Vektorräume. Kapitel Definition und Beispiele

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1 Kapitel 3 Vektorräume 3.1 Definition und Beispiele Sei (V,,0) eine abelsche Gruppe, und sei (K, +,, 0, 1) ein Körper. Beachten Sie, dass V und K zunächst nichts miteinander zu tun haben, deshalb sollte man auch (zumindest zu Beginn) sorgfältig darauf achten, dass die binären Verknüpfungen in V und K sowie die entsprechenden neutralen Elemente verschieden sind. Wir nehmen an, dass es noch eine weitere binäre Verknüpfung gibt, und zwar zwischen Elementen aus V und K so, dass das Ergebnis wieder ein Element aus V ist. Die Verknüpfung ist also eine Abbildung : V K V (v, λ) v λ Die Menge V wird zu einem K-Vektorraum, wenn die so genannte Skalarmultiplikation folgende Eigenschaften hat: [S1] v 1 = v v V. [S2] v (λ 1 λ 2 ) = (v λ 1 ) λ 2 v V, λ 1, λ 2 K. [S3] (v 1 v 2 ) λ = (v 1 λ) (v 2 λ) v 1, v 2 V, λ K. [S4] v (λ 1 + λ 2 ) = (v λ 1 ) (v λ 2 ) v V, λ 1, λ 2 K. Die Elemente aus V heißen Vektoren, die Elemente aus K Skalare. Wir werden Skalare meistens mit Griechischen Buchstaben bezeichnen, Vektoren mit Lateinischen Buchstaben. Beachten Sie, dass wir die Skalare von rechts an die Vektoren multiplizieren. 46

2 Beispiel (1.) Der in dieser Vorlesung wohl wichtigste Vektorraum ist x 1 K n x 2 = {. : x 1,..., x n K} x n die Menge aller n-tupel von Elementen aus K. Nun ist das zunächst nur eine Menge, auf der keine Verknüpfung definiert ist. Das kann aber leicht nachgeholt werden: x 1 y 1 x 1 + y 1 x 2. y 2. := x 2 + y 2. x n y n x n + y n sowie x 1 x 1 λ x 2. λ := x 2 λ. x n x n λ Man muss jetzt nachrechnen, dass die Menge K n mit diesen Verknüpfungen wirklich zu einem Vektorraum wird. Das ist sehr einfach! (2.) Die Menge K (m,n) der m n-matrizen ist ebenfalls ein K-Vektorraum: Die Addition von Matrizen wurde bereits erklärt, die Skalarmultiplikation ist definiert durch α 1,1 α 1,n.. α m,1 α m,n λ = α 1,1 λ α 1,n λ... α m,1 λ α m,n λ Als Vektorraum betrachtet sind K m n und K (m,n) fast identisch. Das werden wir später präzisieren. (3.) Wir bezeichnen mit m K[x] := { c i x i : c i K, m N} i=0 die Menge aller Polynome über K. Beachten Sie, dass m hier nicht fest gewählt ist. Ist f = m i=0 c ix i, so heißt max{i : c i 0} der Grad des Polynoms f. Das Nullpolynom (alle c i = 0) hat demnach keinen Grad; manchmal sagt man, das Nullpolynom habe den Grad. Zwei Polynome m i=0 c ix i und n i=0 d ix i heißen gleich, wenn sie denselben Grad g haben und c i = d i für alle i g gilt. 47

3 Wir können K[x] zu einem K-Vektorraum machen: sowie m c i x i i=0 n m d i x i = (c i + d i )x i i=0 m c i x i λ = i=0 i=0 m (c i λ)x i. Bemerkung zur Addition: Wenn wir m i=0 c ix i und n i=0 d ix i mit n < m addieren wollen, so setzen wir einfach c i = 0 für m i > n. Als K-Vektorraum können wir K[x] auch wie folgt erklären: Dieser Vektorraum besteht aus allen Tupeln (c 0, c 1, c 2,...) wobei c i 0 für nur endlich viele i gilt (alle abbrechenden Folgen). Wir haben also keine Folgen mit unendlich vielen Einträgen 0. Sie können aber auch den Vektorraum aller nicht abbrechenden Folgen i=0 (c 0, c 1, c 2,...) definieren. Dieser Vektorraum wird mit K[[x]] bezeichnet, eine intuitive Notation dafür wäre etwa K[[x]] = { c i x i : c i K} i=0 Hier muss man aber aufpassen: Wir haben nur eine formale Summe f = i=0 c ix i und wir setzen für x nichts ein, d.h. wir werten f nicht an irgendeiner Stelle x aus. Das können wir ja auch nicht, denn unendliche Summen gibt es bei uns in der linearen Algebra nicht! Das geht nur in der Analysis, wo man Begriffe wie Konvergenz kennt. Wenn wir uns aber auf Polynome, d.h. K[x] beschränken, so können wir sehr wohl für x etwas einsetzen, nämlich z.b. irgendwelche Elemente aus K. So können wir aus jedem Polynom auch eine Abbildung K K machen. Polynome sind aber nicht dieselben Objekte wie solche Polynomabbildungen, weil zu verschiedenen Polynomen dieselben Abbildungen gehören können: Das Polynom f = x 2 + x F 2 [x] beispielsweise liefert bei Einsetzung der Elemente aus F 2 stets den Wert 0, aber f ist nicht das Nullpolynom. (4.) Sei S eine beliebige Menge. Die Menge Abb(S; K) = {f : f ist Abbildung S K} ist zusammen mit der folgenden Addition und Skalarmultiplikation ein K-Vektorraum. Die Addition auf Abb(S; K) ist f g : S K s f(s) + g(s) 48

4 und die Skalarmultiplikation f λ : S K s f(s) λ Lemma In einem K-Vektorraum gilt für alle v V : 1. v 0 = 0; 2. v 1 = v; 3. v λ = 0 v = 0 oder λ = 0; 4. v ( 1) = v. Wir wollen in diesem Kapitel abschließend noch den Begriff der Linearkombination definieren: Definition Sei V ein K-Vektorraum, und sei S V. Dann heißt ein Vektor v eine Linearkombination von Vektoren aus S, wenn es v 1,..., v n S und Skalare λ 1,...λ n gibt mit v = n v i λ i. i=1 3.2 Unterräume Wir wollen ab jetzt die Skalarmultiplikation mit und die Vektoraddition mit + bezeichnen, genauso wie die Verknüpfungen auf dem Körper K. Aus dem Zusammenhang geht jedoch stets hervor, ob es sich beispielsweise um die Addition von Körperelementen oder die Addition von Vektoren handelt. Definition Sei V ein K-Vektorraum. Eine Teilmenge U V heißt ein Unterraum von V, falls gilt: [UV1] U { }. [UV2] Für alle v, w U gilt v + w U. [UV3] Für alle v U und λ K gilt v λ U. [UV2] bedeutet Abgeschlossenheit bezüglich der Addition, [UV3] ist die Abgeschlossenheit bzgl. der Skalarmultiplikation. Bezeichnung U V. 49

5 Lemma Ein Unterraum ist ein Vektorraum. Beweis Weil die Addition und Skalarmultiplikation aus V vererbt (induziert) ist, gelten sicherlich die notwendigen Assoziativ- und Distributivgesetze. Ferner ist durch die induzierte Verknüpfung eine binäre Verknüpfung auf U erklärt, genauer: + : U U U und : U K U Zu zeigen ist, dass das additiv Inverse u von u U auch in U liegt, und dass 0 U gilt. Nun ist u = u ( 1), also u U wegen [UV3]. Ebenso gilt 0 = u 0, also 0 U. Beispiel (1.) {0} und V sind (triviale) Unterräume von V. (2.) K[x] K[[x]]. (3.) Sei V = R 3. Wir betrachten die folgenden Teilmengen W von V (dabei ist x = x 1 ): x 2 x 3 (1.) W := {x R 3 : x 1 + x 2 x 3 = 0} (2.) W := {x R 3 : x 1 + x 2 x 3 = 1} (3.) W := {x R 3 : x 1 + 3x 2 = 0, x 2 5x 3 = 0} (4.) W := {x R 3 : x 3 1 x2 2 = 0} (5.) W := {x R 3 : x 1 x 2 0} Man rechnet nach, dass nur die Beispiele (1) und (3) Unterräume sind. Die wichtigste Klasse von Unterräumen sind die Lösungsmengen homogener Gleichungssysteme: Beispiel Sei A K (m,n). Dann ist W = {x K n : Ax = 0} ein Unterraum von K n. Der Schnitt von beliebigen Unterräumen ist wieder ein Unterraum. Die Vereinigung von Unterräumen ist im allgemeinen kein Unterraum: Satz Sei W i, i I, eine Familie von Unterräumen von V. Dann ist W := i I W i ein Unterraum von V. 50

6 Beweis Klar ist 0 W, also W { }. Zu [UV2]: Ist u, v W, so gilt nach Definition von W sogar u, v W i für alle i I, und damit u + v W i für alle i I, somit u + v W. Man zeigt uλ W für u W genauso. Es sei auf folgendes hingewiesen: Die hier gemachte Behauptung ist stärker als die Behauptung U 1 U 2 ist Unterraum für zwei Unterräume U 1 und U 2. Aus dieser Behauptung könnten wir nämlich nicht folgern, dass der Schnitt über beliebige Familien von Unterräumen wieder ein Unterraum ist. Die Frage ist, ob denn in der Praxis solche Schnitte vorkommen. Ja, sie kommen sehr wohl vor: Definition Sei S V. Dann heißt S := T der von S erzeugte Unterraum. S T V Der hier definierte Unterraum heißt auch das Erzeugnis von S. Das es wirklich ein Unterraum ist, folgt aus Satz Es ist der kleinste S umfassende Unterraum! Es gibt eine andere Möglichkeit, das Erzeugnis von S zu beschreiben: Satz Ist S V eine nicht-leere Teilmenge von V, so besteht S aus allen Linearkombinationen von S. Beweis (Skizze) Man überlegt sich zunächst, dass alle Linearkombinationen von S in S liegen müssen. Dann zeigt man, dass die Menge aller Linearkombinationen einen Vektorraum bilden, der natürlich S umfaßt. Damit ist die Menge der Linearkombinationen von S der kleinste S umfassende Unterraum. Sind W 1,..., W k Unterräume von V, so nennt man den von k i=1 W i erzeugten Unterraum die Summe W 1 + W W k. Man kann zeigen: Satz Sind W i Unterräume von V, i = 1,...k, so gilt W W k = {w 1 + w w k : w i W i }. Beweis Wie Beweis von Satz Definition Sei U ein Unterraum von V. Dann heißen die Nebenklassen U +x := {u+x : u V } affine Unterräume. Wir wollen auch die leere Menge als einen affinen Unterraum bezeichnen. 51

7 Satz Sei A K (m,n). Dann ist W = {x K n : Ax = b} ein affiner Unterraum U +v von K n. Dabei ist U der Lösungsraum des homogenen Systems Ax = 0, und v ist eine beliebige Lösung des inhomogenen Systems W = {x K n : Ax = b}. Dieser Satz bedeutet: Die allgemeine Lösung eines inhomogenen linearen Gleichungssystems ist die Lösung des homogenen Systems plus einer (beliebigen) speziellen Lösung des inhomogenen Systems. Lemma Zwei affine Unterräume U + x und U + y sind gleich oder disjunkt. Beweis Angenommen v (U + x) (U + y), z.b. v = u + x = u + y. Ferner sei u + x ein beliebiger Vektor in U + x. Dann gilt u + x = u + u u + y, also u + x U + y. Die affinen Unterräume U + x bilden eine Zerlegung von V. Wir haben gelernt, dass zu dieser Zerlegung eine Äquivalenzrelation gehört. Diese Äquivalenzrelation kann man wie folgt angeben: Satz Ist U ein Unterraum von V, so ist die Relation auf V mit u v u v U eine Äquivalenzrelation auf V. Die Äquivalenzklassen sind die affinen Unterräume U + x. Beweis Es genügt zu zeigen: u v U u, v U + x für ein x V. Sei also u v U. Dann u, v U + v, was zu zeigen war. Die Umkehrung ist klar. Bemerkung Das hier beschriebene Vorgehen funktioniert in beliebigen abelschen Gruppen mit beliebigen Untergruppen. Die Menge der Nebenklassen von U bezeichnet man als V/U (V modulo U). Man kann V/U zu einem Vektorraum machen, den man den Faktorraum nennt: Satz Sei V ein K-Vektorraum und U ein Unterraum von V. Dann ist V/U ein K-Vektorraum, wenn die Addition und die Skalarmultiplikation wie folgt definiert wird: Addition: (U + x) (U + y) := U + (x + y) für alle x, y V Skalarmultiplikation: (U + x) λ := U + xλ für alle x V, λ K. Beweis Machen Sie sich klar, dass man nur die Wohldefiniertheit der Verknüpfung zeigen muss. Die Rechenregeln gelten, weil die Regeln schon für V gelten. 52

8 3.3 Basis, lineare (Un)abhängigkeit, Dimension Das Material dieses Kapitels gehört zu den Herzstücken einer jeden LAAG Vorlesung und ist extrem beliebter Prüfungsstoff (in praktisch jeder mündlichen Prüfung wird danach gefragt). Definition Sei S = (v i ) i I eine Familie von Vektoren in V. Dann heißt S linear abhängig, falls es eine endliche Teilmenge J I und Skalare λ i (i J) gibt mit v i λ i = 0, i J wobei nicht alle λ i gleich 0 sind. Andernfalls heißt S linear unabhängig. Wir nennen eine Menge S von Vektoren linear abhängig, falls es eine endliche Teilmenge {v 1,..., v n } S und Skalare λ 1,..., λ n gibt mit n v i λ i = 0, i=1 wobei nicht alle λ i gleich 0 sind. Andernfalls heißt die Menge S linear unabhängig. Bemerkung (1.) Wenn die Vektoren (v i ) i I in der Familie S paarweise verschieden sind, dann ist die Familie S genau dann linear unabhängig, wenn die Menge {v i : i I} linear unabhängig ist. Wenn aber v i = v j für i j gilt, so ist die Familie (v i ) i I sicherlich linear abhängig, die Menge {v i : i I} kann aber linear unabhängig sein. (2.) Teilmengen linear unabhängiger Mengen sind linear unabhängig. (3.) Ist S linear abhängig und S T, so ist auch T linear abhängig. (4.) Eine Menge S ist genau dann linear unabhängig, wenn alle endlichen Teilmengen linear unabhängig sind. Definition Eine Teilmenge S V mit S = V heißt Erzeugendensystem von V. Ein linear unabhängiges Erzeugendensystem ist eine Basis. Ein Erzeugendensystem S heißt minimal, wenn S \ {v} für alle v S kein Erzeugendensystem mehr ist. Wir nennen eine Menge S eine maximal linear unabhängige Menge, wenn S {v} linear abhängig ist für alle v / S. Hat ein Vektorraum eine endliche Basis, so heißt er endlichdimensional. Ein Vektorraum heißt endlich erzeugt, wenn er ein endliches Erzeugendensystem besitzt. 53

9 Im folgenden Satz benötigen wir das folgende Lemma: Lemma Sei S V eine linear unabhängige Teilmenge von V. Ist v / S, so ist auch S {v} linear unabhängig. Beweis Angenommen, S {v} ist linear abhängig. Dann gibt es v i S {v} und Skalare λ i, i = 1,...n so, dass nicht alle λ i gleich 0 sind, und n i=1 v iλ i = 0. Dann muss offenbar v {v 1,..., v n } gelten, z.b. v 1 = v, da andernfalls S linear abhängig wäre. Ferner ist aus demselben Grund λ 1 0. Also gilt und v S, ein Widerspruch. v 1 = n j=2 v j λ j λ 1 Satz Sei S = {v i : i I} V eine Teilmenge des Vektorraums V. Dann sind die folgenden Bedingungen gleichwertig: 1. S ist ein minimales Erzeugendensystem. 2. S ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem. 3. S ist eine maximal linear unabhängige Menge. 4. S ist eine Basis. 5. Jeder Vektor v V hat eine eindeutige Darstellung als Linearkombination von S, d.h. es gibt eindeutig bestimmte Skalare λ i mit v = i I v iλ i, wobei nur endlich viele λ i 0 sein dürfen (andernfalls ist die Summe gar nicht erklärt!). Beweis siehe Vorlesung. Bemerkung (1.) Ist S linear unabhängig, so ist S eine Basis von S. (2.) Die kanonische Basis von K n besteht aus den Vektoren {e 1,..., e n }, wobei e i = γ 1.. ist mit γ j = 0 für i j und γ i = 1. γ n Korollar Jeder Vektorraum mit einem endlichen Erzeugendensystem hat eine endliche Basis, ist also endlichdimensional. Wie sieht es mit Vektorräumen aus, die nicht endlich erzeugt sind. Man könnte versuchen, von einem großen Erzeugendensystem, nämlich V, nach und nach Elemente wegzunehmen, so dass man eine nicht mehr verkleinerbare Menge erhält. Dass das gut geht, kann man mit Hilfe des Zornschen Lemmas beweisen. Wir wollen hier darauf nicht eingehen, sondern nur festhalten: 54

10 Satz Jeder VR hat eine Basis. Wir wollen nun zeigen, dass die Mächtigkeiten zweier Basen in endlich erzeugten VR en gleich sind. Satz Sei V ein VR mit Erzeugendensystem S = {v 1,..., v m }. Ist T eine linear unabhängige Teilmenge von V, so gilt T m. Beweis Sei T = {w 1,..., w n } eine n-elementige Teilmenge von V mit n > m. Wir wollen zeigen, dass diese Menge dann linear abhängig sein muss. Weil S ein Erzeugendensystem ist, gibt es α i,j, i = 1,...,m und j = 1,...n so, dass Ferner gilt w j = m α i,j v i. i=1 n w j λ j = j=1 = n m α i,j λ j v i j=1 i=1 m n ( α i,j λ j )v i. i=1 j=1 Wegen m < n gibt es Skalare λ j mit n α i,j λ j = 0 j=1 für i = 1,...,n (Gleichungssystem mit m Gleichungen und n Unbekannten, m < n, siehe Satz 2.8.1), wobei nicht alle λ j gleich 0 sind. Damit haben wir gezeigt, dass {w 1,...,w n } linear abhängig ist. Korollar In endlichdimensionalen Vektorräumen sind je zwei Basen gleichmächtig. Definition Die Mächtigkeit der Basis eines endlichdimensionalen Vektorraumes heißt die Dimension des Vektorraumes. Bezeichnung: dim(v ). Wir wollen uns jetzt mit den Dimensionen von Unterräumen beschäftigen. Es folgt aus Lemma 3.3.4: Satz Sei V ein endlichdimensionaler Vektorraum. Ist U V, so gilt dim(u) dim(v ). 55

11 Satz Jede nichtleere Menge S linear unabhängiger Vektoren in einem endlichdimensionalen Vektorraum V kann zu einer Basis ergänzt werden, d.h. es gibt T V so, dass S T eine Basis ist. Satz Seien W 1 und W 2 Unterräume eines endlichdimensionalen Vektorraums V. Dann gilt die folgende Dimensionsformel: dim(w 1 ) + dim(w 2 ) = dim(w 1 W 2 ) + dim(w 1 + W 2 ). Beweis siehe Vorlesung. 3.4 Rang einer Matrix Die folgende Frage ist bislang offen geblieben: Wenn A und B zeilenreduziert und zeilenäquivalent sind, müssen dann A und B gleich viele Zeilen 0 haben? Dazu bezeichnen wir den Unterraum von K n, der von den Zeilen einer Matrix A K (m,n) erzeugt wird, den Zeilenraum von A. Achtung: Wir interpretieren Vektoren hier als Zeilenvektoren, nicht, wie sonst, als Spaltenvektoren. Satz Zeilenäquivalente Matrizen haben denselben Zeilenraum. Ist R in zeilenreduzierter Normalform, so bilden die Zeilen von R eine Basis des Zeilenraums von R. Beweis Nach Konstruktion sind die Zeilen einer Matrix in zeilenreduzierter Normalform linear unabhängig, bilden also eine Basis. Korollar Sind A und B zwei zeilenäquivalente Matrizen in zeilenreduzierter Normalform, so haben sie gleich viele Zeilen 0. Definition Sei A eine Matrix, die äquivalent zu einer Matrix R in zeilenreduzierter Form ist. Die Anzahl der Zeilen 0 in R heißt der Rang von A. Korollar Ist A K (m,n), so ist der Vektorraum U der Lösungen von Ax = b ein Unterraum von K n der Dimension n Rang(A). Beweis Sei R in zeilenreduzierter Normalform und äquivalent zu A. Die Pivotelemente seien an den Positionen (i, j i ), i = 1,...,r. Setze J = {1,...,n} \ {j 1,...,j r }. Das Gleichungssystem sieht also jetzt wie folgt aus: x j1 + j J γ 1,j x j = 0 x j2 + j J γ 2,j x j = =... x jr + j J γ r,j x j = 0 56

12 Die x i mit i J können beliebig gewählt werden; die x i mit i / J sind dadurch eindeutig bestimmt. Also sind die n r Vektoren, die wir erhalten, wenn wir genau ein x i0 = 1 setzen (i 0 J) und die anderen x i = 0 mit i J \ {i 0 }, eine Basis des Lösungsraums. Wir wollen jetzt zeigen, dass A zu genau einer Matrix R in zeilenreduzierter Normalform äquivalent ist. Das rechtfertigt den Begriff Normalform. Satz Eine Matrix A K (m,n) ist zu genau einer Matrix R in zeilenreduzierter Form zeilenäquivalent. Beweis Die Zeilen 0 von R seien v 1,...,v r, die Pivotelemente treten an den Stellen (i, j i ), i = 1,...,r, auf. Sei b = (β 1,..., β n ) ein Vektor im Zeilenraum von A. Es gilt r b = v i β ji. i=1 Das zeigt, dass der erste Eintrag 0 in b an einer Stelle j 1,... j r auftritt. Deshalb sind die j i eindeutig bestimmt. Im Zeilenraum von R gibt es genau einen Vektor mit β ji0 = 1 und β ji = 0 für i i 0. Dieser Vektor muss die Zeile v i0 von R sein, also ist R eindeutig bestimmt. Korollar Matrizen mit gleichen Zeilenräumen sind zeilenäquivalent. Beweis Seien A und B zwei Matrizen, die zu den Matrizen R und S in Normalform zeilenäquivalent sind. Weil R und S identische Zeilenräume haben, müssen sie (siehe Beweis oben) identische Normalformen haben, also gilt R = S. 3.5 Koordinaten Wir haben bislang die Vektorräume koordinatenfrei behandelt. Wir wollen nun zeigen, wie man einen Vektorraum der Dimension n mittels einer geordneten Basis B = (b 1,..., b n ) koordinatisieren kann. Ist v V, so wissen wir, dass es eindeutig bestimmte Skalare λ 1,..., λ n gibt mit n v = v i λ i. i=1 Wir nennen die λ i die Koordinaten von v bzgl. der Basis B. Bezeichnung: λ 1 λ 2 [v] B =.. λ n 57

13 Ist B = (e 1,... e n ) die kanonische Basis bestehend aus den Einheitsvektoren, so gilt x 1 x 1 [.. ] B =... x n x n Aber eine andere geordnete Basis in R 3 ist z.b. C = ( 1 1, 2 0, 3 1 ) Dann ist mit [ 2 2 ] C = λ 1 λ 2 1 λ 3 λ 1 + 2λ 2 + 3λ 3 = 2 λ 1 + λ 3 = 2 λ 2 + 2λ 3 = 1 Wir lösen dieses Gleichungssystem und erhalten Seien B und C zwei geordnete Basen λ 3 = 1, λ 2 = 1, λ 1 = 1. B = (b 1,..., b n ) C = (c 1,..., c n ) eines n-dimensionalen Vektorraums. Wir definieren die Matrix M B C = (α i,j) in K (n,n), wobei die α i,j so definiert sind, dass gilt. α 1,i. α n,i = [b i ] C (3.1) Satz Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum. Dann gilt für alle v V : M B C [v] B = [v] C. 58

14 Beweis Sei und [v] B = λ 1. λ n M B C = (α i,j ), wobei die α i,j durch (3.1) erklärt sind, also n b i λ i = v. i=1 Dann ist Nun gilt wegen (3.1) Wir erhalten i α 1,iλ i M B C [v] B =. i α n,iλ i v = i α j,i c j = b i. j b i λ i = i,j c j α j,i λ i. Der Koeffizient von c j ist also i λ iα j,i, was zu zeigen war. Beispiel Sei B = ( 0 1, 2 3, 1 1 ) und C = ( 1 1, 0 1, 1 1 ) Man rechnet nach (Lösung eines linearen Gleichungssystems!): [ 0 1 ] C = 6 [ 2 3 ] C = 0 [ 1 1 ] C = 3 1 1, 1 1 1,

15 Die Transformationsmatrix ist also M B C = Wir überprüfen dies an einem Beispiel: Sei v = 3 2, dann ist 15 [v] B = Der Koordinatenvektor [v] C bzgl. der Basis C ist also M B C [v] B = Die Korrektheit diese Ergebnisses kann man leicht nachrechnen. Korollar M B C MC B = I. Beweis Es gilt M B C [v] = [v] C und M C B [v] C = [v] B, siehe Satz Also gilt M B C MC B [v] B = [v] B für alle v V, also muss M B C MC B = I gelten. Korollar Sei V ein K-Vektorraum der Dimension n, und sei P eine invertierbare Matrix in K (n,n). Ist B = (b 1,..., b n ) eine geordnete Basis von V, so gibt es genau eine Basis C mit für alle v V. [v] C = P [v] B Beweis Zur Existenz: Wir suchen eine Basis C = (c 1,..., c n ) mit c j α j,i = b i, (3.2) j d.h. P = M B C. Wenn (3.2) gilt, ist C ein Erzeugendensystem. Wegen C = dimv ist dieses Erzeugendensystem auch eine Basis. Sei P 1 = (β i,j ) die Inverse von P. Dann gilt { 1 wenn k = i β k,j α j,i = 0 sonst j 60

16 Wir setzen c j = k b kβ k,j. Dann gilt c j α j,i = j j b k β k,j α j,i = k k b k β k,j α j,i = b i, j also (3.2). Zur Eindeutigkeit: Die i-te Spalte von P 1 muss [c i ] B sein. 3.6 Zusammenfassung Sie haben in diesem Abschnitt die wichtige Definition des Vektorraumes kennengelernt und Beispiele gesehen. Sie wissen, was linear abhängig und unabhängig bedeutet. Der Begriff der Basis wurde eingeführt. Wir konnten zeigen, dass jeder endlich erzeugte Vektorraum eine Basis hat. Das gilt auch für nicht endlich erzeugte Vektorräume, der Beweis erfordert aber tieferliegende Hilfsmittel. Sie sollen in der Lage sein, Beispiele von endlich- und von unendlichdimensionalen Vektorräumen anzugeben. Affine und lineare Unterräume wurden erklärt. Sie sollten wissen, dass solche Unterräume als Lösungsmengen (inhomogener) Gleichungssysteme auftreten. Der Dimensionsbegriff hat es ermöglicht zu zeigen, dass jede Matrix zu genau einer Matrix in zeilenreduzierter Form äquivalent ist. Es wurde eine wichtige Dimensionsformel für die Dimension der Summe zweier Unterräume vorgestellt. Sie wissen, wie man einen n-dimensionalen Vektorraum mit Hilfe einer geordneten Basis koordinatisiert. Basiswechsel bedeutet Multiplikation des Koordinatenvektors mit einer geeigneten invertierbaren Matrix. Einige Probleme bleiben offen: Ist jeder Unterraum Lösungsraum eines linearen Gleichungssystems? Wenn ja, gibt es sicherlich verschiedene lineare Gleichungssysteme. Wie unterscheiden sie sich? Wenn man sich den Prozess des Koordinatisierens anschaut, hat man das Gefühl, das es nur einen n-dimensionalen Vektorraum über K gibt, nämlich den Vektorraum K n der n-tupel. Kann man das präzisieren? Diese beiden Fragen werden durch die Ergebnisse in den nächsten Kapiteln beantwortet. 61