Skriptum EINFÜHRUNG IN DIE ALGEBRA

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1 Skriptum EINFÜHRUNG IN DIE ALGEBRA 1 Günter Lettl SS Algebraische Grundbegriffe 1.1 Verknüpfungen Definition 1. Es sei M eine nicht leere Menge. a) Eine Verknüpfung (oder (binäre) Operation) auf M ist eine Abbildung f : M M M (x, y) f(x, y). Dabei heißt x der 1. Operand, y der 2. Operand und f(x, y) das Ergebnis der Operation (oder Verknüpfungsergebnis). Üblicherweise verwendet man für eine Operation f ein Operationssymbol (oder, +,,, :,,,...) und schreibt das Operationsergebnis mit,,infix -Notation f(x, y) = (x, y) = x y (oder x y, x + y, x y,...). Ein Paar (M, ), bestehend aus einer nicht leeren Menge M und einer Verknüpfung auf M, heißt ein Verknüpfungsgebilde (oder Magma, Gruppoid, Menge mit Verknüpfung). b) Es sei eine Verknüpfung auf M und N, N M nicht leere Teilmengen. Dann definiert man N N = {x y x N und y N }. N heißt abgeschlossen unter, wenn N N N gilt (d.h.: für alle x, y N gilt: x y N). Ist N abgeschlossen unter, so ergibt die Einschränkung von auf N N eine Verknüpfung auf N; (N, ) heißt dann eine Teil- oder Unterstruktur von (M, ) (oder: Teilmagma, Untergruppoid). c) Es sei eine Verknüpfung auf M. Dann heißt die Operation assoziativ, wenn für alle x, y, z M gilt: (x y) z = x (y z). kommutativ, wenn für alle x, y M gilt: x y = y x. Das Verknüpfungsgebilde (M, ) heißt eine Halbgruppe, wenn assoziativ ist.

2 2 Ein Element e M heißt gilt: e x = x x e = x. e x = x = x e linksneutrales rechtsneutrales neutrales Element bezüglich, wenn für alle x M Das Verknüpfungsgebilde (M, ) heißt ein Monoid (oder Halbgruppe mit neutralem Element), wenn assoziativ ist und wenn ein neutrales Element bezüglich existiert. d) Es sei eine Verknüpfung auf M, e M ein neutrales Element bezüglich und a M. Ein Element a M heißt linksinverses a a = e ein rechtsinverses Element zu a, wenn a a = e inverses a a = e = a a gilt. Das Element a heißt invertierbar (bezüglich ), wenn es ein inverses Element a M zu a gibt. Die Menge aller invertierbaren Elemente von M bezeichnen wir mit M = (M, ) = {a M a ist invertierbar bezüglich } {e}. Beispiel 1: Auf R sei eine Verknüpfung definiert durch: x y = x + 3y für alle x, y R. Zeigen Sie, dass weder kommutativ noch assoziativ ist (Gegenbeispiele!). Zeigen Sie, dass es bezüglich zwar ein rechtsneutrales, jedoch kein linksneutrales Element gibt. Sind die Teilmengen N, Z, Q R abgeschlossen unter? Beispiel 2: Für x R sei [x] = max{n Z n x}. Auf R sei eine Verknüpfung definiert durch: x y = [x + y]. Zeigen Sie, dass eine kommutative (Beweis!), aber keine assoziative (Gegenbeispiel!) Operation ist. Gibt es ein neutrales Element bezüglich? Beispiel 3: Wie viele verschiedene Operationen gibt es für eine n-elementigen Menge (n N)? Es sei M eine Menge mit 3 Elementen. Zeigen Sie, dass auf M verschiedene Verknüpfungen definiert werden können. Wie viele davon besitzen ein fix vorgegebenes Element von M als neutrales Element? Wieviele davon sind kommutativ? (Tipp: Verknüpfungstafel) Lemma 1. Es sei (M, ) ein Verknüpfungsgebilde. a) Sind e 1 M linksneutral und e 2 M rechtsneutral (bezüglich ), so ist e 1 = e 2 und e 1 ist neutral. Insbesondere besitzt (M, ) höchstens ein neutrales Element. b) Es sei (M, ) ein Monoid und a M. Existieren ein linksinverses Element a M und ein rechtsinverses Element a M zu a, so folgt a = a, und a ist invertierbar. Insbesondere ist das Inverse eines invertierbaren Elements eindeutig bestimmt. c) Ist (M, ) ein Monoid, so ist M abgeschlossen bezüglich (d. h.: (M, ) ist eine Teilstruktur von (M, )). Insbesondere gilt: sind x, y M invertierbar und x, y die Inversen zu x, y, so ist y x das Inverse zu x y.

3 Beispiel 4: Welche konkreten Beispiele haben Sie in Ihrem bisherigen Studium für das,,insbesondere von Lemma 1.c) kennengelernt? Können Sie die entsprechenden Mengen bzw. Operationen angeben? (Tipp: Umkehrabbildungen, reguläre Matrizen) 3 Definition 2. Es seien (M, ) ein Verknüpfungsgebilde, n N = {1, 2, 3,... } und a 1,..., a n M. Dann definiert man n a i rekursiv durch: 1 a i = a 1 und für 1 < k n : k a i = ( k 1 a i ) a k = (... ( (a 1 a 2 ) a 3 ) a4... Ist e M ein neutrales Element bezüglich, so definiert man 0 a i = e. ) a k. Statt n a i schreibt man für = auch n a i bzw. für = + auch n a i. Ist a 1 = a 2 =... = a n = a, schreibt man n a = a n bzw. a n für = und na für = +. Lemma 2. Es seien (M, ) ein assoziatives Verknüpfungsgebilde, 2 n N und a 1,..., a n M. a) (Allgemeines Assoziativgesetz) Es ist a 1 a 2... a n M unabhängig von der Reihenfolge, in der die Operationen ausgewertet werden (d. h. unabhängig von,,klammerungen ). b) (Allgemeines Kommutativgesetz) Ist auch kommutativ, so ist a 1 a 2... a n M unabhängig von der Reihenfolge der Operanden; d. h.: für jede bijektive Abbildung σ : {1, 2,..., n} {1, 2,..., n} ist a 1 a 2... a n = a σ(1) a σ(2)... a σ(n). Beispiel 5: Es seien eine Operation auf der Menge M und a 1, a 2, a 3, a 4 M. Zeigen Sie, dass es 6 verschiedene Reihenfolgen gibt, in denen die Operationen zur Berechnung von a 1 a 2 a 3 a 4 durchgeführt werden können, aber nur 5 verschiedene Klammerungen für diesen Ausdruck. 1.2 Produkte, Homomorphismen und Strukturtransport ( ) Definition 3. Es sei I eine nicht leere (Index-)Menge und (M i, i ) eine (mit i I I indizierte) Familie von Verknüpfungsgebilden. Dann wird auf der Produktmenge M := i I M i die Operation (,,die komponentenweise Verknüpfung ) definiert durch: a = (a i ) i I, b = (b i ) i I M : a b = (a i i b i ) i I. (M, ) heißt das (äußere) direkte Produkt der Familie ( (M i, i ) ) i I. Ist insbesondere n N und I = {1, 2,..., n}, so ist M = M 1 M 2... M n und a b = (a 1,..., a n ) (b 1,..., b n ) = (a 1 1 b 1,..., a n n b n ).

4 4 Beispiel 6: Wählen Sie 4 verschiedene, konkrete Verknüpfungsgebilde und bilden Sie deren direktes Produkt. Wie sieht die komponentenweise Verknüpfung in Ihrem konkreten Beispiel aus? Definition 4. (M, ) und (N, ) seien Verknüpfungsgebilde. Eine Abbildung ϕ : M N heißt ein Homomorphismus (bezüglich und ), wenn für alle x, y M gilt: ϕ(x y) = ϕ(x) ϕ(y). Ein Homomorphismus ϕ : M N heißt injektiv surjektiv bijektiv ist. Monomorphismus Epimorphismus Isomorphismus, wenn die Abbildung ϕ (M, ) und (N, ) heißen zueinander isomorph (Schreibweise: (M, ) (N, )), wenn es einen Isomorphismus ϕ : M N gibt. Beispiel 7: Welche konkreten Beispiele für Homomorphismen haben Sie in Ihrem bisherigen Studium kennengelernt? Geben Sie die entsprechenden Verknüpfungsgebilde an! (Tipp: Lineare Abbildungen zwischen Vektorräumen, Logarithmen, Grenzwerte von konvergenten Folgen, Integrale, Ableitung einer Funktion) Beispiel 8: Auf R seien die Operationen und definiert durch x y = min{x, y} und x y = max{x, y}. Zeigen Sie, dass die Abbildung µ : R R, gegeben durch µ(x) = x für alle x R, eine Isomorphismus von (R, ) nach (R, ) ist. Ist die Umkehrabbildung µ 1 ein Isomorphismus von (R, ) nach (R, )? Satz 1. Es seien (M, ) und (N, ) Verknüpfungsgebilde und ϕ : M N ein Homomorphismus. a) Ist ϕ ein Epimorphismus, so gilt: i) Ist assoziativ (bzw. kommutativ), so ist auch assoziativ (bzw. kommutativ). ii) Ist e M neutrales Element bezüglich, so ist ϕ(e) neutrales Element bezüglich. b) Es seien e M neutral bezüglich, f N neutral bezüglich und ϕ(e) = f. Dann gilt für jedes a M: Ist a M invers zu a bezüglich, so ist ϕ(a ) invers zu ϕ(a) bezüglich (d. h.: ist a M invertierbar, so auch ϕ(a) N). c) Ist f N neutrales Element bezüglich und ϕ 1 ({f}) = {b M ϕ(b) = f} =, so ist ϕ 1 ({f}) eine Teilstruktur von (M, ).

5 Definition 5 (Strukturtransport). Es sei (M, ) ein Verknüpfungsgebilde. a) Es sei A eine Menge und ϕ : A M eine bijektive Abbildung. Definiert man für a, b A a b := ϕ 1 (ϕ(a) ϕ(b)), so ergibt dies eine Operation auf A, und ϕ : (A, ) (M, ) ist ein Isomorphismus. heißt die mittels ϕ 1 von M auf A transportierte Verknüpfung. b) Es sei X eine Menge und A := Abb(X, M) = {f : X M} die Menge aller Abbildungen von X nach M. Definiert man für f, g A die Abbildung f g A durch f g : X M x f(x) g(x), so ergibt dies eine Operation auf A. heißt die von M auf Abb(X, M) übertragene Verknüpfung (oder die von induzierte wertweise Verknüpfung auf Abb(X, M)). 5 Beispiel 9: Es sei (R, ) die übliche Multiplikation reeller Zahlen, und ϕ : R R gegeben durch ϕ(x) = x + 2. Geben Sie die mittels ϕ 1 von R auf R transportierte Verknüpfung an, und untersuchen Sie, welche Eigenschaften besitzt! Beispiel 10: Überlegen Sie sich, dass die in Analysis und Linearer Algebra definierten,,rechenoperationen für Funktionen (bzw. lineare Abbildungen) Beispiele für die wertweise Übertragung von Verknüpfungen nach Definition 5.b) sind. 1.3 Relationen Definition 6. Es sei M eine Menge. a) Eine (binäre) Relation auf M ist eine Teilmenge R M M. Üblicherweise bezeichnet man eine Relation R M M mit einem Symbol R (oder,, =,,, <,,,...) und schreibt für x, y M: xry (x, y) R (,,x steht in der Relation R zu y ). b) Eine Relation R auf M [bzw. R M M] heißt i) reflexiv, wenn für alle x M gilt: xrx [bzw. (x, x) R]. ii) symmetrisch, wenn für alle x, y M gilt: xry = yrx [bzw. (x, y) R = (y, x) R]. ii ) antisymmetrisch, wenn für alle x, y M gilt: (xry und yrx) = x = y [bzw. ((x, y) R (y, x) R) = x = y]. iii) transitiv, wenn für alle x, y, z M gilt: (xry und yrz) = xrz [bzw. ((x, y) R (y, z) R) = (x, z) R].

6 6 Eine Relation R auf M heißt Äquivalenzrelation, wenn sie reflexiv, symmetrisch und transitiv ist. Eine Relation R auf M heißt Ordnungsrelation (oder: Teilordnung, Halbordnung, partielle Ordnung), wenn sie reflexiv, antisymmetrisch und transitiv ist. c) Es sei eine Äquivalenzrelation auf M. Dann heißt für x M [x] = {y M x y} die Äquivalenzklasse von x, und jedes x [x] heißt ein Repräsentant dieser Äquivalenzklasse. Die Menge aller Äquivalenzklassen wird mit M/ = {[x] x M} bezeichnet. Eine Teilmenge Z M heißt ein (vollständiges) Repräsentantensystem für, wenn es zu jeder Äquivalenzklasse [x] M/ genau ein z Z gibt mit [x] = [z]. Beispiel 11: Auf N sei die,,teilbarkeitsrelation wie üblich gegeben, d.h. für m, n N gilt m n genau dann, wenn es ein m N gibt mit mm = n. Untersuchen Sie, welche der Eigenschaften aus Definition 6.b) diese Relation besitzt. Ist es eine Äquivalenz- bzw. eine Ordnungsrelation? Beispiel 12: Auf N werde die Relation folgendermaßen definiert: für a, b N sei a b genau dann, wenn für alle p P gilt: p a p b (d.h.: a und b besitzen dieselben Primteiler). Überprüfen Sie, ob 4 6, , 6 36, 376 1, , zutrifft. Zeigen Sie, dass eine Äquivalenzrelation auf N ist und dass jede (bis auf eine!!) Äquivalenzklasse unendlich viele Zahlen enthält, und geben Sie ein Repräsentantensystem dafür an! Beispiel 13: Es sei R[x] die Menge aller (reellen) Polynomfunktionen, und für f R[x] sei gr(f) N 0 { } der Grad von f. (Anm.: das Nullpolynom f = 0 hat den Grad.) Auf R[x] werden die Relationen und definiert wie folgt: für f, g R[x] sei f g gr(f) = gr(g) und f g gr(f) gr(g). Zeigen Sie, dass eine Äquivalenzrelation auf R[x] ist, geben Sie die Äquivalenzklassen von sowie einen Repräsentanten für jede Äquivalenzklasse an. Welche Eigenschaften von Definition 6.b) besitzt? Ist eine Ordnungsrelation? Satz 2. Es sei M eine Menge. a) Es sei eine Äquivalenzrelation auf M. i) Für x, y M gilt: [x] = [y] x y und [x] [y] = x y. ii) Es gibt z i M (i I), sodass M = i I [z i].

7 7 b) Es sei M = i I A i eine Partition von M in nicht leere Teilmengen A i. Definiert man für x, y M: x y es gibt ein i I mit {x, y} A i, so ist eine Äquivalenzrelation auf M, und für jedes x A i gilt: A i = [x].