veranstalter rechnet mit eintausend Gästen. In den letzten Jahren waren etwa 30 % der verkauften Getränke Apfelschorle. In diesem Jahr ist zusätzlich ein neues Sportgetränk im Angebot. Der Veranstalter vermutet daher, dass der Anteil an Apfelschorle nur noch 20 % der verkauften Getränke beträgt und wünscht sich eine Überprüfung seiner Hypothese. Sein pfiffiger Sohn schlägt dazu einen Alternativtest vor. Bei diesem sollen die Hypothesen H 0 : p 0 = 0,2 und H 1 : p 1 = 0,3 getestet werden. Hierfür möchte er bei den ersten 50 verkauften Getränken die Anzahl der Gläser Apfelschorle zählen. Ermitteln Sie, wie der Sohn den Annahmebereich festlegen soll, damit die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Vermutung p 0 = 0,2 zu Unrecht abgelehnt wird, unter 10 % bleibt. Der Sohn zählt 17 Gläser Apfelschorle. Beurteilen Sie dieses Ergebnis.