Analytische Geometrie, Vektorund Matrixrechnung
|
|
- Jutta Schulz
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Kapitel 1 Analytische Geometrie, Vektorund Matrixrechnung 11 Koordinatensysteme Eine Gerade, eine Ebene oder den Anschauungsraum beschreibt man durch Koordinatensysteme 111 Was sind Koordinatensysteme? Es gibt affine Koordinatensysteme (Koordinaten x, y oder x 1, x 2 in der Ebene, x, y, z oder x 1, x 2, x 3 im Raum ) (Tafelskizzen!) kartesische Koordinatensysteme (Tafelskizzen!) Polarkoordinatensysteme (in der Ebene) (Koordinaten r, φ) (Tafelskizze!) und viele weitere Koordinatensysteme 1
2 112 Wozu sind Koordinatensysteme gut? Durch ein affines oder kartesisches Koordinatensystem werden eineindeutig aufeinander abgebildet: die Punkte einer Geraden und die Punkte von R oder die Punkte einer Ebene und die Punkte von R 2 oder die Punkte des Raumes und die Punkte von R 3 Dadurch kann man (a) geometrische Probleme durch Rechnung lösen und (b) rechnerische Probleme geometrisch deuten 113 Die Raumzeit der Mechanik Beschreibt man Punkte im Raum durch kartesische Koordinaten (x, y, z), und hängt man daran als vierte Koordinate die Zeit t, so erhält man die vierdimensionale Raum-Zeit mit Punkten, die beschrieben werden durch (x, y, z, t) Damit gelang Minkowski 198 eine überraschend einfache Beschreibung der speziellen Relativitätstheorie 2
3 12 Einfache Vektorrechnung 121 Was ist ein Vektor? Ein Vektor x im R n, n N, zb n = 2, 3, 4, ist ein n-tupel reeller Zahlen (x 1, x 2,, x n ), manchmal x 1 x 2 auch geschrieben als Spalte Für n = 2 schreibt man oft x, y statt x 1, x 2 Für n = 3 schreibt man oft x, y, z statt x 1, x 2, x 3 x n 122 Vektoraddition und Multiplikation mit Skalaren Vektoraddition und Vektorsubtraktion werden komponentenweise definiert: x 1 y 1 x 1 ± y 1 x 2 y 2 x 2 ± y 2 x ± y = ± = x n y n x n ± y n (Tafelskizze für n = 2, 3 bei affinem Koordinatensystem!) Parallelogrammregel Multiplikation eines Vektors mit einem Ska- 3
4 lar (mit einer rellen Zahl) wird komponentenweise definiert: x 1 cx 1 x 2 cx 2 c x = c = x n cx n (Tafelskizze bei affinem Koordinatensystem!) Negatives c kehrt die Richtung um! Für den Nullvektor o = gilt offenbar: x + o = o + x = x x R n y o heißt parallel zu x o, x y : x = c y mit c R Vektoren a 1, a 2,, a k heißen linear abhängig, wenn für mindestens ein i mit 1 i k gilt: a i = k j=1,j i c j a j Sonst heißen a 1, a 2,, a k linear unabhängig Das ist genau dann der Fall, wenn gilt: 4
5 k c k a k = o c 1 = c 2 = = c k = j=1 123 Matrizen und Matrixprodukt Eine Matrix ist ein rechteckiges Schema reeller Zahlen Ist A = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a m1 a m2 a mn, b 11 b 12 b 1k B = b 21 b 22 b 2k, b n1 b n2 b nk so ist AB die Matrix, in deren p-ter Zeile und qter Spalte das Element n c pq = a pi b iq i=1 steht Schreibweise: Für einen Spaltenvektor x schreiben wir auch: x = (x 1, x 2,, x n ) T 5
6 oder x T = (x 1, x 2,, x n ) 124 Basis { b 1, b 2,, b n } bilden eine Basis des R n, wenn gilt: b 1, b 2,, b n sind linear unabhängig und x R n x 1, x 2,, x n : x = x 1 b1 + + x n bn Eine spezielle Basis des R n besteht aus e 1 := 1, e 2 := 1,, e n := Offenbar gilt x R n : x = x 1 e x n e n Skalarprodukt, Länge, Winkel Das Skalarprodukt zweier Vektoren x, y ist für uns x y = x 1 y 1 + x 2 y x n y n (Andere Schreibweisen: x y, < x, y >, s( x, y) oder auch x T y Aber x y T ist etwas Anderes!) Für x = y: x x = x 2 Offenbar gilt: x y = y x, (c x) y = x(c y) = c( x y) 6
7 Offenbar gilt: e 2 i = 1, e i e k =, falls i k Durch Rechnung zeigt man das Distributivgesetz: x( y + z) = x y + x z Die Länge eines Vektors x ist für uns x = x x Es gilt: o = v = 1 v Einheitsvektor Für Vektoren im R n gilt die Dreiecksungleichung: x ± y x + y Der Winkel ( x, y) zweier Vektoren x o y ist definiert durch x y cos ( x, y) = x y Damit gilt x und y sind zueinander orthogonal, normal oder senkrecht, in Zeichen x y x y = 126 Vektorprodukt im R 3 Für x, y R 3 ist das Vektorprodukt x y von x und y: 7
8 x y = (x 2 y 3 x 3 y 2, x 3 y 1 x 1 y 3, x 1 y 2 x 2 y 1 ) T Offenbar gilt: (c x) y = x (c y) = c( x y), y x = x y, und damit auch: c R : x (c x) = o Man kann zeigen: x( x y) = x y ist also orthogonal zu x und zu y Man kann zeigen, dass gilt: x ( y + z) = x y + x z und x y = o x = o oder y = o oder x = c y mit c Es gilt also: x y = o, x o, y o x = c y mit c Man kann zeigen: x y 2 = x 2 y 2 x y 2 Vorsicht! ist nicht assoziativ Im allgemeinen gilt: x ( y z) ( x y) z 8
9 127 Das Spatprodukt im R 3 x( y z) =: ( x, y, z) heißt das Spatprodukt der Vektoren x, y, z Man kann zeigen: ( x, y, z) = ( y, z, x) = ( z, x, y) = ( x, z, y) = ( z, y, x) = ( y, x, z) Wegen x x = o gilt: Sind zwei Vektoren in einem Spatprodukt gleich, so verschwindet das Spatprodukt 13 Anwendung auf die Geometrie im Anschauungsraum 131 Punkte und Vektoren Punkte A, B,, X, Y, Vektoren a, b,, x, y Vektoren kann man addieren, Punkte nicht! c x ist sinnvoll, cx ist sinnlos! 132 Koordinatenvektoren Bezüglich eines affinen xyz-koordinatensystems mit einem Koordinatenursprung (kurz: Ursprung O ist jedem Punkt P sein Koordinatenvektor oder Ortsvektor p = (x, y, z) T eineindeutig zugeordnet (Tafelskizze!) 9
10 Der Verbindungsvektor P Q der Punkte P ( p) und Q( q) ist P Q = q p (Tafelskizze!) Ist P ein Punkt und v ein Vektor, so gibt es genau einen Punkt Q, so dass gilt: v = P Q 133 Abstand von Punkten Liegt ein kartesisches Koordinatensystem zu Grunde, so gilt: Der Abstand der Punkte P ( p), Q( q) ist d(p, Q) = q p 134 Spatvolumen Mitteilung: Das Volumen V des Spats mit einer Ecke P, der aufgespannt wird von den Vektoren x, y, z, ist das Spatprodukt dieser Vektoren: V ( x, y, z) = ( x, y, z), falls zb ein kartesisches Koordinatensystem zu Grunde gelegt wurde Mit etwas Geometrie sieht man: Das Volumen V des Tetraeders mit den Ecken P, Q, R, S ist V (P, Q, R, S) = 1 ( q p, r p, s p) 6 Sind x, y linear unabhängig, so gilt: ( x, y, z) = x, y, z liegen in der Ebene, die von x, y aufgespannt 1
11 wird z ist parallel zur Ebene, die von x, y aufgespannt wird 135 Winkel von Vektoren Mitteilung: Was im R n als Winkeldefinition diente, cos ( x, y) = x y x y, liefert im Anschauungsraum tatsächlich den bekannten Winkel der Elementargeometrie, falls ein kartesisches Koordinatensystem zu Grunde liegt 136 Zum Vektorprodukt Mitteilung: Liegt ein kartesisches Rechts-Koordinatensystem zugrunde, bei dem x-, y- und z-achse liegen wie Daumen, Zeigefinger und Mittelfinger einer rechten Hand, so gilt: Sind v, w linear unabhängige Vektoren, so ist v w v, w, (1) v w = v w sin ( v, w), (2) und in der angegebenen Reihenfolge gilt: v, w, v w bilden ein Rechtssystem (3) Durch (1), (2), (3) ist v w eindeutig bestimmt 11
12 137 Geraden Die Verbindungsgerade P Q zweier Punkte P, Q hat die Parameterdarstellung x = p + t( q p), t R (Tafelskizze!) Ist x = p + t v, t R, eine Parameterdarstellung einer Geraden g, so heißt v ein Richtungsvektor von g 138 Ebenen Die Verbindungsebene P QR dreier Punkte P, Q, R hat die Parameterdarstellung x = p + t( q p) + s( r p), t, s R (Tafelskizze!) Ist x = p + t v + s w, t, s R, (1) eine Parameterdarstellung einer Ebene ε, so heißen v, w Richtungsvektoren von ε Ist n senkrecht zu ε, so ist n( q p) = n( r n) =, also ε : n x = n p eine Gleichung der Ebene ε (Tafelskizze!) Eine Gleichung von ε erhält man also aus (1) durch: ( v w) ( x p) = 12
13 Ist umgekehrt ax + by + cz = d die Gleichung einer Ebene ε, so ist (a, b, c) T ein Normalenvektor von ε Ist n = 1 und n p, so heißt die Gleichung n x n p = die Hesse-Form der Ebenengleichung Mitteilung: Setzt man q in die linke Seite der Hesseform von ε ein, so erhält man den vorzeichenbehafteten Abstand des Punktes Q( q) von der Ebene ε 139 Winkel von Geraden Der Winkel von Geraden g und h mit Richtungsvektoren v und w ist der Winkel der Vektoren v und w 131 Winkel von Gerade und Ebene Der Winkel (g, ε) einer Geraden g mit Richtungsvektor r zu einer Ebene ε mit Normalenvektor n ist definiert als Winkel von g zur Schnittgeraden von ε mit derjenigen Ebene ν, die g enthält und parallel ist zu n (Tafelskizze!) Ist ν nicht definiert, also g n, so ist (g, ε) = π 2 Zur Berechnung: Es gilt: (g, ε) = π 2 (g, n), 13
14 (Tafelskizze!) also sin (g, ε) = r n r n 1311 Schnitt Gerade - Ebene Gerade g: x = p + t v, t R; (1) Ebene ε: n x d = Schnittpunkt S( s): x einsetzen in ε = n x d = n ( p+t v) d = n p+t n v d d n p t = n v einsetzen in (1) liefert S: s = p + d n p n v v 1312 Schnitt Ebene - Ebene ε: ax + by + cz = d (1) δ: px + qy + rz = s (2) Schnittgerade g? (1), (2) ist ein Beispiel eines linearen Gleichungssystems mit zwei Gleichungen, drei Unbekannten Ist a, so kann man x aus (2) eliminieren: (2) p pb pc a (1): (q a )y + (r a )z = s pd a, kurz: q y + r z = s Ist q, so kann man ausrechnen: y = r q z + s q =: r z + s 14
15 x = b a y c a z + d a =: b (r z + s ) + c z + d = (b r + c )z + (b s + d ) =: b z + d Dabei ist z R beliebig Parameterdarstellung von g: x = d s + t Dabei war a q b r 1, t R 15
03. Vektoren im R 2, R 3 und R n
03 Vektoren im R 2, R 3 und R n Unter Verwendung eines Koordinatensystems kann jedem Punkt der Ebene umkehrbar eindeutig ein Zahlenpaar (x, y) zugeordnet werden P (x, y) Man nennt x und y die kartesischen
Mehr03. Vektoren im R 2, R 3 und R n
03 Vektoren im R 2, R 3 und R n Unter Verwendung eines Koordinatensystems kann jedem Punkt der Ebene umkehrbar eindeutig ein Zahlenpaar (x, y) zugeordnet werden P (x, y) Man nennt x und y die kartesischen
MehrKapitel 17 Skalar- und Vektorprodukt
Kapitel 17 Skalar- und Vektorprodukt Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 1 / 22 Bisher hatten wir die Möglichkeit Vektoren des R n zu addieren und Vektoren mit rellen Zahlen zu multiplizieren. Man
Mehr00. Einiges zum Vektorraum R n
00. Einiges zum Vektorraum R n In diesem einleitenden Kapitel werden die in der LV Einführung in die mathematischen Methoden erwähnten Konzepte über Vektoren (im R 2 und R 3 ) im Rahmen des n-dimensionalen
Mehrentspricht der Länge des Vektorpfeils. Im R 2 : x =
Norm (oder Betrag) eines Vektors im R n entspricht der Länge des Vektorpfeils. ( ) Im R : x = x = x + x nach Pythagoras. Allgemein im R n : x x = x + x +... + x n. Beispiele ( ) =, ( 4 ) = 5, =, 4 = 0.
MehrKurzskript zur Vorlesung Mathematik I für MB, WI/MB und andere Prof. Dr. Ulrich Reif
14 Oktober 2008 1 Kurzskript zur Vorlesung Mathematik I für MB, WI/MB und andere Prof Dr Ulrich Reif Inhalt: 1 Vektorrechnung 2 Lineare Gleichungssysteme 3 Matrizenrechnung 4 Lineare Abbildungen 5 Eigenwerte
MehrLineare Algebra. Mathematik II für Chemiker. Daniel Gerth
Lineare Algebra Mathematik II für Chemiker Daniel Gerth Überblick Lineare Algebra Dieses Kapitel erklärt: Was man unter Vektoren versteht Wie man einfache geometrische Sachverhalte beschreibt Was man unter
Mehr3 Vektoren. 3.1 Kartesische Koordinaten in Ebene und Raum. Höhere Mathematik 60
Kartesische Koordinaten in Ebene und Raum 3 Vektoren 3.1 Kartesische Koordinaten in Ebene und Raum In der Ebene (mathematisch ist dies die Menge R 2 ) ist ein kartesisches Koordinatensystem festgelegt
MehrGRUNDLAGEN MATHEMATIK
Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik GRUNDLAGEN MATHEMATIK 1. Vektorrechnung und Geometrie Prof. Dr. Gunar Matthies Wintersemester 2015/16 G. Matthies
Mehr1 Vorlesungen: und Vektor Rechnung: 1.Teil
1 Vorlesungen: 4.10.005 und 31.10.005 Vektor Rechnung: 1.Teil Einige in der Physik auftretende Messgrößen sind durch eine einzige Zahl bestimmt: Temperatur T K Dichte kg/m 3 Leistung P Watt = J/s = kg
Mehr1 Vektoren, Vektorielle analytische Geometrie der Ebene
Geometrie Geometrie W. Kuhlisch Brückenkurs 208. Vektoren, Vektorrechnung und analytische Geometrie der Ebene 2. Vektorrechnung und analytische Geometrie des Raumes 3. Anwendungen in der Geometrie, Lagebeziehungen
MehrVektoren. Kapitel 13 Vektoren. Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 114 / 1
Vektoren Kapitel 13 Vektoren Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 114 / 1 Vektoren 131 Denition: Vektoren im Zahlenraum Ein Vektor (im Zahlenraum) mit n Komponenten ist ein n-tupel reeller Zahlen,
MehrGrundsätzliches Produkte Anwendungen in der Geometrie. Vektorrechnung. Fakultät Grundlagen. Juli 2015
Vektorrechnung Fakultät Grundlagen Juli 205 Fakultät Grundlagen Vektorrechnung Übersicht Grundsätzliches Grundsätzliches Vektorbegriff Algebraisierung der Vektorrechnung Betrag 2 Skalarprodukt Vektorprodukt
MehrVektorprodukt. Satz: Für a, b, c V 3 und λ IR gilt: = a b + a c (Linearität) (Linearität) b = λ
Vektorprodukt Satz: Für a, b, c V 3 und λ IR gilt: 1 a b = b a (Anti-Kommutativität) ( ) 2 a b + c ( 3 a λ ) b = λ = a b + a c (Linearität) ( a ) b (Linearität) Satz: Die Koordinatendarstellung des Vektorprodukts
MehrVorlesung Mathematik 2 für Informatik
Vorlesung Mathematik für Informatik Inhalt: Lineare Algebra Rechnen mit Vektoren und Matrizen Lineare Gleichungssysteme, GauÿAlgorithmus Vektorräume, Lineare Abbildungen Eigenwerte und Eigenvektoren Literatur
MehrGeometrie. 1 Vektoren, Vektorielle analytische Geometrie der Ebene
Geometrie Geometrie W. Kuhlisch Brückenkurs 207. Vektoren, Vektorrechnung und analytische Geometrie der Ebene 2. Vektorrechnung und analytische Geometrie des Raumes 3. Anwendungen in der Geometrie, Lagebeziehungen
MehrKapitel 16 Skalar- und Vektorprodukt
Kapitel 16 Skalar- und Vektorprodukt Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 210 / 246 Bisher hatten wir die Möglichkeit Vektoren des Vektoren mit rellen Zahlen zu multiplizieren. n zu addieren und Man
MehrArbeitsblatt 1 Einführung in die Vektorrechnung
Arbeitsblatt Einführung in die Vektorrechnung Allgemein Vektoren sind physikalische Größen und durch ihre Richtung und ihren Betrag festgelegt. Geometrisch wird ein Vektor durch einen Pfeil dargestellt,
MehrTeil 2. Vektorrechnung
Teil 2 Vektorrechnung 17 18 2.1 Koordinaten Kartesisches Koordinatensystem in der Ebene und im Raum senkrecht schneidende Zahlengeraden (Achsen), orientiert gemäß der Rechten-Hand-Regel Ü ¹ Å ØØ Ð Ò Ö
Mehrd 2 b 2 c 2 d 3 b 3 c 3 , D a 1 d 1 c 1 v 3 Definiton (Verbindungsvektor): Zwei Punkte A(a 1 a 2 a 3 ) und B(b 1 b 2 b 3 ) legen den Vektor b 1 a 1
2008/2009 Das Wichtigste in Kürze Klasse 3 Lineare Gleichungssysteme und Determinanten Definiton (Lineare Gleichungssysteme: Lineare Gleichungssysteme löst man entweder mit dem Gauß-Algorithmus oder nach
MehrKapitel I: Vektorrechnung 2: Vektoren im Raum
WS 1/14 - Prof Dr Manfred Leitz 2 Vektoren im Raum A Grundbegriffe B Rechnen mit Vektoren C Der euklidische Betrag D Das euklidische Skalarprodukt E Vektorprodukt und Spatprodukt F Geraden und Ebenen im
Mehr(x 1. Vektoren. g: x = p + r u. p r (u1. x 2. u 2. p 2
Vektoren Mit der Vektorrechnung werden oft geometrische Probleme gelöst. Wenn irgendwelche Aufgabenstellungen geometrisch darstellbar sind, z.b. Flugbahnen oder Abstandsberechnungen, dann können sie mit
Mehr8. Elemente der linearen Algebra 8.1 Der euklidische Raum R n
8 Elemente der linearen Algebra 81 Der euklidische Raum R n Definition von R n Definition 81 Unter dem Raum R n (n N) versteht man das kartesische Produkt R R R (n-mal), dh R n = {(x 1, x 2,, x n ) : x
MehrDefinition von R n. Parallelverschiebungen in R n. Definition 8.1 Unter dem Raum R n (n N) versteht man das kartesische Produkt R R... R (n-mal), d.h.
8 Elemente der linearen Algebra 81 Der euklidische Raum R n Definition von R n Definition 81 Unter dem Raum R n (n N) versteht man das kartesische Produkt R R R (n-mal), dh R n = {(x 1, x 2,, x n ) : x
MehrLineare Algebra. Inhalt. Hauptbestandteil der Vorlesung Mathematik 2 Literatur: Teschl/Teschl, Band 1, Kap. 9-14
Lineare Algebra Hauptbestandteil der Vorlesung Mathematik Literatur: Teschl/Teschl, Band, Kap. 9-4 Inhalt Rechnen mit Vektoren und Matrizen Lineare Gleichungssysteme, GauÿAlgorithmus Vektorräume, Lineare
MehrDenition 6.1 Eine Gerade ist die Menge aller Losungen (x; y) einer linearen Gleichung. y = A B x + C B : Ax + By = C mit 6= 0
6 Der Vektorraum R n In den folgenden Wochen wenden wir uns der Linearen Algebra zu, die man als eine abstrakte Form des Rechnens mit Vektoren auassen kann. Ein zentrales Thema werden lineare Raume (=
MehrInhalt. Mathematik für Chemiker II Lineare Algebra. Vorlesung im Sommersemester Kurt Frischmuth. Rostock, April Juli 2015
Inhalt Mathematik für Chemiker II Lineare Algebra Vorlesung im Sommersemester 5 Rostock, April Juli 5 Vektoren und Matrizen Abbildungen 3 Gleichungssysteme 4 Eigenwerte 5 Funktionen mehrerer Variabler
MehrLernunterlagen Vektoren in R 2
Die Menge aller reellen Zahlen wird mit R bezeichnet, die Menge aller Paare a 1 a 2 reeller Zahlen wird mit R 2 bezeichnet. Definition der Menge R 2 : R 2 { a 1 a 2 a 1, a 2 R} Ein Zahlenpaar a 1 a 2 bezeichnet
MehrVorlesung Mathematik für Ingenieure I (Wintersemester 2007/08)
1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure I (Wintersemester 2007/08) Kapitel 2: Der Euklidische Raum Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 30. Oktober 2007) Vektoren in R n Definition
MehrDidaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra
A. Filler[-3mm] Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra, Teil 8 Folie 1 /27 Didaktik der Analysis und der Analytischen Geometrie/ Linearen Algebra 8. Das Skalarprodukt, metrische
MehrMathematischer Vorkurs
Mathematischer Vorkurs Dr Agnes Lamacz Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 1 / 17 Vektoren Kapitel 15 Vektoren Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 13 / 17 Vektoren 151 Denition: Vektoren im Zahlenraum
MehrZusammenfassung der Analytischen Geometrie
Zusammenfassung der Analytischen Geometrie 1. Rechnen mit Vektoren (Addition, Subtraktion, S-Multiplikation, Linearkombinationen) 1. Gegeben sind die Punkte A(2-6 ) und B(-1 14-4), 4 4 sowie die Vektoren
MehrVektoren, Vektorräume
Vektoren, Vektorräume Roman Wienands Sommersemester 2010 Mathematisches Institut der Universität zu Köln Roman Wienands (Universität zu Köln) Mathematik II für Studierende der Chemie Sommersemester 2010
MehrGeometrie. 1 Vektorielle analytische Geometrie der Ebene, Kegelschnitte
Geometrie Geometrie W. Kuhlisch Brückenkurs 206. Vektorrechnung und analytische Geometrie der Ebene, Kegelschnitte 2. Vektorrechnung und analytische Geometrie des Raumes, Anwendungen in der Geometrie,
MehrVektoralgebra Anwendungen der Vektorrechnung VEKTORRECHNUNG. Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet. Hochschule Esslingen 1/64
1/64 VEKTORRECHNUNG Prof. Dr. Dan Eugen Ulmet Hochschule Esslingen März 2011 2/64 Overview Vektoralgebra 1 Vektoralgebra 2 Was sind Vektoren? 3/64 Vektoren werden geometrisch definiert als Pfeilklassen:
MehrAbitur 2010 Mathematik LK Geometrie V
Seite http://www.abiturloesung.de/ Seite Abitur Mathematik LK Geometrie V Gegeben sind in einem kartesischen Koordinatensystem des R der Punkt A( ) und die Menge der Punkte B k ( k) mit k R. Die Punkte
MehrAnalytische Geometrie II
Analytische Geometrie II Rainer Hauser März 212 1 Einleitung 1.1 Geradengleichungen in Parameterform Jede Gerade g in der Ebene oder im Raum lässt sich durch einen festen Punkt auf g, dessen Ortsvektor
MehrVektorrechnung. Mathematik-Repetitorium
Vektorrechnung 2.1 Definition 2.2 Multiplikation Vektor und Skalar 2.3 Summe und Differenz 2.4 Komponentendarstellung 2.5 Lineare (Un-)Abhängigkeit 2.6 Skalares Produkt 2.7 Vektorielles Produkt 2.8 Mehrfachprodukte
MehrMathematik Analytische Geometrie
Mathematik Analytische Geometrie Grundlagen:. Das -Dimensionale kartesische Koordinatensystem: x x x. Vektoren und Ortsvektoren: a x = x x ist ein Vektor, der eine Verschiebung um x -Einheiten in x-richtung,
Mehrb 1 b 2 b 3 = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 a b = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3
1. Rechnen mit Vektoren Skalarprodukt a b = a b cosα = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 b a 1. Betrag = Länge eines Vektors: a = a a = a 2 1 + a 2 2 + a 2 3 2. Winkel zwischen 2 Vektoren:
MehrMathematik I für MB/ME
Mathematik I für MB/ME Fachbereich Grundlagenwissenschaften Prof Dr Viola Weiÿ Wintersemester 25/26 Übungsaufgaben Serie 4: Lineare Unabhängigkeit, Matrizen, Determinanten, LGS Prüfen Sie, ob die folgenden
MehrMit Skalarprodukt und Vektorprodukt lässt sich ein weiteres, kombiniertes Produkt, das Spatprodukt
Mit Skalarprodukt und Vektorprodukt lässt sich ein weiteres, kombiniertes Produkt, das Spatprodukt a ( b c) bilden. Aus der geometrischen Interpretation von Skalarprodukt und Vektorprodukt ist sofort ersichtlich,
MehrVorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13)
1 Vorlesung Mathematik für Ingenieure (WS 11/12, SS 12, WS 12/13) Kapitel 2: Vektoren Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom 19. Oktober 2011) Vektoren in R n Definition 2.1
MehrAbbildung 1: Geordnete Paare im zweidimensionalen euklidischem Raum
Vektorrechnung Wir werden den Vektorbegriff anschaulich einführen und beschränken uns zunächst auf den zweidimensionalen euklidischen Raum. Die Elemente dieses Raumes sind Punkte P, Q, R, S,.... Geordnete
Mehr1. Vektoralgebra 1.0 Einführung Vektoren Ein Vektor ist eine Größe, welche sowohl einen Zahlenwert (Betrag) als auch eine Richtung hat.
1. Vektoralgebra 1.0 Einführung Vektoren Ein Vektor ist eine Größe, welche sowohl einen Zahlenwert (Betrag) als auch eine Richtung hat. übliche Beispiele: Ort r = r( x; y; z; t ) Kraft F Geschwindigkeit
MehrMathematik I für MB und ME
Mathematik I für MB und ME Fachbereich Grundlagenwissenschaften Prof Dr Viola Weiÿ Wintersemester 28/29 Übungsaufgaben Serie 4: Lineare Unabhängigkeit, Matrizen, Determinanten, LGS Prüfen Sie, ob die folgenden
MehrFormelsammlung Mathematik Grundkurs Inhalt
Formelsammlung Mathematik Grundkurs Inhalt Inhalt...1 Trigonometrie Grundlagen... Vektoren...3 Skalarprodukt...4 Geraden...5 Abstandsberechnungen...6 Ebenen...7 Lineare Gleichungssysteme (LGS)...8 Gauß'sches
MehrGrundwissen Abitur Geometrie 15. Juli 2012
Grundwissen Abitur Geometrie 5. Juli 202. Erkläre die Begriffe (a) parallelgleiche Pfeile (b) Vektor (c) Repräsentant eines Vektors (d) Gegenvektor eines Vektors (e) Welcher geometrische Zusammenhang besteht
Mehr2 Die Algebra der Matrizen
Die Algebra der Matrizen Ein Hauptziel der Vorlesung zur Linearen Algebra besteht darin, Aussagen über die Lösungsmenge linearer Gleichungssysteme zu machen Etwa ob das Gleichungssystem x y + z 1 x + y
Mehrn n x a 1 a 2 = 0 n 1 x 1 + n 2 x 2 + ( n 1 a 1 n 2 a 2 )
IX. Normalformen ================================================================== 9.1 Die Normalenform einer Geradengleichung im 2-dimensionalen Punktraum ----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Mehr10.2 Linearkombinationen
147 Vektorräume in R 3 Die Vektorräume in R 3 sind { } Geraden durch den Ursprung Ebenen durch den Ursprung R 3 Analog zu reellen Vektorräumen kann man komplexe Vektorräume definieren. In der Definition
MehrLehrskript Mathematik Q12 Analytische Geometrie
Lehrskript Mathematik Q1 Analytische Geometrie Repetitorium der analytischen Geometrie Eine Zusammenfassung der analytischen Geometrie an bayerischen Gymnasien von Markus Baur, StR Werdenfels-Gymnasium
MehrAbitur 2016 Mathematik Geometrie V
Seite http://www.abiturloesung.de/ Seite Abitur Mathematik Geometrie V Betrachtet wird der abgebildete Würfel A B C D E F G H. Die Eckpunkte D, E, F und H dieses Würfels besitzen in einem kartesischen
MehrVektorprodukte und analytische Geometrie
KAPITEL 4 Vektorprodukte und analytische Geometrie 4. Vektorprodukte.................................... 8 4. Skalarprodukt für Vektoren im R n.......................... 8 4. Anwendung des Skalarprodukts..........................
MehrZusammenfassung Mathe III. Themenschwerpunkt 3: Analytische Geometrie / lineare Algebra (ean) 1. Rechenregeln mit Vektoren
Zusammenfassung Mathe III Themenschwerpunkt 3: Analytische Geometrie / lineare Algebra (ean) 1. Rechenregeln mit Vektoren Definition: (1) anschaulich: Ein Vektor ist eine direkt gerichtete Verbindung zweier
Mehr1 Einführung in die Vektorrechnung
3 1 Einführung in die Vektorrechnung Neben der Integral- und Differentialrechnung ist die Vektorrechnung eine der wichtigsten mathematischen Disziplinen für die Ausbildung in einem Ingenieurfach, da in
MehrAlgebra 2.
Algebra 2 www.schulmathe.npage.de Aufgaben 1. In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A(10 0 0), B(0 4 0) und C(0 0 6) sowie die Ebenenschar E t : 3y + tz 3t = 0 (t R) gegeben. Die Punkte
MehrGeometrie. Ingo Blechschmidt. 4. März 2007
Geometrie Ingo Blechschmidt 4. März 2007 Inhaltsverzeichnis 1 Geometrie 2 1.1 Geraden.......................... 2 1.1.1 Ursprungsgeraden in der x 1 x 2 -Ebene.... 2 1.1.2 Ursprungsgeraden im Raum..........
MehrTeil II. Geometrie 19
Teil II. Geometrie 9 5. Dreidimensionales Koordinatensystem Im dreidimensionalen Koordinatensystem gibt es acht Oktanten, oben I bis VI und unten VI bis VIII. Die Koordinatenachsen,x 2 und stehen jeweils
MehrVektoren. Kapitel 3. 3.1 Skalare, Vektoren, Tensoren. 3.2 Vektoren
Kapitel 3 Vektoren 31 Skalare, Vektoren, Tensoren Viele physikalische Größen lassen sich bei bekannter Maßeinheit durch Angabe ihres Betrages als reelle Zahl vollständig angeben Solche Größen nennt man
Mehr12 Übungen zu Gauß-Algorithmus
Aufgaben zum Vorkurs B S. 2 Übungen zu Gauß-Algorithmus 2x x 2 = 7x +, 5x 2 = 7 Aufgabe 6: Aufgabe 7: Aufgabe 8: Aufgabe 9: 2x x 2 = x +2x 2 = 2 2x x 2 = 7x +, 5x 2 =, 5 x 2x 2 = x +x 2 = 5 2x +x 2 = 4
Mehr2 Die Algebra der Matrizen
Die Algebra der Matrizen Ein Hauptziel der Vorlesung zur Linearen Algebra besteht darin, Aussagen über die Lösungsmenge linearer Gleichungssysteme zu machen Etwa ob das Gleichungssystem y + z = 1 + y z
Mehr$Id: anageo.tex,v /01/18 21:24:38 hk Exp hk $
$Id: anageo.tex,v 1.3 9/1/18 1:4:38 hk Exp hk $ II. Lineare Algebra 1 Analytische Geometrie 1.1 Das Skalarprodukt v w u p Wir wollen noch eine weiteres Ergebnis der eben durchgeführten Überlegung festhalten.
Mehr, v 3 = und v 4 =, v 2 = V 1 = { c v 1 c R }.
154 e Gegeben sind die Vektoren v 1 = ( 10 1, v = ( 10 1. Sei V 1 = v 1 der von v 1 aufgespannte Vektorraum in R 3. 1 Dann besteht V 1 aus allen Vielfachen von v 1, V 1 = { c v 1 c R }. ( 0 ( 01, v 3 =
Mehr5. Geraden und Ebenen im Raum 5.1. Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren
5 Geraden und Ebenen im Raum 5 Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren Definition: Die Vektoren a,a,,a n heißen linear abhängig, wenn mindestens einer dieser Vektoren als Linearkombination
Mehr~ v 2. Abbildung 3: Zweiter Schritt des Gram-Schmidt-Verfahrens. k 1. i=1. v k = w k
v 1 v 1 v 2 v 2 W 2 -v (v, v ) 1 1 2 Abbildung 3: Zweiter Schritt des Gram-Schmidt-Verfahrens. k. Schritt: Subtraktion der Komponenten von ṽ k in Richtung von v 1,v 2,...,v k 1 und Normierung von w k auf
MehrAnalytische Geometrie
13 Analytische Geometrie Gegenstand der analytischen Geometrie ist, wie man bereits ahnen kann, die klassische Geometrie mit analytischen Methoden. Grundlage ist die Idee Rene Decartes, Punkte in der Ebene
MehrMathematik für Chemische Technologie 2
Mathematik für Chemische Technologie 2 Themenüberblick: Funktionen mehrerer unabhängigen Veränderlichen Vektoralgebra Lineare Gleichungssysteme und Determinanten Fehlerrechnung Schwerpunkt des Sommersemesters
MehrZusammenfassung zum Thema Vektor- und Matrizenrechnung
Zusammenfassung zum Thema Vektor- und Matrizenrechnung Mathematischer Vorkurs für Physiker und Naturwissenschaftler WS 2014/2015 Grundbegriffe der Linearen Algebra Viele physikalische Größen (Geschwindigkeit,
MehrStudiengänge) Beispiele
Grundkurs Höhere Mathematik I (für naturwissenschaftliche Studiengänge) Beispiele Prof. Dr. Udo Hebisch Diese Beispielsammlung ergänzt das Vorlesungsskript und wird ständig erweitert. DETERMINANTEN Determinanten
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2015): Lineare Algebra und analytische Geometrie 7
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 5): Lineare Algebra und analytische Geometrie 7 7. (Frühjahr, Thema, Aufgabe 4) Im R seien die beiden Ebenen E : 6 x + 4 y z = und E : + s + t 4 gegeben.
MehrVorkurs: Mathematik für Informatiker
Vorkurs: Mathematik für Informatiker Teil 4 Wintersemester 2017/18 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2017 Steven Köhler Wintersemester 2017/18 Inhaltsverzeichnis Teil 1 Teil
Mehr5. Wie bringt man einen Vektor auf eine gewünschte Länge? Zuerst bringt man ihn auf die Länge 1, dann multipliziert man mit der gewünschten Länge.
1. Definition von drei Vektoren sind l.u. 2. Wie überprüft man 3 Vektoren mit Hilfe eines LGS auf lineare Unabhängigkeit? 3. Definition von Basis?... wenn sich der Nullvektor nur als triviale LK darstellen
Mehr1 Grundlagen der analytischen Geometrie
M. Pester 3 Grundlagen der analtischen Geometrie. Punkte, Vektoren, Geraden, Ebenen Einsat rechnerischer Methoden für die Behandlung geometrischer Beiehungen. Punkten werden Zahlentupel (Koordinaten) ugeordnet.
MehrLernkarten. Analytische Geometrie. 6 Seiten
Lernkarten Analytische Geometrie 6 Seiten Zum Ausdrucken muss man jeweils eine Vorderseite drucken, dann das Blatt wenden, nochmals einlegen und die Rückseite drucken. Am besten druckt man die Karten auf
MehrGrundlagen der Vektorrechnung
Grundlagen der Vektorrechnung Ein Vektor a ist eine geordnete Liste von n Zahlen Die Anzahl n dieser Zahlen wird als Dimension des Vektors bezeichnet Schreibweise: a a a R n Normale Reelle Zahlen nennt
MehrTransformation Allgemeines Die Lage eines Punktes kann durch einen Ortsvektor (ausgehend vom Ursprung des Koordinatensystems
Transformation - 1 1. Allgemeines 2. Zwei durch eine Translation verknüpfte gleichartige Basissysteme 3. Zwei durch eine Translation verknüpfte verschiedenartige Basissysteme (noch gleiche Orientierung)
MehrVorkurs: Mathematik für Informatiker
Vorkurs: Mathematik für Informatiker Teil 4 Wintersemester 2018/19 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2018 Steven Köhler Wintersemester 2018/19 Inhaltsverzeichnis Teil 1 Teil
Mehreingesetzt in die Ebenengleichung
25 5. Gegenseitige Lage von Geraden und Ebenen 5.1 Gegenseitige Lage zweier Geraden (siehe Kap. 3.2) 5.2: Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene Beispiel: ε: 2x + 3y + 4z - 24 = 0 g = P(6, -2, 2)Q(0,
MehrKapitel VI. Euklidische Geometrie
Kapitel VI. Euklidische Geometrie 1 Abstände und Lote Wiederholung aus Kapitel IV. Wir versehen R n mit dem Standard Skalarprodukt x 1 y 1.,. := x 1 y 1 +... + x n y n x n y n Es gilt für u, v, w R n und
MehrLineare Algebra in der Oberstufe
Lineare Algebra in der Oberstufe Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 16. April 2016 Stefan Ruzika 1: Schulstoff 16. April 2016 1 / 32 Übersicht Ziel dieses Kapitels
MehrÜbungsblatt 1: Lösungswege und Lösungen
Übungsblatt : Lösungswege und Lösungen 5..6 ) Hier geht es weniger um mathematisch-strenge Beweise als darum, mit abstrakten Vektoren ohne Komponenten) zu hantieren und damit die Behauptungen plausibel
MehrVektorrechnung. 1. Vektoren im R 2, R 3 Größen in Physik und Technik:
Vektorrechnung 1. Vektoren im R 2, R 3 Größen in Physik und Technik: - skalare Größen: Länge [m], Zeit [sec], Masse [kg], Energie [N m], elektr. Spannung [V ],... gekennzeichnet durch: Maßzahl ( R) [Maßeinheit]
MehrLänge, Skalarprodukt, Vektorprodukt
Länge, Skalarprodukt, Vektorprodukt Jörn Loviscach Versionsstand: 20. April 2009, 19:39 1 Überblick Ein Vektorraum muss nur eine Minimalausstattung an Rechenoperationen besitzen: die Addition zweier Vektoren
MehrGeometrie. Bei der Addition von Vektoren erhält man einen Repräsentanten des Summenvektors +, indem man die Repräsentanten von aneinanderfügt:
Geometrie 1. Vektoren Die Menge aller zueinander parallelen, gleich langen und gleich gerichteten Pfeile werden als Vektor bezeichnet. Jeder einzelne Pfeil heißt Repräsentant des Vektors. Bei Ortsvektoren:
MehrComputer graphics. Vektoren und Matrizen. Dr. Ernst Kruijff. Institute of Visual Computing 3DMi group Bonn-Rhein-Sieg University of Applied Sciences
Computer graphics Vektoren und Matrizen Dr. Ernst Kruijff Institute of Visual Computing 3DMi group Bonn-Rhein-Sieg University of Applied Sciences 3 Dm group Einführung Transformationen Sources Online:
MehrVorkurs: Mathematik für Informatiker
Vorkurs: Mathematik für Informatiker Teil 4 Wintersemester 018/19 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de c 018 Steven Köhler Wintersemester 018/19 Inhaltsverzeichnis Teil 1 Teil Teil
MehrLineare Algebra: Theorie und Anwendungen
Lineare Algebra: Theorie und Anwendungen Sommersemester 2012 Bernhard Burgeth Universität des Saarlandes c 2010 2012, Bernhard Burgeth 1 VEKTOREN IN DER EBENE UND IM RAUM 2 1 Vektoren in der Ebene und
Mehr4. Vektor- und Spatprodukt im R 3
.. Vektorprodukt.. Vektor- und Spatprodukt im R Das Vektorprodukt a b zweier Vektoren a und b ist der Vektor mit den Eigenschaften: a b, falls a oder b oder a parallel zu b. In allen anderen Fallen ist
MehrKapitel I (Vektorrechnung)
Kapitel I (Vektorrechnung 1. Vektoren Unser Raum ist 3-dimensional. Wir kennen drei Hauptrichtungen: rechts-links, vornehinten, oben-unten. Als Modell wählen wir: Ein Punkt O als Ursprung 3 zueinander
Mehr5. Gegenseitige Lage von Geraden und Ebenen. 5.1 Gegenseitige Lage zweier Geraden (siehe Kap. 3.2) 5.2: Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene
5 5. Gegenseitige Lage von Geraden und Ebenen 5. Gegenseitige Lage zweier Geraden (siehe Kap..) 5.: Schnittpunkt einer Geraden mit einer Ebene Beispiel: : x + y + 4z - 4 = g = P(6, -, )Q(, 6, 4) geometrisch:
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2015/16): Lineare Algebra und analytische Geometrie 7
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 5/6): Lineare Algebra und analytische Geometrie 7 7. (Frühjahr 5, Thema, Aufgabe ) Sei V ein reeller Vektorraum. a) Wann nennt man eine Teilmenge U
MehrVektoren - Die Basis
Vektoren - Die Basis Motivation (Als Vereinfachung - der Schreibarbeit - wählen wir meistens Vektoren in R 2.) Eigentlich ist ja Alles klar! Für einen Vektor a gilt a = ( a x a y )! Am Ende werden wir
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2016/17): Lineare Algebra und analytische Geometrie 7
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 6/7): Lineare Algebra und analytische Geometrie 7 7. (Frühjahr 5, Thema, Aufgabe ) Sei V ein reeller Vektorraum. a) Wann nennt man eine Teilmenge U
MehrMathematische Grundlagen für die Vorlesung. Differentialgeometrie
Mathematische Grundlagen für die Vorlesung Differentialgeometrie Dr. Gabriele Link 13.10.2010 In diesem Text sammeln wir die nötigen mathematischen Grundlagen, die wir in der Vorlesung Differentialgeometrie
MehrAbitur 2011 G8 Abitur Mathematik Geometrie V
Seite 1 http://www.abiturloesung.de/ Seite 2 Abitur 211 G8 Abitur Mathematik Geometrie V In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A( 6 ), B( 8 6 6) und C( 8 6) gegeben. Teilaufgabe 1a (8
Mehr