Lage zweier Ebenen. Suche alle Punkte von E 1 die in E 2 enthalten sind. Setze also die Parameterform von E 1 in die Koordinatenform von E 2.

Transkript

1 LAGE

2 Lage zweier Ebenen Suche alle Punkte von E die in E 2 enthalten sind. Setze also die Parameterform von E in die Koordinatenform von E 2. B = E : X E 2 : x + x 2 + x 3 = Parameterform (PF) in Koordinatenform (KF): = 3 = 3= Es gibt kein oder das diese Gleichung erfüllen kann E E 2 B2 = E : X PF KF: = = E 2 : x + x 2 + x 3 = Diese Gleichung ist für jedes und erfüllt. E = E 2

3 B3 = E : X E 2 : x + x 2 + x 3 = PF KF: = 3= = 3 Diese Gleichung ist nur erfüllt, wenn = 3. Setze also = 3 in die Parameterform von E : = X 3 = X 3 zusammenfassen: = X 3 3 X = 2 Alle Punkte dieser Geraden haben die Eigenschaft μ= λ 3 und erfüllen die Gleichung. Das sind also alle Punkte von E, die in E 2 enthalten sind. X = 2 ist Schnittgerade

4 ZF: Lage zweier Ebenen Setze PF von E KF von E 2. Ergibt sich eine wahre Aussage dann E identisch E 2 eine falsche Aussage dann E E 2 ein Zusammenhang zwischen und dann gibt es eine Schnittgerade Aufgaben A = Gegeben: E : x x 2 = und E 2 : X 4. Bestimme deren Lage zueinander. L PF KF: = = = in E 2 : g : X 4 = 4 Schnittgerade: g : X = 4

5 WINKEL

6 Winkel zwischen zwei Ebenen Der Winkel zwischen zwei Ebenen lässt sich auf den Winkel zwischen deren Normalenvektoren zurückführen: Winkel zwischen Ebenen Seitenansicht mit Normalenvektoren Gesucht ist also der Winkel zwischen zwei Vektoren. Er lässt sich mit Hilfe des Skalarproduktes berechnen: cos= n n 2 n n 2 n, n 2 jeweils Betrag des Vektors B Gesucht ist der Winkel zwischen: = E : X und E 2 : x + x 2 + x 3 = Suche den Normalenvektor von E : n =u v= = = n 2 cos= = 2 3 = 3 cos= 3 =54,74

7 ZF: Winkel zwischen zwei Ebenen Bestimme den Winkel mit Hilfe der Normalenvektoren: cos= n n 2 n n 2 n, n 2 Betrag der Vektoren A E = E : X und E 2 : x + x 2 + x 3 =

8 Winkel zwischen Ebene und Gerade Winkel zwischen Ebene und Gerade Seitenansicht mit Normalen- und Richtungsvektor Aus der Zeichnung: cos9 = n u n u u: Richtungsvektor Gerade,n: Normalenvektor Ebene cos9 =sin sin = n u n u B Bestimme den Winkel zwischen der Gerade g : X = und der x x 2 -Ebene Normalenvektor auf der x x 2 -Ebene : n= sin = n u n u = = 3 sin = 3 =35,26

9 ZF: Winkel zwischen Ebene und Gerade Bestimme den Winkel mit Hilfe des Normalenvektors n und des Richtungsvektors u : sin = n n 2 n n 2 n, u Betrag der Vektoren A = Bestimme den Winkel zwischen der x 2 x 3 -Ebene und der Geraden g : X 3 2 L = n 23 sin = 4 = 4 =5.5

10 ABSTÄNDE

11 Abstand Punkt-Gerade Gerade mit Punkten mit Verbindungsvektor PX F liegt dort, wo PX senkrecht auf u steht. Suche also X mit der Eigenschaft: PX u= X P u=au P u= A P u u= Abstandsbestimmung eines Punktes von einer Geraden Man erhält den Fußpunkt F auf der Geraden durch lösen der Gleichung: A P u u= A : Aufpunkt der Geraden P : Punkt dessen Abstand berechnet werden soll u : Richtungsvektor der Geraden

12 B Suche den Abstand des Punktes P( ) von der folgenden x 2 -Achsendarstellung: = x : X 2 Formel: 2 = = = (Alle Punkte und Vektoren eingesetzt) (Vereinfachung innerhalb der Klammer) (Weitere Vereinfachung innerhalb der Klammer) = (Skalarprodukt angewendet) = Einsetzen in die Geradengleichung: = F 2 = Abstandsberechnung: PF = =2 P hat den Abstand 2 von der Geraden g A Welchen Abstand hat der Punkt P= geht? von der Geraden die g die durch A( ) und B( - )

13 Abstand Punkt-Ebene Neues über das Skalarprodukt: Schattenprojektion geometrisch: cos= s g also: s=g cos (Kosinus Projektion) analytische Geometrie: cos= u v u v u v= u v cos wenn v ==v wäre, dann wie oben: u v= u cos=ucos also: u v =ucos Besitzt einer der beteiligten Vektoren die Länge, so entspricht das Skalarprodukt der Projektionslänge des anderen Vektors.

14 Test: Projektion eines Vektors auf die x 3 -Achse u= 3 7 = 4 Vektor für die x 3 -Achse: x 3 mit x 3 = (Einheitsvektor) Skalarprodukt: u x 3 =3 4 7 =7 entspricht genau der x 3 -Koordinate von u (klappt also). Nochmal: Abstand Punkt-Ebene a= X A n Vergleich mit Normalenform der Ebene: X A n= Hesse-Normalform (HNF) X A n = n n x n 2 x 2 n 3 x 3 c= heißt Hesse-Normalenform (HNF) Abstandsbestimmung Zur Bestimmung des Abstandes d(p,e) eines Punktes P von der Ebene E setzt man P in die linke Seite der HNF ein: d P, E= n n p n 2 p 2 n 3 p 3 c

15 A Wie weit ist P(- ) von der Ebene E : x x 2 = entfernt? L n= 2 n =2 2 =2 n = HNF(E): 2 x x 2 = E P = 2 = 2 P ist entfernt und liegt in der 2 Gegenrichtung des Normalenvektors. Betrachtung im KOSY: Es entsteht ein gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck OFP in der x x 2 -Ebene mit der Basislänge und den Schenkellängen 2 A2 Bestimme den Abstand des Punktes D( ) von der durch A( ), B(-2-2 2) und C(- ) aufgespannten Ebene. L2 Normalenvektor der Ebene: n '= AB AC= 2 2 Die Ebene enthält den Ursprung, also c =. = n= n = 2 HNF E : 2 x x 3 = d D, E = 2 = 2,77

16 ZUSAMMEN- FASSUNGEN

17 Lagen zueinander Punkt P Gerade g : X =A u Ebene E : X = A uv Q= A u Punkt Q d = P Q keine Lösung: Q g Bringe E in Koordinatenform eine Lösung: Q g Bv=Au Gerade h : X =Bv siehe g und Q keine Lösung: parallel oder windschief untersuche u und v eine Lösung: einen Schnittpunkt unendl. Lsg: identisch Bringe E in Koordinatenform Ebene Setze P in F Wahre Aussage: P F F : n x n 2 x 2 n 3 x 3 Falsche Aussage: P F Setze g in F keine Lösung: g verläuft parallel F eine Lösung: g schneidet F unendl. Lsg: g verläuft in F Setze E in F keine Lösung: E verläuft parallel F Lösung mit =mt : Schnittgerade unendl. Lsg.: Ebenen sind identisch

18 Winkel zueinander Gerade h: X =Bv Gerade g : X =Au Ebene E : X = Auv v cos= wenn sie u v sich schneiden Ebene F : n x n 2 x 2 n 3 x 3 c= sin = u n F u n F cos= n E n F n E n F Abstände Punkt P Gerade g : X =A u Ebene E : X = A uv Punkt Q d = P Q QX u= Bringe E in Hessenormalform R g,s h RS u= RS v= Gerade h : X =Bv siehe g und Q ergibt 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten (wenn g und h windschief) Bringe E in Koordinatenform Ebene F : n x n 2 x 2 n 3 x 3 Bringe F in HNF, dann d=hnf(p) Bestimme den Abstand eines Geradenpunktes von F (wenn g F) Bestimme den Abstand eines Ebenenpunktes von F (wenn E F)

19 ABITUR- AUFGABEN

20 993 III Aufgabe In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Gerade = g : X mit R sowie die beiden Punkte A( -4) und C(- 2 4) gegeben. A und C bestimmen die Gerade h. 4.a) Begründen Sie, dass der Mittelpunkt M der Streakce [AC] Schnittpunkt der Geraden g und h ist. 3 b) Zeigen Sie, dass die Geraden g und h zueinander senkrecht sind. 2.Auf g liegen zwei Punkte B und D so, dass die beiden Dreiecke ABC und ACD bei B bzw. bei D rechtwinklig sind. 3 a) Geben Sie mit Begründung an, welches besondere Viereck die Punkte A, B, C und D bestimmen. 8 b) Berechnen Sie die Koordinaten von B und D 3 c) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Vierecks ABCD 3.Die Geraden g und h bestimmen die Ebene E 5 a) Geben Sie eine Gleichung der Ebene E in Normalenform an. [mögliches Ergebnis: B(3 4 ); D(-3-2 )] [mögliches Ergebnis: 2x 2x 2 x 3 2= ] 6 b) Vom Punkt S( -5,5) aus wird ein Lot auf die Ebene E gefällt. Berechnen Sie die Koordinaten des Lotfußpunktes F. [Ergebnis: F(-3-2 ), Eckpunkt des Vierecks ABCD] 8 c) Berechnen Sie den Oberflächeninhalt der Pyramide ABCDS mit Grundfläche ABCD und Spitze S 4 (Hinweis: ohne Begründung darf verwendet werden, dass alle Seitendreiecke rechtwinklig sind.)

21 993 III Lösung. a) Zu zeigen: g und h haben unterschiedliche Richtungsvektoren M liegt sowohl auf g, wie auch auf h Richtungsvektoren: Richtungsvektor von g: u= Richtungsvektor von h: v' =B A= 2 2 oder 8 v= 4 sind nicht linear abhängig, da z.b. u keine x 3 Komponente und v schon. M auf beiden Geraden: M = 2 A B= liegt per Definition auf h=ab =, alle drei Gleichungen sind für = erfüllt. b) Zu zeigen: Die Richtungsvektoren stehen senkrecht aufeinander. u v= = 4= 4 2 a) Da g senkrecht durch den Mittelpunkt von A und C geht, ist h die Mittelsenkrechte und somit auch die Symmetrieachse von A und C. Die Punkte B und D sollen jeweils auf dieser Symmetrieachse liegen. Dann entstehen aber zwei gleichschenklig rechtwinklige Dreiecke: Die gleichschenklig-rechwinkligen Dreiecke besitzen jeweils einen Basiswinkel von 45 und deshalb entstehen für das entstehende Viereck bei A und C jeweils ein 9 -Winkel. Zusammen mit den geforderten 9 -Winkeln entsteht ein Viereck mit vier rechten Winkeln. Das ist ein Quadrat. b) Weg A: Berechne die Länge AM. Dehne den Richtungsvektor der Geraden g auf diese Länge und addiere ihn zu M Weg B: Betrachte einen beliebigen Punkt X der Geraden g, setze das Skalarprodukt AX BX = und berechne daraus. Zu Weg A: AM = 4 mit AM =8=3 2

22 Dehne u : k = k k oder 2 k 2 =8 k =±3 B= M 3 3 Weg B: = 3 4 AX = X A= mit Länge k 2 k 2 2 =3 2 D= M 3 3 = = 2 4 AY = AX AY = 2 2 6= = 2 8= == =4 ; 2 = 2 eingesetzt in die Geradengleichung ergibt B und D wie angegeben. c) Seitenlänge des Quadrates: AB =AM 2 AM 2 =6 (Pythagoras) Flächeninhalt des Quadrates: A=6 6=36 3. a) 4 2 n= 2 2 n' =u v= = 4 4 Koordinatengleichung: 2 x 2 x 2 x 3 c= M einsetzen: 2c= c=2 Koordinatenform: E :2 x 2 x 2 x 3 2= b) Suche den Schnittpunkt der Geraden t : S n mit der Ebene E: = t : X 5,5 2 2 in E: ,52= 44,52= 93,5= =,5 in t einsetzen: = F 3 2 c) Die Pyramide ist symmetrisch aufgrund der Lage der Spitze S über der Symmetrieachse des Quadrates. Für die Berechnung der Flächeninhalte der Seitendreiecke wird die Höhe des Punktes S über der Ebene E benötigt: h= FS = ,5 2 =2,25=4,5

23 A CDS = 2 6 4,5=3,5 Für das BCS wird noch CS = ,5 2 =56,25=7,5 benötigt: A BCS = 2 6 7,5=22,5 O=2 A BCS 2 A CDS G=274536=8

24 993 IV Aufgabe In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A( ), B( -2 4), C(4 4 ) und P(7 3 2) gegeben. 5.a) Zeigen Sie, dass die drei Punkte A, B und C nicht auf einer Geraden liegen, und berechnen Sie den Winkel zwischen den beiden Halbgeraden [AB und [AC (auf Grad gerundet). 6 b) Die Geraden AB und AC spannen eine Ebene E auf. Bestimmen Sie je ein Gleichung für E in Parameter- und in Normalenform. [mögliches Teilergebnis: x x 2 4x 3 4= ] 2.a) Gegeben ist die Gleichung AP= AB AC mit geeignetem und. Berechnen Sie und. Was folgt aus dieser Gleichung für die Lage des Punktes P sowie für Länge und Richtung des Vektors CP? Verdeutlichen Sie Ihre Ergebnisse durch eine geeignete Zeichnung. [zur Kontrolle: = 3 ;= ] 6 b) In welchem Verhältnis teilt der Schnittpunkt T der Geraden AP und BC die Strecke [AP]? 3 c) In welchem Verhältnis stehen die Flächeninhalte der Dreiecke CPT und ABT? 3.Die Lotgerade zur Ebene E im Punkt P werde mit s bezeichnet. Bestimmen Sie diejenigen Punkte auf s, die von A die Entfernung 3 (Längeneinheiten) haben. 4

25 993/IV Lösung. a) Wenn sich zwischen [AB und [AC ein Winkel ungleich ergibt, dann liegen die drei Punkte auch nicht auf einer Geraden: AB= B A= u= 3 AC= C A= 3 3 v= cos= u v u v = 2 22 =,43 =64,76 65 b) A ist Aufpunkt, dann kann man die Angaben aus a) weiterverwenden: Parameterform: X = 3 Zur Normalenform: n=u v= 3 = 4 x x 2 4x 3 c= A einsetzen: 4c= c= 4 E : x x 2 4x 3 4= 2. a) Es ergibt sich ein Gleichungssystem 6 = 9 2 = 3 = 3 aus (III) folgt = 3 eingesetzt in (I) ergibt das eine wahre Aussage. Der Punkt liegt in der Ebene E und mit (II) folgt = Wegen = 3 gilt CP= 3 AB und ist parallel zu AB 3 P(7 3 2) sind dann die Koordinaten. l : X =