Ausgewählte Lösungen zu den Übungsblättern 4-5

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1 Fakultät für Luft- und Raumfahrttechnik Institut für Mathematik und Rechneranwendung Vorlesung: Lineare Algebra (ME), Prof. Dr. J. Gwinner Ausgewählte en zu den Übungsblättern -5 Aufgabe, Lineare Unabhängigkeit (i) Gegeben sei der Vektorraum V = R und das System S = {a, a } mit a = (,, ) T und a = (,, ) T. (i) Ist das System S linear unabhängig? (i) Finden sie ein a V, welches sich nicht aus a, a linear kombinieren läßt. (i) Ergänzen sie S zu einer Basis von V. Es sei das linear unabhängige System {v, v, v } eines reellen Vektorraumes V gegeben. Zeigen sie, dass {v + v, v + v, v + v } dann ebenfalls linear unabhängig ist. Es gelte dim V =. Ist {v + v, v + v, v + v } dann auch eine Basis von V? (i) Wir prüfen die lineare Unabhängigkeit: Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum mit dim V n. Die Vektoren v,..., v n V heißen linear unabhängig genau dann, wenn die Implikation λ v λ n v n = = λ =... = λ n = gilt. Anderenfalls heißen sie linear abhängig. Die Gleichung λ a + λ a = liefert sofort λ = λ = und damit die lineare Unbhängigkeit von a und a. (i) Die Menge aller Linearkombinationen von a und a ist die Ebene E = { x R : x = s a + t a ; s, t R }. Sie ist die lineare Hülle von a und a. Ein Vektor welcher nicht in dieser Ebene liegt, ist demnach linear unabhängig von a, a. Wie z. B. a = (,, ). Mit anderen Worten: das Gleichungssystem ( ) x = x hat keine. (i) Wir haben dim V =. Nach (a), (b) ist {a, a, a } ein aus drei Vektoren bestehendes, linear unabhängiges System und somit eine Basis von V. Beweis: Eine Basis ist per Definition ein vollständiges, linear unabhängiges System. Die lineare Unabhängigkeit von {a, a, a } folgt aus den Teilen (a) und (b). Die Vollständigkeit - D. h. Alle x R lassen sich als Linearkombination x = indirekt beweisen. i= λ i a i von {a, a, a } darstellen. - werden wir

2 Annahme: Das linear unabhängige System {a, a, a } ist nicht vollständig. Mit dieser Annahme gibt es also ein x R, welches sich nicht als Linearkombination von {a, a, a } darstellen läßt. Damit hat das Gleichungssystem x = λ i a i bzw. x = A λ mit A = ((a ) (a ) (a )) und λ = (λ, λ, λ ) T i= keine λ. Die Matrix A ist also singulär und {a, a, a } somit linear abhängig. Dies ergibt einen Widerspruch zur Voraussetzung. D. h. {a, a, a } ist vollständig. Wir prüfen die Aussage mit der Definition der linearen Unabhängigkeit. Setze λ (v + v ) + λ (v + v ) + λ (v + v ) =. Ein Sortieren der Koeffizienten λ i, i =,, nach den Vektoren v, v, v ergibt (λ + λ ) v + (λ + λ ) v + (λ + λ ) v =. Vor. = λ + λ = λ + λ = λ + λ = Wir erhalten λ = λ = λ = und damit die Behauptung. Falls {v, v, v } nun eine Basis von V (dim V = ) ist, so ist {v + v, v + v, v + v } ebenfalls eine Basis von V. Beweis: Mit dem obigen Nachweis ist {v + v, v + v, v + v } linear unabhängig. Nach (i)(c) wissen wir, dass jedes aus n Vektoren bestehende, linear unabhängige System eines n-dimensionalen Vektorraumes vollständig ist. Dies sind genau die definierenden Eigenschaften einer Basis. Aufgabe, Problem der überflüssigen Vektoren Wählen Sie, falls möglich, unter den sechs Vektoren,, 5, eine Basis für R (Begründung) aus. Drücken Sie jeden Vektor, der nicht zur Basis gehört, als Linearkombination der Basisvektoren aus. Wir bilden die R- Matrix R =, 9 Die erste, zweite und fünfte Pivotspalte bilden eine Basis. Also die entsprechenden Spaltenvektoren,, bilden eine Basis in R. Wir drücken die letzte Nichtbasisspalte als Linearkombination der Basisvektoren aus. Basisvariable sind x, x, x 5, freie Variable sind x, x, x 6. Setze x = x = und x 6 = in Rx = und wir bekommen das Gleichungssystem x x + x 5 = x x 5 = x 5 =., x = 9, x = 9, x 5 =.

3 Hieraus folgt, dass 6. Spalte = Aufgabe, Invertierbarkeit und lineare Unabhängigkeit Sei A R n n. Beweisen Sie die Äquivalenz der folgenden Ausssagen: (i) (iii) (iv) A ist invertierbar. Die Spaltenvektoren von A sind linear unabhängig. Die Zeilenenvektoren von A sind linear unabhängig. Das lineare Gleichungssystem A x = b ist für alle b R n eindeutig lösbar. Beweis (i) Betrachte A λ = (i) = A A λ = = λ =. Damit ist gezeigt. (iv) Die Spaltenvektoren von A sind linear unabhängig und bilden damit eine Basis von R n (siehe z.b. Nipp/Stoffer: Lineare Algebra S. 8 Satz.). D.h. jeder Vektor b R n läßt sich linear aus Spaltenvektoren von A kombinieren. Also:! x R n : b = A x Betrachte damit A x = b = A(x x) = x = x löst eindeutig das System A x = b. = x x = ist die einzige = (iv) (i) A x = b ist eindeutig lösbar. D.h. wir haben (ohne Beschränkung der Allgemeinheit) die Zerlegung A = L R mit r ii ; i n bei R = (r ij ) i,j n. L und R sind als Produkte von Elementarmatrizen invertierbar. Für die Inverse von A folgt dann A = R L. (iii) Nach der obigen Implikationskette sind die Aussagen (i), und (iv) äquivalent. Wir haben also: = A ist invertierbar = A T ist invertierbar Betrachte A T λ = = (A T ) A T λ = = λ =. Damit ist (iii) gezeigt. Die umgekehrte Richtung (iii) folgt analog indem wir die die Äquivalenz von (i), und (iv) für A T verwenden. Aufgabe, Rangkriterien für die Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme Mithilfe der Rangkriterien untersuchen Sie für welchen Wert von t ist das Gleichungssystem lösbar? Wir bilden die R- Matrix und die neue rechte Seite b = x + x x = x + tx + x = 5 7x + x + x = 8 R =. t 9 Falls t 9 = d.h. t = ist der Rang (A) = und das Gl. System Ax = b hat keine,

4 da die neue drite Komponenete von b ( b neu = ) ungleich Null ist. In diesem Fall gilt Falls t, dann gilt und das Gl. System ist eindeutig lösbar. Rang(A, b) = > Rang(A) =. Rang(A) = Rang(A, b) = Übungsblatt 5, Aufgabe Seien N (A), B(A), N (A T ), B(A T ) die vier fundamentalen Unterräume von A R m n. (a) Bezüglich welcher Vektorräume werden diese Unterräume gebildet? Begründen sie, dass es sich bei den obigen Mengen tatsächlich um Unterräume handelt. (b) Bestimmen sie zu A = die fundamentalen Unterräume und geben sie die folgenden Summen und Schnitte (a) Es gilt: N (A) + B(A T ), N (A) B(A T ) N (A T ) + B(A), N (A T ) B(A) an. N (A) = {x R n : A x = } R n, B(A) = {y R m : y = A x, x R n } R m () N (A T ) = { x R m : A T x = } R m, B(A T ) = { y R n : y = A T x, x R m} R n. () Die Stabilität dieser Mengen bezüglich der Addition und der Multiplikation mit Skalaren folgt direkt aus der Linearität der Abbildung α(x) := A x. Damit handelt es sich um Unterräume von R n bzw. R m. (b) Mit der gegebenen Matrix A und den Darstellungen in () und () erhalten wir: N (A) = N (A T ) = s s 5 + t s, B(A) = ; s R, B(AT ) = s + t + t Dabei sind B(A) bzw. B(A T ) die Mengen aller Linearkombinationen der Spalten von A bzw. A T, und N (A) bzw. N (A T ) die smengen der zu A bzw. A T gehörigen homogenen linearen Gleichungssysteme. Die aufspannenden Vektoren von N (A), B(A T ) und N (A T ), B(A) bilden linear unabhängige Systeme. Damit folgt: N (A) + B(A T ) = R, N (A) B(A T ) = N (A T ) + B(A) = R, N (A T ) B(A) =..

5 Übungsblatt 5,. Zusatzaufgabe. Die lineare Abbildung A : R R sei durch x A x mit A = gegeben. (a) Bestimmen sie alle Fixpunkte von A. D. h. alle x R mit A x = x. (b) Welche linearen Abbildungen verfügen nur über den trivialen Fixpunkt x =? (c) Man konstruiere eine lineare Abbildung B : R R, deren Fixpunktraum -dimensional ist. (a) Das Gleichungssystem A x = x ist äquivalent zum homogenen Gleichungssystem (A I) x =. Mit A I = erhalten wir den folgenden Fixpunktraum (D. h. den sraum von (A I) x = ) von A. F = x R : x = s ; s R. (b) Nach obigen Betrachtungen ist die Frage gleichbedeutend mit: Für welche Matrizen A I verfügt das LGS (A I) x = nur über die triviale x =? Dies ist genau dann der Fall, wenn A I invertierbar ist. (c) Eine lineare Abbildung mit -dimensionalem Fixpunktraum F ist z. B. durch die Matrix B = gegeben. Für den sraum von (B I) x = (also den Fixpunktraum von B) erhalten wir dann F = x R : x = s + t, also einen -dimensionalen Unterraum des R. Bemerkung Nach dem Dimensionssatz (siehe Vorlesungsskript S. 5) haben alle linearen Abbildungen B : R R bei denen der Rang der zugehörigen Matrix B I gleich ist, einen -dimensionalen Fixpunktraum. r + dim (N (B I)) =. Dabei ist dim (N (B I)) die Dimension des Kerns der linearen Abbildung B I, also des sraumes von (B I) x =.