1 Vektoren in der Ebene und im Raum 17 2 Rechnen mit Vektoren 18 3 Lineare Abhängigkeit / Unabhängigkeit 19 4 Teilverhältnisse 19 5 Aufgaben 21

Transkript

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2 Inhalt A Lineare Gleichungssysteme 1 Lösungsverfahren 6 2 Lösbarkeitsuntersuchungen 10 3 Lineare Gleichungssysteme mit Parametern 13 4 Mathematische Aufgaben 14 5 Anwendungsaufgaben 16 B Vektoren 1 Vektoren in der Ebene und im Raum 17 2 Rechnen mit Vektoren 18 3 Lineare Abhängigkeit / Unabhängigkeit 19 4 Teilverhältnisse 19 5 Aufgaben 21 C Skalarprodukt und Vektorprodukt 1 Längen, Winkel, orthogonale Vektoren 23 2 Berechnung von Flächeninhalten 25 3 Das Vektorprodukt 26 4 Aufgaben 27 D Geraden und Ebenen 1 Bestimmung von Geraden- und Ebenengleichungen 29 Aufgaben 32 2 Lagebeziehungen von Punkten, Geraden und Ebenen 33 Untersuchung der gegenseitigen Lage von Punkt und Gerade 33 Untersuchung der gegenseitigen Lage zweier Geraden 33 Untersuchung der gegenseitigen Lage von Punkt und Ebene 35 Untersuchung der gegenseitigen Lage von Gerade und Ebene 35 Untersuchung der gegenseitigen Lage von zwei Ebenen 37 Aufgaben 38 3 Ebenen in Normalenform, Abstandsberechnungen, Schnittwinkel 39 Abstand eines Punkts von einer Ebene 40 Abstand eines Punkts von einer Geraden 42 Abstand windschiefer Geraden 43 Schnittwinkel 43 Aufgaben 43

3 E F Vektorräume 1 Vektorraum und Untervektorraum 45 2 Erzeugendensystem, Basis und Dimension 47 3 Aufgaben 48 Kreise und Kugeln 1 Gleichungen von Kreisen, Tangenten und Kugeln 50 Aufgaben 52 2 Lageuntersuchungen 53 Untersuchung der gegenseitigen Lage von Gerade und Kreis 53 Untersuchung der gegenseitigen Lage von Gerade und Kugel 53 Untersuchung der gegenseitigen Lage von Kugel und Ebene 54 Untersuchung der gegenseitigen Lage von zwei Kugeln 56 Aufgaben 57 G Matrizen 1 Rechnen mit Matrizen 58 2 Zusammenhang zu linearen Gleichungssystemen 60 3 Inverse Matrizen 62 4 Lineare Abbildungen und Eigenvektoren 63 5 Aufgaben 64 H Übergreifende Aufgaben 66 I Prüfungsaufgaben für das Abitur 69 Lösungen 71 Wichtige Formeln und Definitionen 140 Stichwortverzeichnis 142

4 A Lineare Gleichungssysteme 1 Lösungsverfahren Luisa und Marco laden ihre Freunde zu einer Party ein. Als gute Gastgeber sorgen sie dafür, dass ausreichend Getränke vorhanden sind. Insgesamt wollen sie 100 Flaschen kaufen. Sie können genau 40 ausgeben. 1 Flasche Mineralwasser kostet 0,20, 1 Flasche Cola kostet 0,60, 1 Flasche Radler kostet 0,80. Wie viele Flaschen werden gekauft, wenn die Anzahl der Flaschen Mineralwasser die Anzahl der restlichen Flaschen um 20 übersteigt? Die Lösung einer solchen Aufgabe führt Sie zwangsläufig zum Aufstellen eines Linearen Gleichungssystems (LGS). Sei x die Anzahl der Flaschen Wasser, y die Anzahl der Flaschen Cola und z die Anzahl der Flaschen Radler. Dann erhält man folgendes Gleichungssystem: I x + y + z = 100 (Anzahl der Flaschen insgesamt) II 0,2x + 0,6y + 0,8z = 40 (Preis der Flaschen) III x y z = 20 (Anzahl der Wasserflaschen übersteigt die anderen um 20) Im Allgemeinen besteht ein lineares Gleichungssystem (LGS) aus einer Anzahl linearer Gleichungen. In der Normalform sieht es wie folgt aus: a 11 x 1 + a 12 x a 1m x m = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2m x m = b a n1 x 1 + a n2 x a nm x m = b n Die Zahlen a 11, a 12,..., a nm heißen Koeffizienten, die Zahlen b 1,..., b n * R heißen Absolutglieder. Die Lösung des LGS wird als n-tupel (x 1 ; x 2 ;..., x n ) angegeben. Für n = 3 spricht man von einem Tripel. 6

5 1 Lösungsverfahren Um ein LGS zu lösen, werden möglichst geschickt Gleichungen äquivalent umgeformt, um durch die Elimination von Variablen das LGS in eine Dreiecksgestalt zu bringen, d. h. alle von Null verschiedenen Koeffizienten sind in Form eines Dreiecks angeordnet. Der Vorteil dieser Gestalt liegt darin, dass die Werte nun sukzessive in die nächsthöhere Gleichung eingesetzt werden können. Zu diesen Äquivalenzumformungen, die die Lösung eines Gleichungssystems nicht verändern, zählen 1) das Vertauschen von Gleichungen, 2) das Multiplizieren (Dividieren) einer Gleichung mit einer reellen, von null verschiedenen Zahl und 3) die Addition einer Gleichung zu einer anderen (Additionsverfahren). Angewandt auf das Eingangsbeispiel sind hierzu folgende Schritte notwendig (um das Rechnen mit Dezimalbrüchen zu umgehen, wurde die zweite Gleichung zunächst auf beiden Seiten mit 5 multipliziert): I x + y + z = 100 (-1) I + II = II II x + 3y + 4z = 200 III x y z = 20 (-1) I + III = III I x + y + z = 100 Der erste Schritt in Richtung Dreiecksgestalt II 2y + 3z = 100 ist getan es stört lediglich noch die Variable y III 2y 2z = 80 in Gleichung III : II + III = III I x + y + z = 100 y und z werden in I eingesetzt; man erhält x II 2y + 3z = 100 z wird in II eingesetzt; man erhält y III z = 20 z ist bereits angegeben Sukzessives Einsetzen liefert: I x = 60 II y = 20 III z = 20 L = {(60; 20; 20)} Antwort: Es werden 60 Flaschen Wasser eingekauft. 7

6 A Lineare Gleichungssysteme Dieses Verfahren heißt Gauß-Algorithmus (nach Carl Friedrich Gauß, ). Um es auszuführen und ein LGS auf eine Dreiecksgestalt zu bringen, lassen sich zwei weitere Verfahren anwenden, die miteinander kombiniert werden können. Neben dem Additionsverfahren sind dies das Einsetzungsverfahren und das Gleichsetzungsverfahren. Beim Einsetzungsverfahren wird eine Zeile eines LGS nach einer oder mehreren Variablen aufgelöst und diese in eine andere Zeile eingesetzt, um eine oder mehrere Variablen eliminieren zu können. Tipp: Dieses Verfahren bietet sich immer dann an, wenn eine Gleichung bereits nach einer Variablen aufgelöst ist, die in einer anderen Gleichung ebenfalls vorkommt, oder eine Gleichung leicht nach dieser Variablen aufgelöst werden kann. I x + y = 100 II y = x 20 II in I = I I x + x 20 = 100 x = 60 II y = x 20 y = 40 L = {(60; 40)} Beim Gleichsetzungsverfahren werden zwei Zeilen gleichgesetzt, um auf diese Weise wieder eine Variable eliminieren zu können. Tipp: Dieses Verfahren bietet sich immer dann an, wenn auf einer Seite von zwei Gleichungen dasselbe steht. Ansonsten müssen diese Gleichungen zuvor ggf. umgeformt werden. I x + y + z = 100 y + z = 100 x II x + 3y + 4z = 200 III x y z = 20 y + z = x 20 8

7 1 Lösungsverfahren Nach der Auflösung der Gleichungen I und III nach y + z können diese beiden Gleichungen gleichgesetzt werden. Also folgt aus I = III 100 x = x 20 x = 60 Um ein weiteres Mal das Gleichsetzungsverfahren anwenden zu können, werden nun die verbleibende Zeile II und die Zeile I (alternativ auch Zeile III möglich) nach y aufgelöst, nachdem in beiden Gleichungen der Wert für x eingesetzt wurde. Um umständliche Brüche zu vermeiden, wird Gleichung I mit 3 multipliziert: I 3y = 120 3z II 3y = 140 4z Gleichsetzen liefert I = II 120 3z = 140 4z z = 20 Einsetzen dieses Ergebnisses in I oder II liefert y = 20. L = {(60; 20; 20)} Tipp: Selbstverständlich können Sie alle vorgestellten Verfahren miteinander kombinieren. Oftmals bietet sich zur Lösung eines LGS ein bestimmtes Verfahren an, etwa wenn eine Gleichung bereits nach einer Variablen aufgelöst ist oder sich Variablen zweier Gleichungen durch bloßes Addieren miteinander aufheben. Genaues Betrachten des Gleichungssystems hilft also, das geeignete Verfahren zu finden. 9

8 A Lineare Gleichungssysteme 2 Lösbarkeitsuntersuchungen Lineare Gleichungssysteme können genau eine Lösung (wie in den bisherigen Beispielen), gar keine Lösung oder unendlich viele Lösungen besitzen. Zur Untersuchung der Lösbarkeit wird das LGS in Dreiecksgestalt betrachtet. Besitzt das LGS mehr Variablen als nichttriviale Zeilen, hat das LGS unendlich viele Lösungen. Im zweidimensionalen Raum lässt sich dies geometrisch so interpretieren, dass zwei Geraden unendlich viele Schnittpunkte haben, also identisch sind. Ist die Anzahl der Variablen gleich der nichttrivialen Zeilen, ist das LGS eindeutig lösbar. Dies bedeutet geometrisch (im R 2 ), dass zwei Geraden sich in genau einem Punkt schneiden. Führt eine Zeile der Dreiecksgestalt zu einem Widerspruch, ist das LGS unlösbar, d.h. in der Ebene verlaufen zwei Geraden parallel. Enthält ein lineares Gleichungssystem weniger Gleichungen als Variablen, so reichen die Informationen zur eindeutigen Bestimmung aller Variablen nicht aus. Man spricht in diesem Fall von einem unterbestimmten Gleichungssystem. Besitzt ein LGS mehr Gleichungen als Variablen, so würden bereits weniger Gleichungen für eine eindeutige Lösung ausreichen. Unter Umständen ergibt sich durch die zusätzlichen Gleichungen, die ja auch erfüllt sein müssen, ein Widerspruch, der zur Unlösbarkeit des LGS führt. Man nennt ein solches LGS überbestimmt. 10

9 2 Lösbarkeitsuntersuchungen Beispiel 1 Beispiel 2 I 4x 2y = 10 I 4x 2y = 10 II 6x + 2y = 8 II 6x + 3y = 15 y y x Das LGS hat genau eine Lösung x Das LGS hat unendlich viele Lösungen. Beispiel 3 I 4x 2y = 10 II 4x 2y = 8 y x Das LGS ist unlösbar. 11

10 A Lineare Gleichungssysteme Beispiel 4 Beispiel 5 x + 2y 3z = 43 x + y 4z = 10 x z = 16 x + 3y = 4 y + 6z = 21 Dieses LGS ist unterbestimmt. x + 2y = 9 Dieses LGS ist überbestimmt. Beispiel 6 I 3x + y + 2z = 3 ( } 1 II x + 2y z = 6 III 2x y + 3z = 3 I 3x + y + 2z = 3 5 } II 3 y } 5 z = 5 II + III = III 3 III } 5 3 y + } 5 3 z = 5 I 3x + y + 2z = 3 3 ) I + II = II ( 2 } 5 II } 3 y } 5 3 z = 5 III 0 = 0 L = {(x; y; z) x = t, y = t + 3; z = t mit t * R}. 3 ) I + III = III Beispiel 7 I 3x 2y + 2z = 3 ( } 1 II x 2y z = 6 III 2x + 4y + 2z = 7 I 3x 2y + 2z = 3 3 ) I + II = II ( 2 } II } 4 3 y } 5 z = 5 2 II + III = III 3 8 III } 3 y + } 10 3 z = 9 I 3x + y + 2z = 3 5 II } 3 y } 5 3 z = 5 III 0 = 19 L = { } 3 ) I + III = III 12

11 3 Lineare Gleichungssysteme mit Parametern Enthält ein LGS zusätzlich zu den Variablen eine oder mehrere weitere Unbekannte, so genannte Parameter, hängt die Lösung des Systems von diesen Parametern ab. I 2x a y = 10 ( } 1 2 ) Wir gehen bei der Lösung wie gewohnt vor und + II x + 2y = 4b bringen das LGS zunächst auf Dreiecksgestalt. I 2x a y = 10 II ( 1 } 2 a + 2 ) y = 5 + 4b Ob das LGS nun tatsächlich Lösungen hat, entscheidet die Wahl der Parameter a und b. Gilt nämlich a = 4 und b } 5, so stellt die Gleichung II einen Widerspruch dar 4 (0 = 5 + 4b). In diesem Fall besitzt das LGS keine Lösungen. Ist hingegen a = 4 und b = } 5, so wird aus II eine Nullzeile (0 = 0). In diesem Fall 4 besitzt das LGS unendlich viele Lösungen: L = {(x; y) x = 0,5a t + 5, y = t mit t * R}. Für a 4 hat das LGS genau eine Lösung, die wie folgt berechnet wird: II wird nach y aufgelöst und in I eingesetzt. I 2x a 1 a }}}} = 10 x = }} 1 a + 4 } a II y = 1 }}}} 1 } 2 a + 2 L = h }} ( a a ; 1 }}}} 1 } 2 a + 2 ) j 13

12 A Lineare Gleichungssysteme 4 Mathematische Aufgaben 1. Untersuchen Sie zunächst die linearen Gleichungssysteme auf ihre Lösbarkeit. Geben Sie anschließend die Lösungsmenge an. a) 2x 4y = 10 b) 2x 4y + 2z = 8 c) x + 4y z = 120 2y = 8x 4 6x + 2y 4z = 9 3x + z = 10 x y + 3z = 10 x z = 25 d) 2x + 6y 5z = 6 e) x + y = 1 f) 4x 2y + 2z = 2 4x y 3z = 11 x z = 2 2x + 3y 2z = 0 5x 2y 4z = 15 y + z = 3 3x 5y + z = 7 g) 2x y + z = 3 h) x 2y + z + 2t = 8 i) 2x 4y + z = 10 3x 2y + 3z = 8 2x + 3y 2z + 3t = 14 2y z 4t = 16 2x 2y + 4z = 3 4x y + 3z t = 7 4x + 3y + 2t = 8 3x + 2y 4z + 5t = 15 2x 2y + 4z + t = 20 j) 8x 4y + 3z = 22 k) x + z = 1 l) 4x + 2y 10z = 26 3x y + 3z = 8 y + z = 4 8x + y 13z = 28 x + y = 5 x y + z = 2 2. Für welche Werte von a, b, c und m haben die Gleichungssysteme eine, keine oder unendlich viele Lösungen? Geben Sie im Falle der Lösbarkeit die Lösungsmenge an. a) 4x 6y = 4 b) 3x + 9y = 21 c) 2ax 2by + cz = 8 2x 0,5a y = 2 5x + 15y z = 34 ax + 4by 2cz = 10 x + ay 3z = 5 ax by + cz = 5 d) 2x + y + m z = 0 x + 2y + 9z = 0 x + m y 9z = 0 3. Konstruieren Sie ein LGS, das folgende Eigenschaften besitzt: a) Es besitzt keine Lösung. b) Es besitzt genau die Lösung L = {(2; 4; 2)}. c) Es besitzt unendlich viele Lösungen. 4. Eine Parabel dritter Ordnung geht durch die Punkte P (1 9), Q ( 2 6), R ( 1 3) und S (0 0). Stellen Sie die Funktionsgleichung auf. 14

13 4 Mathematische Aufgaben 5. Eine dreistellige Zahl hat die Quersumme 15. Die Summe der beiden letzten Ziffern ist um 7 größer als die erste Ziffer. Addiert man zum Doppelten der letzten Ziffer das um eins erhöhte Dreifache der ersten Ziffer, so erhält man das Fünffache der mittleren Ziffer. Wie heißt die gesuchte Zahl? 6. Klaus wird in sechs Jahren nur halb so alt sein wie sein Bruder Peter. Bereits vor zwei Jahren war Peter sogar viermal so alt wie sein Bruder. Wie alt sind Klaus und Peter heute? 7. Ein Mann möchte seiner Frau zum Hochzeitstag Blumen schenken, und zwar ihre Lieblingsblumen Rosen, Tulpen und Nelken. Im Blumenladen stellt der Mann fest, dass 1 Rose 2 kostet, 1 Nelke 1 und 3 Tulpen ebenfalls 1. Er schaut in seine Geldbörse und erkennt, dass er genau 30 dabei hat. Aber, da es der 40. Hochzeitstag der Beiden ist, möchte er gerne einen Strauß mit genau 40 Blumen kaufen. a) Bestimmen Sie mithilfe eines Gleichungssystems die allgemeine Lösung der Aufgabe. b) Auf wie viele Arten kann der Mann einkaufen, wenn er von jeder Sorte mindestens eine Blume haben will? 8. Die Geschwister Lena, Leni und Leno kaufen am Kiosk Süßigkeiten. Lena bezahlt für 4 Lollis, 3 Zuckerstangen und 1 Tafel Schokolade 5,05. Leni kauft für 8,55 2 Lollis, 7 Zuckerstangen und 3 Tafeln Schokolade. Leno mag keine Zuckerstangen, weil die so schlecht für die Zähne sind, und kauft stattdessen 8 Lollis und 5 Tafeln Schokolade für 13,55. Wie viel kosten jeweils ein Lolli, eine Zuckerstange und eine Tafel Schokolade? 15

14 A Lineare Gleichungssysteme 5 Anwendungsaufgaben 1. In einem chemischen Labor sollen drei Chemikalien (C 1, C 2, C 3 ) mit den Inhaltsstoffen I 1 und I 2 vermischt werden, um insgesamt 100 kg einer Flüssigkeit herzustellen, die jeweils 4 % der Inhaltsstoffe enthalten soll. Die prozentualen Anteile dieser Inhaltsstoffe in den ursprünglichen Chemikalien sind in der nachfolgenden Tabelle angegeben. Welche Mengen C 1, C 2 und C 3 müssen miteinander gemischt werden? C 1 C 2 C 3 I 1 10% 2% 4% I 2 4% 10% 1% 2. Ein LKW mit 3,5 t zulässiger Nutzlast soll von einer Mühle Säcke mit jeweils 40 kg Hafer- und 50 kg Roggenmehl zum Großhandel transportieren. Wie viele Säcke kann er transportieren, wenn er doppelt so viele Säcke Roggen wie Hafer fahren soll? 3. Im Rahmen einer Diät soll Frau Perkow in einer Mahlzeit 50 g Eiweiß, 10 g Fett und 150 g Kohlehydrate zu sich nehmen. Wie kann Frau Perkow ihre Mahlzeit aus Fleisch (22 g Eiweiß, 4 g Fett), Teigwaren (12 g Eiweiß, 2 g Fett, 70 g Kohlehydrate), Gemüse (3 g Eiweiß, 5 g Kohlehydrate) und Milchprodukten (3 g Eiweiß, 3 g Fett, 4 g Kohlehydrate) zusammenstellen? 4. Herr Meier hat bei drei unseriösen Kredithaien Schulden in Höhe von 6000 gemacht und muss dafür folgende Zinsen bezahlen: Im Jahr 2005 verlangt M. Afia 10 %, K. Hai 15 % und A.B. Zocke 20 %; 2006 verlangt M. Afia sogar 30 %, K.Hai 17,5 % und A.B. Zocke begnügt sich mit 10 %. Für 2005 hat sich Herr Meier ausgerechnet, dass er genau 1000 Zinsen zahlen muss; für 2006 sind es 50 weniger. Wie viel Geld hat sich Herr Meier von den drei Gaunern jeweils geliehen? 16

15 B Vektoren 1 Vektoren in der Ebene und im Raum x 1 E A x 3 H D F B Ein Vektor ist die Menge aller gleichlangen, zueinander parallelen und gleichorientierten Pfeilen. Im nebenstehenden Quader stellen die Pfeile AB und DC zum Beispiel den Vektor a = EF dar und heißen daher Repräsentanten des Vektors. Der entgegengesetzt orientierte Vektor _ a heißt Gegenvektor. Die Länge, d. h. der Betrag _ a eines Vektors ( a 1 a 2 a 3 ) _ a = 9 _ a 1 + a 2 + a 3. Hat ein Vektor den Betrag 1, so heißt dieser Einheitsvektor. G C x 2, wird wie folgt berechnet: Sind A(1 0 0) und B(1 7 0) wie oben gegeben, so berechnen wir den Vektor a = AB mittels Differenz der Koordinaten: b 1 a 1 a = AB = b ( 2 a 2 b 3 a 3 ) ( 1 1 = ) ( = ). An diesem Vektor lässt sich einfach dessen Länge erkennen, die offensichtlich 7 LE beträgt (da _ a = 9 _ = 7). 17

16 B Vektoren 2 Rechnen mit Vektoren Anschaulich wird bei der Addition von zwei Vektoren das Ende eines Repräsentanten an die Spitze des anderen angelegt. Die Summe entspricht dem Verbindungsvektor vom Ende des ersten zur Spitze des zweiten Pfeils: b _ a a + b Diese Vorgehensweise ist Ihnen bereits aus der Physik bekannt (Kräfte- Parallelogramm). Rechnerisch werden lediglich die einzelnen Komponenten beider Vektoren addiert: _ a = ( ) ; b = ( ) a + b = ( ) = ( ). Die Subtraktion entspricht der Addition eines Gegenvektors zu einem Vektor. Für die Vektoraddition gelten die bekannten Gesetze: Assoziativgesetz: a + b + _ c = a + ( b + _ c ) = ( a + b ) + _ c Kommutativgesetz: a + b = b + _ a Wird derselbe Vektor mehrfach aneinander gehängt, erhält man ein Vielfaches von ihm. _ a _ a Rechnerisch liegt eine skalare Multiplikation, d. h. eine Multiplikation eines Vektors mit einer reellen Zahl (k _ a ), vor: _ a + _ a + _ a = ( ) + ( ) + ( ) = ( ) ( 3 a1 = 3 a 2 = 3 _ a 3 a 3 ) _ a Für k > 0 sind _ a und k _ a gleichgerichtet. Für k < 0 sind _ a und k _ a entgegengesetzt gerichtet. Für k = 0 entsteht der Nullvektor. Für die skalare Multiplikation gelten die bekannten Gesetze: Assoziativgesetz: (k l) _ a = k (l _ a ) Distributivgesetze: (k + l) _ a = k _ a + l _ a und k ( a + b ) = k a + k b 18

17 Stichwortverzeichnis Abbildungsmatrix 63 Absolutglieder 6 Abstand eines Punkts von einer Ebene 40 einer Geraden 42 Abstand windschiefer Geraden 43 Addition von Matrizen 59 zwei Vektoren 18 Äquivalenzumformungen 7 Assoziativgesetz 18 Basis 47 Betrag 17 Betrag eines Vektors 23 Dimension 47 Ebenenparameter 30 Eigenvektor 63 Eigenwert 63 Einheitsmatrix 58 Einheitsvektor 17 Einsetzungsverfahren 8 Erzeugendensystem 47 Flächeninhalte von ebenen Figuren 25 Gauß-Algorithmus 8 Gegenvektor 17 Geradenparameter 29 Gleichsetzungsverfahren 8 Hesse sche Normalenform 39 inverse Matrix 62 Koeffizienten 6 kollinear 19 Kommutativgesetz 18 komplanar 19 Koordinatengleichung eines Kreises 50 einer Kugel 51 Lage einer Ebene 30 Länge eines Vektors 23 lineares Gleichungssystem (LGS) 6 lineare Abbildung 63 Linearkombination 19 linear abhängig 19 unabhängig 19 Matrix 58 Multiplikation von Matrizen 59 von Vektoren 23 n-tupel 6 Normalenform der Ebene 39 Normalenvektor 39 Ortsvektor von A 29 Parameter 13 Passante 53 Produkt von Vektoren 23 quadratische Matrix 58 Richtungsvektor

18 Stichwortverzeichnis Schnittkreis 54 Schnittwinkel 43 Sekante 53 Skalare Multiplikation 18, 58 Skalarprodukt 23 Spurgerade 37 Stützvektor 30 Subtraktion von Matrizen 59 von Vektoren 18 Tangente 53 Tangentialebene 54 Teilverhältnisse 19 Tripel 6 überbestimmtes Gleichungssystem 10 unterbestimmtes Gleichungssystem 10 Untervektorraum 46 Vektor 17 Vektorgleichung eines Kreises 50 einer Kugel 51 vektorielle Parametergleichung 29 Vektorprodukt 26 Vektorraum 45 Verbindungsvektor 30 windschiefe Geraden 33 Zweipunktegleichung