Übungen 4 Gerade, Ebene - Kurze Aufgaben Ebene: Spurpunkte, Spurgerade, Achsenabschnittsform Gerade, Ebene U04 Übungen 4 - Seite 1 (von 5)
|
|
- Kornelius Ackermann
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Übungen Gerade, Ebene - Kurze Aufgaben ) Gesucht ist Normalenform einer Ebene, die den Punkt P( ) enthält und auf der x- Achse senkrecht steht. ) Gegeben ist die Ebene E: x ( Gesucht ist der Winkel zwischen E und g. ) = und die Gerade g: x = ( 7 ) Eine Ebene enthält die Punkt A( ), B(- ) und C( - ). Gesucht sind zwei mögliche Koordinatengleichungen der Ebene -mit gleichem Aufpunkt. ) Gegebene Punkte A( 7) und B(- ). Gesucht die Gleichung der Geraden, die durch den Mittelpunkt zwischen A und B geht und senkrecht auf der Verbindungslinie AB steht. Ebene: Spurpunkte, Spurgerade, Achsenabschnittsform ) Gesucht sind die Schnittpunkte der Ebene E: x + y + z = mit den Koordinatenachsen. Angabe: Spurpunkte und zusätzlich Spurgeraden, Achsenabschnittsform Gerade, Ebene ) Gegeben sind die beiden Geraden g : x = ( ) + s ( Gesucht ist der Abstand zwischen beiden Geraden. ) und g : x = ( 7) Gegeben sind jeweils Ebenen, gesucht ist jeweils der Abstand. a) E : x = ( ) + r ( ) + s ( 7 ); E : x = ( b) E : wie bei a) E : x = ( b) E : wie bei a) E : x = ( ) ) ) 9 ). 8) Gegeben sind parallele Ebenen. E enthält die Punkt A( ), B( ) und C(-,,). In Ebene E liegt eine Gerade g. Deren Aufpunkt liegt in Richtung der Normalen auf E mit einem Abstand zum Punkt A von E. Ein zweiter Punkt der Geraden liegt mit demselben Abstand auf einer Normalen zum Punkt B. Gesucht ist die Gleichung der Geraden g (aller Geraden, falls es mehrere gibt). ). U Übungen - Seite (von )
2 c ), c - irgendeine (reelle) Konstante Man kann auch fordern, dass als Vektor für die Achse der Einheitsvektor benutzt werden soll. Dann ist c =. c E: (x - a) n = [x ( )] ( ) = ) Vektor in Richtung der x-achse: ( ) Am sinnvollsten ist die Anwendung einer vorhandenen Formel! (siehe L) sin( ) = n u / { n u }; n Normale auf die Ebene, u Richtungsvektor der Geraden n u = ( ) ( ) = -8; n = = ; ; u = = 9 sin( ) = 8 /,97, ) Punkte: A( ), B(- ), C( - ) Richtungsvektoren: u = b - a = ( Normale: u x v = = ), v = c - a = ( ) = i - j + k = - i - j + 7 k = ( a n = ( ) ( 7 ) 7 = ) = = 9 Für. Form gleiches a, anderes n, z.b. Doppeltes. Dann auch a n doppelt so groß. Koordinatengleichung: x n x + y n y + z n z = a n E: - x - y + 7 z = 9 E: - x - y + z = 8 ) Punkte: A( 7), B(- ). Mittelpunkt M(- ); Richtungsvektor u = b - a = ( ); Normale n = ( ) Gerade g: x = ( ) ) Spurpunkte und Spurgeraden Spurpunkte Schnittpunkte der Ebene mit den Achsen Spurgeraden Verbindungsgeraden der Spurpunkte damit auch Schnittgeraden der Ebene mit den Koordinatenebenen Am schnellsten (und sinnvollsten) ist die Rechnung in der Koordinatenform der Ebene. E: x + y + z =. Ein Punkt auf der x-achse hat die y- und z-koordinate, also P(x ). Eingesetzt in die Ebenengleichung folgt x =. Schnittpunkt mit der x-achse ist S X ( ). U Übungen - Seite (von )
3 Analog mit y = S Y ( ) und mit z = S Z ( /). Die Geraden durch jeweils Spurpunkte: Verbindet man so S X und S Y liegt die Gerade in der X-Y-Ebene. Die Spurgerade g XY ist damit auch die Schnittgerade der Ebene E mit der X-Y-Koordinatenebene. g XY : x = a + t (b - a) = ( In gleicher Weise: g XZ : x = ( ) = ( ) / ) und g YZ : x = ( ) / Man kann auch Ax + By + Cz = D durch D dividieren. Dann folgt E: x / (D/A) + y / (D/B) + z / (D/C) =. Dann ist der Nenner jeweils gleich dem Spurpunkt: D/A S X, D/B S Y, D/C S Z. Diese Darstellung der Ebene nennt man die Achsenabschnittsform. E: x / + y / + z / (/) = Ergänzung: NICHT ein anderer Rechenweg - NUR zur Vertiefung! Die Spurgerade ist die "Schnittgerade der Ebene E mit einer Koordinatenebene". Die "direkte Umsetzung" liefert auch die Spurgeraden. E: (x - a) n = x n = a n; n = ( ); a n = X-Y-Ebene: Normale ist die z-achse, n = ( k ); k (reelle) Konstante, k Als Aufpunkt am Einfachsten der Koordinatenursprung, O( ). Damit a n =. Gleichungssystem: [] x + y + z = [] x + y + k z = Aus [], wegen k, z =. In [] als freier Parameter y = t x + t = x = - t Aufgespalten und geordnet: x = ( ) und mit der Wahl t = : ( Es folgt dieselbe Spurgerade, wie direkt und einfacher aus den zwei Spurpunkten. ) Ergänzung: nicht vorgeschlagener Rechenweg für E in der Parameterform Eine mögliche Parameterform ist E: x = ( 8 Gleichsetzen eines Punkts P(x ) und x liefert ein Lineares Gleichungssystem (analog für y, z) P(x ): [] x = - + 8s + t; [] y = = + s; [] z = = - s - t []: s = -; in []: t = + = t = /; in []: x = = S X ( ) P( y ): [] x = = - + 8s + t; [] y = + s; [] z = = - s - t [] + []: - + t = t = /; in []: s = - t = ; in []: y = + S Y ( ) ) U Übungen - Seite (von )
4 P( z): [] x = = - + 8s + t; [] y = = + s; [] z = - s - t []: s = -; in []: t = - 8s = t = /; in []: z = + - / = / S Z ( /) ) g : x = a + s u = ( ); g : x = ( 9 ) Bevor man sofort losrechnet (Lineares Gleichungssystem) sollte man auf die Sonderfälle prüfen! a) Es mit einem Blick erkennbar, dass u(g ) = - u(g ). Die Geraden sind parallel. b) a(g ) + u(g ) = a(g ) ein Punkt auf g liegt auch auf g identische Geraden Dafür: Abstand = 7) Eine Möglichkeit ist, jeweils mit x(e ) = x(e ) ein Lineares Gleichungssystem zu lösen. Schneller ist, in der Normalenform zu arbeiten. ) + r ( ) 7 n = u x v = = i 7 - j 7 + k = 7 = - i - j - k = ( ) ) + q ( ) n = u x v = = i - j + k = = - i - j - k = ( ) ) + q ( ) u x v enthält nur eine Vertauschung der Zeilen, n ist daher gleich dem n von a). E : x = ( a) E : x = ( b) E : x = ( c) E : x = ( n = u x v = ) + q ( ) = i = - i - j - k = ( - j + k ) = Parallele Ebenen E und E bei a) und b). Nicht parallel bei c) E und E schneiden sich, also Abstand = Bei a) und b) muss nun untersucht werden, ob die Ebenen identisch sind. (Liegt ein Punkt der einen Ebene auch in der anderen?) Einsetzen eines Punkts von E - z.b. des Aufpunkts - in E - am einfachsten in der Normalenform. U Übungen - Seite (von )
5 E : (x - a) n = (b - a) n =? (Für einfachere Rechnung kollinearen Vektor -n benutzt.) a) [( b) [( ) ( )] ( ) = ( ) ( ) ( )] ( ) = ( ) ( ) = ) = - a) identische Ebenen, also Abstand = b) parallele Ebenen, es gibt einen Abstand. Berechnung "Punkt/Ebene" d = (p - a) n o - als p am einfachsten den Aufpunkt von E n = + + = ; schon berechnet (b - a) n = - b) Abstand d = / 8) E : Punkte A( ), B( ) und C(-,,). E : Aufpunkt A, Richtungsvektoren AB und AC E : x = a + r v + s w = ( Normale: v x w = ) + r ( ) = i - j + k = - i - j + k = ( ) = E hat dieselbe Normale. Die Gerade g in dieser Ebene sei g: x = f + t u Der Aufpunkt F liegt auch auf der Geraden g N : f = a + q n. Als "Abstandsproblem" haben wir (Hesse-Normalenform): Punkt A zur Ebene E. E hat den Aufpunkt a + q n und die Normale n. d = [a - (a + q n)] n o = - q n n / n = ; n n = = ; n = 7 q = Aufpunkt F: f = ( ) ( ) f = ( ); f = ( ) 7 Den. Punkt H der Geraden können wir analog bestimmen - wenn wir das wollen (s.u.!) 8 h = b + q n h = ( ) ( ) h = ( ); h = ( ) Alternativ liegt H bei f + v, weil B bei a + v liegt. h = ( ) + ( ) = ( ); h = ( 7 8 ) + ( ) = ( ) 7 Und schließlich hätten wir uns die Berechnung des. Punkts H gänzlich sparen können! Gefragt ist nur die Gerade g. Deren Richtungsvektor u ist gleich h - f, also v! Relativ zur Ebene E gibt es parallele Ebenen mit dem gleichen Abstand, also auch darin liegende Geraden g. g : x = ( ); g : x = ( 7 7 ) U Übungen - Seite (von )
5. Geraden und Ebenen im Raum 5.1. Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren
5 Geraden und Ebenen im Raum 5 Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren Definition: Die Vektoren a,a,,a n heißen linear abhängig, wenn mindestens einer dieser Vektoren als Linearkombination
MehrAnalytische Geometrie II
Analytische Geometrie II Rainer Hauser März 212 1 Einleitung 1.1 Geradengleichungen in Parameterform Jede Gerade g in der Ebene oder im Raum lässt sich durch einen festen Punkt auf g, dessen Ortsvektor
MehrA Vektorrechnung. B Geraden und Ebenen
A Vektorrechnung Seite 1 Lineare Gleichungssysteme... 4 2 Gauß-Algorithmus... 6 3 Vektoren... 10 4 Vektorberechnungen und Vektorlängen... 12 5 Linearkombination und Einheitsvektor... 16 6 Lineare Abhängigkeit
Mehr(Quelle Landungsbildungsserver BW) (Quelle Landungsbildungsserver BW)
Aufgabe M01 Lösen Sie das lineare Gleichungssystem 7 2 2 3 5 4 4 7 Aufgabe M02 14 Stellen Sie den Vektor 5 als Linearkombination der drei Vektoren 7 0 1 5 1, 3 und 2 dar. 3 7 2 Aufgabe M03 0 2 Gegeben
MehrE : y=0. g : x= ) +s ( 1 1. d = 17. Partnerquiz Punkte, Geraden und Ebenen im Raum Ausschneidebogen
Partnerquiz Aufgabe A Partnerquiz Aufgabe B Gib eine Ebenengleichung in Parameterform für die xz-ebene an. Gib eine Ebenengleichung in Koordinatenform für die xz-ebene an. E : y= E : x=r +s Partnerquiz
MehrAnalytische Geometrie - Schnittwinkel. u 1, u 2 Richtungsvektoren der Geraden
Analytische Geometrie - Schnittwinkel. Möglichkeiten und Formeln Gerade / Gerade: cos( ) = u u 2 u u 2 Gerade / Ebene: sin( ) = n u n u Ebene / Ebene: cos( ) = n n 2 n n 2 u, u 2 Richtungsvektoren der
MehrÜbungen 3. Vektoren. 1) Gesucht sind alle möglichen Vektoren c mit der Länge 6, die senkrecht auf den Vektoren a und b stehen.
Vektoren Übungen ) Gesucht sind alle möglichen Vektoren c mit der Länge, die senkrecht auf den Vektoren a und b stehen. a = ( ); b = ( ) a) Ein Dreieck in R ist durch die Punkte O( ), A( ), B( ) definiert.
MehrLagebeziehung von Ebenen
M8 ANALYSIS Lagebeziehung von Ebenen Es gibt Möglichkeiten für die Lagebeziehung zwischen zwei Ebenen. Die Ebenen sind identisch. Die Ebenen sind parallel. Die Ebenen schneiden sich in einer Geraden Um
Mehrd 2 b 2 c 2 d 3 b 3 c 3 , D a 1 d 1 c 1 v 3 Definiton (Verbindungsvektor): Zwei Punkte A(a 1 a 2 a 3 ) und B(b 1 b 2 b 3 ) legen den Vektor b 1 a 1
2008/2009 Das Wichtigste in Kürze Klasse 3 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten Definiton (Lineare Gleichungssysteme: Lineare Gleichungssysteme löst man entweder mit dem Gauß-Algorithmus oder nach
MehrLernkarten. Analytische Geometrie. 6 Seiten
Lernkarten Analytische Geometrie 6 Seiten Zum Ausdrucken muss man jeweils eine Vorderseite drucken, dann das Blatt wenden, nochmals einlegen und die Rückseite drucken. Am besten druckt man die Karten auf
MehrKugel - Kugelgleichung, Lagebeziehungen
. Kugelgleichung. Lage Punkt / Kugel 3. Lage Gerade / Kugel 3. Standardverfahren 3. Alternative Kugel - Kugelgleichung, Lagebeziehungen. Lage Ebene / Kugel 5. Lage Kugel / Kugel (Schnittkreis, Berührungspunkt).
MehrAufgaben mit Ebenen. Parameterform Normalenform Koordinatenform. Darstellung = + r + s =0 ax 1 + bx 2 + cx 3 = d. Beispiel
Aufgaben mit Ebenen Parameterform Normalenform Koordinatenform Spurpunkte Zur grafischen Darstellung der Ebene die Spurpunkt berechnen. Zwei Koordinaten gleich 0 setzen und jeweils die dritte ausrechnen.
MehrAufgaben zur Vektorrechnung
) Liegt der Punkt P(; -; 2) auf der Geraden 4 g: x = 5+t 2? 6 2 Aufgaben zur Vektorrechnung 2) a) Wie groß ist der Abstand der Punkte A(4; 2; -4) und B(;-2;-4) zueinander? b) Gesucht wir der Mittelpunkt
Mehr(x 1. Vektoren. g: x = p + r u. p r (u1. x 2. u 2. p 2
Vektoren Mit der Vektorrechnung werden oft geometrische Probleme gelöst. Wenn irgendwelche Aufgabenstellungen geometrisch darstellbar sind, z.b. Flugbahnen oder Abstandsberechnungen, dann können sie mit
MehrTeil II. Geometrie 19
Teil II. Geometrie 9 5. Dreidimensionales Koordinatensystem Im dreidimensionalen Koordinatensystem gibt es acht Oktanten, oben I bis VI und unten VI bis VIII. Die Koordinatenachsen,x 2 und stehen jeweils
MehrAbstände und Zwischenwinkel
Abstände und Zwischenwinkel Die folgenden Grundaufgaben wurden von Oliver Riesen, KS Zug, erstellt und von Stefan Gubser, KS Zug, überarbeitet. Aufgabe 1: Bestimme den Abstand der beiden Punkte P( 3 /
MehrDas Wichtigste auf einen Blick
Das Wichtigste auf einen Blick Zusammenfassung Geometrie.Parameterform einer Geraden Eine Gerade ist wie auch in der Analysis durch zwei Punkte A, B im Raum eindeutig bestimmt einer der beiden Punkte,
MehrAbituraufgaben Analytische Geometrie (Pflichtteil)
Lösung A6/04 Abituraufgaben Analytische Geometrie (Pflichtteil) 2004-2007 1 2 : 1 1; : 4 2 4 11. 0 2 Punktprobe mit 3 0 2 auf. Normalenvektor von muss ein Vielfaches des Richtungsvektors von sein. Wegen
Mehr1 aus allen 3 Zeilen folgt t = 1, also liegt A auf g. Orsvektor und Richtungsvektor der Geraden werden übernommen, den zweiten Spannvektor bekommt
Lösungsskizzen Klassische Aufgaben Lösung zu Abi - PTV Punktprobe: = + t aus allen Zeilen folgt t =, also liegt A auf g. Richtungsvektor von g: u = ; Normalenvektor von E: n = Da die n und u Vielfache
MehrGegeben sei eine Ebene E und ein Punkt A E mit dem Ortsvektor a und zwei nicht kolli- neare Richtungsvektoren. + λ
VI. Ebenengleichungen in Parameterform =================================================================6 6.1. Definition ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
MehrÜbungsblatt Analytische Geometrie - Geraden und Ebenen - 6C /07
Übungsblatt Analytische Geometrie - Geraden und Ebenen - 6C - 6/7. Gegenseitige Lage von Geraden Gesucht ist die gegenseitige Lage der Geraden g durch die beiden Punkte A( ) und B( 5 9 ) und der Geraden
MehrKugel - Tangentialebene und Tangentialkegel
6. Tangentialebene an einem Punkt 7. Tangentialkegel von einem Punkt (Pol) aus Kugel - Tangentialebene und Tangentialkegel 6. Tangentialebene an einem Punkt, "Tangente" 6. Berührungspunkt gegeben Die Tangentialebene
MehrGruppenarbeit: Lagebeziehungen Gruppe A
Gruppe A Hier soll die Lage von Geraden im Koordinatensystem untersucht werden. Bearbeiten Sie folgende Fragen (am besten mit Hilfe von Skizzen): 1) Wie kann man überprüfen, ob eine gegebene Gerade durch
MehrBesondere Lage einer Gerade oder Ebene im Koordinatensystem
MK 5.. LageKoordsys.mcd Besondere Lage einer Gerade oder Ebene im Koordinatensystem Die Koordinatenachsen: Alle Koordinatenachsen enthalten den Ursprung als Aufpunkt. Beispiel g : = λ Die -Achse Die Einheitsvektoren
Mehr13. Klasse TOP 10 Grundwissen 13 Geradengleichungen 01
. Klasse TOP 0 Grundwissen Geradengleichungen 0 Punkt-Richtungs-Form Geraden sind gegeben durch einen Aufpunkt A (mit Ortsvektor a) auf der Geraden und einen Richtungsvektor u: x = a + λ u, λ IR. (Interpretation:
MehrAus folgt: 1; 3 Eingesetzt in : $$$$$ #! * 1 + ; # $$$$$$$ # $$$$$ 2 $$$$$! * 3 Der Bildpunkt hat die Koordinaten
Abituraufgaben Analytische Geometrie (Pflichtteil) ab Lösung A6/ Wir stellen die gegebene Normalengleichung von in die Koordinatengleichung um und bilden. Im Gleichungssystem mit drei Unbekannten und zwei
MehrGegenseitige Lage von Geraden und Ebenen
Gegenseitige Lage von Geraden und Ebenen. Gegeben sind die Ebene E : x + = und die Gerade g : x = +λ Lösung: (a) E : (a) Berechne die Koordinaten der Achsenpunkte A, A und A von E sowie der Durchstoßpunkte
MehrMathematik Analytische Geometrie
Mathematik Analytische Geometrie Grundlagen:. Das -Dimensionale kartesische Koordinatensystem: x x x. Vektoren und Ortsvektoren: a x = x x ist ein Vektor, der eine Verschiebung um x -Einheiten in x-richtung,
Mehr5. Gegenseitige Lage von Geraden und Ebenen. 5.1 Gegenseitige Lage zweier Geraden (siehe Kap. 3.2) 5.2: Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene
5 5. Gegenseitige Lage von Geraden und Ebenen 5. Gegenseitige Lage zweier Geraden (siehe Kap..) 5.: Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene Beispiel: : x + y + 4z - 4 = g = P(6, -, )Q(, 6, 4) geometrisch:
MehrSollten sich (Flüchtigkeits )Fehler eingeschlichen haben, bitte ich um eine kurze Nachricht an hans
Sollten sich (Flüchtigkeits )Fehler eingeschlichen haben, bitte ich um eine kurze Nachricht an hans josef.coenen@web.de Abitour Analytische Geometrie Leistungskurs Aufgaben 1. Welche Lagebeziehungen zwischen
MehrGeometrie 3. Lagebeziehung zwischen geometrischen Objekten. 28. Oktober Mathe-Squad GbR. Lagebeziehung zwischen geometrischen Objekten 1
Geometrie 3 Lagebeziehung zwischen geometrischen Objekten Mathe-Squad GbR 28. Oktober 2016 Lagebeziehung zwischen geometrischen Objekten 1 Lage zweier Geraden Geraden g : #» X = #» A + λ #» u mit λ R h
Mehrx 3 Genau dann liegt ein Punkt X mit dem Ortsvektor x auf g, wenn es ein λ R gib,t so dass
V. Geradengleichungen in Parameterform 5. Definition ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------- x 3 v a x x x Definition und Satz :
MehrAbstandsberechnung Gerade - Gerade (Kreuzprodukt)
Abstandsberechnung Gerade - Gerade (Kreuzprodukt) 1. Parallele Geraden g1: a + t u g2: b + s u Gleiche Richtungsvektoren, aber verschiedene Aufpunkte. In R 2 : d = (b-a) n o mit n u. In R : d = (b-a) x
MehrPflichtteilaufgaben zu Gegenseitige Lage, Abstand, Baden-Württemberg
Pflichtteilaufgaben zu Gegenseitige Lage, Abstand, Baden-Württemberg Hilfsmittel: keine allgemeinbildende Gymnasien Alexander Schwarz wwwmathe-aufgabencom September 6 Abituraufgaben (Haupttermin) Aufgabe
MehrLage zweier Ebenen. Suche alle Punkte von E 1 die in E 2 enthalten sind. Setze also die Parameterform von E 1 in die Koordinatenform von E 2.
LAGE Lage zweier Ebenen Suche alle Punkte von E die in E 2 enthalten sind. Setze also die Parameterform von E in die Koordinatenform von E 2. B = E : X E 2 : x + x 2 + x 3 = Parameterform (PF) in Koordinatenform
Mehr1 lineare Gleichungssysteme
Hinweise und Lösungen: http://mathemathemathe.de/lineare-algebra-grundlagen 1 lineare Gleichungssysteme Übung 1.1: Löse das lineare Gleichungssystem: I 3x + 3y + 7z = 13 II 1x 2y + 2, 5z = 1, 5 III 4x
MehrVektorgeometrie. Inhaltsverzeichnis. Fragen und Antworten. (bitte nur für den Eigengebrauch verwenden)
fua3673 Fragen und Antworten Vektorgeometrie (bitte nur für den Eigengebrauch verwenden) Inhaltsverzeichnis Vektorgeometrie im Raum. Fragen................................................. Allgemeines..........................................
MehrKursstufe K
Kursstufe K 6..6 Schreiben Sie die Ergebnisse bitte kurz unter die jeweiligen Aufgaben, lösen Sie die Aufgaben auf einem separaten Blatt. Aufgabe : Berechnen Sie das Integral Lösungsvorschlag : exp(3x
MehrAufgabe A6/13. Aufgabe A7/13. Aufgabe A6/14
Aufgabe A6/ Gegeben sind die Ebene 4 : Abituraufgaben Analytische Geometrie (Pflichtteil) ab und : 8. Bestimmen Sie eine Gleichung der Schnittgeraden. (Quelle Abitur BW Aufgabe 6) Aufgabe A7/ Gegeben sind
MehrGrundwissen Abitur Geometrie 15. Juli 2012
Grundwissen Abitur Geometrie 5. Juli 202. Erkläre die Begriffe (a) parallelgleiche Pfeile (b) Vektor (c) Repräsentant eines Vektors (d) Gegenvektor eines Vektors (e) Welcher geometrische Zusammenhang besteht
Mehreingesetzt in die Ebenengleichung
25 5. Gegenseitige Lage von Geraden und Ebenen 5.1 Gegenseitige Lage zweier Geraden (siehe Kap. 3.2) 5.2: Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene Beispiel: ε: 2x + 3y + 4z - 24 = 0 g = P(6, -2, 2)Q(0,
MehrGeometrie / Lineare Algebra
6 Geometrie / Lineare Algebra Vektoren und Rechenregeln Länge, Winkel, Abstand Darstellung von Geraden und Ebenen Umformungen Abstandsbestimmungen Lage, Schnitte, Schnittwinkel Spiegelungen E-Mail: klaus_messner@web.de,
MehrAnalytische Geometrie - Das Lotfußpunktverfahren - Gerade/Gerade (R 3 )
Analytische Geometrie - Das Lotfußpunktverfahren - Gerade/Gerade R 3 ) Gerade - Gerade in R 3 ) Der Fall sich schneidender Geraden ist uninteressant. Es existiert dann ein beliebiger Abstand je nach der
MehrFOS 1994, Ausbildungsrichtungen Technik und Agrarwirtschaft Analytische Geometrie, Aufgabengruppe B I
FOS 994, Ausbildungsrichtungen Technik und Agrarwirtschaft Aufgabenstellung In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A( ), B(3 ) und C( ) gegeben, sowie die Punkte D a (a a a + ) mit a R..
Mehrb 1 b 2 b 3 a 1 b 1 a 2 b 2 a 2 b 2 a b a b a 1 b 1 a 2 b 2 a 3 b 3
1. Rechnen mit Vektoren Skalarprodukt a b a b cos a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 a 1 b 1 a 2 b 2 a 2 b 2 b a 1. Betrag Länge eines Vektors: a a a a 2 1 a 2 2 a 2 3 2. Winkel zwischen 2 Vektoren: cos a b a b a
MehrBasistext Geraden und Ebenen
Basistext Geraden und Ebenen Parameterdarstellung Geraden Eine Gerade ist durch zwei Punkte P und Q, die auf der Geraden liegen, eindeutig festgelegt. Man benötigt zur Darstellung den Vektor. Dieser wird
Mehrb 1 b 2 b 3 = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3
1. Rechnen mit Vektoren Skalarprodukt a b = a b cosα = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 b a 1. Betrag = Länge eines Vektors: a = a a = a 2 1 + a 2 2 + a 2 3 2. Winkel zwischen 2 Vektoren:
MehrZusammenfassung Vektorrechnung und Komplexe Zahlen
Zusammenfassung Vektorrechnung und Komplexe Zahlen Michael Goerz 8. April 006 Inhalt Vektoren, Geraden und Ebenen. Länge eines Vektors.......................... Skalarprodukt..............................
MehrAbituraufgaben bis 2018 Baden-Württemberg. Geraden, Ebenen, Abstand
Abituraufgaben bis 8 Baden-Württemberg Geraden, Ebenen, Abstand allgemeinbildende Gymnasien Alexander Schwarz www.mathe-aufgaben.com August 8 Aufgabe : (Abiturprüfung 8) Gegeben sind die Ebenen E: xx x
Mehreinführendes Beispiel: In der Skizze ist die durch die Punkte A(2, 4, 3) B(2, 6, 2) C(4, 4, 2) festgelegte Ebene ε dargestellt.
6 4. Darstellung der Ebene 4. Die Parametergleichung der Ebene einführendes Beispiel: In der Skizze ist die durch die Punkte A(2, 4, 3) B(2, 6, 2) C(4, 4, 2) festgelegte Ebene ε dargestellt. 0 2 r uuur
MehrGrundwissen. 2.Aufstellen von Geradengleichungen: Man nimmt einen Startvektor und bildet aus 2 Punkten einen Richtungsvektor!
Grundwissen 1.Aufstellen eines Vektors: Merkregel: Spitze minus Fuß! 2.Aufstellen von Geradengleichungen: Man nimmt einen Startvektor und bildet aus 2 Punkten einen Richtungsvektor! 3.Aufstellen von Ebenengleichungen
MehrKreis - Übungen. 1) Die y-achse ist am Punkt A eine Tangente an den Kreis. Mit dem noch nicht bekannten "Zwischenwert"
Kreis - Übungen Wenn die "Kreisgleichung" gesucht ist, sind der Mittelpunkt und der Radius anzugeben. Es ist möglich, dass mehrere Kreise eine Aufgabenstellung erfüllen. 1) Ein Kreis berührt die y-achse
MehrMATHEMATIK K1. Aufgabe F Punkte (max) Punkte. Gesamtpunktzahl /30 Notenpunkte
MATHEMATIK K1.06.015 Aufgabe 1 5 6 7 8 9 10 F Punkte (max 11 1 1 Punkte Gesamtpunktzahl /0 Notenpunkte Für vorbildliche Darstellung wird ein Extrapunkt vergeben. (1 Bestimmen sie die ersten beiden Ableitungen
MehrAnalytische Geometrie - Lagebeziehungen Gerade / Gerade. Teil 1 Allgemeines / Parameterform R 2
Analytische Geometrie - Lagebeziehungen Gerade / Gerade Lage zweier Geraden zueinander In R 2 sind möglich (1) parallel, (2) identisch, (3) die Geraden schneiden sich. In R 3 kommt noch dazu Teil 1 Allgemeines
MehrGleiche Vorgehensweise wie beim Einheitsvektor in der Ebene (also wie bei 2D).Beispiel:
VEKTOREN Vektoren im Raum (3D) Länge/Betrag eines räumlichen Vektors Um die Länge eines räumlichen Vektors zu bestimmen, berechnen wir dessen Betrag. Auch hier rechnet man genauso wie bei einem zweidimensionalen
MehrMathematik 12. Jahrgangsstufe - Hausaufgaben
Mathematik. Jahrgangsstufe - Hausaufgaben Inhaltsverzeichnis Raumgeometrie. Punkte einer Geraden............................... Punkte und Geraden................................ Geraden und Punkte................................5
Mehr1. Runde Einzelarbeit 1 2. Entscheiden Sie durch Nachdenken oder Rechnung. Der Vektor 4 ist ebenfalls ein Richtungsvektor der Gerade.
Geraden im Raum Ludwig Otto Hesse (8 87) leistete u.a. wichtige Beiträge zur Weiterentwicklung der analytischen Geometrie unter Nutzung algebraischer Hilfsmittel. Wir werden uns noch mit der Hesse schen
Mehr1.1. Geradengleichung aus Steigung und y-achsenabschnitt
Version vom 4. Januar 2007 Gleichungen von Geraden in der Ebene 1999 Peter Senn * 1.1. Geradengleichung aus Steigung und y-achsenabschnitt In dieser Form lautet die Gleichung der Geraden wie folgt: g:
MehrKapitel 13 Geometrie mit Geraden und Ebenen
13. Geometrie mit Geraden und Ebenen 13.1 Geraden- und Ebenengleichungen 13.1 Geradengleichungen Ist A ein Punkt des Anschauungsraumes mit Ortsvektor, dann ist eine Gerade g durch diesen Punkt bestimmt
MehrLage und Schnitte. von Geraden und Ebenen. Ganz einfache Erklärung der Grundlagen: Die wichtigsten Aufgabenstellungen und Methoden- Datei Nr.
Heft 4: Vektorgeometrie ganz einfach Teil 4 Lage und Schnitte von Geraden und Ebenen Ganz einfache Erklärung der Grundlagen: Die wichtigsten Aufgabenstellungen und Methoden- Datei Nr. 63300 Stand 11. Januar
MehrFormelsammlung Analytische Geometrie
Formelsammlung http://www.fersch.de Klemens Fersch. September 8 Inhaltsverzeichnis 6 6. Vektorrechung in der Ebene.............................................. 6.. Vektor - Abstand - Steigung - Mittelpunkt.................................
MehrKreis - Kreisgleichung (+ Lagebeziehung Punkt / Kreis)
Kreis - Kreisgleichung (+ Lagebeziehung Punkt / Kreis. Kreisgleichung. Kreis durch 3 Punkte 3. Lage Punkt / Kreis. Kreisgleichung Ein Kreis mit dem Mittelpunkt M - Ortsvektor m - und dem Radius r ist beschrieben
MehrAbitur 2017 Mathematik Geometrie VI
Seite http://www.abiturloesung.de/ Seite Abitur 7 Mathematik Geometrie VI Gegeben sind die beiden bezüglich der x x 3 -Ebene symmetrisch liegenden Punkte A( 3 ) und B( 3 ) sowie der Punkt C( ). Teilaufgabe
Mehr4. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau
Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Joswig Dr. habil. Sören Kraußhar Dipl.-Math. Katja Kulas 4. Übungsblatt zur Mathematik I für Maschinenbau Gruppenübung WS /..-7.. Aufgabe G (Geraden im R ) Bestimmen
MehrAnalytische Geometrie Aufgaben und Lösungen
Analytische Geometrie Aufgaben und Lösungen http://www.fersch.de Klemens Fersch. Januar Inhaltsverzeichnis Punkte:Vektor - Abstand - Steigung - Mittelpunkt. Aufgaben....................................................
MehrAusführliche Lösungen
Bohner Ott Deusch Mathematik für berufliche Gymnasien Lineare Algebra Vektorgeometrie Ausführliche Lösungen zu im Buch gekennzeichneten Aufgaben ab. Auflage 6 ISBN 978--8-68-5 Das Werk und seine Teile
MehrAbitur 2011 G8 Musterabitur Mathematik Geometrie VI
Seite http://www.abiturloesung.de/ Seite Abitur G8 Musterabitur Mathematik Geometrie VI In einem kartesischen Koordinatensystem ist ein Würfel W der Kantenlänge gegeben. Die Eckpunkte G ( ) und D ( ) legen
MehrSchnitt zweier Ebenen
Schnitt zweier Ebenen. Gegeben sind die beiden Ebenen: E : ( 3 4 x = E : ( 3 x 6 = Bestimme die Schnittgerade. Der Richtungsvektor der Schnittgeraden zweier Ebenen steht senkrecht auf den Normalenvektoren
Mehr5 Geraden im R Die Geradengleichung. Übungsmaterial 1
Übungsmaterial 5 Geraden im R 5. Die Geradengleichung Eine Gerade ist eindeutig festgelegt durch zwei Punkte oder durch einen Punkt und eine Richtung. Beispiel: Die Gerade g durch die Punkte A(-//) und
MehrFormelsammlung Analytische Geometrie
Formelsammlung Analytische Geometrie http://www.fersch.de Klemens Fersch 6. August 6 Inhaltsverzeichnis 6 Analytische Geometrie 6. Vektorrechung in der Ebene......................................... 6..
MehrNachhilfe-Kurs Mathematik Klasse 13 Freie Waldorfschule Mitte April 2008
Nachhilfe-Kurs Mathematik Klasse 13 Freie Waldorfschule Mitte April 8 Zusammenfassung IC Il Corso Advanzato I. Besondere Punkte, Geraden und Ebenen 1. Besondere Ebenen Koordinatenebenen: Wie in dem konkretes
MehrZusammenfassung der Analytischen Geometrie
Zusammenfassung der Analytischen Geometrie 1. Rechnen mit Vektoren (Addition, Subtraktion, S-Multiplikation, Linearkombinationen) 1. Gegeben sind die Punkte A(2-6 ) und B(-1 14-4), 4 4 sowie die Vektoren
MehrEin Exkurs in analytischer Geometrie des Raumes anhand Euklidischer Lehrsätze
Ein Exkurs in analytischer Geometrie des Raumes anhand Euklidischer Lehrsätze Im Koordinatenkreuz mit 3 Koordinatenachsen gilt: Ein Punkt P hat die Koordinaten P: (x; y; z). Die Größe OP ist die Entfernung
Mehrentspricht der Länge des Vektorpfeils. Im R 2 : x =
Norm (oder Betrag) eines Vektors im R n entspricht der Länge des Vektorpfeils. ( ) Im R : x = x = x + x nach Pythagoras. Allgemein im R n : x x = x + x +... + x n. Beispiele ( ) =, ( 4 ) = 5, =, 4 = 0.
MehrGeometrie / Lineare Algebra. Rechenregeln. Geometrische Deutung. Vektoren
Vektoren Geometrie / Lineare Algebra Vektoren und Rechenregeln Länge, Winkel, Abstand Darstellung von Geraden und Ebenen Umformungen Abstandsbestimmungen Lage, Schnitte, Schnittwinkel Spiegelungen E-Mail:
MehrFOS 1995, Ausbildungsrichtungen Technik und Agrarwirtschaft Analytische Geometrie, Aufgabengruppe B II
Aufgabenstellung In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A( ), B( 3) und C( 3) gegeben.. Die Punkte A und B bestimmen die Gerade g. Die Ebene E enthält den Punkt C und steht senkrecht auf
MehrAbiturprüfung Mathematik 2012 Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gymnasien Pflichtteil Lösungen
Abiturprüfung Mathematik 202 Baden-Württemberg Allgemeinbildende Gymnasien Pflichtteil Lösungen klaus_messner@web.de www.elearning-freiburg.de Pflichtteil 202 2 Aufgabe : Bilden Sie die erste Ableitung
MehrLagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen mit Hilfe der Normalenform
Lagebeziehungen zwischen Geraden und Ebenen mit Hilfe der Normalenform Bernhard Scheideler Albrecht-Dürer-Gymnasium Hagen Hilfen zur Analytischen Geometrie (). Dezember 0 Inhalt: Die Lagebeziehungen zwischen
MehrI.1 Geraden. 168/1 jeweils R. 168/2 rot. 168/3 a) B, H b) keiner c) A, C, F. 168/4 a) f b) w c) f d) w e) f. 168/5 z. B.!
68/ jeweils R 4 4 a) : = + 68/ rot I. Geraden b) : = + 4 c) : = + 68/ a) B, H b) keiner c) A, C, F 68/4 a) f b) w c) f d) w e) f 68/5 z. B.! jeweils R a) : = + c) : = + e) : = + 68/6 Höhen jeweils über
Mehrr a t u Parametergleichung der Geraden durch den Punkt A mit dem Richtungsvektor u t R heisst Parameter
8 3. Darstellung der Geraden im Raum 3.. Parametergleichung der Geraden Die naheliegende Vermutung, dass eine Gerade des Raumes durch eine Gleichung der Form ax + by + cz +d = 0 beschrieben werden kann
MehrFOS 1994, Ausbildungsrichtungen Technik und Agrarwirtschaft Analytische Geometrie, Aufgabengruppe B II
FOS, Ausbildungsrichtungen Technik und Agrarwirtschaft Aufgabenstellung. In einem kartesischen Koordinatensystem ist die Gerade g gegeben mit der Gleichung g : x = + σ σ R (a) Die drei Punkte A( ), B(
Mehr5. Wie bringt man einen Vektor auf eine gewünschte Länge? Zuerst bringt man ihn auf die Länge 1, dann multipliziert man mit der gewünschten Länge.
1. Definition von drei Vektoren sind l.u. 2. Wie überprüft man 3 Vektoren mit Hilfe eines LGS auf lineare Unabhängigkeit? 3. Definition von Basis?... wenn sich der Nullvektor nur als triviale LK darstellen
MehrMathematik-Aufgabenpool > Grundaufgaben zur Vektorrechnung I
Michael Buhlmann Mathematik-Aufgabenpool > Grundaufgaben zur Vektorrechnung I Einleitung: Elemente der Vektorrechnung im dreidimensionalen reellen kartesischen x -x -x 3-Koordinatensystem sind Punkte P(p
MehrLektionen zur Vektorrechnung
Die Homepage von Joachim Mohr Start Mathematik Lektionen zur Vektorrechnung in Aufgaben Diese Datei kann auch als PDF-Datei heruntergeladen werden. Download... Es handelt sich um " Basisaufgaben " der
MehrAbitur 2010 Mathematik LK Geometrie V
Seite http://www.abiturloesung.de/ Seite Abitur Mathematik LK Geometrie V Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem des R der Punkt A( ) und die Menge der Punkte B k ( k) mit k R. Die Punkte
MehrGeometrie Q11 und Q12
Skripten für die Oberstufe Geometrie Q und Q. E: x + 3x 4 = 0 A 3 H. Drothler 0 www.drothler.net Geometrie Oberstufe Seite Inhalt 0. Das räumliche Koordinatensystem... 0. Vektoren...3 03. Vektorketten...4
Mehr5. Ebenengleichungen. Dr. Fritsch, FGG Kernfach Mathematik Klasse 11-A18
5. Ebenengleichungen Eine Ebene im Raum wird durch einen Punkt und zwei nicht parallele Richtungsvektoren bzw. durch drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, eindeutig festgelegt. vektorielle Parametergleichung:
MehrVektorgeometrie. 1. Vektoren eingeben, Norm, Skalarprodukt. 2 In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Vektoren. , v. und. gegeben.
Vektorgeometrie 1. Vektoren eingeben, Norm, Skalarprodukt 2 In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Vektoren u 14, 5 11 10 v 2 und w 5 gegeben. 10 10 a) Zeigen Sie, dass die Vektoren einen Würfel
MehrPrüfungsteil B, Aufgabengruppe 1, Geometrie. Bayern Aufgabe 1. a b. Bundesabitur Mathematik: Musterlösung. Abitur Mathematik Bayern 2014
Abitur Mathematik Bayern Prüfungsteil B; Aufgabengruppe : Bundesabitur Mathematik: Prüfungsteil B, Aufgabengruppe, Bayern Aufgabe a) SCHRITT: BERECHNUNG DER VEKTOREN AB UND AC Den Flächeninhalt eines Dreiecks
MehrFormelsammlung Mathematik Grundkurs Inhalt
Formelsammlung Mathematik Grundkurs Inhalt Inhalt...1 Trigonometrie Grundlagen... Vektoren...3 Skalarprodukt...4 Geraden...5 Abstandsberechnungen...6 Ebenen...7 Lineare Gleichungssysteme (LGS)...8 Gauß'sches
MehrS Gegenseitige Lage von Ebeben. 2 Schnitt von Ebenen. a) E : x 1 2x 2 + 3x 3 6 = 0 und F : x 1 + 2x 2 + x 3 4 = 0. E + F : 2x 1 + 4x 3 10 = 0
S. 8 7 Gegenseitige Lage von Ebeben Schnitt von Ebenen a) E : x x + x 6 = und F : x + x + x = E + F : x + x = Parametrisierung: x = λ x = λ In F eingesetzt: λ + x + λ = x = + λ Schnittgerade: X =,, b)
MehrLineares Gleichungssystem - n = 3
Lineares Gleichungssystem - n = 3. Problemstellung Für Unbekannte ist das Gleichungssystem geometrisch äquivalent der Suche nach einem Schnittpunkt zweier Geraden in R. Für 3 Unbekannte ist das Äquivalent
MehrLk Mathematik 12 Analytische Geometrie Arbeitsblatt A.1
Lk Mathematik 2 Analytische Geometrie Arbeitsblatt A.. Die Grundäche eines Spielplatzes liegt in der x - -Ebene. Auf ihm steht eine innen begehbare, senkrechte, quadratische Pyramide aus Holz mit den Eckpunkten
MehrEbenen in Normalenform
Ebenen in Normalenform Normalenvektoren und Einheitsvektoren Definition Normalenvektor Ein Normalenvektor einer Ebene ist ein Vektor, der senkrecht auf einer Ebene steht (siehe Seite 12). Berechnung eines
MehrEbenengleichungen und Umformungen
Ebenengleichungen und Umformungen. Januar 7 Ebenendarstellungen. Parameterdarstellung Die Parameterdarstellung einer Ebene ist gegeben durch einen Stützvektor r, der einen Punkt auf der Ebene angibt und
MehrV.01 Grundlagen (Kurzform)
Punkte, Geraden, Ebenen V.0 Grundlagen (Kurzform) V.0.0 Zeichnen im D Koordinatensystem ( ) Ein D Koordinatensystem hat natürlich drei Achsen. Die Achsen heißen Koordinatenachsen. Die erste Achse heißt
MehrSj 2017/18, Mathe K1 Graf-Zeppelin-Gymnasium Seite 1
Sj 07/8, Mathe K Graf-Zeppelin-Gmnasium Seite Ebenen und Geraden Inhaltsverzeichnis Ebenen und Geraden... Die drei Ebenenformen... Eine Gerade... Schnitt Gerade und Ebene... Eine Gerade senkrecht zu E
MehrAbituraufgaben Analytische Geometrie Wahlteil 2012 BW
Aufgabe B1 Die Ebene enthält die Punkte 6 1, 2 3 und 3 2,5. a) Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung von. Stellen Sie die Ebene in einem Koordinatensystem dar. Unter welchem Winkel schneidet die -Achse?
Mehr