Tutorium: Diskrete Mathematik

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1 Tutorium: Diskrete Mathematik Steven Köhler mathe.stevenkoehler.de 2

2 I Eine algebraische Struktur ist ein Paar A; (f i ) ; bestehend aus einer nichtleeren Menge A, der TrÄagermenge der Algebra, und einer Familie (Menge) von (endlichstelligen) VerknÄupfungen auf A, die auch fundamentale Operationen genannt werden. Meistens hat eine Algebra nur endlich viele VerknÄupfungen f 1 ;:::;f n ; man schreibt dann fäur die Algebra einfach nur ³A; f 1 ;:::;f n : 3 II Die TrÄagermenge A der Algebra ist abgeschlossen bezäuglich der de nierten Operationen, d.h., VerknÄupfung von zwei Elementen a; b 2 A (im Fall einer binäaren VerknÄupfung) liefert stets ein Element c 2 A. a, b und c mäussen dabei nicht notwendigerweise verschieden sein. 4

3 Halbgruppen I Eine Halbgruppe ist eine algebraische Struktur H = H;? mit der TrÄagermenge H und einer zweistelligen VerknÄupfung?. FÄur alle Elemente in H gilt das Assoziativgesetz, d.h., fäur alle a; b; c 2 H gilt stets a?(b?c)=(a?b)?c: 5 Halbgruppen II HÄau g wird fäur die VerknÄupfung? das Symbol benutzt, man spricht dann von einer multiplikativ geschriebenen Halbgruppe. Wie auch bei der gewäohnlichen Multiplikation, kann in vielen Situationen der Malpunkt weggelassen werden. Eine Halbgruppe läasst sich auch additiv notieren, indem fäur die VerknÄupfung? das Symbol + benutzt wird. 6

4 Halbgruppen III Da das Assoziativgesetz gilt, kann eine vereinfachte, klammerfreie Notation verwendet werden: a?(b?c)=(a?b)?c= a?b?c: 7 Monoide I Eine Monoid ist eine algebraische Struktur M = M;? mit der TrÄagermenge M und einer zweistelligen VerknÄupfung?. Ein Monoid ist eine Halbgruppe mit einem neutralen Element e. 8

5 Monoide II FÄur Monoide gelten also die folgenden Eigenschaften: ² FÄur die VerknÄupfung? gilt das Assoziativgesetz: 8a; b; c 2 M : a?(b?c)=(a?b)?c= a?b?c: ² Es existiert ein neutrales Element e, fäur das gilt: 8a 2 M : e?a= a?e= a: Das Element e ist also sowohl links- als auch rechtsneutral bzgl. der de nierten Operation?. 9 Monoide III Aufgabe 1 Welche der folgenden algebraischen Strukturen sind Monoide? BegrÄunde deine Antworten. a) N 0 ; + b) c) d) N 0 ; : Z; R 3 3 ; 10

6 Gruppen I Eine Gruppe ist eine algebraische Struktur G = G;? mit der TrÄagermenge G und einer zweistelligen VerknÄupfung?. Eine Gruppe ist eine Monoid, in dem fäur jedes Element a 2 G das zugehäorige inverse Element a 1 in G enthalten ist. 11 Gruppen II FÄur Gruppen gelten also die folgenden Eigenschaften: ² FÄur die VerknÄupfung? gilt das Assoziativgesetz: 8a; b; c 2 G : a?(b?c)=(a?b)?c= a?b?c: ² Es existiert ein neutrales Element e, fäur das gilt: 8a 2 G : e?a= a?e= a: ² Existenz inverser Elemente: 8a 2 G : 9a 1 2 G mit a?a 1 = a 1?a= e: 12

7 Gruppen III Beispiele fäur Gruppen ² Z; + ² ² ³ Q n 0 ª ; R; + ² Kleinsche Vierergruppe ² Dreiecksgruppe 13 Die Dreiecksgruppe I Die Dreiecksgruppe G ist eine Gruppe, die die folgenden Elemente enthäalt: i, r und s sind dabei Drehungen um 0 ±,60 ± bzw. 120 ±. x, y und z sind Spiegelungen an den Winkelhalbierenden des Dreiecks. 14

8 Die Dreiecksgruppe II Diese Gruppe besitzt die folgende Gruppentafel, in der die Ergebnisse der VeknÄupfung der Elemente tabellarisch notiert sind: i r s x y z i i r s x y z r r s i y z x s s i r z x y x x z y i s r y y x z r i s z z y x s r i 15 Die Rechteckgruppe Aufgabe 2 Bestimme die Elemente der Rechteckgruppe und stelle die Gruppentafel dieser Gruppe auf. 16

9 Die Ordnung einer Gruppe Die MÄachtigkeit (KardinalitÄat) jgj der TrÄagermenge der Gruppe nennt man die Ordnung der Gruppe oder auch die Gruppenordnung. FÄur endliche Mengen G ist dies einfach die Anzahl der Elemente in G. 17 Die Ordnung eines Gruppenelements Unter der Ordnung eines Elements a 2 G einer Gruppe G =(G;?) versteht man die kleinste natäurliche Zahl m>0, fäur die a m = e gilt; e ist dabei das neutrale Element der Gruppe. Man de niert die Potenzen eines Gruppenelements wie folgt: a 0 := e a n+1 := a n?a: Gibt es keine derartige Zahl, so hat a unendliche Ordnung. 18

10 Untergruppen I Ist U eine Teilmenge der TrÄagermenge G einer Gruppe G =(G;?) (also U μ G) undistu =(U;?) selbsteinegruppe,sonennt man U eine Untergruppe von G. Um zu zeigen, dass U eine Untergruppe von G ist, genäugt es zu zeigen, dass Folgendes gilt: ² a; b 2 U ) a?b2 U; ² a 2 U ) a 1 2 U. 19 Untergruppen II Aufgabe 3 Gegeben seien die beiden Gruppen G =(G;?) undh =(H;?). Zeige, dass (G \ H;?) eineuntergruppesowohlvong als auch von H ist. 20

11 Untergruppen III Jedes Element a 2 G einer Gruppe G erzeugt eine Untergruppe H. Die durch a 2 G erzeugte Untergruppe wird mit < a > bezeichnet. 21 Der Satz von Lagrange Der Satz von Lagrange wurde nach dem italienischen Mathematiker Joseph-Louis Lagrange benannt. Der Satz besagt, dass die MÄachtigkeit (oder Ordnung) einer Untergruppe stets die MÄachtigkeit der Gruppe teilt. Es sei G eine endliche Gruppe: ² Ist H eine Untergruppe von G, soistdiemäachtigkeit jhj ein Teiler von jgj. ² Insbesondere teilt die Ordnung eines Elements a 2 G die MÄachtigkeit jgj von G. 22

12 Die symmetrische Gruppe Als symmetrische Gruppe bezeichnet man die Gruppe S n aller mäoglichen Permutationen Äuber n Elementen. Die Operation der Gruppe ist die NacheinanderausfÄuhrung von Permutationen. Da es n! verschiedene Permutationen Äuber n Elementen gibt, gilt js n j = n! 23 Permutationsgruppen Als Permutationsgruppe bezeichnet man eine Untergruppe einer symmetrischen Gruppe S n. 24

13 Isomorphie von Gruppen I Zwei Gruppen hei¼en isomorph oder strukturgleich, wenn ihre Gruppentafeln bis auf die Bezeichnungen der Elemente Äubereinstimmen. Eine wichtige Voraussetzung fäur Isomorphie ist, dass die Gruppen gleichviele Elemente einer jeweiligen Ordnung besitzen. 25 Isomorphie von Gruppen II Aufgabe 4 Zeige, dass (bis auf Isomorphie) genau 2 verschiedene Gruppen der Ordnung 4 existieren. 26

14 Zyklische Gruppen Eine Gruppe G =(G;?) hei¼t zyklisch, wenn sie mindestens ein Element enthäalt, aus dem säamtliche Elemente der Gruppe erzeugt werden käonnen. Mit anderen Worten: In G muss mindestens ein Element der Ordnung jgj existieren. 27 Abelsche Gruppen Eine Gruppe G = (G;?) hei¼t abelsch oder kommutativ, wenn zusäatzlich zu den bisher genannten Gruppeneigenschaften das Kommutativgesetz gilt, d.h.: 8a; b 2 G : a?b= b?a: 28

15 Nebenklassen I Es sei H eine Untergruppe einer Gruppe G und a sei ein Element von G. MitHilfevona und H de nieren wir eine Teilmenge von G wie folgt: n o ah := g 2 G : Es gibt ein h 2 H mit g = ah : Man nennt eine solche Teilmenge ah eine Linksnebenklasse von H in G. Analog wird der Begri Rechtsnebenklasse de niert. 29 Nebenklassen II Aufgabe 5 Es sei G die symmetrische Gruppe S 3 und H die durch das Element (1; 2) erzeugte Untergruppe von G. Bestimme die Linksnebenklassen von H. 30

16 Ringe I Ein Ring ist eine algebraische Struktur R = R; +; mit der TrÄagermenge R und zwei zweistelligen VerknÄupfungen + und. 31 Ringe II In einem Ring gelten die folgenden Eigenschaften: ² BezÄuglich der Operation + bildet (R; +) eine kommutative Gruppe. ² BezÄuglich der Operation bildet (R; ) einen Monoid. ² Es gelten die Distributivgesetze a (b + c) =ab + ac; (a + b) c = ac + bc: 32

17 Körper I Ein KÄorper ist eine algebraische Struktur K = K; +; mit der TrÄagermenge K und zwei zweistelligen VerknÄupfungen + und. 33 Körper II In einem KÄorper gelten die folgenden Eigenschaften: ² BezÄuglich der Operation + bildet (K; +) eine kommutative Gruppe. ² BezÄuglich der Operation bildet (K n e + ª ; ) einekommutative Gruppe. ² Es gelten die Distributivgesetze a (b + c) =ab + ac; (a + b) c = ac + bc: 34

18 Körper III Beispiele fäur KÄorper ² (Q; +; ) ² (R; +; ) ² (C; +; ) ² der GaloiskÄorper GF 2 (oder auch F 2 ) 35 Körper IV Aufgabe 6 Zeige, dass die Menge der invertierbaren Matrizen zusammen mit der Äublichen Matrizenaddition und -multiplikation einen Ring, aber keinen KÄorper bildet. 36

19 Vielen Dank für die Aufmerksamkeit 37