Theorie 1 1 / 2 Grundbegriffe

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1 Theorie 1 1 / 2 Grundbegriffe Was ist ein Vektor? Wie lassen sich Vektoren darstellen?

2 Theorie 1 2 / 2 Grundbegriffe Antwort : Ein Vektor ist die Menge aller gleichlangen, gleichgerichteten und gleichorientierten Pfeile in der Ebene oder im Raum. Die Darstellung erfolgt mittels Komponentenschreibweise : Allgemein : a a a Komponente Komponente Vektor im R² a a a a z Komponente Komponente z Komponente Vektor im R³ Beispiel : 2 a oder 3 1 b 5 3

3 Theorie 2 1 / 2 Vektoren - Grundrechnungsarten Die Grundrechnungsarten mit Vektoren Wie werden Vektoren addiert bzw subtrahiert? Wie wird ein Vektor mit einem Skalar multipliziert? Was versteht man unter dem Betrag eines Vektors?

4 Theorie 2 2 / 2 Vektoren - Grundrechnungsarten Antworten : Vektoren werden addiert bzw. subtrahiert, indem man sie komponentenweise addiert bzw. subtrahiert. Allgemein : a b a ± b ± = a b a ± b Bsp: = = Ein Vektor wird mit einem Skalar (einer Zahl) multipliziert, indem man jede Komponente des Vektors mit der Zahl multipliziert. Allgemein : a m a m = a m a Bsp : = 3 6 Der Betrag eines Vektors ist seine Länge. Bsp : Allgemein: a a a a z a a 2 a 2 a 2 z a a

5 Theorie 3 1 / 2 Punkt, Gerade, Ebene Darstellung eines Punktes, einer Geraden, einer Ebene Wie wird ein Punkt im Koordinatensstem dargestellt? Wie wird eine Gerade im Koordinatensstem dargestellt? Wie wird eine Ebene im Koordinatensstem dargestellt?

6 Theorie 3 2 / 2 Punkt, Gerade, Ebene Antwort : Darstellung eines Punktes P(/) im R² oder P(//z) im R³ ist die Koordinatendarstellung eines Punktes. Darstellung einer Geraden Sei p der Ortsvektor zum Punkt P auf einer Geraden g und a der Richtungsvektor der Geraden. Die Gerade läßt sich in Parameterschreibweise so darstellen: g : = p + t a, wobei t als Parameter bezeichnet wird. Diese Darstellung gilt im R² und im R³. Im R² gilt : Trennt man die obige Gleichung komponentenweise und eliminiert man den Parameter t, so erhält man eine lineare Gleichung in zwei Variablen und nach weiteren Umformungen den Term einer linearen Funktion. Die grafische Darstellung einer linearen Funktion = k. + d oder a. + b. = c ergibt eine Gerade. Ist g eine Gerade mit dem Normalvektor n und liegt der Punkt P auf g, dann läßt sich g in der Normalvektorform darstellen. g : n = n p oder g : n ( p) = 0 Darstellung einer Ebene Parameterform : Eine Ebene, auf der der Punkt P liegt, und die von den beiden Vektoren a und b aufgespannt wird, läßt sich folgendermaßen darstellen. : = p + t a + s b, s und t heißen Parameter Eliminiert man die Parameter t und s, dann erhält man die parameterfreie Form. Diese stellt eine lineare Gleichung in den 3 Variablen, und z dar. Normalvektorform : : n = n p ist. oder : n ( p ) = 0, wobei n ein Normalvektor auf die Ebene

7 Theorie 4 1/2 Streckensmmetrale Wie wird die Streckensmmetrale einer Strecke AB berechnet? Maturavorbereitung 8.Klasse ACDCA 1999 Vektorrechnung

8 Theorie 4 2/2 Streckensmmetrale Antwort: - Die Streckensmmetrale gibt es nur im R 2. - AB = b b a a n = AB ist ein Normalvektor der Streckensmmetrale und r = b a a b ein Richtungsvektor der Streckensmmetrale. - Bestimme den Halbierungspunkt der Strecke AB. (mathematisch nicht korrekte Merkform: H = 2 1 (A + B) = (H, H ) ) - Normalform: ( - H H ) n = 0 H - Parameterform: t r H Hinweis: Im R 3 kann analog eine Smmetrieebene zu der Strecke AB aufgestellt werden. Die Normalform der Ebenengleichung erhält man durch gleiche Vorgangsweise wie oben. Maturavorbereitung 8.Klasse ACDCA 1999 Vektorrechnung

9 Theorie 5 1/2 Winkelsmmetrale Wie wird eine Winkelsmmetrale berechnet? Welche Idee liegt der Rechnung zugrunde? Maturavorbereitung 8.Klasse ACDCA 1999 Vektorrechnung

10 Theorie 5 2/2 Winkelsmmetrale Antworten: 1. Idee: Die Diagonale in einem Rhombus halbiert den Winkel. - Der Winkel sei durch die Vektoren a und b bestimmt. - a 0 + b 0 ist dann ein Vektor in Richtung der Winkelsmmetralen. - Damit kann die Geradengleichung der Winkelsmmetralen aufgestellt werden. 2. Idee: Die Winkelsmmetrale ist die Menge aller Punkte, deren Abstände von den beiden Schenkeln gleich groß ist. - Der Winkel sei durch die Vektoren a und b und durch den Scheitel S bestimmt. - n sei ein Normalvektor zu a, m sei ein Normalvektor zu b so, dass die beiden Normalwinkel in das Winkelfeld hineinzeigen. - Mit n 0 und m 0 werden die entsprechenden Einheitsvektoren bezeichnet. - Dann wird die Winkelsmmetrale durch die Gleichung ( - s ) n 0 = ( - s ) m 0 bestimmt. Anstelle von S kann man auch einen Punkt P auf dem einen und einen Punkt Q auf den anderen Winkelschenkel verwenden. Die Gleichung lautet dann ( - p ) n 0 = ( - q ) m 0 Hier werden also Abstände gleichgesetzt! Siehe auch Abstand Punkt-Gerade im R 2 Maturavorbereitung 8.Klasse ACDCA 1999 Vektorrechnung

11 Theorie 6 1/2 Smmetrieebene, Winkelhalbierende Wie können die Smmetrieebenen zweier Ebenen berechnet werden? Welche mathematische Idee liegt der Rechnung zugrunde? (Hinweis: Smmetrieebene zu einer Strecke im R 3 siehe Streckensmmetrale) Wie können die Smmetriegeraden zweier Geraden im R 2 berechnet werden? Maturavorbereitung 8.Klasse ACDCA 1999 Vektorrechnung

12 Theorie 6 2/2 Smmetrieebene, Winkelhalbierende Antworten: Idee: Die Smmetrieebene zweier Ebenen ist die Menge aller Punkte, deren Abstände zu den beiden Ebenen gleich groß sind. (siehe auch: Abstand Punkt Ebene) Die Ebene E 1 sei bestimmt durch den Normalvektor n und den Punkt A. Die Ebene E 2 sei bestimmt durch den Normalvektor m und den Punkt B. Mit n 0 und m 0 werden die entsprechenden Einheitsvektoren bezeichnet. - Ein Punkt X hat von E 1 den Abstand ( - a ) n 0 - Ein Punkt X hat von E 2 den Abstand ( -b ) m 0 - Daher bestimmt die Gleichung ( - a ) n 0 = ( -b ) m 0 beide Smmetriebenen Sucht man eine bestimmte Smmetrieebene, so ist die Richtung der Einheitsvektoren maßgebend (siehe: Abstand Punkt- Ebene) Smmetriegeraden (Winkelhalbierende) zweier Geraden im R 2 : Ersetze in obiger Beschreibung das Wort Ebene durch das Wort Gerade. Maturavorbereitung 8.Klasse ACDCA 1999 Vektorrechnung

13 Theorie 7 1/2 Skalares Produkt Wie wird das skalare Produkt berechnet? Wie kann das skalare Produkt geometrisch gedeutet werden? Nenne Anwendungen des skalaren Produkts. Maturavorbereitung 8.Klasse ACDCA 1999 Vektorrechnung

14 Theorie 7 2/2 Skalares Produkt Anworten: 1. Definition: a b = a b cos, wobei der von a und b eingeschlossene Winkel ist. 2. Definition: a b a = a a z b b a b z b a b a z b z Eingabe beim TI-92: dotp( a,b ) In Worten: Unter dem skalaren Produkt a b zweier Vektoren a und b versteht man im Fall von a 0 das Produkt aus der Länge von a und der Länge der Projektion von b auf a. Dabei ist die Länge der Projektion positiv, falls die Projektion in die Richtung von a zeigt, und negativ, falls die Projektion die entgegengesetzte Richtung von a hat. Anwendungen: Berechnung des Winkels zwischen zwei Vektoren Berechnung der Projektion eines Vektors auf einen anderen Vektor Überprüfung der Orthogonalität zweier Vektoren Ebenengleichung aufstellen Geradengleichung aufstellen im R 2 Maturavorbereitung 8.Klasse ACDCA 1999 Vektorrechnung

15 Theorie 8 1/2 Vektorielles Produkt Wie wird das vektorielle Produkt berechnet? Wie kann das vektorielle Produkt geometrisch gedeutet werden? Nenne Anwendungen des vektoriellen Produkts. Maturavorbereitung 8.Klasse ACDCA 1999 Vektorrechnung

16 Theorie 8 2/2 Vektorielles Produkt Maturavorbereitung 8.Klasse ACDCA 1999 Vektorrechnung Antworten: n = a b = z z z z z z b a b a b a b a b a b a b b b a a a ) ( Eingabe beim TI-92: crossp( a, b ) n ist ein Vektor, der zu a und b normal ist. a, b und n bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssstem. Die Länge von n ist gleich der Maßzahl der Fläche des von a und b aufgespannten Parallelogramms. Anwendungen: Aufsuchen eines zu zwei Vektoren normalen Vektores (z.b.: Normalvektor einer Ebene bestimmen) Berechnung der Flächeninhalte von Parallelogrammen und Dreiecken Berechnung des Abstands eines Punktes von einer Geraden Überprüfen der Kollinearität zweier Vektoren ( a b = 0)

17 Theorie 9 1 / 3 Lagebeziehungen Bestimmung von Lagebeziehungen Welche Lagebeziehungen können zwischen 2 Geraden auftreten? Welche Lagebeziehungen können zwischen einer Geraden und einer Ebene auftreten? Welche Lagebeziehungen können bei 2 Ebenen auftreten? Welche Lagebeziehungen können bei 3 Ebenen auftreten?

18 Theorie 9 2 / 3 Lagebeziehungen Lagebeziehung von Geraden im R² Art der Lagebeziehung Lösungen des Gleichungssstems Die Geraden sind parallel Das Gleichungssstem hat keine Lösung Bemerkung Die Steigungen sind gleich. Die Richtungsvektoren sind proportional. Die Geraden haben einen eindeutigen Schnittpunkt Die Geraden sind identisch Das Gleichungssstem hat eine eindeutige Lösung Das Gleichungssstem hat unendlich viele Lösungen Lagebeziehung von Geraden im R³ Art der Lagebeziehung Lösungen des Gleichungssstems Die Geraden sind parallel Das Gleichungssstem hat keine Lösung Bemerkung Die Richtungsvektoren sind proportional. Die Geraden haben einen eindeutigen Schnittpunkt Die Geraden sind identisch Die Geraden sind windschief Das Gleichungssstem hat eine eindeutige Lösung Das Gleichungssstem hat unendlich viele Lösungen Das Gleichungssstem hat keine Lösung Lagebeziehung von Ebene und Gerade Art der Lagebeziehung Die Gerade liegt in der Ebene Die Gerade durchstößt die Ebene Die Gerade ist zur Ebene parallel Lösungen des Gleichungssstems Das Gleichungssstem hat unendlich viele Lösungen Das Gleichungssstem hat eine eindeutige Lösung Das Gleichungssstem hat keine Lösung Bemerkung Abstandsberechnung siehe Punkt-Ebene

19 Theorie 9 3 / 3 Lagebeziehungen Lagebeziehung von zwei Ebenen. Art der Lagebeziehung Die beiden Ebenen sind parallel Die beiden Ebenen haben eine Schnittgerade Die beiden Ebenen sind identisch Lösungen des Gleichungssstems Das Gleichungssstem hat keine Lösung Das Gleichungssstem hat eine einparametrige Lösung Das Gleichungssstem hat unendlich viele Lösungen Bemerkung Die Normalvektoren sind proportional. Abstandsberechnung siehe Punkt-Ebene Lagebeziehung von 3 Ebenen. Hier ist nur der Fall interessant, daß diese drei Ebenen einen gemeinsamen Schnittpunkt haben. Dabei hat das Gleichungssstem eine eindeutige Lösung.

20 Theorie 10 1/2 Abstand Punkt Gerade im R 3 Berechne den Abstand eines Punktes P von einer Geraden g im R 3. Skizziere drei Möglichkeiten. Maturavorbereitung 8.Klasse ACDCA 1999 Vektorrechnung

21 Theorie 10 2/2 Abstand Punkt Gerade im R 3 Antworten: 1. Möglichkeit: Aufstellen einer Normalebene zur Geraden durch den Punkt P; Normalebene mit der Geraden schneiden Fußpunkt F Entfernung des Punktes P von F ist der gesuchte Abstand. 2. Möglichkeit: A sei ein Punkt auf der Geraden, a 0 ein Richtungsvektor der Geraden g mit der Länge 1; AP a 0 bestimmt die Projektion des Vektors AP auf a 0 und kann somit als die gerichtete Länge (Vorzeichen!) angesehen werden. Den Fußpunkt F erhält man aus OF OA ( AP a 0) a 0. Entfernung des Punktes P von F ist der gesuchte Abstand. 3. Möglichkeit: A sei ein Punkt auf der Geraden, a 0 ein Richtungsvektor der Geraden g mit der Länge 1; AP a 0 bestimmt die Maßzahl der Fläche des von AP und a 0 aufgespannten Parallelogramms. Diese Maßzahl entspricht der Höhe im Parallelogramm (da die Länge von a 0 ja 1 ist); die Höhe ist der gesuchte Abstand. Maturavorbereitung 8.Klasse ACDCA 1999 Vektorrechnung

22 Theorie 11 1/2 Abstand Punkt Gerade im R 2 Berechne den Abstand eines Punktes P von der Geraden g im R 2. Skizziere den Rechenvorgang. Maturavorbereitung 8.Klasse ACDCA 1999 Vektorrechnung

23 Theorie 11 2/2 Abstand Punkt Gerade im R 2 Antwort: 1. Möglichkeit: Das Problem wird in den R 3 verlagert, indem für die z-koordinate der Wert 0 eingesetzt wird (R 3 : Gerade in Parameterform!). Die eleganteste Variante ist jetzt die 3. Möglichkeit auf der Theoriekarte Abstand Punkt Gerade im R Möglichkeit: A sei ein Punkt auf der Geraden, n 0 ein Normalvektor der Geraden g mit der Länge 1; AP n 0 bestimmt die Projektion des Vektors AP auf n 0 und kann somit als der gerichtete Abstand (Vorzeichen!) angesehen werden. D. h.: Ist diese Zahl positiv, zeigt der Normalvektor in die Halbebene der Geraden, in der sich der Punkt befindet; ist diese Zahl negativ, liegt der Punkt auf der anderen Seite der Geraden. Dieses Wissen ist wichtig für die Berechnung des Fußpunktes des Abstands. Somit ist AP n 0 der Abstand des Punktes P von der Geraden g. Der Fußpunkt F läßt sich daher wie folgt berechnen: OF OP ( AP n 0) n 0 Hinweis: Die Geradengleichung in der Form ( - a ) n 0 = 0 ist auch unter dem Begriff Hesse sche Normalform bekannt. Somit gilt: AP n 0 = ( p - a ) n 0 3. Möglichkeit: Stelle eine Gerade h durch P normal zur Geraden g auf. Schneide diese Gerade h mit der Geraden g. Der Schnittpunkt ist der Fußpunkt F des Abstands. Der Abstand entspricht dann PF. Maturavorbereitung 8.Klasse ACDCA 1999 Vektorrechnung

24 Theorie 12 1/2 Abstand Punkt - Ebene Berechne den Abstand eines Punktes P von der Ebene E. Skizziere den Rechenvorgang. Maturavorbereitung 8.Klasse ACDCA 1999 Vektorrechnung

25 Theorie 12 2/2 Abstand Punkt - Ebene Antwort: 1. Möglichkeit: A sei ein Punkt auf der Ebene, n 0 ein Normalvektor der Ebene E mit der Länge 1; AP n 0 bestimmt die Projektion des Vektors AP auf n 0 und kann somit als der gerichtete Abstand (Vorzeichen!) angesehen werden. D. h.: Ist diese Zahl positiv, zeigt der Normalvektor in den Halbraum der Ebene, in der sich der Punkt befindet; ist diese Zahl negativ, liegt der Punkt auf der anderen Seite der Ebene. Dieses Wissen ist wichtig für die Berechnung des Fußpunktes des Abstands. Somit ist AP n 0 der Abstand des Punktes P von der Ebene E. Der Fußpunkt F läßt sich daher wie folgt berechnen: OF OP ( AP n 0) n 0 Hinweis: Die Ebenengleichung in der Form ( - a ) n 0 = 0 ist auch unter dem Begriff Hesse sche Normalform bekannt. Somit gilt: AP n 0 = ( p - a ) n 0 2. Möglichkeit: Stelle eine Gerade durch P normal zur Ebene auf. Schneide diese Gerade mit der Ebene. Der Schnittpunkt ist der Fußpunkt F des Abstands. Der Abstand entspricht dann PF. Maturavorbereitung 8.Klasse ACDCA 1999 Vektorrechnung

26 Theorie 13 1 / 2 Flächenberechnungen Flächenformeln, Volumsformeln Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Parallelogramms, das von den beiden Vektoren a und b aufgespannt wird? Wie berechnet man das Volumen eines Parallelepipeds, das von den drei Vektoren a, b und c aufgespannt wird?

27 Theorie 13 2 / 2 Flächenberechnungen Antwort : Wird ein Parallelogramm von den beiden Vektoren a und b aufgespannt, so gilt für den Flächeninhalt dieses Parallelogramms die folgende Formel : 2 2 A = a b a b ( ) 2 Im R³ gilt : A a b 1 A = a b a b Für den Flächeninhalt des Dreiecks gilt dann : ( ) 2 Ein Parallelepiped, das von den Vektoren a, b und c aufgespannt wird, hat das Volumen : V = c ( a b)

28 Theorie 14 1 / 2 Winkel zwischen Vektoren Winkel zwischen zwei Vektoren Wie berechnet man den Winkel zwischen 2 Vektoren?

29 Theorie 14 2 / 2 Winkel zwischen Vektoren Antwort : Den Winkel zwischen den beiden Vektoren a und b berechnet man mit der Formel : a cos = a b b

30 Theorie 15 1 / 2 Schnittwinkel Berechnung von Schnittwinkeln Wie läßt sich der Schnittwinkel zwischen zwei Geraden berechnen? Wie läßt sich der Schnittwinkel zwischen einer Geraden und einer Ebene berechnen berechnen? Wie läßt sich der Schnittwinkel zwischen zwei Ebenen berechnen?

31 Theorie 15 2 / 2 Schnittwinkel Antwort : Schnittwinkel zweier Geraden Unter dem Schnittwinkel zweier Geraden versteht man den Winkel zwischen den beiden Richtungsvektoren der Geraden. Siehe cos - Formel, Beispiel1 Schnittwinkel Gerade, Ebene n g Um den Schnittwinkel einer Geraden mit einer Ebene zu berechnen, berechnet man den Winkel zwischen dem Richtungsvektor der Geraden und dem Normalvektor der Ebene. Der gesuchte Schnittwinkel ist dann der zu komplementäre Winkel. Schnittwinkel Ebene, Ebene Um den Schnittwinkel zweier Ebenen zu berechnen, berechnet man den Winkel zwischen den Normalvektoren der Ebenen.

32 Theorie 16 1/ 2 Abstand windschiefer Geraden Wie kann der Abstand windschiefer Geraden ermittelt werden? Wie können die Fußpunkte des Abstand auf den Geraden ermittelt werden?

33 Theorie 16 2/ 2 Abstand windschiefer Geraden Antwort: 1. Möglichkeit: Bestimme eine Ebene E1, die g enthält und zu h parallel ist ( dann den Abstand eines Punktes P der Geraden h von E1 n g h ), berechne Stelle eine Ebene E2 auf, die g enthält und normal zu E1 ist. Der Normalvektor dieser Ebene ist gegeben durch ( n g ). Die Gerade h wird mit der Ebene E2 geschnitten. Der Schnittpunkt ist der Fußpunkt F h des Abstands auf der Geraden h. Den Fußpunkt F g auf der Geraden g erhält man durch Abtragung des Abstands von F h aus mit Hilfe des Vektors n. (Das Vorzeichen des Abstands gibt Auskunft über die Orientierung des Vektors n. Einfacher: Es ist zu überprüfen, ob der gesuchte Punkt auf der Geraden h liegt) 2. Möglichkeit, wenn nur der Abstand ermittelt werden soll: P sei ein Punkt auf g, Q sei ein Punkt auf h Bestimme einen zu g und h normalen Vektor ( n g h ) Der Abstand wird nun als Normalprojektion des Vektors PQ auf den Normalvektor von n. d = PQ n n