Lineare Algebra I. Christian Ebert & Fritz Hamm. Gruppen & Körper. Vektorraum, Basis & Dimension. Lineare Algebra I. 18.

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1 18. November 2011

2 Wozu das alles? Bedeutung von Termen Vektoren in R n Ähnlichkeiten zwischen Termbedeutungen Skalarprodukt/Norm/Metrik in R n Komposition von Termbedeutungen Operationen auf/abbildungen von Vektoren = Matrizen Latent Semantic Analysis Eigenwert-/Singulärwertzerlegung Quantenlogik Hilberträume (unendlich-dimensionale, vollständige Vektorräume über den komplexen Zahlen mit Skalarprodukt); Eigenwerte

3 Übersicht Vektorräume, I Skalarprodukt, Norm & Metrik Lineare Abbildung & Matrizen II Eigenwerte, Eigenwertzerlegung Singulärwertzerlegung

4 I Definition (Gruppe) Eine Gruppe ist ein Paar (G, ), bestehend aus einer Menge G und einer Verknüpfung, d.h. Abbildung : G G G, (a, b) a b die folgenden Gruppenaxiomen gehorcht: G1 (a b) c = a (b c) (Assoziativgesetz) G2 es gibt ein neutrales Element e G mit e a = a für alle a G G3 zu jedem a G gibt es ein inverses Element a G mit a a = e Gilt ausserdem G4 a b = b a so heisst die Gruppe abelsch (Kommutativgesetz)

5 II Definition () Ein (engl. field) ist ein Tripel (K, +, ), bestehend aus einer Menge K und zwei Verknüpfungen + : K K K, (a, b) a + b Addition : K K K, (a, b) a b Multiplikation sodass folgende Köperaxiome erfüllt sind: K1 (K, +) ist eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 0 K2 (K\{0}, ) ist eine abelsche Gruppe K3 a (b + c) = (a b) + (a c) und (Distributivgesetz) (a + b) c = (a c) + (b c) für alle a, b, c K

6 III Konventionen: Das additive inverse Element zu a wird mit a, das multiplikativ inverse Element mit a 1 bezeichnet Das neutrale Element der Addition wird als Null(element) 0 bezeichnet Das neutrale Element der Multiplikation wird als Eins(element) 1 bezeichnet Statt a b schreibt man kurz ab Statt a + ( b) schreibt man kurz a b Bezeichnungen weiterer algebraischer Strukturen: Halbgruppe: (G, ) mit G1 Monoid: (G, ) mit G1 & G2 Ring: (K, +, ), mit K1 & K3, aber (K, ) nur Halbgruppe Ring mit Eins: (K, +, ), mit K1 & K3, aber (K, ) nur Monoid

7 Der Begriff des Vektorraumes I Definition (Vektorraum) Sei K ein. Ein K-Vektorraum ist ein Tripel (V, +, ), bestehend aus einer Menge V und zwei Abbildungen + : V V V, (v, w) v + w (Vektor-)Addition : K V V, (λ, a) λ a skalare Multiplikation mit folgenden Eigenschaften: V1 (V, +) ist eine abelsche Gruppe V2 1 (λ + µ) v = (λ v) + (µ v) Achtung: + hier ambig! 2 λ (v + w) = (λ v) + (λ w) 3 (λµ) v = λ (µ v) 4 1 v = v

8 Der Begriff des Vektorraumes II Definition (Untervektorraum) Sei V ein K-Vektorraum und W V eine Teilmenge. W ist ein Untervektorraum von V, falls folgendes gilt: U1 W U2 Wenn v, w W, dann auch v + w W U3 Wenn λ K, v W, dann auch λv W Bemerkungen: Jeder Unter-VR W eines K-VR enthält die 0 Jeder Unter-VR W eines K-VR ist selbst wieder ein K-VR Für zwei Unter-VR W, W eines K-VR ist W W wieder ein Unter-VR (aber nicht notwendigerweise W W )

9 Der Begriff des Vektorraumes III Definition (Linearkombination & Erzeugnis) Sei V ein K-VR und (v 1,..., v n ) eine Familie von Elementen aus V. Ein w V heißt Linearkombination von (v 1,..., v n ), falls es λ 1,..., λ n K gibt, so dass w = λ 1 v λ n v n Die Menge Span(v 1,..., v n ) := {w w ist Linearkombination von (v 1,..., v n )} heißt Erzeugnis/lineare Hülle von (v 1,..., v n ) Bemerkungen: Span(v 1,..., v n ) ist ein Unter-VR von V, nämlich der kleinste, der alle v i enthält.

10 Der Begriff des Vektorraumes IV Definition (lineare Unabhängigkeit) Sei V ein K-Vektorraum. Eine endliche Familie (v 1,..., v n ) von Vektoren aus V heißt linear unabhängig, falls aus λ 1 v λ n v n = 0 λ 1,..., λ n K folgt, dass λ 1 = = λ n = 0 (d.h. der Nullvektor lässt sich nur trivial linear kombinieren)

11 Der Begriff des Vektorraumes V Definition (Erzeugendensystem & Basis) Sei V ein K-Vektorraum und (v 1,..., v n ) eine Familie von Vektoren aus V. Die Familie heißt Erzeugendensystem von V, falls gilt: Span(v 1,..., v n ) = V Ist die Familie linear unabhängig, heißt sie Basis. Die Anzahl der Vektoren in der Familie n heißt dann auch die Länge der Basis. Bemerkungen: Eine Basis ist ein minimales Erzeugendensystem und eine maximale linear unabhängige Familie Durch eine gegebene Basis lässt sich jeder Vektor eindeutig linear kombinieren Jeder Vektorraum besitzt eine Basis Je zwei Basen haben die gleiche Länge

12 Der Begriff des Vektorraumes VI bislang betrachtet: endliche Familien von Vektoren endliche Linearkombinationen, Erzeugendensysteme, Basen, etc. obige Definitionen und Bemerkungen lassen sich auch auf unendliche Familien (v i ) i I von Vektoren verallgemeinern damit kann man Vektorräume in endlich vs. unendlich erzeugte einteilen. Definition () Sei V ein K-Vektorraum. Die dim K V von V ist wie folgt definiert: { V ist unendlich erzeugt/hat keine endliche Basis dim K V := n V hat Basis der Länge n