Abituraufgaben bis 2018 Baden-Württemberg. Geraden, Ebenen, Abstand

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1 Abituraufgaben bis 8 Baden-Württemberg Geraden, Ebenen, Abstand allgemeinbildende Gymnasien Alexander Schwarz August 8

2 Aufgabe : (Abiturprüfung 8) Gegeben sind die Ebenen E: xx x 5 und die Gerade g: x b s. a Die Gerade g liegt in E. a) Bestimmen Sie die Werte für a und b. b) Geben Sie eine Gleichung einer Geraden h an, die ebenfalls in E liegt und senkrecht zur Geraden g verläuft. Aufgabe : (Abiturprüfung 8) Gegeben ist die Ebene E:xx x 4. a) Begründen Sie, dass die Spurpunkte von E die Ecken eines gleichschenkligen Dreiecks bilden. b) Die Ebene F: x r s schneidet die Ebene E. 8 Bestimmen Sie eine Gleichung der Schnittgeraden. Aufgabe : (Abiturprüfung 6) Gegeben ist die Gerade g: x r 4. a) Untersuchen Sie, ob es einen Punkt auf g gibt, dessen drei Koordinaten identisch sind. b) Die Gerade h verläuft durch Q(8/5/) und schneidet g orthogonal. Bestimmen Sie eine Gleichung von h. Aufgabe 4: (Abiturprüfung 6) Gegeben ist die Ebene E: 4x4x 7x 8. Es gibt zwei zu E parallele Ebenen F und G, die vom Ursprung den Abstand haben. Bestimme jeweils eine Gleichung von F und G. Aufgabe 5: (Abiturprüfung 5) Gegeben sind die drei Punkte A(4//4), B(/4/4) und C(6/6/). a) Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC gleichschenklig ist. b) Bestimmen Sie die Koordinaten eines Punktes, der das Dreieck ABC zu einem Parallelogramm ergänzt. Veranschaulichen Sie durch eine Skizze, wie viele solcher Punkte es gibt. Aufgabe 6: (Abiturprüfung 4) Gegeben sind die Punkte A(//), B(-//) und C(//). Die Gerade g verläuft durch A und B. Bestimmen Sie den Abstand des Punktes C von der Geraden g.

3 Aufgabe 7: (Abiturprüfung ) Gegeben sind die beiden Ebenen 7 E : xx x und E : x 7 s t. 5 4 Zeigen Sie, dass die beiden Ebenen parallel zueinander sind. Die Ebene E ist parallel zu E und E und hat von beiden Ebenen denselben Abstand. Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene E. Aufgabe 8: (Abiturprüfung ) Die Gerade g verläuft durch die Punkte A(/-/) und B(/-/). Die Ebene E wird von g orthogonal geschnitten und enthält den Punkt C(4//-8). Bestimmen Sie den Schnittpunkt S von g und E. Untersuchen Sie, ob S zwischen A und B liegt. Aufgabe 9: (Abiturprüfung ) 4 Gegeben sind die Ebene E: x und F: x x 8. Bestimmen Sie eine Gleichung der Schnittgeraden. Aufgabe : (Abiturprüfung ) Gegeben sind der Punkt A(//) und die Ebene E: xx 4. a) Welche besondere Lage hat E im Koordinatensystem? b) Der Punkt A wird an der Ebene E gespiegelt. Bestimmen Sie die Koordinaten des Bildpunktes. Aufgabe : (Abiturprüfung ) 8 Gegeben sind die Ebenen E: x und die Gerade g: x 5 t 4. 7 a) Zeigen Sie, dass E und g parallel zueinander sind. b) Bestimmen Sie den Abstand von E und g.

4 Aufgabe : (Abiturprüfung ) Gegeben sind die Punkte A(/4/), B(//-), C(4/-/) und D(-/9/). Überprüfen Sie, ob dieser vier Punkte in einer Ebene liegen. Aufgabe : (Abiturprüfung ) Gegeben sind die Ebene E: x 4x 7 und der Punkt P(9/-4/). a) Berechnen Sie den Abstand des Punktes P von der Ebene E. b) Der Punkt S(-//) liegt auf E. Bestimmen Sie den Punkt Q auf der Geraden durch S und P, der genauso weit von E entfernt ist wie P. Aufgabe 4: (Abiturprüfung 9) Gegeben sind die Ebene E: x 4und die Gerade g: x x r. a) Veranschaulichen Sie die Ebene E in einem Koordinatensystem. b) Untersuchen Sie die gegenseitige Lage von g und E. c) Bestimmen Sie den Abstand des Ursprungs von der Ebene E. Aufgabe 5: (Abiturprüfung 8) Gegeben sind die zwei parallelen Geraden g und h durch g: x 9s4, h: 4 6 x t8; s,tr 5 Bestimmen Sie den Abstand der beiden Geraden. Aufgabe 6: (Abiturprüfung 8) Die Ebene E geht durch die Punkte A(,5//), B(//) und C(//6). Untersuchen Sie, ob die Gerade g: 4 x t tr parallel zur Ebene E verläuft. 4

5 Abituraufgaben Pflichtteil Geraden, Ebenen, Abstand 5 Aufgabe 7: (Abiturprüfung 7) Gegeben sind die Ebenen E und F mit E: s r x ; r,sr F: x Zeigen Sie, dass die Ebenen E und F parallel sind. Bestimmen Sie den Abstand der Ebenen. Aufgabe 8: (Abiturprüfung 6) Gegeben sind die Ebene E: 5 x x x und die Gerade g: 4 t 6 x mit tr a) Zeigen Sie, dass g zu E parallel ist. b) Bestimmen Sie den Abstand der Geraden g von der Ebene E. Aufgabe 9: (Abiturprüfung 5) Ermitteln Sie eine Koordinatengleichung der Ebene, die den Punkt A(/-/-) und die Gerade g: t x ; t R enthält. Aufgabe : (Abiturprüfung 4) Gegeben sind die Gerade g und die Ebene E durch g: t x ; tr und E: 4x x x 4. Prüfen Sie nach, ob der Punkt A(//) auf der Geraden g liegt. Zeigen Sie: Die Gerade g ist orthogonal zur Ebene E. Bestimmen Sie die Koordinaten desjenigen Punktes der Ebene E, welcher vom Punkt A den kleinsten Abstand hat.

6 Aufgabe : Lösungen a) Damit die Gerade in E liegt, muss der Punkt P(/b/) in der Ebene E liegen. Einsetzen von P(/b/) in die Koordinatengleichung: b5b Der Richtungsvektor von g muss orthogonal zum Normalenvektor von E sein. Es muss gelten: aa a Gleichung der Geraden g: x s b) Ein Punkt, der auf der Geraden h liegt ist A(//) (Ortsvektor von g). Der Richtungsvektor u von h muss senkrecht auf dem Richtungsvektor von g stehen. Außerdem muss u auch senkrecht auf dem Normalenvektor der Ebene stehen. Somit gilt: 4 u 5 Gleichung von h: 4 x t 5 Aufgabe : a) Spurpunkte der Ebene E: xx x 4 S (x //) S (4//) S (/ x /) S (//) S (//x ) S (// 4) Länge der Dreiecksseiten: 4 SS 64 4 SS 66 4 SS 46 4 Da zwei der drei Strecken gleich lang sind, ist das Dreieck gleichschenklig. 6

7 b) Aus der Parameterform der Ebene F ergibt sich: x r s x r s x 8r Einsetzen der Koordinaten in die Koordinatengleichung: r s ( rs) 8r 4 r s46r4s8r 4 5ss Einsetzen von s = in die Parameterform von F: Gleichung der Schnittgerade g: x r r 8 8 Aufgabe : a) Es ist zu prüfen, ob ein Punkt der Gestalt P(p / p / p) auf g liegt. p p r 4 p und daraus folgt p r p 4r p r Setze p = 4r in die erste Zeile ein: 4r rr r Daraus folgt p4 4 Test, ob die dritte Zeile stimmt: 4 ist wahr. Damit liegt der Punkt P(4/4/4) für r = auf der Gerade g. b) Um die Gleichung der Gerade h zu erhalten, benötigt man die Koordinaten des Lotfußpunktes L, wenn man vom Punkt Q aus ein Lot auf die Gerade h fällt. Man geht so vor, wie wenn man den Abstand des Punktes Q von der Gerade g bestimmen möchte. Der allgemeine Lotfußpunkt auf g besitzt die Koordinaten L(r/4r/ r). Der Vektor 5r QL 4r5 9r steht orthogonal auf dem Vektor 4. Bedingung: 5r 4r5 4 5r4 (4r5) ( 9r) 9r 5r6r79r 6r 5r 7

8 Der Lotfußpunkt hat die Koordinaten L(5/8/7). Die gesuchte Gerade h verläuft durch Q(8/5/) und L(5/8/7). h: 8 x 5 s. Aufgabe 4: Eine zu E parallele Ebene hat die Gleichung F: 4x4x 7x c Hesse'sche Normalenform der Ebene F: 4x4x7xc 6649 Gesucht ist der Wert von c, so dass gilt: d(o, F) = mit O(//). c d(o,f) 9.Fall:.Fall: c c 8 also F: 4x 4x 7x 8 9 c c 8 also G: 4x 4x 7x 8 9 Aufgabe 5: a) Berechnung der Seitenlängen des Dreiecks: 4 AB 4 mit AB 66 AC 6 mit AC BC mit BC Da zwei der drei Seiten gleich lang sind, ist das Dreieck gleichschenklig. 8

9 b) Skizze: Es gibt drei solcher Punkte. 4 6 ODOABC 4 OD* OBAC also D(//) also D*(//) 4 6 OD** OACB 4 6 also D**(-/-/6) Aufgabe 6: Zunächst benötigt man die Gleichung der Geraden g. 4 Es ist g: x s Zur Berechnung des Abstandes von g zu Punkt C(//) benötigt man eine Hilfsebene H. Diese Hilfsebene steht orthogonal zur Geraden g und enthält den Punkt C. Der Normalenvektor von H ist der Richtungsvektor von g. 4 Normalenform von H: x Koordinatengleichung von H: 4xx Der Schnittpunkt von g mit H ergibt den Lotfußpunkt F: 4( 4s) (s) 46s9s s Einsetzen von s = - in die Gerade ergibt den Lotfußpunkt F(5/7/). Abstand von g zu C = CF CF LE 9

10 Aufgabe 7: Der Normalenvektor von E lautet n. Die Ebene E ist parallel zur Ebene E, wenn n auch ein Normalenvektor von E ist. Dies ist dann der Fall, wenn der Vektor n orthogonal zu den beiden Richtungsvektoren der Ebene E ist. Kontrolle: und 64 4 Damit ist die Orthogonalität gezeigt. Somit sind die beiden Ebenen parallel. Da die Ebene E parallel zu den beiden anderen Ebenen sein soll, kann für diese Ebene auch der Normalenvektor n gewählt werden. Um die Gleichung von E aufzustellen, wird noch ein Punkt dieser Ebene bestimmt werden. Ein (beliebiger) Punkt von E lautet A(//-). Ein (beliebiger) Punkt von E lautet B(7/7/5). Der Mittelpunkt M der Strecke AB liegt auf der Ebene E. Berechnung von M: Eine Gleichung von E lautet 7,5 OM OAOB 7,5, also M(,5/,5/) 5,5 x,5. Aufgabe 8: Gleichung der Gerade g: x t Gleichung der Ebene E. Da die Gerade g orthogonal zu E verläuft, ist der Normalenvektor von E der Richtungsvektor von g: n

11 Ansatz für die Koordinatengleichung von E: xx x d Einsetzen des Ebenenpunktes C(4//-8): 4 ( 8) und damit ist d = Koordinatengleichung von E: xx x Schnittpunkt S von g und E: ( t) ( t) (t) t4t99t 4t6 t Einsetzen von t = in die Geradengleichung liefert den Schnittpunkt S(/-5/-). Kontrolle, ob der Punkt S zwischen A und B liegt: Die Parameterform von g ist so aufgebaut: xoatab Da der Schnittpunkt S für t = erreicht wird, gilt OSOAAB Damit der Punkt S zwischen A und B liegt, müsste der Parameter t zwischen und liegen. Da t = ist, liegt der Punkt S nicht zwischen A und B. Aufgabe 9: Zur Ermittlung der Schnittgeraden wird die Ebene E als Koordinatengleichung geschrieben. E: 4x x x d Einsetzen von P(//) ergibt 44 d Daraus folgt: E: 4xx x 4 Berechnung der Schnittgeraden der beiden Ebenen: Hierzu löst man folgendes Gleichungssystem: 4x x x 4 x x 8 Setze x t mit tr Aus der.zeile folgt: x t8x t 8 Aus der.zeile folgt: 4x ( t8) t44x4tx t Mit den Lösungen kann man nun die Gleichung der Schnittgerade g aufstellen: t g: x t8 8 t t

12 Aufgabe : a) Der Normalenvektor der Ebene E lautet n. Die zweite Koordinate des Normalenvektors (und damit das Fehlen der Variable x in der Koordinatengleichung zeigt, dass die Ebene E parallel zur x-achse ist. Da zum Beispiel der Punkt P(//) nicht auf E liegt, wie man durch eine Punktprobe zeigen kann, liegt die x-achse nicht in der Ebene E, sondern ist echt parallel zu ihr. b) Zur Ermittlung des Bildpunktes wird eine Hilfsgerade h aufgestellt, die senkrecht zu E (Richtungsvektor von h ist Normalenvektor von E) und durch den Punkt A verläuft: h: x r Schnitt der Gerade h mit der Ebene E ergibt den Lotfußpunkt L: r (r) 46r r Einsetzen von r = in die Geradengleichung ergibt L(4//). 7 Berechnung des Bildpunktes A*: OA* OAAL Die Koordinaten des Bildpunktes lauten A*(7//-). Aufgabe : a) E und g sind parallel, wenn der Normalenvektor von E und der Richtungsvektor von g orthogonal zueinander sind. Es gilt und damit sind die Vektoren orthogonal zueinander. b) Der Abstand von E und g wird dadurch bestimmt, dass der Abstand des Geradenpunktes P(7/5/-7) zur Ebene E ermittelt wird. Ebenengleichung als Koordinatengleichung: 8xx 4x d Punktprobe mit Ebenenpunkt B(-/4/-) ergibt 8 ( ) 4 4 ( ) 8 d 8x x 4x 8 E: 8xx 4x 8 HNF von E: 646 Einsetzen von P in die HNF von E: 8754 ( 7) 8 d 9 9 Die Gerade von der Ebene den Abstand 9.

13 Aufgabe : Zunächst wird anhand der Punkte A, B und C die Parameterform einer Ebenengleichung aufgestellt: E: x OAtABrAC4tr6 Nun wird mit Hilfe einer Punktprobe geprüft, ob der Punkt D auf dieser Ebene liegt. 9 4tr6 Aus der.zeile folgt t =,5. Aus der.zeile folgt: 9 4,5( ) 6r r Kontrolle mit.zeile:,5( ) ( ) liefert eine wahre Aussage. Damit liegt der Punkt D in der Ebene E. Alle vier Punkte liegen somit in einer Ebene. Hinweis: Man hätte die Aufgabe auch anders lösen können: Die vier Punkte A,B,C,D liegen in einer Ebene wenn die drei Vektoren AB, AC und AD linear abhängig sind. Wenn die Vektoren linear unabhängig sind, liegen sie nicht in einer Ebene. Aufgabe : x4x 7 a) Aufstellen der Hesseschen Normalform von E: 4 x4x 7 bzw. E: Der Abstand von P zu E berechnet sich mit d 6. 5 Der Punkt P hat von der Ebene E den Abstand d = 6. b) P X S X Q

14 Zur Ermittlung der Koordinaten von Q muss die Geradengleichung nicht aufgestellt werden. 9 Es gilt OQ OPPS4 5 6 Die Koordinaten von Q lauten Q(-/6/). Aufgabe 4: a) Zur Veranschaulichung der Ebene müssen die Durchstoßpunkte von E mit den Koordinatenachsen berechnet werden: Schnittpunkt mit der x-achse: Sx (x / / ) S (4/ / ) x Schnittpunkt mit der x-achse: Sx (/ x / ) S (/ 4/ ) x Schnittpunkt mit der x-achse: Sx (/ / x) : Dies führt auf den Widerspruch = 4. Das heißt, dass dieser Schnittpunkt nicht existiert. Die Ebene E ist parallel zur x-achse. b) Zur Ermittlung der gegenseitige Lage der Gerade und der Ebene wird der Schnittpunkt von g und E berechnet. Einsetzen der Zeilen der Parameterform von g in die Koordinatengleichung von E: rr Diese Gleichung besitzt unendlich viele Lösungen. Dies bedeutet, dass die Gerade g in der Ebene E liegt. xx 4 c) Hesse sche Normalform von E: Einsetzen des Ursprungs in die HNF ergibt den Abstand 4 d(o,e) 4 4

15 Aufgabe 5: Der Abstand der beiden Geraden ergibt sich aus dem Abstand des Punktes P(/9/4) auf der Geraden g von der Geraden h. Aufstellen der Hilfsebene E, die den Punkt P enthält und senkrecht auf h steht: E: 6x 8x x 5 Schnitt der Ebene E mit der Geraden h: 6( 6t) 8(8t) (5t) 5 66t664t4t 54t 5 t,5 Schnittpunkt S(-/6/4) Der Abstand des Punktes S von P entspricht dem Abstand der beiden Geraden: 4 d(g,h) = SP 69 5 Aufgabe 6: Da die Durchstoßpunkte der Ebene E mit den Koordinatenachsen gegeben sind, kann die Koordinatengleichung direkt aufgestellt werden: E: 4x x x 6 (andere Möglichkeit: Aufstellen der Parameterform und Umwandeln in die Koordinatengleichung) Die Gerade ist parallel zur Ebene E, wenn die Gerade und die Ebene keinen Schnittpunkt besitzt: Berechnung des Schnittpunktes: 4( 4t) (t) (t) 6 68t46tt 696 Dies ist ein Widerspruch, also existiert kein Schnittpunkt. Damit ist die Gerade g parallel zur Ebene E. 5

16 Aufgabe 7: Die Ebene E liegt in Parameterform vor, die Ebene F in Normalenform. Zur Kontrolle, ob die Ebenen E und F parallel sind muss geprüft werden, ob die beiden Richtungsvektoren der Ebene E orthogonal auf dem Normalenvektor der Ebene F liegen. Es gilt: und Da sich jeweils als Skalarprodukt der Wert ergibt, ist die Orthogonalität zwischen dem Normalenvektor von F und den Richtungsvektoren von E gezeigt. Also sind E und F parallel. Der Abstand der beiden Ebenen entspricht dem Abstand des Punktes P(//), der auf der Ebene E liegt, von der Ebene F. Dieser Abstand wird mithilfe der Hesse-Normalform ermittelt. Umformung von F als Koordinatengleichung: F: x x x 8 xx x 8 HNF von F: Abstand P von F: Aufgabe 8: d(p,f) 8 4 a) Berechnung des Schnittpunktes von g mit E: ( t) ( 64t) ( t) 5 4t64t4t5 9 Es handelt sich um einen Widerspruch, also besitzt die Gerade g und die Ebene E keine gemeinsamen Punkte. Somit müssen sie parallel sein. (Eine andere Möglichkeit wäre, die Orthogonalität des Normalenvektors von E und des Richtungsvektors von g nachzuweisen. Anschließend müsste noch gezeigt werden, dass die Gerade g nicht in der Ebene E enthalten sein kann, z.b. durch Prüfung, dass der Geradenpunkt P(/-6/) nicht in E enthalten ist). b) Der Abstand der Geraden g von E kann dadurch berechnet werden, dass man einen beliebigen Punkt P der Gerade g wählt und dessen Abstand zur Ebene E ermittelt. Der Punkt sei P(/-6/) (Ortsvektor von g). Berechnung der Hesse sche Normalenform von E: x x x 5 xx x 5 Es gilt n 44. HNF von E: ( 6) 5 d(p,e) Der Abstand von P zu E und damit auch von g zu E beträgt Längeneinheiten. 6

17 Aufgabe 9: Da die Gerade in der Ebene E liegt, kann sowohl der Ortsvektor als auch der Richtungsvektor der Geradengleichung für die Ebene übernommen werden. Der zweite Richtungsvektor der Ebene ergibt sich aus dem Verbindungsvektor des Punktes A(/-/-) und des Geradenpunktes B(//), also AB 4 Ebenengleichung E : x st4 Umwandlung in Koordinatenform: Berechnung des Normalenvektors n n n mit n n und n 4 Daraus ergibt sich das LGS: n 4n n n n Das LGS besitzt unendlich viele Lösungen, es genügt, eine Lösung zu finden. Setze hierzu z.b. n, dann ergibt sich n und n, also n. Der Ansatz für die Ebenengleichung lautet E: x x x c Den Wert von c erhält man, wenn man den gegeben Punkt B(//) in die Ebene einsetzt: 6, also E: x x 6 x Aufgabe : Um zu prüfen, ob der Punkt A auf g liegt, wird eine Punktprobe durchgeführt: Aus.Zeile: tt Aus.Zeile: tt Aus.Zeile: tt t Alle Zeilen liefern den gleichen Parameterwert, also liegt A(//) auf g. 7

18 g ist orthogonal zu E, wenn der Richtungsvektor von g ein Vielfaches des Normalenvektors von E ist. 4 Richtungsvektor von g = Normalenvektor von E: n 4 4 Da ist, sind die Vektoren Vielfache zueinander und somit sind g und E 4 zueinander orthogonal. Der Punkt auf E, welcher vom Punkt A den kleinsten Abstand hat, ist der so genannte Lotfußpunkt auf E. Hierzu stellt man die Gleichung einer Hilfsgeraden h auf, die durch A verläuft und orthogonal auf E steht. Die Hilfsgerade entspricht bereits der angegebenen Geraden g, da g wie oben gezeigt genau diese beiden Eigenschaften besitzt. Anschließend wird diese Hilfsgerade mit der Ebene geschnitten, damit erhält man den Lotfußpunkt. Schnitt von g mit E: 4( t) ( t) 4t 8t 9 t, 5 Einsetzung des t-wertes in die Geradengleichung ergibt als Lotfußpunkt S(/,5/). S ist der Punkt auf E, der von A den kleinsten Abstand hat. 8