Analytische Geometrie

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Edmund Meyer
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1 Analytische Geometrie Allg. Gymnasien: Ab J / Q Berufliche Gymnasien: Ab Klasse Alexander Schwarz August 08

2 Aufgabe : Bestimme den Abstand des Punktes R(4/0/7) von der Ebene E:xx 6x E mit Hilfe einer Lotgeraden. Aufgabe : Wandle die folgenden Gleichungen in eine Hesse'sche Normalenform um: a) E: x b) E: xx x c) E: 0 x 5 r 6 s 0 7 Aufgabe : Eine Ebene E hat den Normalenvektor 0,5 n und geht durch den Punkt P(6/4/-). Berechne den Abstand des Ursprungs von der Ebene. Aufgabe 4: Gib den Abstand des Punktes P(-/4/) von den einzelnen Koordinatenebenen an. Aufgabe 5: a) Berechne den Abstand des Punktes A(7/4/) von der Ebene 8 E: x b) Berechne den Abstand des Punktes P(/-/5) von der Ebene E: 4xx 0. Aufgabe 6: 0 Weise nach, dass die Gerade g: x r 4 parallel zur Ebene E: 4x0,5x x ist. Berechne den Abstand der Gerade g von der Ebene E. Aufgabe 7: Bestimme den Abstand der parallelen Ebenen E: xx x und F: 4x4x x 0. Aufgabe 8: Bestimme die beiden Ebenen F und G, die von der Ebene E: 6xx x den Abstand d = 6 LE haben.

3 Aufgabe : Welche Punkte der Geraden g: x r 0 4 E: x 4 0 den Abstand d = 5? 7 haben von der Ebene Aufgabe 0: Gegeben sind die Punkte A(4//), B(4/6/4), C(/4/6) und D(//). a) Weise nach, dass die 4 Punkte ein Rechteck bilden. b) Zeige, dass das Rechteck in der Ebene E: xx x 8 liegt. c) Vom Punkt S(4//8) aus wird das Lot auf die Ebene E gefällt. Berechne die Koordinaten des Fußpunktes F. d) Berechne das Volumen der Pyramide ABCDS. e) Zeige, dass der Fußpunkt nicht mit dem Mittelpunkt des Rechtecks übereinstimmt, die Pyramide also nicht gerade ist. f) Es gibt zwei gerade Pyramiden ABCDT und ABCDT, die dasselbe Volumen wie ABCDS haben. Berechne die Koordinaten der Spitzen T und T.

4 Lösungen Aufgabe : Die Lotgerade g steht senkrecht auf E und geht durch den Punkt R. 4 g: x 0 s 7 6 Schnittpunkt von E mit g: (4s) (0s) 6(76s) 84ss46s4s4s Einsetzen von s = - in die Geradengleichung ergibt Lotfußpunkt F(/-/). Abstand von R zu E: FR Aufgabe : a) Ansatz Koordinatengleichung von E: x6x x d Einsetzen von P(//6) in E: 66dd 76 Koordinatengleichung von E: x6x x 76 x6x x 76 x6x x 76 Hesse'sche Normalenform von E: xx x xx x b) Hesse'sche Normalenform von E: c) Umwandlung der Parametergleichung in eine Koordinatengleichung: 0 8 n bzw. vereinfacht n Ansatz Koordinatengleichung von E: xx x d Einsetzen von P(/5/7) in E: 54dd Koordinatengleichung von E: xx x xx x xx x Hesse'sche Normalenform von E:

5 Aufgabe : Ansatz für die Koordinatengleichung von E: 0,5x x x d Einsetzen von P(6/4/-): 0,56 4 ( ) dd Koordinatengleichung von E: 0,5x x x 0,5x x x 0,5x x x Hesse'sche Normalenform von E: 0 0 0,5,5 Abstand von O(0/0/0) zu E: Aufgabe 4: d 0,5000 4,5 Der Abstand von P zu den Koordinatenebenen kann man direkt an den Koordinaten von P ablesen: Abstand von der xx-ebene (ablesbar am x-wert von P) = Abstand von der xx-ebene (ablesbar am x-wert von P) = 4 Abstand von der xx-ebene (ablesbar am x-wert von P) = Aufgabe 5: a) Ansatz für die Koordinatengleichung von E: 8x4x 8x d Einsetzen von P(/0/-): 808dd 0 Koordinatengleichung von E: 8x4x 8x 0 8x4x 8x 8x4x 8x Hesse'sche Normalenform von E: Abstand von A(7/4/) zu E: 5667 d 4xx 0 4xx 0 b) Hesse'sche Normalenform von E: Abstand von P(/-/5) zu E: d Aufgabe 6: Berechnung des Schnittpunktes von g und E: 4(0r) 0,5( 4r) ( r) 404r,5 r46r 4,5 Aufgrund des entstehenden Widerspruchs existiert kein Schnittpunkt. Daher ist g zu E parallel. 5

6 Zur Berechnung des Abstandes wird ein Punkt A(0/-/-) von g ausgewählt und der Abstand von A zur Ebene E berechnet. 4x0,5x x 4x0,5x x Hesse'sche Normalenform von E: ,5 4 4,5 Abstand von A(0/-/-) zu E: 40,5 4 d 4,5 Die Gerade g hat von der Ebene E den Abstand. Aufgabe 7: Die Ebenen sind parallel, da die Normalenvektoren der Ebenen E und F Vielfache zueinander sind. Wir wählen einen beliebigen Punkt der Ebene F, z.b. A(0/0/5). Der Abstand der beiden parallelen Ebenen entspricht dem Abstand des Punktes A von der Ebene E. xx x xx x Hesse'sche Normalenform von E: Abstand von A(0/0/5) zu E: d Der Abstand der beiden Ebenen beträgt. Aufgabe 8: 6xx x 6xx x Hesse'sche Normalenform von E: xx x Gleichung der Ebene F: 6 6x x x xx x Gleichung der Ebene G: 66xx x 0 7 Aufgabe : Ein allgemeiner Punkt der Geraden g hat die Koordinaten P( r / r /r). Gesucht sind die Werte von r, so dass gilt: d(p,e) 5 Ansatz für Koordinatengleichung von E: 4x4x 7x d Einsetzen des Ebenenpunktes A(//): 487dd Koordinatengleichung von E: 4x4x 7x 6

7 4x4x 7x Hesse sche Normalenform von E: 0 4( r) 4(r) 7r d(p,e) 5 5r5 5.Fall: 5r 5 55r 545r 4 also P(/6/4).Fall: 5r 5 55r545r also P(-7/0/-) Aufgabe 0: a) Zunächst wird gezeigt, dass es sich bei dem Viereck ABCD um ein Parallelogramm handelt: 0 AB und 0 DC Da ABDC ist, handelt es sich um ein Parallelogramm. Nun wird gezeigt, dass das Viereck einen rechten Winkel besitzt: 0 8 ABAD 0660 Somit existiert im Punkt A einen rechten Winkel. Damit ist das Viereck ABCD ein Rechteck. b) Einsetzen der 4 Punkte ABCD in die Ebenengleichung: A(4//) einsetzen: wahre Aussage B(4/6/4) einsetzen: wahre Aussage C(/4/6) einsetzen: wahre Aussage D(//) einsetzen: wahre Aussage Die Punkte A,B,C,D und damit das Rechteck liegt in der Ebene E. Rechteck in der Ebene E: xx x 8 liegt. 7

8 c) Aufstellen einer Hilfsgerade h durch S orthogonal zu E. h: 4 x s 8 Schnittpunkt der Ebene E mit der Geraden h ergibt F: 4s( s) (8s) 8 4s4s64s 8 s8s Einsetzen von s = in die Gerade h ergibt F(6/5/4). d) Volumenformel der Pyramide: V ARechteck SF V G h Es gilt ARechteck AB AD Es gilt SFSF Volumen der Pyramide: V 66 7 Gegeben sind die Punkte A(4//), B(4/6/4), C(/4/6) und D(//). e) Der Mittelpunkt des Rechtecks entspricht dem Mittelpunkt der Strecke BD Koordinaten von M: also M(8/,5/,5). Damit stimmt M nicht mit F überein. 4 8 OM OBOD 6,5 4,5 f) Damit die Pyramiden volumengleich sind, müssen sie die gleiche Höhe haben wie die Pyramide ABCDS, also die Höhe h FS. Damit die Pyramide gerade ist, muss diese Höhe im Punkt M aufsetzen. Für die Spitzen der Pyramiden gilt: 8 6 OT OMFS,5 4 0,5 also T(6/ 0,5/7,5),5 4 7,5 8 0 OT OMFS,5 4 7,5 also T (0/7,5/ 0,5),5 4 0,5 8

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