Gruppen. Kapitel Operationen Definiton Gruppe, symmetrische Gruppen. Gruppen und Untergruppen, Lernziele 1. Erzeugendensysteme,

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1 Kapitel 1 Gruppen 1.1 Operationen Lernziele 1. Gruppen und Untergruppen, Erzeugendensysteme, Operationen und Bahnen Definiton Gruppe, symmetrische Gruppen Definition 1.1. Sei G eine nicht leere Menge und : G G G : (g 1, g 2 ) g 1 g 2 eine Abbildung (genannt Verknüpfung). 1.) G, genauer (G, ), heißt Halbgruppe, falls das Assoziativgesetz gilt: (g 1 g 2 ) g 3 = g 1 (g 2 g 3 ) für alle g 1, g 2, g 3 G. 2.) Die Halbgruppe G heißt Monoid, falls ein e G mit e g = g e = g für alle g G. existiert. e heißt auch neutrales Element. 3.) Das Monoid (G,, e), kurz G, heißt Gruppe, falls zu jedem g G ein g G mit g g = g g = e existiert. g heißt das zu g inverse Element bezüglich. 4.) Die Gruppe (G, ) heißt abelsch oder kommutativ, falls für alle g 1, g 2 G gilt g 1 g 2 = g 2 g 1. 5

2 6 KAPITEL 1. GRUPPEN Bemerkung e G ist eindeutig bestimmt, falls G ein Monoid ist. 2. Meistens schreiben wir für die Gruppenoperation entweder die Verknüpfung als oder als +. Falls wir die Verknüpfung als schreiben, so nennen wir das neutrale Element 1 und g = g 1. Falls wir die Verknüpfung als + schreiben, so ist G in der Regel abelsch und nennen wir das neutrale Element 0 und g = g. Ab jetzt schreiben wir die Verknüpfung als. 3. g 1 ist eindeutig durch g bestimmt, falls G eine Gruppe ist. D. h. 1 : G G : g g 1 ist eine Abbildung, genannt Inversionsabbildung. Beweis. 1) Sei f G mit fg = gf = g für alle g G, dann gilt: f = fe = e. 3) Sei h G ein inverses Element zu g. Dann gilt hg = gh = 1. Dann folgt: g 1 = g 1 1 = g 1 (gh) = (g 1 g)h = 1 h = h. q. e. d. In der Linearen Algebra haben wir bereits Abbildungen betrachtet und wissen, dass die Verknüpfung von Abbildungen assoziativ ist. Bemerkung 1.3. Sei M eine nicht leere Menge und M M := {f f : M M}. Für f 1, f 2 M M ist f 1 f 2 M M, mit f 1 f 2 : M M : m f 1 (f 2 (m)) und es gilt das Assoziativgesetz: (f 1 f 2 ) f 3 = f 1 (f 2 f 3 ). Die unangenehme Tatsache, dass die Reihenfolge der Anwendung von Abbildungen umgekehrt zu der ist, wie man sie hinschreibt, wird in der Gruppentheorie oft dadurch behoben, dass wir Abbildungen oft rechts vom Argument und hochgestellt schreiben, wie wir gleich für die Symmetrische Gruppe sehen werden. Beispiel ) M M ist ein Monoid mit der Komposition als Produkt und 1 = Id M (=identische Abbildung) als Einselement. 2) S M := {f M M f bijektiv} ist eine Gruppe bezüglich der Komposition. Sie wird als

3 1.1. OPERATIONEN 7 symmetrische Gruppe von M bezeichnet. Für f S M und m M bezeichnen wir das Bild von m unter f mit m f. Dann gilt für f 1, f 2 S M, dass m f 1 f 2 = (m f 1 ) f2. Wir definieren S n := S n wobei n := {1,..., n}. 3) (N, +) ist eine Halbgruppe. 4) (Z 0, +) ist ein Monoid (mit 0 als 1-Element). 5) (Z, +) ist eine Gruppe (unendliche zyklische Gruppe). 6) Sind G, H Gruppen, so ist G H mit dem komponentenweisen Produkt (g 1, h 1 )(g 2, h 2 ) := (g 1 g 2, h 1 h 2 ) für g 1, g 2 G, h 1, h 2 H wieder eine Gruppe, genannt das (äußere) direkte Produkt G H von G und H. Definition 1.5. Eine Gruppe (Monoid bzw. Halbgruppe) G heißt endlich, falls die ihr zugrunde liegende Menge G endlich ist. In diesem Fall bezeichnet G die Anzahl der Elemente von G und wir nennen G die Ordnung von G. Ist G nicht endlich, so schreibt man G := uns sagt G ist eine unendliche Gruppe. Wir wollen die symmetrische Gruppe, als ein wichtiges Beispiel einer Gruppe etwas näher kennenlernen. Bemerkung ) S M ist genau dann endlich, wenn M endlich ist. 2) Ist M = n N, so ist die Ordnung der symmetrischen Gruppe von M gleich der Ordnung der S n, nämlich n!: S M = S n = n!. Beweis. 1) : S M M M, also S M M M. : Ist M nicht endlich, dann gibt es unendlich viele Teilmengen mit zwei Elementen {a, b}. Daher existieren unendlich viele paarweise verschiedene Transpositionen α falls x = β (α, β) : M M : x β falls x = α x sonst die zur symmetrischen Gruppe von M gehören. 2) Sei M = {α 1,..., α n }. Wir zählen die bijektiven Abbildungen f S M wie folgt: α f 1 M, also haben wir für αf 1 genau n Möglichkeiten, für α f 2 M, also haben wir n 1 Möglichkeiten, da wir αf 1 nicht mehr wählen können, für α f 3 M, also haben wir n 2 Möglichkeiten, da wir αf 1 und αf 2 nicht mehr wählen

4 8 KAPITEL 1. GRUPPEN können, und so weiter. Also bleibt für α f n 1 noch eine Möglichkeit. Also insgesamt: S M = n(n 1)(n 2)... 1 = n! q. e. d. Wir wollen eine recht nützliche Schreibweise für Permutationen endlicher Mengen M, also für Elemente der S M, kennenlernen. Diese Schreibweise heißt die Zyklenschreibweise. Sie hat gegenüber der offensichtlichen Schreibweise, wo man die Elemente von M in die erste Zeile einer 2 M -Matrix schreibt und die Bilder dieser Elemente direkt unter diese in die zweite Zeile, viele Vorteile. Bemerkung ) Seien α 1,..., α k M genau k paarweise verschiedene Elemente. Dann heißt β β {α 1, α 2,..., α k } (α 1, α 2,..., α k ) : M M : β α i+1 β = α i mit i < k α 1 β = α k ein k-zykel oder kurz Zykel. Es gilt (α 1, α 2,..., α k ) S M und und (α 1, α 2,..., α k ) = (α k, α 1, α 2,..., α k 1 ) (α 1, α 2,..., α k ) 1 = (α k, α k 1,..., α 1 ). 1-Zykel sind gleich der Identität, 2-Zykel sind Transpositionen. 2) Disjunkte Zyklen kommutieren miteinander, d. h. (α 1, α 2,..., α k ) (β 1, β 2,..., β l ) = (β 1, β 2,..., β l ) (α 1, α 2,..., α k ), falls {α 1, α 2,..., α k } {β 1, β 2,..., β l } =. (In Zukunft lassen wir einfach weg.) 3) Jedes f S M lässt sich als Produkt disjunkter Zyklen schreiben, falls M endlich ist. Diese Schreibweise ist eindeutig bis auf Reihenfolge der Zyklen. Beweis. 1) und 2) klar. 3) Die Existenz zeigen wir mit dem Algorithmus ZyklenSchreibweise: Eindeutigkeit: Übung. q. e. d. Bemerkung Ein Zykel (α 1, α 2,..., α k ) S M ist also eine Abbildung und wir bezeichnen für β M das Bild von β unter dieser Abbildung mit b (α 1,α 2,...,α k ), z.b. 1 (2,3,4,5) = 1 und 1 (1,3,4,5) = GAP kann mit Permutationen rechnen, z.b.

5 1.1. OPERATIONEN 9 Algorithmus 1 : ZyklenSchreibweise Eingabe : g S M mit M endlich. Ausgabe : Menge von disjunkten Zyklen deren Produkt g ist. N := M; Z := ; while N do wähle a N; sei k minimal mit a gk = a; z a := (a, a g,..., a gk 1 ) ; /* ein Zykel */ Z := Z {z a }; N := N {a, a g,..., a gk 1 }; end return Z. gap> a := (1,2,3,4,5,6,7,8); (1,2,3,4,5,6,7,8) gap> b := (2,4,7,8,9); (2,4,7,8,9) gap> a * b; (1,4,5,6,8)(2,3,7,9) gap> a^-1; (1,8,7,6,5,4,3,2) gap> 2^b; 4 Übung: Zeige (2, 3, 4, 5)(1, 2, 3, 4, 5) = (1, 2, 4)(3, 5) S Untergruppen, Erzeugung, Homomorphie Nachdem wir ein wenig in der symmetrischen Gruppe rechnen gelernt haben, fahren wir mit der allgemeinen Theorie fort. Definition 1.9. Eine nicht-leere Teilmenge U G einer Gruppe G heißt Untergruppe von G falls U eine Gruppe bzgl. der von G G auf U U eingeschränkten Verknüpfung ist. Schreibweise: U G. Lemma 1.10 (Untergruppenkriterium). Sei G eine Gruppe und U G eine Teilmenge von G. Dann ist U eine Untergruppe von G genau dann, wenn: 1) U 2) UU 1 := {u 1 u 1 2 u 1, u 2 U} U.

6 10 KAPITEL 1. GRUPPEN Beweis. Falls U G dann folgen 1) und 2). Angenommen 1) und 2) gelten. Da U existiert ein u U. Da UU 1 U ist, ist 1 G = uu 1 U und somit Somit hat U ein Einselement und zwar dasselbe wie G. Die Invertierungsabbildung führt aus U nicht heraus: Denn sei u U, dann ist auch u 1 = 1u 1 uu 1 U Das Produkt zweier Elemente von U liegt wieder in U: Denn seien u 1, u 2 U, dann ist u 1 2 U und damit auch u 1 (u 1 2 ) 1 = u 1 u 2 U. Das Assoziativgesetz folgt aus dem von G. q. e. d. Definition Sei M G, G eine Gruppe. 1) M := U G M U heißt das Erzeugnis von M oder die von M erzeugte Untergruppe von G. Falls M = {g 1,..., g n }, schreibt man auch g 1,..., g n := M. 2) Falls G = M ist, heißt M ein Erzeugendensystem von G. 3) Für g G heißt g := g die Ordnung von g. 4) Eine Gruppe, die von einem Element erzeugt wird, heißt zyklisch. 5) Eine Gruppe, für die ein endliches Erzeugendensystem existiert, heißt endlich erzeugt. U Beispiel Für g := (1, 2,..., n) S n setze C n := g. Dann gilt C n ist zyklische Gruppe der Ordnung n. C n = {1 := g 0 := Id n, g, g 2, g 3,..., g (n 1) } S n. Übung: Sind g, h G von endlicher Ordnung mit gh = hg, so gilt gh teilt kgv( g, h ). Benutze dies, um die Ordnung einer Permutation einer endlichen Menge aus den Längen der disjunkten Zyklen zu bestimmen. Satz Sei G eine Gruppe und M G. 1) M G. 2) M = {g 1 g 2... g n n Z 0, g i M oder gi 1 M}, wobei das leere Produkt als 1 definiert ist. Beweis. 1) Klar, da der Schnitt von Untergruppen wieder eine Untergruppe bildet. 2) a) Da X := {g 1 g 2... g n n Z 0, g i M oder gi 1 M} G (Beweis!) und M X, ist das Erzeugnis von M in X enthalten.

7 1.1. OPERATIONEN 11 b) Jede Untergruppe, die M enthält, enthält auch X, also ist X eine Teilmenge des Erzeugnisses von M. q. e. d. Definition Sind G, H Gruppen, so heißt eine Abbildung ϕ : G H ein Homomorphismus, genauer Gruppenhomomorphismus, falls gilt: ϕ(g 1 g 2 ) = ϕ(g 1 )ϕ(g 2 ) für alle g 1, g 2 G. Dabei heißt ϕ ein Monomorphismus, falls ϕ injektiv; Epimorphismus, falls ϕ surjektiv; Isomorphismus, falls ϕ bijektiv; Falls G = H und ϕ ein Isomorphismus ist, so heißt ϕ ein Automorphismus. Übung: Sind G, H Gruppen und ist M G ein Erzeugendensystem von G, so gibt es zu jeder Abbildung f : M H höchstens einen Homomorphismus ϕ : G H mit Einschränkung ϕ M = f. Übung: Ist ϕ : G H ein Isomorphismus, so ist ϕ 1 : H G ebenfalls ein Isomorphismus. Wir stellen uns jetzt die Frage, welche Untergruppen Kerne von Homomorphismen sind. Definition Eine Untergruppe N G einer Gruppe G heißt Normalteiler von G, falls g 1 Ng N für alle g G. Schreibweise: N G. Lemma Seien G und H Gruppen und ϕ : G H einen Homomorphismus. Dann ist ker ϕ G. Beweis. Sei N = ker ϕ. Dann gilt für g G und n N ϕ(g 1 ng) = ϕ(g) 1 ϕ(n)ϕ(g) = ϕ(g) 1 1 G ϕ(g) = 1 G. Also ist g 1 ng N = ker ϕ und N G. q. e. d. Wir werden später sehen, dass auch die Umkehrung gilt, d.h. Normalteiler sind genau die Kerne von Gruppenhomomorphismen Freie Gruppen An dieser Stelle wollen wir eine Gruppe aus einer beliebigen Menge M konstruieren. Übung: Sei M eine Menge (genannt Alphabet). Zeige: Die Menge Folg(M) := n 0 M n

8 12 KAPITEL 1. GRUPPEN aller endlicher Folgen 1 von Elementen von M bildet ein Monoid unter der Verknüpfung des Aneinanderhängens: Folg(M) Folg(M) Folg(M) : ((a 1,..., a m ), (b 1,..., b n )) (a 1,..., a m, b 1,..., b n ) Dabei ist die leere Folge =: 1 M 0 das Einselement. Lemma Sei M eine Menge. Sei M 1 eine zweite, zu M disjunkte Menge mit einer Bijektion 1 : M M 1 : a a 1, deren Umkehrabbildung auch mit 1 bezeichnet sei. Dann gilt: 1. Folg(M M 1 ) ist ein Monoid. 2. Definiere eine Äquivalenzrelation auf Folg(M M 1 ) durch die Forderung: f, g Folg(M M 1 ) sind genau dann äquivalent, also [f] = [g], wenn sie durch Einfügen und Weglassen endlich vieler Folgenabschnitte (a, a 1 ) mit a M M 1 auseinander hervorgehen. 3. Die Verknüpfung auf Folg(M M 1 ) ist mit der Äquivalenzrelation verträglich, das heißt, f, g, f, g Folg(M M 1 ) mit f f und g g impliziert fg f g. 4. F M := Folg(M M 1 )/ := {[f] f Folg(M M 1 )} ist eine Gruppe mit der vertreterweisen Multiplikation F M F M F M : ([f], [g]) [fg], welche von {[(m)] m M} erzeugt wird. F M heißt die freie Gruppe auf M. Beweis. 1), 2), 3) Übung. 4) Wohldefiniertheit des Produktes folgt aus 3). Assoziativität aus der Assoziativität von Folg(M M 1 ) und [ ] = 1 ist das Einselement. Schließlich ist [(m 1,..., m i )] 1 = [(m 1 i,..., m 1 1 )] für m 1,..., m i M M 1. Dass {[(m)] m M} die Gruppe erzeugt folgt direkt aus Satz q. e. d. Übung: Für f Folg(M M 1 ) heißt das eindeutige n Z 0 mit f (M M 1 ) n die Länge von f. Zeige: Für jedes f Folg(M M 1 ) gibt es ein eindeutiges g [f] von minimaler Länge. Benutze dies, um eine Längenfunktion λ : F M Z 0 1 steht für disjunkte Vereinigung. Die Menge M n der Abbildungen von n nach M kann mit der Cartesischen Potenz M n identifiziert werden. Weiter können M, M 1 und M 1 miteinander identifiziert werden.

9 1.1. OPERATIONEN 13 auf F M zu definieren. Zeige λ(fg) λ(f) + λ(g) für alle f, g F M. In Zukunft werden wir bei Rechnungen in F M statt [(m)] und [(m 1 )] einfach m bzw. m 1 schreiben, falls m M. In dem Sinne fassen wir auch M als eine Teilmenge von F M auf. Z. B. sind die Elemente der Länge 2 in F {a,b} gegeben durch a 2, b 1 a 1, ba 1, a 1 b 1, b 2, ab 1, b 1 a, a 2, ba, b 2, ab, a 1 b Entsprechend werden die Elemente w = w(a, b) F {a,b} als Worte in a, b bezeichnet, obschon hier im gruppentheoretischen Kontext klar ist, dass auch Terme a 1 etc. vorkommen können. Der Name freie Gruppe erklärt sich aus dem folgenden Satz, der die Universalität der freien Gruppe mit freie Erzeugendensystem M zeigt. Das freie Erzeugendensystem M der freien Gruppe F M ist somit in Analogie zur Basis eines Vektorraums. Satz 1.18 ((Universalität)). Ist G Gruppe und M eine Menge mit einer Abbildung f : M G, so gibt es genau einen Homomorphismus ϕ f : F M G mit ϕ f (m) = f(m) für alle m M. Man nennt ϕ f auch den Einsetzungshomomorphismus zu f. Beweis. Übung 4 auf Blatt 1. q. e. d. Der Name Einsetzungshomomorphismus erklärt sich dadurch, dass für die Elemente m von M die Gruppenelemente f(m) G eingesetzt werden und das Wort dann in G ausgewertet, also ausmultipliziert wird. Man könnte schreiben: ϕ f (w(m 1, m 2,...)) = w(f(m 1 ), f(m 2 ),...), wobei m i M ist. Übung: Ist f : M G eine Abbildung und ϕ f : F M G der zugehörige Einsetzungshomomorphismus, so gilt Bild ϕ f = Bild f. Beispiel F {a} = {a i i Z} ist isomorph zu Z, genauer: Z F {a} : i a i (wobei für i Z mit i < 0 man a i := (a 1 ) i definiert) ist ein Isomorphismus von Gruppen. Sei g = (1, 2,..., n) S n. Dann setzt sich f : {a} S n : a g zu dem Homomorphismus ϕ f : F {a} S n : a i g i fort. Wie sieht Kern ϕ f aus? (Siehe Übung 4(b) auf Blatt 1).