Analytische Geometrie

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1 13 Analytische Geometrie Gegenstand der analytischen Geometrie ist, wie man bereits ahnen kann, die klassische Geometrie mit analytischen Methoden. Grundlage ist die Idee Rene Decartes, Punkte in der Ebene und des uns umgebenden Raumes durch zwei respektive drei reelle Zahlen eindeutig zu beschreiben. Diese nennt man ihre Koordinaten, und ihm zu Ehren spricht man daher auch von kartesischen Koordinatensystemen. Mit deren Hilfe können Geraden, Ebenen und so weiter durch Gleichungen beschrieben werden. Geometrische Fragestellungen werden so in analytische Fragestellungen übersetzt. 13-a Der 3-dimensionale Raum Wir beschäftigen uns mit dem dreidimensionalen euklidischen Raum sowie dessen ein- und zwei-dimensionalen Unterräumen. Diesen kennen wir bisher als R 3 = {(x 1, x 2, x 3 ) : x 1, x 2, x 3 R}, der mit der komponentenweisen Addition und skalaren Multiplikation einen reellen Vektorraum bildet, wie im Kapitel über Stetigkeit definiert. Andererseits kann man jedes Tripel auch als Vektor x 1 x = : x 3 auffassen, der vom Nullpunkt O aus zu dem Punkt X mit den Koordinaten (x 1, x 2, x 3 ) weist. Diesen bezeichnet man auch als den Ortvektor OX. Den Ortsvektor OX wiederum fasst man auf als Repräsentanten der Klasse aller Vektoren derselben Länge und derselben Richtung also aller Vektoren, die durch eine Parallelverschiebung des Raumes ineinander überführt werden (c)-machobs: 13.1

2 Analytische Geometrie Abb 1 Verschiedene Räpresentanten eines Ortsvektors M x N X Q O P können. So gehören in Abbildung 1 die Vektoren Ortsvektors OX. MN und PQ zur Klasse des Die Addition im R 3 lässt sich damit geometrisch erklären. Zwei Vektoren a und b werden addiert, indem man geeignete Repräsentanten aneinandersetzt wie in Abbildung 2 rechts. Der resultierende Vektor ist dann ein Repräsentant von a + b. Mit Argumenten der klassischen euklidischen Geometrie kann man zeigen, dass das Ergebnis nicht von der Auswahl der Repräsentanten abhängt und man die Koordinaten des Ergebnisvektors erhält, in dem man die entsprechenden Koordinaten von a und b addiert. Die Addition zweier Vektoren wird somit durch a 1 b : + 1 a : 1 + b 1 : a 3 b 3 a 3 + b 3 beschrieben. Ebenso ist die skalare Multiplikation geometrisch erklärt. Ist λ eine reelle Zahl, so steht λ a für denjenigen Ortsvektoren, der dieselbe Richtung wie a, aber dessen λ-fache Länge hat. Auch hier findet man, dass dies in Koordinaten Abb 2 Vektoraddition b a + b a + b b a a 13.2 (c)-machobs: ~13:34

3 Der 3-dimensionale Raum 13-a 251 ergibt. a 1 λa λ : 1 : a 3 λa 3 Im dreidimensionalen reellen Vektorraum sind drei Vektoren besonders ausgezeichnet die drei Standard-Einheitsvektoren e 1 = 0, e 2 = 1, e 3 = Damit gilt also a = a 1 a 2 a 3 a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3. Das Tripel (a 1, a 2, a 3 ) kann somit interpretiert werden als die Koeffizienten des Vektors a bezüglich seiner Darstellung als Linearkombination der Standard- Einheitsvektoren. In der Tat hat jeder Vektor im R 3 eine Darstellung als Linearkombination dieser drei Vektoren, und diese ist außerdem eindeutig (Beweis?). Man spricht daher auch von einer Basis des R 3. Wie wir noch sehen werden, lassen sich viele Überlegungen in der linearen Algebra darauf reduzieren und damit vereinfachen, dass man lediglich Basisvektoren anstatt beliebiger Vektoren betrachtet. Von nun an werden wir meist auf Vektorpfeile verzichten und einfacher a = a 1 a 2 a 3 a 1e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 schreiben, sobald jeweils aus dem Kontext klar ist, was Vektoren und was skalare Koeffizienten bezeichnet. Skalarprodukt Im R 3 ist das Standardskalarprodukt definiert durch x, y = x 1 y 1 + x 2 y 2 + x 3 y 3 = x i y i. 1 i 3 Es handelt sich um eine Abbildung V V R mit folgenden Eigenschaften, denen wir bereits im Abschnitt über normierte Räume begegnet sind: (c)-machobs: ~13:

4 Analytische Geometrie Abb 3 Das Skalarprodukt y x ϕ y (s-1) Definitheit: x, x 0, und x, x = 0 x = 0, (s-2) Symmetrie: x, y = y, x, (s-3) Linearität: λx + µy, z = λ x, z + µ y, z für λ, µ R. Mithilfe dieses Skalarprodukt ist die Länge eines Vektors x definiert als x e = x, x = x1 2 + x2 2 + x2 3. Aufgrund des Satzes des Pythagoras ist dies die euklidische Länge des Ortsvektors x. 1 Satz Es gilt x, y = x e y e cos ϕ, wobei ϕ den Winkel zwischen den Vektoren x und y bezeichnet. Somit ist x, y das Produkt aus den Längen von x und der orthogonalen Projektion y von y auf x. Das Skalarprodukt ist positiv genau dann, wenn diese beiden Vektoren gleichgerichtet sind. Beweisskizze Es genügt, die Behauptung für Vektoren der Länge 1 zu zeigen. Der allgemeine Fall folgt durch Skalierung. Wie wir später sehen werden, ändert sich das Skalarprodukt nicht, wenn beide Vektoren in gleicher Weise um den Nullpunkt gedreht werden. Wir können uns daher auf den Fall konzentrieren, wo x = e 1 und y in der e 1 -e 2 -Ebene liegt. Da y die Länge 1 hat, ist aber y = (cos ϕ, sin ϕ, 0), wobei ϕ den Winkel mit der e 1 -Achse bezeichnet. Also gilt x, y = e 1, y = cos ϕ. Zwei Vektoren x und y heißen daher orthogonal, geschrieben x y, wenn x, y = 0. Dies gilt für beliebige Dimensionen (c)-machobs:

5 Der 3-dimensionale Raum 13-a 253 Abb 4 Zum Cosinussatz c = a + b b γ ϕ a Bemerkung Das Skalarprodukt ergibt sich übrigens zwangsläufig mt folgender Überlegung. Angenommen, wir suchen ein Skalarprodukt mit obigen allgemeinen Eigenschaften, also insbesondere Linearität und Symmetrie, das außerdem Länge und Winkel berücksichtigt in dem Sinne, dass es Null wird für orthogonale Vektoren. Für die Standardbasisvektoren ergibt sich daraus notwendigerweise die Forderung 1, k = l, e k, e l = δ kl =. 0, k l Damit ist es aber bereits für alle Vektoren festgelegt. Denn für x = k x k e k und y = l y l e l folgt daraus x, y = x 1 e x 3 e 3, y 1 e y 3 e 3 = x k y l e k, e l = x i y i 1 k,l 3 1 i 3 genau wie oben definiert. 2 Cosinussatz Für beliebige Vektoren a und b gilt a + b 2 e = a 2 e + b 2 e 2 a e b e cos γ, wobei γ den Gegenwinkel zwischen x und y bezeichnet 1. Insbesondere gilt für orthogonale Vektoren der Satz des Pythagoras, a + b 2 e = a 2 e + b 2 e. Mit den Rechenregeln für das Skalarprodukt gilt 1 Dieser Gegenwinkel liegt im Dreieck innen siehe Abbildung 4. (c)-machobs: 13.5

6 Analytische Geometrie Abb 5 Das Vektorprodukt a b b a a + b 2 e = a + b, a + b = a, a + a, b + b, a + b, b = a 2 e + 2 a e b e cos ϕ + b 2 e. Mit γ = π ϕ und damit cos γ = cos ϕ folgt damit die erste Gleichung. Der Pythagoras folgt mit cos γ = 0 für γ = π/2, oder direkt aus der ersten Rechnung mit a, b = 0. Vektorprodukt Das Skalarprodukt ordnet zwei Vektoren a und b eine reelle Zahl a, b, also einen Skalar zu. Daneben gibt es noch ein Vektorprodukt, das diesen einen Vektor zuordnet, der mit a b bezeichnet wird. Dieser ist geometrisch durch die folgenden drei Eigenschaften definiert. (i) Seine Länge ist gleich dem Flächeninhalt des von den Vektoren a und b aufgespannten Parallelogramms. (ii) Er steht senkrecht auf der von a und b aufgespannten Ebene. (iii) Die Vektoren a, b, a b bilden ein Rechtssystem. Das heißt, es gilt die Rechte- Hand-Regel: Weist der Daumen der rechten Hand in die Richtung von a und der Zeigefinger in die Richtung von b, so weist der Mittelfinger in die Richtung von a b. Durch diese drei Bedingungen ist das Vektorprodukt eindeutig festgelegt. Das Vektorprodukt hat seinen Ursprung in physikalischen Phänomenen. Greift beispielsweise an einem starren Körper mit fester Drehachse an einer Stelle mit Abstandvektor r zur Drehachse eine Kraft F an, so erzeugt diese ein Drehmoment D = r F. Oder fließt durch einen geraden elektrischen Leiter der Länge λ in einem homogenen Magnetfeld B ein Strom der Stärke I, so wirkt auf den Leiter die Kraft F = λi B (c)-machobs:

7 Der 3-dimensionale Raum 13-a 255 Wie bestimmt sich nun das Vektorprodukt analytisch? Für die Standard- Einheitsvektoren ergibt sich aus der geometrischen Definition sowie e k e k = 0, 1 k 3, e 1 e 2 = e 3, e 2 e 3 = e 1, e 3 e 1 = e 2. Außerdem ergeben sich noch folgende Eigenschaften: (v-1) Antisymmetrie: a b = b a. (v-2) Homogenität: (λa) b = λ(a b). (v-3) Linearität: a (b + c) = a b + a c, Für beliebige Vektoren ergibt sich damit ( ) ( ) a b = a k e k b l e l = 1 k 3 1 l 3 1 k,l 3 und mit den Identitäten für die e-vektoren weiter a 1 b a 2 1 a b 2 2 b 3 a 3 b 2 a 3 b 1 a 1 b 3 a 3 b 3 a 1 b 2 a 2 b 1 Beispiele a k b l (e k e l ), a. Einen auf a = (1, 2, 3) und b = (4, 5, 6) senkrecht stehenden Vektor erhalten wir also zum Beispiel durch v = a b = ( 3, 6, 3). In der Tat gilt ja auch v, a = = 0, v, b = = 0, wie es sich gehört. b. Der Flächeninhalt des von den Vektoren a und b aufgespannten Dreiecks ist F = 1 2 a b e. Sind beispielsweise A = (1, 2, 3), B = ( 2, 0, 4) und C = ( 1, 1, 2) die Eckpunkte des Dreiecks, so sind zwei Seiten gegeben durch a = AB = ( 3, 2, 1), b = AC = ( 2, 3, 1). Es ist a b = (5, 5, 5) und der gesuchte Flächeninhalt daher = 1 2 a b e = (c)-machobs: 13.7

8 Analytische Geometrie Abb 6 Das Spatprodukt a b h c b a P c. Das vorangehende Beispiel funktioniert natürlich auch in der euklidischen Ebene. Hierfür setzt man in allen Daten die dritte Koordinate auf 0 und rechnet damit in der e 1 -e 2 -Ebene des R 3. Für das Kreuzprodukt halten wir noch fest, dass a b = 0 dann und nur dann gilt, wenn a = 0, oder b = 0, oder a und b parallel sind. Insbesondere ist a a = 0 für jeden Vektor a. Dies ist also wesentlich anders als bei den reellen Zahlen, wo aus ab = 0 immer a = 0 oder b = 0 folgt. Das Kreuzprodukt ist auch nicht assoziativ. Zum Beispiel ist e 1 (e 1 e 2 ) = e 1 e 3 = e 2 aber (e 1 e 1 ) e 2 = 0 e 2 = 0. Das Spatprodukt Das Spatprodukt dreier Vektoren a, b, c ist kein neues Produkt, sondern eine Kombination aus Skalar- und Vektorprodukt. Es ist definiert als [a, b, c] a b, c. Der Betrag dieses Produktes ist genau das Volumen des von diesen Vektoren aufgespannten Parallelepipeds. Denn die Länge von a b ist gerade der Flächeninhalt des von a und b aufgespannten Parallelogramms P. Das Skalarprodukt mit c ist, bis auf das Vorzeichen, das Produkt der Längen von a b und der Projektion von c auf die Gerade durch a b. Da diese aber senkrecht auf dem Parallelogramm P steht, ist diese Projektion gerade die Höhe h des Parallelepipeds über P. Das Spatprodukt hat folgende Eigenschaften, die sich aus der Definition und seiner Interpretation ergeben (c)-machobs:

9 Der 3-dimensionale Raum 13-a 257 (p-1) Zyklische Vertauschbarkeit: [a, b, c] = [b, c, a] = [c, a, b]. (p-2) Antisymmetrie: [a, b, c] = [b, a, c]. (p-3) Linearität: [λ 1 a 1 + λ 2 a 2, b, c] = λ 1 [a 1, b, c] + λ 2 [a 2, b, c]. Daraus folgt sofort, dass das Spatprodukt linear in allen drei Argumenten ist, und das Vorzeichen wechselt, wenn man zwei beliebige Argumente vertauscht. Weiter folgt [a, a, b] = [a, b, a] = 0. Außerdem gilt [a, b, c] > 0 genau dann, wenn a, b, c ein Rechtssystem bilden. Die Formel für das Spatprodukt ergibt sich mit den Rechenregeln für das Skalar- und Vektorprodukt. Für a = (a 1,.., a 3 ) und so weiter wird [a, b, c] eine Summe aus neun Termen, von denen drei wegen der letzten Regel verschwinden. Man erhält damit [a, b, c] = a 1 b 2 c 3 + a 2 b 3 c 1 + a 3 b 1 c 2 a 1 b 3 c 2 a 2 b 1 c 3 a 3 b 2 c 1. Wie wir später sehen werden, ist dies die Determinante einer 3 3-Matrix, nämlich a 1 b 1 c 1 [a, b, c] = det a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 Beispiel Volumenberechnung Das Volumen des Tetraeders T mit den Eckpunkten A = (2, 3, 4), B = ( 1, 1 1), C = (3, 0, 1), D = (1, 1, 1) ist ein Sechstel des Volumens des zugehörigen Spates S. Dieses wird aufgespannt von den Vektoren a = DA = (1, 2, 3), b = DB = ( 2, 0, 2), c = DC = (2, 1, 2), und es ist det = Somit ist T = 1 S = 2. 6 Beispiel Drehmoment Wir betrachten das Drehmoment einer Kartoffel, die sich um eine Achse mit dem normierten Richtungsvektor e dreht. Der Ortsvektor (c)-machobs: 13.9

10 Analytische Geometrie Abb 7 Zum Drehmoment e v x x e x O x und der Geschwindgkeitsvektor v eines beliebigen Punktes der Kartoffel besitzen eine zu e jeweils parallele und orthogonale Komponente, v = v e + v, x = x e + x, welche eindeutig bestimmt sind. Schreibt man v = λ e und multipliziert skalar mit e, so erhält man v, e = v e, e = λ e, e = λ. Doch benötigen wir dies im Folgenden nicht. Das Drehmoment dieses Punktes bezüglich e ist allein durch die orthogonalen Komponenten bestimmt als x v. Dieses weist in Richtung von e, seine skalare Größe ist somit gegeben durch x v, e. Nun ist aber x v, e = ( x x e ) ( v v e ), e = x v, e x v e, e x e v, e + x e v e, e. Hierbei ist x e v e = 0. Außerdem stehen die Vektoren x v e und x e v senkrecht zu e, so dass deren Skalarprodukte ebenfalls verschwinden. Wir erhalten also x v, e = x v, e. Bei einer Drehung um die z-achse ist beispielsweise e = (0, 0, 1). Somit wird x 1 v 1 0 x v, e = det x 2 v 2 0 x 1v 2 x 2 v 1. x 3 v (c)-machobs:

11 Geraden und Ebenen 13-b 259 Lineare Abhängigkeit Zwei Vektoren u und v heißen kollinear, wenn sie auf derselben Geraden liegen, also einer ein skalares Vielfaches des anderen ist. Drei Vektoren u, v, w heißen koplanar, wenn sie in derselben Ebene liegen. Dies sind zwei spezielle Fälle von linearer Abhängigkeit, die wir im nächsten Kapitel definieren werden. 3 Satz Zwei Vektoren u und v im R 3 sind kollinear genau dann, wenn u v = 0. Drei Vektoren u, v, w im R 3 sind koplanar genau dann, wenn [u, v, w] = u w, w = det(u, v, w) = 0. Diesen Satz kann man auch auf Vektoren im R 2 anwenden, indem man als dritte Koordinate 0 ergänzt und sie als Vektoren im R 3 auffasst. Für a = (1, 2) und b = ( 3, 6) rechnet man also Diese zwei Vektoren sind also kollinear. 13-b Geraden und Ebenen Geraden Zwei verschiedene Punkte A B definieren eindeutig eine Gerade g. Bezeichnen a und b deren Ortsvektoren, so erhält man die Ortsvektoren x aller Punkte auf dieser Geraden durch x = a + λ(b a), λ R, (1) denn b a 0 ist derjenige Vektor, der von A nach B weist siehe Abbildung 8. Dies nennt man eine Parameterdarstellung der Geraden g. Durchläuft der Parameter λ die reellen Zahlen, so durchläuft x alle Punkte der Geraden g. Dies gilt übrigens in beliebigen Dimensionen. Da der Richtungsvektor b a nicht verschwindet, ist a i b i für wenigstens einen Index i. In diesem Fall kann man die Paramterdarstellung nach λ auflösen und erhält λ = x i a i b i a i. (c)-machobs: 13.11

12 Analytische Geometrie Abb 8 Gerade durch A und B mit Normalenvektor n g a n A b b a B O Ersetzt man λ in den beiden anderen Komponenten durch diesen Ausdruck, so erhält man eine Koordinatendarstellung der Geraden g. Beispiel Seien A = (1, 0, 2) und B = (2, 2, 3) und a, b deren Ortsvektoren. Die Gerade durch A und B hat den Richtungsvektor v = b a = (1, 2, 1). Eine Parameterdarstellung ist somit x = a + λv, also x λ x λ 2 2λ λ x 3 Auflösen nach λ ergibt die zugehörigen Koordinatengleichungen x 1 1 = x 2 2 = x 3 2, was äquivalent ist mit linearen Gleichungssystem Somit gilt auch 2x 1 x 2 = 2, x 2 + 3x 3 = 4. g = { (x 1,.., x 3 ) : 2x 1 x 2 = 2 x 2 + 3x 3 = 4 }. Beispiel Umgekehrt wird durch das lineare Gleichungssystem x 1 x 2 = 2, 4x 2 + x 3 = 8 eindeutig eine Gerade bestimmt, da beide Gleichungen linear unabhängig sind. Um diese in Parameterdarstellung zu überführen, können wir beispielsweise x 2 = λ als Parameter einführen. Damit wird x 1 λ = 2 und 4λ + x 3 = 8, also x λ 2 1 x 2 λ 0 + λ 1, λ R λ 8 4 x (c)-machobs:

13 Geraden und Ebenen 13-b 261 Betrachten wir Geraden nur in der x 1 -x 2 -Ebene, so können wir diese auch durch einen Normalenvektor beschreiben. Steht n senkrecht auf der Geraden g durch den Punkt A mit dem Ortsvektor a, so sind alle Punkte x auf g dadurch charakterisiert, dass x a senkrecht auf n steht. Es gilt also x a n n, x a = 0. Multiplizieren wir die Gleichung noch mit einem geeigneten Skalar, so können wir n auf die Länge 1 normalisieren und n, a 0 erreichen. Wir erhalten damit die Hessische Normalform der Geradengleichung, n, x p = 0, n = 1, p 0, für die Folgendes gilt. 4 Satz Für eine Gerade g in Hessischer Normalform gilt: (i) n ist der Normaleneinheitsvektor auf g, der vom Ursprung wegweist. (ii) Ist a irgendein Punkt auf g, so ist g : n, x a = 0. (iii) p ist der Abstand von g zum Ursprung O. (iv) Der Abstand eines beliebigen Punktes z von g ist d(z, g) = n, z p. Wir beweisen einen analogen Satz gleich für Ebenen im Raum. Der Beweis ist exakt derselbe, weshalb wir ihn hier übergehen. Beispiel g : Betrachte die Gerade ) ( ) ( ) 1 1 = + t, t R. 0 2 ( x1 x 2 Ein senkrecht auf dem Richtungsvektor (1, 2) stehender Normalenvektor ist (2, 1), ein Normaleneinheitsvektor ist somit n = 1 ( ) Für den Punkt a = (1, 0) auf g erhalten wir insbesondere n, a = 2 5 > 0. Da dies positiv ist, hat n bereits die korrekte Orientierung andernfalls hätten wir diesen Vektor noch umkehren müssen. Die Hessesche Normalform ist somit n, x a = n, x 2/ 5 = 0. (c)-machobs: 13.13

14 Analytische Geometrie Abb 9 Z Abstand Punkt zu Gerade oder Ebene z z n A Z O Der Abstand dieser Geraden zum Ursprung ist also 2/ 5, und der Abstand des Punktes (3, 0) zu g ist n, (3, 0) 2/ 5 = 4/ 5. Ebenen Eine Ebene E wird eindeutig bestimmt durch die Angabe eines auf ihr liegenden Aufpunktes A mit Ortsvektor a und zwei linear unabhängigen Richtungsvektoren u und v. Jeder Punkt x auf E besitzt dann eine Parameterdarstellung x = a + λu + µv, λ, µ R, und man erhält man alle Punkte der Ebene E, wenn λ und µ die reellen Zahlen durchlaufen. Drei Punkte A, B, C mit Ortsvektoren a, b, c bestimmen eine Ebene E, wenn diese Vektoren nicht linear abhängig sind. In diesem Fall sind u = b a und v = v a linear unabhängige Richtungsvektoren, und mit diesen erhalten wir wieder obige Parameterdarstellung von E. Aus der Definition des Vektorprodukts folgt, dass der Vektor n = u v immer senkrecht auf E steht. Multiplizieren wir die Parameterdarstellung skalar mit n, so folgt n, x = n, a für alle Punkte auf E. Die Umkehrung gilt ebenfalls: die letzte Gleichung ist äquivalent mit n, x a = 0, also n x a, und da a selbst auf E liegt, muss auch x auf E liegen. Man nennt dies eine Normalendarstellung der Ebene (c)-machobs:

15 Geraden und Ebenen 13-b 263 Abb 10 Ebenendarstellung E n A v C u B X x a O Normalisieren wir noch n zu einem Einheitsvektor mit geeigneter Orientierung, so erhalten wir für jede Ebene eine Darstellung in Hessischer Normalform E : n, x p = 0, n = 1, p 0. (2) Diese hat die folgenden Eigenschaften. 5 Satz Für eine Ebene E in Hessischer Normalform (2) gilt: (i) n ist der Normaleneinheitsvektor auf E, der vom Ursprung wegweist. (ii) Ist a irgendein Punkt auf E, so ist n, x a = 0 äquivalent zu (2). (iii) p ist der Abstand von E zum Ursprung O. (iv) Der Abstand eines beliebigen Punktes z von E ist d(z, E) = n, z p. a. Wegen n, x = p 0 für alle Punkte auf E bilden x und n keinen stumpfen Winkel. Das entspricht der Behauptung. b. Aus x E und a E folgt n, x a = n, x n, a = p p = 0. Umgekehrt folgt hieraus wieder n, x = n, a = p, also n, x p = 0. c. Der Fall p = 0 ist klar. In diesem Fall gehört der Ursprung zur Ebene, und der Abstand ist Null. Sei also p > 0. Dann existiert genau ein Punkt X auf E mit dem geringsten Abstand vom Ursprung, und sein Ortsvektor x steht senkrecht auf E. Also sind x und n parallel und gleichgerichtet. Also gilt d(o, E) = x = n, x = p. (c)-machobs: 13.15

16 Analytische Geometrie d. Dies sieht man wie im vorangehenden Argument. Sei Z ein Punkt nicht auf E. Dann wird der Abstand von Z zu E an dem Punkt Z angenommen, wo Z Z senkrecht auf E steht und damit parallel zu n ist. Liegt nun Z auf der anderen Seite als der Ursprung, so sind z z und n gleichgerichtet, und es gilt d(z, E) = z z = n, z z = n, z p > 0. Andernfalls sind diese beiden Vektoren entgegengesetzt gerichtet, und wir müssen noch das Vorzeichen umzukehren: d(z, E) = z z = n, z z = p n, z = n, z p. Damit ist alles gezeigt. Beispiel Betrachte die Ebene E : x = e 1 + λe 2 + µe 3, λ, µ R. Ein Normalenvektor ist n = e 2 e 3 = e 1. Dieser hat bereits die Länge 1, und wegen n, e 1 = e 1, e 1 = 1 weist er auch in die richtige Richtung. Die Hessische Normalform von E ist somit n, x 1 = 0, n = e 1. Ihr Abstand zum Ursprung ist 1. Der Punkt Z = (3, 4, 5) hat E-Abstand n, z 1 = 3 1 = 2. Aus einer Normalendarstellung gewinnt man natürlich auch wieder eine Parameterdarstellung. Sei E : n, x = p. Ist beispielsweise n 3 0 wenigstens eine Komponente von n kann ja nicht verschwinden, so ist n 3 x 3 = p n 1 x 1 n 2 x 2, und wir können x 1 und x 2 als Parameter λ und µ betrachten. Wir erhalten damit die Parameterdarstellung x 1 λ x 2 µ 0 λ 0 µ 1 p/n 3 n 1 /n 3 n 2 /n 3 x 3 x (c)-machobs:

17 Geraden und Ebenen 13-b 265 Schnitt zweier Ebenen Wir betrachten nun Schnitte von Geraden und Ebenen. Der Schnitt zweier Ebenen ist am einfachsten zu behandeln, wenn diese in Normalengleichung E i : n i, x = p i, i = 1, 2, (3) gegeben sind. Dabei muss es sich nicht um die Hessesche Normalform handeln, es kann jede beliebige Normalengleichung sein. Sind die Ebenen nicht parallel, so bestimmen sie eindeutig eine Schnittgerade g, deren Richtungsvektor senkrecht auf den beiden Normalenvektoren steht. Wir erhalten also einen solchen Richtungsvektor als v = n 1 n 2. Dieser ist nicht Null genau dann, wenn n 1 und n 2 nicht kolinear, die Ebenen also nicht parallel sind genau so, wie es sein soll. Einen beliebigen Punkt auf g erhalten wir als beliebige Lösung der beiden Gleichungen in (3), womit wir uns später beschäftigen werden. Der Schnittwinkel ϕ zwischen den beiden Ebenen ist gleich dem Winkel zwischen deren Normalenvektoren. Man erhält ihn also aus n 1, n 2 = n 1 n 2 cos ϕ. Beispiel Gegeben sind die beiden Ebenen E 1 : x 1 + 4x 2 = 2, E 2 : x 2 x 3 = 1. Normalenvektoren sind (1, 4, 0) und (0, 1, 1), und es ist v = Die Ebenen schneiden sich also in einer eindeutigen Geraden g mit Richtungsvektor v. Einen beliebigen Punkt auf g erhält man als gemeinsame Lösung der beiden Ebenengleichungen. Wählen wir zum Beispiel x 2 = 0, so folgt x 1 = 2 und x 3 = 1. Also ist x λ g : x λ 1 λ λ x 3 Der Winkel ϕ zwischen beiden Ebenen ergibt sich aus 4 = 17 2 cos ϕ. (c)-machobs: 13.17

18 Analytische Geometrie Schnitt einer Ebene mit einer Geraden Für den Schnitt einer Ebene E mit einer Geraden g gibt es drei Möglichkeiten: (i) E g = g, falls g in der Ebene E liegt. (ii) E g =, falls g parallel zu E, aber nicht in E liegt. (iii) E g = {p} ist genau ein Punkt in allen anderen Fällen. Der letzte Fall tritt genau dann ein, wenn der Normalenvektor von E nicht senkrecht auf g steht. Sind also E : n, x = p, g : x = a + λv eine Normalen- respektive Parameterdarstellung von E und g, so ist dies der Fall für n, v 0. Den Schnittpunkt erhalten wir durch Einsetzen der Geraden- in die Ebenengleichung: die Gleichung n, a + λv = n, a + λ n, v = p lässt sich nach λ auflösen, woraus sich der Schnittpunkt ergibt. Beispiel Der Schnitt der Ebene E : x 1 + x 4 = 2 mit der Geraden 3 1 λ 3 g : 0 + λ 1 λ 1 1 λ 1 ergibt sich aus 1(λ 3) + 4λ = 2 5λ = 5. Also ist λ = 1, und der Schnittpunkt ist P = ( 2, 1, 0). Abstand zweier Geraden Für die Lage zweier Geraden g und h im euklidischen Raum gibt es drei Möglichkeiten: (i) Es ist g = h. (ii) Es ist g h genau ein Punkt ihr Schnittpunkt. (iii) Es gibt keinen gemeinsamen Punkt. In letzterem Fall kann man noch nach ihrem Abstand fragen, definiert als d(g, h) = min p g, q h p q. Dieser Abstand ist in den beiden ersten Fällen offensichtlich Null (c)-machobs:

19 Geraden und Ebenen 13-b 267 Sind g : x = a + λu, h : x = b + µv die beiden Geradengleichungen, so führt eine Betrachtung der Gleichungen a + λu = b + µv λu i µv i = b i a i, i = 1, 2, 3, zu einer Entscheidung, welcher Fall vorliegt. Dies sind drei lineare Gleichungen für die beiden Unbekannten λ und µ, welche entweder (i) unendlich viele Lösungen, (ii) genau eine Lösung, (iii) keine Lösung, besitzen was den obigen drei Fällen entsprechen. Welcher Fall eintritt, werden wir im nächsten Abschnitt über lineare Gleichungssysteme diskutieren. Hier nehmen wir jetzt, dass es keine Lösung gibt. Ist nun u v = 0, so sind die beiden Geraden parallel, und ihr Abstand wird an Punkten p und q realisiert, wo p q u p q, u = 0 gilt. Einsetzen der Geradengleichungen führt zu u, u λ u, v µ = b a, u. Dies ist ein unterbestimmtes Gleichungssystem mit unendlich vielen Lösungen für λ und µ, die aber aus geometrischen Gründen alle denselben Abstand ergeben. Wir können also beispielsweise µ = 0 wählen, daraus λ bestimmen und damit auch die Punkte p und q und deren Abstand. Im Allgemeinen ist jedoch u v 0. In diesem Fall nennt man die Geraden windschief. Ihr Abstand ist dann gleich dem Abstand der Ebenen mit den Richtungsvekoren u und v und dem Normalenvektor u v, in denen jeweils eine der Geraden liegt. Mit dem Normaleneinheitsvektor n = u v u v ist die Hessesche Normalform der g-ebene dann E : n, x a = 0, denn a g. Ihr Abstand zur h-ebene ist dann gleich dem Abstand des Punktes b h von E. Wir erhalten also d(g, h) = d(e, b) = n, b a. (c)-machobs: 13.19

20 Analytische Geometrie Sollen zusätzlich noch die Punkte p und q bestimmt werden, an denen dieser Abstand realisiert wird, so führen die Bedingungen p q u, p q v und die Geradengleichungen zu dem linearen Gleichungssystem u, u λ u, v µ = b a, u, u, v λ v, v µ = b a, v. Dieses erlaubt die eindeutige Bestimmung von λ und µ und damit von p und q. Beispiel Gegeben sind die Geraden g : x = 0 + λ 1, h : x = 1 + µ Gemeinsame Punkte auf beiden Geraden müssen dem Gleichungssystem 1 = 2, 1 = λ, 0 = µ, genügen, welches offensichtlich keine Lösung besitzt. Da die Richtungsvektoren nicht parallel sind, sind diese Geraden also windschief. Für die Abstandbestimmung betrachten wir daher die Ebene durch g mit dem Normalenvektor e 2 e 3 = e 1, welcher schon die Länge 1 hat. Wegen a = (1, 0, 0) g ist also E : n, x a = e 1, x 1 = 0. Mit b = (2, 1, 0) h ist der Abstand beider Geraden also d(g, h) = d(e, b) = e 1, b 1 = 2 1 = 1. Die Berechnung der Punkte mit dem kürzesten Abstand führt mit u = e 2, v = e 3 und b a = (1, 1, 0) auf das lineare Gleichungssystem 1 λ 0 µ = 1, 0 λ 1 µ = 0. Also ist λ = 1 und µ = 0, sowie P = (1, 1, 0) g und Q = (2, 1, 0) h die Punkte mit dem kürzesten Abstand. 13-c Lineare Gleichungssysteme Wie wir gesehen haben, führen Probleme der analytischen Geometrie oft auf lineare Gleichungssysteme. Diese wollen wir jetzt gang allgemein betrachten (c)-machobs:

21 Lineare Gleichungssysteme 13-c 269 Ein lineares Gleichungssystem von nun an Lgs genannt mit m linearen Gleichungen für n Unbekannte x 1,.., x n hat die Form a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1, a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b 2, a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m, : mit reellen Koeffizienten a ij für 1 i m und 1 j n und reellen Absolutgliedern b j für 1 j n. Ein Koeffizient a ij kann natürlich auch 0 sein. Dann tritt x j in der i-ten Gleichung nicht auf. Ebenso gut kann man komplexe Koeffizienten und Absolutglieder betrachten. Die Theorie dafür ist dieselbe. Der Einfachheit halber konzentrieren wir uns auf den reellen Fall. Solche Gleichungssysteme schreibt man kompakter in der Matrixform a 11 a 12.. a 1n x 1 b 1 a 21 a 22.. a 2n x 2 : : : : b 2 : a m1 a m2.. a mn x n Die m n-koeffizientenmatrix a 11 a 12.. a 1n A = a 21 a 22.. a 2n : : : a m1 a m2.. a mn ist dabei im Moment nichts anderes als ein rechteckiges Schema aus m Zeilen und n Spalten, um die Koeffizienten a ij zu notieren. Man schreibt dafür auch b m A = (a ij ) = (a ij ) mn = (a ij ) 1 i m,1 j n R m n. Schreiben wir noch x und b für die beiden Spaltenvektoren, so schreibt sich das Lgs kurz als Ax = b. Wir wir später sehen werden, kann man Ax tatsächlich als das Produkt einer m n-matrix mit einer n 1-Matrix auffassen, wobei Letzteres nichts anderes ist als ein Spaltenvektor mit n Koeffizienten. Wir wollen nun das oben stehende Lgs lösen. Die Idee ist, es in eine Folge von einfacheren äquivalenten Lgs zu transformieren, welche dieselbe Lösungsmenge haben. Hierzu benötigt man lediglich die folgenden elementaren Operationen: (i) Vertauschung zweier Gleichungen. (ii) Multiplikation einer Gleichung mit einem Skalar ungleich Null. (c)-machobs: 13.21

22 Analytische Geometrie (iii) Addition eines skalaren Vielfachen einer Gleichung zu einer anderen Gleichung. Diese Operationen ändern die Lösungsmenge nicht, da sie umkehrbar sind, also rückgängig gemacht werden können. Beispiel Gegeben ist das Lgs x 1 + x 2 + x 3 = 6, x 1 + 2x 2 x 3 = 2, 2x 1 + 3x 2 3x 3 = 1. Bezeichnet Z i die i-te Zeile, so führt Z 2 Z 1 und Z 3 2Z 1 zu x 2 2x 3 = 4, x 2 5x 3 = 13. Die Differenz dieser beiden Zeilen ergibt 3x 3 = 9. Diese Gleichungen können wir jetzt rückwärts auflösen und erhalten x 3 = 3, x 2 = 4 + 2x 3 = 2, x 1 = 6 x 2 x 3 = 1. Natürlich sollte man diese Zahlen noch in das ursprüngliche System einsetzen, um das Ergebnis zu überprüfen.... Um dieses Verfahren bequem durchzuführen, bildet man die erweiterte Koeffizientenmatrix a 11 a 12.. a 1n b 1 (A b) = a 21 a 22.. a 2n b 2 : : : : a m1 a m2.. a mn b m Die eben genannten elementaren Operationen werden dann zu entsprechenden elementaren Zeilenumformungen: (i) Vertauschung zweier Zeilen. (ii) Multiplikation einer Zeile mit einem Skalar ungleich Null. (iii) Addition eines skalaren Vielfachen einer Zeile zu einer anderen Zeile (c)-machobs:

23 Lineare Gleichungssysteme 13-c 271 Das Gaußsche Eliminationsverfahren Das Gaußsche Eliminationsverfahren besteht nun aus folgenden Schritten, die maximal m Mal wiederholt werden und immer zu einer vollständigen Lösung des Lgs führen. Dabei können wir davon ausgehen, dass in der ersten Spalte der erweiterten Koeffizientenmatrix nicht nur Nullen stehen, denn andernfalls hinge das gesamte Gleichungssystem nicht von x 1 ab wir könnten also von vornherein zu einem einfacheren System übergehen. 1. Schritt: Ist a 11 0, so ist nichts zu tun. Andernfalls wählt man in der ersten Spalte ein Element a i1 0 und bringt dies durch Vertauschen der Zeilen 1 und i in die oberste Position. Ein solches Element muss aufgrund der Vorbereitung für diesen Schritt vorhanden sein. 2. Schritt: Es ist nun a 11 0 es ist das sogenannte Pivotelement dieses Schritts. Wir subtrahieren dann von jeder Zeile i > 1 das a i1 /a 11 -fache der ersten Zeile. Somit stehen am Schluss unter dem Pivotelement nur noch Nullen. Die erweiterte Koeffizientmenmatrix hat dann die Gestalt.. 0.., : : : : : 0.. wobei das Pivotelement 0 und beliebige Elemente bezeichnet. 3. Schritt: Wir suchen nun in der resultierenden Matrix die erste Spalte, die unterhalb der ersten Zeile nicht nur Nullen enthält. Existiert eine solche Spalte nicht entweder, weil es keine weiteren Zeilen gibt, oder weil alle diese Elemente Null sind so endet das Verfahren. 4. Schritt: Andernfalls hat die erweiterete Koeffizientenmatrix die Gestalt : : : : Ist l + 1 die Spalte mit dem ersten Nicht-Null-Element, so gehen wir jetzt über zur reduzierten Koeffizientenmatrix ã 2,l+1.. ã 2n b 2 a 11.. a 1,n l b 1 : : : : : : ã m,l+1.. ã mn b m a m 1,1.. a m 1,n l b m 1 Die Zahl der Zeilen hat sich somit um 1 und die Zahl der Spalten l 1 reduziert. Dann beginnen wir wieder mit dem ersten Schritt. (c)-machobs: 13.23

24 Analytische Geometrie Dieses Verfahren endent offensichtlich nach maximal m Zykeln. Am Ende steht eine erweiterte Koeffizientenmatrix in der Zeilenstufenform : : : 0... (4) : c r +1 : : : c m Diese hat folgende wesentliche Eigenschaften: (i) In der ersten Zeile steht an erster Stelle ein. (ii) In jeder weiteren Zeile rückt um mindestens eine Position nach rechts, und links davon stehen nur Nullen. Für die Lösung des Lgs ergibt sich daraus Folgendes. (1) Das Lgs ist lösbar genau dann, wenn c r +1 =.. = c m = 0. (2) Ist das Lgs lösbar, so sind durch sukzessives Lösen der Zsf von unten nach oben die r Koordinaten mit einem Faktor eindeutig bestimmt, während alle übrigen n r Koordinaten als Parameter frei gewählt werden können. (3) Ist insbesondere r = n, so hat das Lgs eine eindeutige Lösung. Dasselbe Beispiel nochmal Die erweiterte Koeffizientenmatrix ist Mit Z 2 Z 1 und Z 3 2Z 1 und im nächsten Schritt Z 3 Z 2 ergibt sich , Die Zeilenstufenform hat also die Gestalt Diese lösen wir nun wie zuvor. Noch ein Beispiel Gegeben ist (c)-machobs:

25 Lineare Gleichungssysteme 13-c 273 x 1 + x 2 + x 3 = 3, x 1 x 2 x 3 = 6, 2x 1 + 7x 2 + 7x 3 = 1, oder Mit Z 2 Z 1 und Z 3 2Z 1 und im nächsten Schritt Z 3 + (5/2)Z 2 erhält man , /2 Die Zeilenstufenform hat also die Gestalt 0, somit ist dieses Lgs unlösbar. Ersetzen wir aber die rechte Seite durch den Vektor (3, 5, 1), so ergibt sich mit denselben Schritten und , Die Zeilenstufenform hat hier die Gestalt 0 Somit ist x 3 ein freier Parameter, und die allgemeine Lösung lautet 4 x = 1 λ, λ R. λ Auch dies sollte man natürlich durch Einsetzen überprüfen. (c)-machobs: 13.25

26 Analytische Geometrie Ein weiteres Beispiel Die Gleichung x 1 + 2x 2 5x 3 = 5 ist ein Lgs mit einer Gleichung für drei Unbekannte. Ihre Zeilenstufenform ist ( ). Somit fungieren x 2 und x 3 als reelle Parameter λ und µ, und die allgemeine Lösung lautet 5 2λ + 5µ x = λ, λ, µ R. µ Der Rang Die Anzahl r der Pivotelemente in der Zsf spielt also eine entscheidende Rolle. Man nennt sie den Rang der Matrix A, geschrieben r = rang A. Aufgrund dieser Definition gilt offensichtlich rang (a ij ) m,n min(m, n). Tatsächlich ist dieser Rang aber unabhängig vom Eliminationsverfahren und der Zsf wohldefiniert, wie wir noch sehen werden. Die Lösbarkeit eines Lgs kann man dann durch die Bedingung rang A = rang (A b) charakterisieren. Denn erstens ändern sich die Ränge nicht durch elementare Operationen, und zweitens gilt diese Identität dann und nur dann, wenn in (4) die Zeilen r + 1,.., m kein weiteres Pivotelement enthalten und dies entspricht genau der Bedingung c r +1 =.. = c m = 0. 6 Satz über lineare Gleichungssysteme Sei A R m n, b R m. Dann ist das Lgs Ax = b lösbar genau dann, wenn rang A = rang (A b). In diesem Fall besitzt die allgemeine Lösung n rang A freie Parameter (c)-machobs:

27 Lineare Gleichungssysteme 13-c 275 Man kann den Rang r einer Matrix A, also die Anzahl ihrer Pivotelemente, interpretieren als die Anzahl ihrer unabhängigen Zeilen und damit Gleichungen im homogenen System Ax = 0. Alle anderen Gleichungen lassen sich aus diesen linear kombinieren und stellen deshalb keine neuen Gleichungen dar. Ist nun rang A < rang (A b), so besitzt das inhomogene System mehr unabhängige Gleichungen als das homogene System. Wir haben damit mehr unabhängige Gleichungen als Unbekannte und damit ein unlösbares, überbestimmtes System. Ist es dagegen lösbar, aber r < n, so haben wir weniger unabhängige Gleichungen als Unbekannte und damit ein unterbestimmtes System. Es bleiben dann n r > 0 Koordinaten als Parameter frei wählbar. Dieser Fall tritt immer Fall auf, wenn m < n. Ein homogenes Lgs Ax = 0 hat natürlich immer die triviale Lösung x = 0, es ist also immer lösbar. Ist m > n, so ist dies im Allgemeinen auch die einzige Lösung. Ansonsten geht es nur noch um die Frage der freien Parameter, also die Dimension des Raumes {x : Ax = 0}. Dazu später mehr. (c)-machobs: 13.27

28 13.28 (c)-machobs: