Abitur 2013 Mathematik Geometrie V

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1 Seite 1 Seite Abitur 1 Mathematik Geometrie V Teilaufgabe b ( BE) Ein auf einer horizontalen Fläche stehendes Kunstwerk besitzt einen Grundkörper aus massiven Beton, der die Form eines Spats hat. Alle Seitenflächen eines Spats sind Parallelogramme. In einem Modell lässt sich der Grundkörper durch einen Spat A B C D P Q R S mit A(8 ), B(8 1 ), D( ), und P ( ) beschreiben (vgl. Abbildung). Die rechteckige Grundfläche A B Q P liegt in der x 1 x -Ebene. Im Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit, 1 m, d. h. der Grundkörper ist, m hoch. Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E, in der die Seitenfläche A B C D liegt, in Normalenform. (mögliches Ergebnis: E : x 1 + x 8 = ) Teilaufgabe c ( BE) Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem die Seitenfläche A B C D gegen die x 1 x - Ebene geneigt ist. Teilaufgabe d ( BE) Die Seitenfläche P Q R S liegt in eine Ebener F. Bestimmen Sie, ohne zu rechnen, eine Gleichung von F in Normalenform; erläutern Sie Ihr Vorgehen. Teilaufgabe e ( BE) Machen Sie plausibel, dass das Volumen des Spats mithilfe der Formel V = G h berechnet werden kann, wobei G der Flächeninhalt des Rechtecks A B Q P und h die zugehörige Höhe des Spats ist. Teilaufgabe f ( BE) Ein Kubikmeter des verwendeten Betons besitzt eine Masse von, 1 t. Berechnen Sie die Masse des Grundkörpers. Der Grundkörper ist mit einer dünnen geradlinigen Bohrung versehen, die im Modell vom Punkt H(11 ) der Deckfläche D C R S aus in Richtung des Schnittpunkts der Diagonalen der Grundfläche verläuft. In der Bohrung ist eine gerade Stahlstange mit einer Länge von 1, m so befestigt, dass die Stange zu drei Vierteln ihrer Länge aus der Deckfläche herausragt. Teilaufgabe g (7 BE) Bestimmen Sie im Modell eine Gleichung der Geraden h, entlang derer die Bohrung verläuft, sowie die Koordinaten des Punkts, in dem die Stange in der Bohrung endet. (zur Kontrolle: möglicher Richtungsvektor von h: ) Teilaufgabe a (5 BE) Geben Sie die Koordinaten des Punkts C an und zeigen Sie, dass die Seitenfläche A B C D ein Quadrat ist. Abitur Bayern 1 Geometrie V

2 Seite Seite Teilaufgabe h ( BE) Auf der Deckfläche des Grundkörpers liegt eine Stahlkugel mit einem Radius von, 8 m. Im Modell berührt die Kugel die Deckfläche des Spats im Punkt K. Beschreiben Sie, wie man im Modell rechnerisch überprüfen könnte, ob die Stahlkugel die Stange berührt, wenn die Koordinaten von K bekannt wären. Lösung Teilaufgabe a (5 BE) Ein auf einer horizontalen Fläche stehendes Kunstwerk besitzt einen Grundkörper aus massiven Beton, der die Form eines Spats hat. Alle Seitenflächen eines Spats sind Parallelogramme. In einem Modell lässt sich der Grundkörper durch einen Spat A B C D P Q R S mit A(8 ), B(8 1 ), D( ), und P ( ) beschreiben (vgl. Abbildung). Die rechteckige Grundfläche A B Q P liegt in der x 1 x -Ebene. Im Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit, 1 m, d. h. der Grundkörper ist, m hoch. Geben Sie die Koordinaten des Punkts C A B C D ein Quadrat ist. an und zeigen Sie, dass die Seitenfläche Abitur Bayern 1 Geometrie V

3 Seite 5 Seite Lösung zu Teilaufgabe a Lage eines Punktes A(8 ), B(8 1 ), D( ) Erläuterung: Lage des Punktes Da die Seite A B C D ein Parallelogramm ist, hat der Punkt C : - die gleiche x 1 -Koordinate wie der Punkt D x 1C = - die gleiche x -Koordinate wie der Punkt B x C = 1 - die gleiche x -Koordinate wie der Punkt D x C = C( 1 ) Lagebeziehung von Vektoren A B = B 8 A = 1 A D = D A = 8 8 = = 1 8 Erläuterung: Betrag eines Vektors Die Länge (bzw. der Betrag) a eines Vektors a 1 a = ist gegeben durch: a a = a 1 a Länge eines Vektors = a 1 a A B = 1 = = 1 8 A D = = + + = 1 A B = A D Alle Seiten sind gleich lang. A B C D ist ein Quadrat. = 1 + a + a Erläuterung: Senkrechte Vektoren Das Skalarprodukt zweier Vektoren, die senkrecht zueinander stehen, ist gleich Null. A B A D = 1 8 = + + = A B A D Das Parallelogramm A B C D ist somit ein Rechteck. Teilaufgabe b ( BE) Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E, in der die Seitenfläche A B C D liegt, in Normalenform. (mögliches Ergebnis: E : x 1 + x 8 = ) Lösung zu Teilaufgabe b Ebene aus drei Punkte Abitur Bayern 1 Geometrie V

4 Seite 7 Seite 8 Erläuterung: Vereinfachen Die Länge eines Normalenvektors ist nicht entscheidend für die Ebenengleichung. Der Normalenvektor muss nur senkrecht zur Ebene stehen. Vereinfachungen durch Ausklammern eines gemeinsamen Faktors bzw. Teilen durch einen Faktor sind erlaubt. Hier wird der Normalenvektor durch geteilt. Das erleichtert das Weiterrechnen wesentlich. Richtungsvektoren der Ebene E : A B = 1, A D = A(8 ) sei Aufpunkt des Ortsvektors der Ebene E. Ebenengleichung in Normalenform Normalenvektor n E Erläuterung: Vektorprodukt der Ebene E bestimmen: Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) a b zweier Vektoren a und b ist ein Vektor n, der senkrecht auf der von beiden Vektoren aufgespannte Ebene steht. Für die komponentenweise Berechnung gilt: a 1 b 1 b a b a b = b = a b 1 a 1 b a b a 1 b b 1 A B A D = 1 8 = 8 8 n E = 1 = 8 Ebenengleichung in Normalenform bestimmen: Erläuterung: Normalenform einer Ebene Zum Aufstellen der Normalenform einer Ebene werden nur der Normalenvektor und ein Punkt P aus der Ebene (Aufpunkt) benötigt. E : n E X = n E P Hier (A ist Aufpunkt): E : X = E : x 1 + x = E : x 1 + x 8 = 8 Teilaufgabe c ( BE) Berechnen Sie die Größe des Winkels, unter dem die Seitenfläche A B C D gegen die x 1 x -Ebene geneigt ist. Abitur Bayern 1 Geometrie V

5 Seite 9 Seite 1 Lösung zu Teilaufgabe c Winkel zwischen zwei Ebenen Erläuterung: Winkel zwischen zwei Ebenen Der Winkel α zwischen zwei Ebenen E und G ist gleich dem Winkel zwischen den Normalenvektoren n E und n G. Winkel zwischen den Normalenvektoren bestimmen: E : x 1 + x 8 = n E = (Normalenvektor der Ebene E) x 1 x -Ebene: x = n x1 x = (Normalenvektor der x 1 x -Ebene) 1 Neigungswinkel α bestimmen: Erläuterung: Skalarprodukt, Winkel zwischen zwei Vektoren Aus der allgemeinen Definition des Skalarproduktes zweier Vektoren a und b a b = a b cos ( a, b ) } {{ } α folgt für den Winkel α zwischen den beiden Vektoren: a b cos α = a b (Formel zur Winkelberechnung zwischen Vektoren) 1 cos α = 1 Abitur Bayern 1 Geometrie V

6 Seite 11 Seite 1 Erläuterung: Betrag eines Vektors Die Länge (bzw. der Betrag) a eines Vektors a = a 1 a a = a = 1 a = 1 + a + a a 1 ist gegeben durch: a cos α = cos α = 5 α = cos 1, 87 5 Teilaufgabe d ( BE) Die Seitenfläche P Q R S liegt in eine Ebener F. Bestimmen Sie, ohne zu rechnen, eine Gleichung von F in Normalenform; erläutern Sie Ihr Vorgehen. Lösung zu Teilaufgabe d Lagebeziehung von Ebenen Erläuterung: Normalenform einer Ebene Zum Aufstellen der Normalenform einer Ebene werden nur der Normalenvektor und ein Punkt P aus der Ebene (Aufpunkt) benötigt. E : n E X = n E P Da hier die Ebene F parallel zur Ebene E liegt, ist der Normalenvektor der Ebene E gleichzeitig auch Normalenvektor der Ebene F. Mit P ( ) als Aufpunkt, folgt: F : X = F : x 1 + x = F : x 1 + x = Die Ebene F ist parallel zur Ebene E und enthält den Koordinatenursprung. Teilaufgabe e ( BE) Machen Sie plausibel, dass das Volumen des Spats mithilfe der Formel V = G h berechnet werden kann, wobei G der Flächeninhalt des Rechtecks A B Q P und h die Abitur Bayern 1 Geometrie V

7 Seite 1 Seite 1 zugehörige Höhe des Spats ist. Lösung zu Teilaufgabe e Volumen eines geometrischen Körpers Verschiebt man also das Prisma nach vorne, so entsteht ein Quader, dessen Volumen mit dem des Spats übereinstimmt und sich mithilfe der Formel V = G h berechnen lässt. Teilaufgabe f ( BE) Ein Kubikmeter des verwendeten Betons besitzt eine Masse von, 1 t. Berechnen Sie die Masse des Grundkörpers. Lösung zu Teilaufgabe f Anwendungsaufgabe Volumen des Spats A B C D P Q R S bestimmen: V = G h Erläuterung: Aus der Angabe ist bekannt, dass die Höhe des Spats gleich, m ist. Erläuterung: Flächeninhalt eines Rechtecks/Parallelogramms Schneidet man ein Parallelogramm mit Seite a und Höhe h a entlang der Höhe und verschiebt im Anschluss das entstandene rechtwinklige Dreieck auf die andere Seite, so entsteht ein Rechteck mit Seiten a und h a. Der Flächeninhalt des Parallelogramms lässt sich dann berechnen als A = a h a. V = A B A P, Erläuterung: Aus Teilaufgabe a sind die Längen der Vektoren A B und A P bereits bekannt: A B = 1 (Längeneinheiten) A P = 8 (Längeneinheiten) Eine Längeneinheit im Koordinatensystem entspricht, 1 m. V = 1, 8, = 1, 8 m Das gleiche Prinzip kann auf ein dreidimensionales Parallelogramm (= Spat) übertragen werden. Masse bestimmen: 1, 8, 1 =, 58 t Schneidet man senkrecht den Spat entlang der x -Achse, so entsteht ein dreiseitiges Prisma. Die quadratische Seitenfläche dieses Prisma ist deckungsgleich mit dem Quadrat A B C D. Teilaufgabe g (7 BE) Abitur Bayern 1 Geometrie V

8 Seite 15 Seite 1 Der Grundkörper ist mit einer dünnen geradlinigen Bohrung versehen, die im Modell vom Punkt H(11 ) der Deckfläche D C R S aus in Richtung des Schnittpunkts der Diagonalen der Grundfläche verläuft. In der Bohrung ist eine gerade Stahlstange mit einer Länge von 1, m so befestigt, dass die Stange zu drei Vierteln ihrer Länge aus der Deckfläche herausragt. Bestimmen Sie im Modell eine Gleichung der Geraden h, entlang derer die Bohrung verläuft, sowie die Koordinaten des Punkts, in dem die Stange in der Bohrung endet. (zur Kontrolle: möglicher Richtungsvektor von h: ) Lösung zu Teilaufgabe g Geradengleichung aufstellen Erläuterung: Lage des Punktes, Mittelpunkt einer Strecke Die Grundfläche A B Q P ist ein Rechteck. Die Diagonalen schneiden sich im Punkt M und halbieren sich dabei. Die Koordinaten von M können also direkt aus den Koordinaten von A(8 ) und B(8 1 ) abgelesen werden. ( ) 8 M 1 Oder auch als Mittelpunkt der Strecke [B P ]: M = 1 ( B ) + P M(1 5 ) Schnittpunkt der Diagonalen der Grundfläche Richtungsvektor der Geraden h : H M = M 1 11 H = 5 = Erläuterung: Geradengleichung Eine Gerade g ist durch einen Ortsvektor P und einen Richtungsvektor v eindeutig bestimmt: g : X = P + µ v, µ R Wenn hier H als Aufpunkt genommen wird, dann ist (des Aufpunkts) der Geraden h. H der Ortsvektor H(11 ) h : X = 11 + λ Lage eines Punktes Abitur Bayern 1 Geometrie V

9 Seite 17 Seite 18 H M = 1 7 Erläuterung: Um zum Punkt T zu gelangen, bewegt man sich vom Punkt H aus, entlang der Geraden h. Der normierte Richtungsvektor H M der Geraden hat Länge 1 und gibt die Richtung an. Dieser Vektor passt dann T H-mal zwischen T und H rein. Gesucht: T Erläuterung: Einheitsvektor T = H + T H H M 11 T = + T H 1 7 Ein Einheitsvektor (normierter Vektor) hat die Länge 1. Um den Einheitsvektor zu einem gegebenen Vektor zu bestimmen, muss durch den Betrag des Vektors geteilt werden: a = 1 a a Der Einheitsvektor a zeigt in dieselbe Richtung wie a, hat aber die Länge 1. Erläuterung: Abstand zweier Punkte Die Stahlstange ragt zu ihrer Länge (1, m) aus der Deckfläche heraus. Anders gesagt: sie steckt zu 1 ihrer Länge in der Bohrung fest. Im Koordinatensystem entspricht eine Längeneinheit (LE), 1 m. Also: 1 m = 1 (LE). H M = 1 H M H M Erläuterung: Betrag eines Vektors Die Länge (bzw. der Betrag) a eines Vektors a 1 a = ist gegeben durch: a H M = a = a 1 a = a 1 a = 1 + a + a T H = 1 1, 1 =, 5 LE 11 T = +, = T (1, 5 ) Alternative Lösung T h T (11 + λ + λ λ) T H =, 5 T H = T H = H T = 11 1, λ + λ λ = λ λ λ Abitur Bayern 1 Geometrie V

10 Seite 19 Seite, 5 = 9λ + λ + λ, 5 = 9λ. Abstand d von M zur Geraden h berechnen.. Ist d = 8, so berührt die Stahlkugel die Stange., 5 = ±7λ λ = ± 1 Einsetzen von λ = ± 1 in T : T 1 (1, 5 ) und T (9, 5 9) Da die Bohrung Richtung x 1 x -Ebene führt, ist T 1 (1, 5 ) der gesuchte Punkt, also der Punkt mit der kleinsten x -Koordinate. Teilaufgabe h ( BE) Auf der Deckfläche des Grundkörpers liegt eine Stahlkugel mit einem Radius von, 8 m. Im Modell berührt die Kugel die Deckfläche des Spats im Punkt K. Beschreiben Sie, wie man im Modell rechnerisch überprüfen könnte, ob die Stahlkugel die Stange berührt, wenn die Koordinaten von K bekannt wären. Lösung zu Teilaufgabe h Abstand Punkt - Gerade 1. Mittelpunkt M der Kugel bestimmen. M entspricht dem um 8 Einheiten (der Radius der Kugel entspricht,8 m) in positive x -Richtung verschobene Punkt K. Abitur Bayern 1 Geometrie V