Gruppe. Unter einer Gruppe (G, ) versteht man eine Menge G, auf der eine binäre Operation definiert ist:

Transkript

1 Gruppe Unter einer Gruppe (G, ) versteht man eine Menge G, auf der eine binäre Operation definiert ist: : G G G, d.h. jedem Elementepaar (a, b): a, b G ist ein Element a b G zugeordnet. Gruppe 1-1

2 Gruppe Unter einer Gruppe (G, ) versteht man eine Menge G, auf der eine binäre Operation definiert ist: : G G G, d.h. jedem Elementepaar (a, b): a, b G ist ein Element a b G zugeordnet. Ferner müssen folgende Eigenschaften gelten: Assoziativität: (a b) c = a (b c) a, b, c G Gruppe 1-2

3 Gruppe Unter einer Gruppe (G, ) versteht man eine Menge G, auf der eine binäre Operation definiert ist: : G G G, d.h. jedem Elementepaar (a, b): a, b G ist ein Element a b G zugeordnet. Ferner müssen folgende Eigenschaften gelten: Assoziativität: (a b) c = a (b c) a, b, c G Neutrales Element: Es existiert ein eindeutig bestimmtes neutrales Element e G, d.h. e a = a e = a a G Gruppe 1-3

4 Gruppe Unter einer Gruppe (G, ) versteht man eine Menge G, auf der eine binäre Operation definiert ist: : G G G, d.h. jedem Elementepaar (a, b): a, b G ist ein Element a b G zugeordnet. Ferner müssen folgende Eigenschaften gelten: Assoziativität: (a b) c = a (b c) a, b, c G Neutrales Element: Es existiert ein eindeutig bestimmtes neutrales Element e G, d.h. e a = a e = a a G Inverses Element: Zu jedem Element a G existiert ein eindeutig bestimmtes inverses Element a 1 G mit a a 1 = a 1 a = e Gruppe 1-4

5 Man nennt eine Gruppe eine kommutative oder abelsche Gruppe, wenn die Operation kommutativ ist: a b = b a a, b G Gruppe 1-5

6 Man nennt eine Gruppe eine kommutative oder abelsche Gruppe, wenn die Operation kommutativ ist: a b = b a a, b G Wenn aus dem Zusammenhang ersichtlich ist, welche Operation verwendet wird, schreibt man häufig statt (G, ) nur G. Gruppe 1-6

7 Die bijektiven reellen Funktionen f : R R bilden bzgl. der Hintereinanderschaltung eine Gruppe. Gruppe 2-1

8 Die bijektiven reellen Funktionen f : R R bilden bzgl. der Hintereinanderschaltung eine Gruppe. Assoziativität: ((f g) h)(x) = f (g(h(x))) = (f (g h))(x) Gruppe 2-2

9 Die bijektiven reellen Funktionen f : R R bilden bzgl. der Hintereinanderschaltung eine Gruppe. Assoziativität: ((f g) h)(x) = f (g(h(x))) = (f (g h))(x) Neutrales Element Identität: e : x x Gruppe 2-3

10 Die bijektiven reellen Funktionen f : R R bilden bzgl. der Hintereinanderschaltung eine Gruppe. Assoziativität: ((f g) h)(x) = f (g(h(x))) = (f (g h))(x) Neutrales Element Identität: e : x x Inverses Element Umkehrfunktion: f 1 : f (x) x Gruppe 2-4

11 Die Hintereinanderschaltung ist nicht kommutativ. Beispielsweise ist für f : x 2x, g : x x + 1 f g g f : Gruppe 2-5

12 Die Hintereinanderschaltung ist nicht kommutativ. Beispielsweise ist für f : x 2x, g : x x + 1 f g g f : f (g(x)) = 2(x + 1) 2x + 1 = g(f (x)). Gruppe 2-6

13 Die Menge der Restklassen, {0, 1,..., n 1}, bildet eine abelsche Gruppe unter der Addition modulo n und wird mit Z n = Z mod n bezeichnet. Gruppe 3-1

14 Die Menge der Restklassen, {0, 1,..., n 1}, bildet eine abelsche Gruppe unter der Addition modulo n und wird mit bezeichnet. Z n = Z mod n Die Multiplikation modulo n definiert keine Gruppenstruktur auf Z n, da 0 kein Inverses besitzt. Gruppe 3-2

15 einige Beispiele für Modulo-Operationen in Z 4 = {0, 1, 2, 3} Gruppe 3-3

16 einige Beispiele für Modulo-Operationen in Z 4 = {0, 1, 2, 3} Addition/Subtraktion mod 4 = mod 4 = 2 Gruppe 3-4

17 einige Beispiele für Modulo-Operationen in Z 4 = {0, 1, 2, 3} Addition/Subtraktion mod 4 = mod 4 = 2 Multiplikation 1 2 mod 4 = 3 2 mod 4 = 2 Gruppe 3-5

18 einige Beispiele für Modulo-Operationen in Z 4 = {0, 1, 2, 3} Addition/Subtraktion mod 4 = mod 4 = 2 Multiplikation 1 2 mod 4 = 3 2 mod 4 = 2 Widerspruch zur Eindeutigkeit des neutralen Elements (keine Gruppenstruktur) Gruppe 3-6

19 Die Operation auf einer endlichen Gruppe G = {g 1,..., g n } kann durch die Verknüpfungsmatrix A erklärt werden: A : a i,j = g i g j Gruppe 4-1

20 Die Operation auf einer endlichen Gruppe G = {g 1,..., g n } kann durch die Verknüpfungsmatrix A erklärt werden: A : a i,j = g i g j Verknüpfungsstrukturen für Gruppen mit n 4: n = 2 e a e e a a a e Gruppe 4-2

21 Die Operation auf einer endlichen Gruppe G = {g 1,..., g n } kann durch die Verknüpfungsmatrix A erklärt werden: A : a i,j = g i g j Verknüpfungsstrukturen für Gruppen mit n 4: n = 2 e a e e a a a e n = 3 e a b e e a b a a b e b b e a Gruppe 4-3

22 Die Operation auf einer endlichen Gruppe G = {g 1,..., g n } kann durch die Verknüpfungsmatrix A erklärt werden: A : a i,j = g i g j Verknüpfungsstrukturen für Gruppen mit n 4: n = 2 e a e e a a a e n = 3 e a b e e a b a a b e b b e a n = 4 e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e Gruppe 4-4

23 Die Operation auf einer endlichen Gruppe G = {g 1,..., g n } kann durch die Verknüpfungsmatrix A erklärt werden: A : a i,j = g i g j Verknüpfungsstrukturen für Gruppen mit n 4: n = 2 e a n = 3 e a b n = 4 e a b c n = 4 e a b c e e a a a e e e a b a a b e b b e a e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e e e a b c a a e c b b b c a e c c b e a Gruppe 4-5

24 Die Operation auf einer endlichen Gruppe G = {g 1,..., g n } kann durch die Verknüpfungsmatrix A erklärt werden: A : a i,j = g i g j Verknüpfungsstrukturen für Gruppen mit n 4: n = 2 e a n = 3 e a b n = 4 e a b c n = 4 e a b c e e a a a e e e a b a a b e b b e a e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e e e a b c a a e c b b b c a e c c b e a Symmetrie von A (a i,j = a j,i ) G abelsch. Gruppe 4-6

25 Die Operation auf einer endlichen Gruppe G = {g 1,..., g n } kann durch die Verknüpfungsmatrix A erklärt werden: A : a i,j = g i g j Verknüpfungsstrukturen für Gruppen mit n 4: n = 2 e a n = 3 e a b n = 4 e a b c n = 4 e a b c e e a a a e e e a b a a b e b b e a e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e e e a b c a a e c b b b c a e c c b e a Symmetrie von A (a i,j = a j,i ) G abelsch. Die erste nicht-abelsche Gruppe hat 6 Elemente und kann mit den Permutationen von {1, 2, 3} identifiziert werden. Gruppe 4-7