1 Algebraische Grundbegriffe

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1 1 Algebraische Grundbegriffe Eine Algebra besteht aus einer Trägermenge S sowie eineroder mehreren Operationen. Eine Operation ist dabei eine k-stellige Abbildung, d.h. es gilt für eine Operation f f S k }{{} kartesisches Produkt Für k = 1 nennt man f eine unäre, für k = eine binäre, für k = 3 eine ternäre Operation usw. Beispiel für einfache Algebren wären z.b. Z, + also die ganzen Zahlen mit der binären Addition als Verknüpfung. Ein Beispiel für eine unäre Operation wäre die logische Negation über B definiert B,. Für Algebren mit spezifischen Eigenschaften hat man diverse Namen eingeführt Algebra Magma Halbgruppe Monoid Gruppe Abbildung 1: Algebraische Strukturen und ihre Abhängigkeiten Folgende Tabelle soll einen Überblick geben 1

2 Name Erklärung Eigenschaften Beispiel Algebra allg. ein Tupel bestehend abgeschlossen N, + aus einer Trägermenge S und Verknüpfungen f i, genannt Operationen mit f i S k Eine Algebra muss abgeschlossen sein, d.h. die Bilder einer Operation müssen in der Trägermenge S enthalten sein Magma Eine Algebra mit Trägermenge S und einer binären Verknüpfung abgeschlossen, binäre Verknüpfung B, Halbgruppe Ein Magma, deren Verknüpfung assoziativ ist, d.h. a b c = a b c Monoid Gruppe Eine Halbgruppe mit einem Einselement e, d.h. e S : a S : a e = e a = a Ein Monoid bei dem für jedes Element a S eine inverses Element a 1 S existiert, wobei a a 1 = a 1 a = ee sei das Einselement abgeschlossen, binäre Verknüpfung, assoziativ abgeschlossen, binäre Verknüpfung, assoziativ, Einselement abgeschlossen, binäre Verknüpfung, assoziativ, Einselement, Existenz inverser Elemente Eine der interessantesten und am öftesten untersuchten Strukturen ist hierbei die Gruppe. Aus den definierten Eigenschaften lassen sich zwei elementare Aussagen ableiten 1 Das Einselement ist eindeutig bestimmt Das zu einem Element a gehörende inverse Element a 1 ist eindeutig bestimmt Beweis1: Seien e, f zwei Einselemente. Es gilt e f = e e f = f e = f B, Z, + Einselement wäre hier die 0 Z, + Neutrales Element ist e = 0, für a ist a das inverse Element

3 Beweis: Seien a, a zwei zu a inverse Elemente, es folgt a = a }{{} e = a a a a = a }{{} =a a Was für Konsequenzen ergeben sich aus diesen Beobachtungen? Sitzt man vor der Aufgabe eine Verknüpfungstafel für eine Gruppe mit n Elementen zu konstruieren, so ergibt sich, dass in einer Zeile/Spalte jedes Element nur einmal vorkommen darf. Sei z.b. S = {e, a, b}, wobei e das Einselement sei. Wieviele mögliche Gruppen lassen sich konstruieren? Aus der Eigenschaft des Einselement ergibt sich =e e a b e e a b a a b b Mit der Zeilen/Spaltenregel ergibt sich e a b e e a b a a b e b b e a Wieso gilt nun die Zeilen/Spaltenregel? Am einfachsten macht man sich den Sachverhalt mit einem einfachen Beispiel klar. Sei S = {e, a} und folgende Verknüpfungstafel gegeben e a e e a a a a Ist S, mit dieser Tafel eine Gruppe? Laut der Tafel gilt a a = a. Was ist nun aber das inverse Element zu a? Zur Erinnerung, es ist a a 1 = e Wie man erkennt, lässt sich kein inverses Element für a finden, obige Tafel ergibt also keine Gruppe. Eine theoretischere Begründungsmöglichkeit liefert der Satz von Cayley im nächsten Abschnitt. 3

4 Permutationen/Symmetrische Gruppe.1 Allgemeines Sei N = {1,, 3,..., n} eine Menge mit genau n Elementen. Eine Permutation auf der Menge N mit σ : N N ist eine bijektive Selbstabbildung eines Tupels 1,, 3,..., n auf ein beliebiges anderes Tupel σ1, σ, σ3,..., σn. Um die Permutation zu identifizieren kann man entweder explizit eine Permutationsvorschrift σx mit x N angeben oder sich der Schreibweise n σ1 σ σ3... σn bedienen. Für n = 3 sind z.b. alle möglichen Permutationen {,,,,, } Es existieren genau n! verschiedene Permutationen, da für die Festlegung des ersten Elements alle n Elemente zur Verfügung stehen, für das zweite Element nur noch n 1 Elemente usw. Nun lässt sich mit Permutationen auch rechnen. Die Verkettung zweier Permutationen p und q ist dabei wie folgt definiert p q = 1... n σ1... σn mit den jeweiligen Abbildungsvorschriften σ und τ Für p = und q = wäre p q = 1 3 da 1... n 1... n = τ1... τn στ1... στn στ1 = σ = 1 στ = σ1 = 3 στ3 = σ3 = Für die Verkettung zweier Permutationen stellt die Permutation 1... n id = 1... n 4

5 ein neutrales Element dar, da für alle x N gilt, dass σ id x = x ist. Wie oben beschrieben existieren genau n! verschiedene Permutationen. Die Menge aller Permutationen zu einem gegebenen n beschreibt die Symmetrische Gruppe S n mit der Verkettung als Operation und der Identitätspermutation id als neutralem Element. Es ist S n = n!. Statt eine Permutation durch eine zweizeilige Matrix zu repräsentieren, lässt sich jede Permutation auch kürzer darstellen mit 1... n = σ1,..., σn σ1... σn. Zyklenschreibweise Eine weitere kompaktere Darstellungsweise ist die Zyklenschreibweise. Hierbei beginnt man mit einem Element x N und schreibt σx σ x... σ k 1 x wobei σ k x = σx gelte. Für einen Zyklus mit a0... a k 1 gilt σi = a i+1 mod k. D.h. ein Element wird immer auf sein rechtes Nachbarelement abgebildet. Für π = 1 3 ergibt sich π3 = und π = 1. Um eine Permutation wie τ = in die Zyklenschreibweise zu überführen, beginnt am besten mit einem beliebigen Elementhier 1 und stellt eine Abbildungskette auf. Es gilt Somit bekommt man als Ergebis 1, 3 4, 5 Hierbei ist es prinzipiell egal, ob man innerhalb der Zyklen Kommata zur Trennung setzt oder Leerraum. Auch gibt es unter Umständen für Zyklen verschiedene äquivalente Darstellungendie Startposition innerhalb eines Zyklus kann man beliebig vertauschen wie auch die Reihenfolge der Zyklen. So ist 1, 3 4, 5 3, 1 4, 5 5, 4 1, 3 Zyklen der Länge 1 nennt man Fixpunkte, der Länge Transpositionen. 5

6 .3 Satz von Cayley Der Satz von Cayley besagt, dass für jede beliebige Gruppe ein Isomorphismus zu einer Untergruppe der symmetrischen Gruppe existiert bzw. anders ausgedrückt: Jede Gruppe ist isomorph zu einer Untergruppe U der symmetrischen Gruppe S n. Als Konsequenz ergibt sich, dass jede Zeile/Spalte in der Verknüpfungstabelle eine Permutation der Elemente der Trägermenge darstellt. Somit muss jedes Element genau einmal pro Spalte/Zeile vorkommen. Beweis: Sei im folgenden die Operation einer Gruppe G und die Komposition von Permutationen der symmetrischen Gruppe S n, wobei n = G sei. Für ein Gruppenelement a G definiert man σ a x = a x. Dies entspräche in der Verknüpfungstafel der Zeile bzw. Spalte eines Elementes a. Für e a b e e a b a a b e b b e a wäre beispielsweise e a b σ e = e a b e a b σ a = a b e e a b σ b = b e a Wie man sieht wird das neutrale Element e auf die Identitätsabbildung id abgebildet. Um zu zeigen, dass der Satz gilt, muss bewiesen werden, dass U = T, eine Untergruppe der symmetrischen Gruppe ist, wobei T = {σ g : g G}. Dazu setzt man voraus, dass G eine gültige Gruppe ist. Wie man die einzelnen Permutationen σ g konstruiert ist oben gezeigt. Es ist σ g x = g x 6

7 wobei x, g G. U ist abgeschlossen, da für zwei Elemente σ a, σ b U gilt. x G : σ a σ b x = σ a σ b x = σ a b x = a b x = a b x }{{} 1 = σ }{{} a b x 1folgt aus Assoziativität von G liegt in U, da a*b in G liegt, da G abgeschlossen ist Das Einselement von U ist id, wobei id = σ e : idx = x = σ e x = e x = x Jedes Element σ a U hat ein inverses Element σ a 1 U, da x G :σ a x = a x a 1 σ a x = a 1 a x σ a 1σx = x Aus a 1 G folgt σ a 1 U. U ist also eine Gruppe. Es bleibt nur noch nachzuweisen, dass σ g x = g x tatsächlich eine bijektive Selbstabbildung ist. Seien x 1, x G, es ergibt sich Injektivität: σ g x 1 = σ g x g x 1 = g x g 1 g x 1 = g 1 g x x 1 = x Surjektivität: y G : y = σ g x y = g x g 1 y = x Der Umstand, dass U tatsächlich eine Untergruppe von S n ist, ergibt sich daraus, da die Operation die selbe, id auch in der symmetrischen Gruppe neutrales Element ist und U S n gilt. 3 Tutoraufgabe 4 Die Musterlösung ist an sich sehr anschaulich und falls man obige Inhalte gut verstanden hat, so sollte die Lösung trivial sein. 7

8 4 Tutoraufgabe Teilaufgabe 1 Die Lösung sollte keine Schwierigkeiten bereiten, man setzt nur ein und weist die 4 GruppeneigenschaftenAbgeschlossenheit, Assoziativität, Einselement, Inverse Elemente nach. 4. Teilaufgabe Die Aufgabe ist schon etwas schwieriger insbesondere, wenn einem der Begriff des ggt und das Rechnen in Restklassen noch nicht so vertraut ist. Assoziativität und Einselement zu zeigen ist trivial Abgeschlossenheit Die Abgeschlossenheit zeigt man wie folgt. Seien p, q Z n. Liegt p q in Z n? Damit dies erfüllt ist muss gelten ggtp, n = 1 ggtq, n = 1 ggtp q, n = 1 was äquivalent zu der Aussage p q Z n Sei x = ggtp q, n. Laut ggt Definition gilt x p q und x n. Man zerlege x nun in ein Produkt x = x 1 x, wobei x 1, x so gewählt seien, dass x 1 p und x q gelte. Natürlich folgt x 1 n und x n.da jedoch p, q teilerfremd zu n sind, ergibt sich 4.. Inverse x 1 = x = 1 x = 1 Die Bestimmung inverser Elemente in einem Restklassenring erfolgt am besten mit dem erweiterten euklidischen Algorithmus. Dessen theoretische Erklärung sei jedoch auf ein späteres Skript vertagt. Da ggtx 1, n = 1 ggtxmodn, n = 1 gilt, ist ein x 1 in Z n enthaltender Beweis für ggtx, n = 1 ggtxmodn, n = 1 folgt durch Einsetzen aus dem Lemma von Bezout. 8