3. Ringtheorie. 3.1 Definition, Ideale, Kongruenzen

Transkript

1 20 3. Ringtheorie 3.1 Definition, Ideale, Kongruenzen Definition 1. a) Eine nicht leere Menge R gemeinsam mit zwei Verknüpfungen + und heißt ein Ring (mit Einselement), wenn folgendes gilt: (R1) (R, +) ist eine abelsche Gruppe (R2) (R, ) ist eine Halbgruppe mit neutralem Element 1 R R (R3) für alle x, y, z R gelten die Distributivgesetze: x (y + z) = (x y) + (x z) und (y + z) x = (y x) + (z x) Ist R ein Ring, so heißt die Menge der bezüglich invertierbaren Elemente R die Einheitengruppe des Ringes R. Ist die Verknüpfung kommutativ, so heißt R ein kommutativer Ring. b) Es sei R ein Ring. Eine Teilmenge R 0 R heißt ein Teilring (oder Unterring) von R, wenn gilt: (TR1) R 0 ist eine Untergruppe von (R, +) (TR2) (R 0, ) ist eine Unterstruktur von (R, ) und 1 R R 0. (d. h.: R 0 ist mit den auf R 0 eingeschränkten Operationen + und wiederum ein Ring und besitzt dasselbe Einselement wie R.) Ist R 0 ein Teilring von R, so heißt R ein Oberring (oder Erweiterungsring) von R 0. Beispiel 40: Es sei R ein Ring und a, r R. Geben Sie die folgenden Ringelemente b, c mit Hilfe von Vielfachen- und Potenzschreibweise in einfacherer Form an: b = a a + a a + a a, c = a a a + a a a. Können Sie das Element b + c mit Hilfe des Distributivgesetzes weiter vereinfachen? Wieso sind (im Allgemeinen) die Ringelemente a r a, a 2 r und r a 2 verschieden? (Können Sie spezielle Beispiele dafür angeben, etwa mit R = M 2,2 (R)?) Beispiel 41: Zeigen Sie, dass Abb(R, R) = {f : R R} mit den gemäß 1, Def. 5.b von R übertragenen Verknüpfungen + und einen kommutativen Ring bildet. Geben Sie sein Einselement an, und beschreiben Sie seine Einheitengruppe! Satz 1 (Rechenregeln für Ringe). Es sei R ein Ring mit Nullelement 0 R R. Dann gilt für beliebige a, b R: a) a 0 R = 0 R a = 0 R b) a ( b) = ( a) b = (a b) und ( a) ( b) = a b c) Ist a R, so ist auch a R und ( a) 1 = (a 1 ). d) Für alle m Z ist (ma) b = a (mb) = m(a b) e) Gilt a b = b a, so gilt für alle n N 0 : n ( ) n (a + b) n = a n i b i i i=0

2 21 Lemma 1. Für einen Ring R sind folgende Aussagen äquivalent: a) R = 1 b) R = {0 R } c) 0 R = 1 R Satz 2 (Teilringkriterium). Es sei R ein Ring. Eine Teilmenge R 0 R ist genau dann ein Teilring von R, wenn folgendes erfüllt ist: i) 1 R R 0 ii) für alle a, b R 0 ist a b R 0 und a b R 0. Beispiel 42: Zeigen Sie, dass die Menge aller (reellen) Polynomfunktionen einen Teilring des Ringes Abb(R, R) aus Beispiel 41 bildet. Beispiel 43: Zeigen Sie, dass die Menge aller stetigen (bzw. die Menge aller differenzierbaren) Funktionen f : R R einen Teilring des Ringes Abb(R, R) aus Beispiel 41 bildet. Definition 2. Es sei R ein Ring. a) Eine Teilmenge I R heißt ein Ideal von R (Schreibweise: I R), wenn folgendes gilt: (I1) I ist eine Untergruppe von (R, +), (I2) für alle a I und r R gilt: ar I und ra I (d. h.: für alle r R gilt: Ir I und ri I). b) Ist I R ein Ideal, so heißen Ringelemente a, b R zueinander kongruent modulo I Schreibweise: a b mod I, wenn b a I ist (d. h.: wenn a + I = b + I als Nebenklassen der Gruppe (R, +) nach der Untergruppe I). c) Der Ring R heißt einfach, wenn {0} und R die einzigen Ideale von R sind. Beispiel 44: Zeigen Sie, dass I = {f : R R f(2) = 0} ein Ideal von Abb(R, R) bildet. Sind Elemente g, h Abb(R, R) zueinander kongruent modulo I, wenn sie an der Stelle 2 denselben Funktionswert haben? Gilt auch die Umkehrung? Beispiel 45: Für eine Teilmenge M R sei I M = {f : R R f(x) = 0 für alle x M}. Zeigen Sie, dass I M ein Ideal von Abb(R, R) ist. Kann man auch die trivialen Ideale von Abb(R, R) in der Form I M (mit geeigneten Mengen M) darstellen? Was bedeutet es für Elemente g, h Abb(R, R), zueinander kongruent modulo I M zu sein?

3 22 Satz 3. Es seien R ein Ring und I R ein Ideal. a) Sind a, a, b, b R mit a a mod I und b b mod I, so gilt auch: a + b a + b mod I und ab a b mod I. b) Definiert man für a, b R (a + I) (b + I) = (ab) + I, so erhält man eine Verknüpfung auf R/I, die (R/I, +) zu einem Ring macht. Dabei ist 0 + I = I das Nullelement und 1 + I das Einselement von R/I. R/I heißt der Restklassenring von R modulo I. Beispiel 46: Es sei I Abb(R, R) wie in Beispiel 44 gegeben. Beweisen Sie: die Menge aller konstanten Funktionen bildet ein Repräsentantensystem für den Restklassenring Abb(R, R)/I. Können Sie auch für die Ideale I M Abb(R, R) aus Beispiel 45 ein Repräsentantensystem für den Restklassenring Abb(R, R)/I M angeben? Definition 3. Es sei R ein Ring. a) Sind I 1, I 2 R Ideale von R, so definiert man die Summe der Ideale I 1, I 2 als I 1 + I 2 = {a + b a I 1 und b I 2 } und das Produkt der Ideale I 1, I 2 als { n } I 1 I 2 = a i b i n N, ai I 1, b i I 2. i=1 b) Es sei M R eine Teilmenge von R und M := {I M I R} die Menge aller Ideale von R, die M umfassen. Dann heißt (M) = I das von M erzeugte Ideal von R. Es ist das (bezüglich Mengeninklusion) kleinste Ideal von R, welches M enthält. [Beachte dazu Satz 4.a) unten!] Für M = {a 1,..., a n } schreibt man auch (a 1,..., a n ) statt ({a 1,..., a n }). c) Ein Ideal I R heißt endlich erzeugt, wenn es eine endliche Menge M R mit (M) = I gibt. I M Satz 4. Es sei R ein Ring. a) Ist = J eine nicht leere Indexmenge und ist für jedes j J I j R ein Ideal, so ist auch I j R ein Ideal von R. j J

4 b) Sind I 1, I 2, I 3 R Ideale, so sind auch I 1 + I 2, I 1 I 2 und I 1 I 2 Ideale von R, und es gilt: i) I 1 + I 2 = (I 1 I 2 ), also das von der Menge I 1 I 2 erzeugte Ideal. ii) I 1 I 2 = ({ab a I 1 und b I 2 }) iii) I 1 I 2 I 1 I 2 iv) I 1 (I 2 + I 3 ) = (I 1 I 2 ) + (I 1 I 3 ) und (I 1 + I 2 ) I 3 = (I 1 I 3 ) + (I 2 I 3 ). c) Für ein Ideal I R sind folgende Aussagen äquivalent: i) I = R ii) 1 I iii) I R Beispiel 47: Es sei I 1 = {f : R R f(1) = 0} Abb(R, R) und I 2 = I Abb(R, R) wie in Beispiel 44 gegeben. Beweisen Sie, dass I 1 + I 2 = Abb(R, R) und I 1 I 2 = I 1 I 2 = {f : R R f(1) = 0 = f(2)} = I {1,2} (in der Bedeutung von Beispiel 45) gilt. Können Sie für beliebige Teilmengen M 1, M 2 R passende Teilmengen A, B R angeben, mit denen I M1 + I M2 = I A und I M1 I M2 = I B (wieder mit den Bezeichnungen von Beispiel 45) gilt? Ringhomomorphismen, Charakteristik Definition 4. Es seien R und R Ringe. a) Ein Ringhomomorphismus (von R nach R ) ist eine Abbildung ϕ : R R mit folgenden Eigenschaften: (RHom1) für alle a, b R ist ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b) und ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) (d. h.: ϕ : R R ist ein Homomorphismus bezüglich,,+ und bezüglich,, wie in 1, Def. 4) (RHom2) ϕ(1 R ) = 1 R. b) Ist ϕ : R R ein Ringhomomorphismus, so heißen ker(ϕ) = ϕ 1 ({0 R }) der Kern von ϕ und Bi(ϕ) = ϕ(r) das Bild von ϕ. mono c) Ein Ringhomomorphismus ϕ : R R heißt ein Ring epi morphismus, iso injektiv wenn ϕ surjektiv bijektiv ist. Die Ringe R und R heißen zueinander isomorph (Schreibweise: R R ), wenn es einen Ringisomorphismus ϕ : R R gibt.

5 24 Ein Ring { } { } homo endo morphismus ϕ : R R heißt auch Ring morphismus. iso auto d) Ist I R ein Ideal von R, so heißt π : R R/I a a + I der (kanonische) Restklassenhomomorphismus von R auf den Restklassenring R/I. Beispiel 48: Für eine nicht leere Teilmenge = M R sei ϕ : Abb(R, R) Abb(M, R) definiert durch die Einschränkung der Definitionsmenge auf M, d.h. ϕ(f) = f M. Zeigen Sie, dass ϕ ein Ringhomomorphismus ist! (Dazu sollte man sich auch überlegen, wieso Abb(M, R) überhaupt ein Ring ist.) Ist ϕ ein Ringepimorphismus? Bestimmen Sie ker(ϕ)! (Gibt es einen Bezug zu Beispiel 45?) Satz 5. Es seien R und R Ringe und ϕ : R R ein Ringhomomorphismus. Dann gilt: a) ϕ(r ) (R ) und ϕ R : R R ist ein (multiplikativer) Gruppenhomomorphismus. b) Ist R 0 R ein Teilring, so ist ϕ(r 0 ) R ein Teilring von R. c) Ist I R ein Ideal, so ist ϕ(i) ϕ(r) ein Ideal des Ringes ϕ(r). d) Ist R 0 R ein Teilring (bzw. I R ein Ideal) von R, so ist auch ϕ 1 (R 0) R ein Teilring (bzw. ϕ 1 (I ) R ein Ideal) von R. e) ker(ϕ) R. Satz 6. Es seien R und R Ringe. a) (Universelle Eigenschaft des Restklassenhomomorphismus) Sind I R ein Ideal und π : R R/I der Restklassenhomomorphismus, so gibt es zu jedem Ringhomomorphismus ϕ : R R mit I ker(ϕ) genau einen Ringhomomorphismus ϕ : R/I R mit ϕ π = ϕ. b) (Homomorphiesatz) Ist ϕ : R R ein Ringhomomorphismus, so existiert genau ein Ringmonomorphismus ϕ : R/ ker(ϕ) R mit ϕ π = ϕ. Insbesondere ist R/ ker(ϕ) Bi(ϕ). c) Es seien ϕ : R R ein Ringepimorphismus, Ω = {I ker(ϕ) I R} die Menge aller Ideale von R, welche ker(ϕ) enthalten, und Ω = {I I R } die Menge aller Ideale von R. Dann ist ϕ : Ω Ω I ϕ(i) eine inklusionserhaltende Bijektion, und für I Ω ist ϕ 1 (I ) = ϕ 1 (I ) R.

6 Beispiel 49: Zeigen Sie, dass die Abbildung ϕ : Abb(R, R) R, definiert durch ϕ(f) = f(2) für f Abb(R, R), ein Ringepimorphismus ist. Es sei I Abb(R, R) wie in Beispiel 44 gegeben. Verwenden Sie Satz 6, um Abb(R, R)/I R zu beweisen! Können Sie einen Zusammenhang mit Beispiel 46 herstellen? Verwenden Sie die Ergebnisse von Beispiel 48, um auf analoge Weise Abb(R, R)/I M Abb(M, R) zu beweisen. 25 Lemma 2. Für einen beliebigen Ring R gilt: a) Es existiert genau ein Ringhomomorphismus ϕ : Z R, und für diesen ist ϕ(z) = {k 1 R k Z} =: R 0. b) R 0 ist der kleinste Teilring von R (d. h.: jeder Teilring von R enthält R 0 ). c) Es gibt genau ein n N 0 mit R 0 Z/(n). Definition 5. Es sei R ein Ring. Dann heißt der in Lemma 2.a) definierte, kleinste Teilring R 0 = {k 1 R k Z} R der Primring von R, und die nach Lemma 2.c) eindeutig bestimmte Zahl n N 0 mit R 0 Z/(n) heißt die Charakteristik des Ringes R (Schreibweise: char(r) = n). 3.3 Nullteiler, Ideale in kommutativen Ringen Ab nun sind alle betrachteten Ringe kommutativ (d. h.: a, b R : ab = ba). Definition 6. Es sei R ein kommutativer Ring. a) Ein Element a R heißt ein Nullteiler (von R), wenn es ein b R \ {0} mit ab = 0 gibt. Die Menge aller Nullteiler von R bezeichnen wir mit NT(R). b) Der Ring R heißt ein Integritätsbereich [engl.: domain], wenn NT(R) = {0} ist, d. h.: wenn das Nullelement 0 der einzige Nullteiler von R ist. c) Der Ring R heißt ein Korper [engl.: field, franz.: corps], wenn R = R \ {0} gilt, d. h.: jedes Element außer 0 besitzt ein (multiplikatives) Inverses. Beispiel 50: Zeigen Sie: ein Element f Abb(R, R) ist genau dann ein Nullteiler, wenn 0 f(r) ist. Ist jedes Element von Abb(R, R) entweder Nullteiler oder Einheit, d. h.: gilt Abb(R, R) = Abb(R, R) NT(Abb(R, R)? Lemma 3. Es sei R ein kommutativer Ring. a) Für ein Element a R sind folgende Aussagen äquivalent: i) a NT(R) ii) Für alle b, c R gilt: aus ab = ac folgt b = c (d. h.: das Element a ist,,kürzbar ). iii) Gilt ab = 0 mit einem b R, so folgt b = 0.

7 26 b) Es gilt: R NT(R) =. Insbesondere gilt: Ist R ein Körper, so ist R auch ein Integritätsbereich. c) Ist R ein Integritätsbereich (bzw. speziell ein Körper), so gilt: char(r) P {0}. Satz 7 (Struktur des Restklassenrings Z/(n)). Es sei n N. a) Für a Z sind folgende Aussagen äquivalent: i) a + nz (Z/(n)) ii) a + nz NT(Z/(n)) iii) ggt(a, n) = 1 Insbesondere gilt: Z/(n) = (Z/(n)) NT(Z/(n)). b) Folgende Aussagen sind äquivalent: i) Z/(n) ist ein Körper. ii) Z/(n) ist ein Integritätsbereich. iii) n P. Definition 7. Es sei R ein kommutativer Ring. a) Für a R heißt (a) = ar = Ra = {ar r R} das von a erzeugte Hauptideal von R. Ein Ideal I R heißt ein Hauptideal, wenn es ein a R mit I = (a) gibt. Ist R ein Integritätsbereich und ist jedes Ideal von R ein Hauptideal, so heißt R ein Hauptidealring (= PID = principal ideal domain). b) Ein Ideal P R heißt ein maximales Ideal, wenn P R ist und wenn es kein Ideal Q R mit P Q R gibt; ein Primideal, wenn P R ist und wenn für alle a, b R gilt: aus ab P folgt a P oder b P. Beispiel 51: Für eine Teilmenge M R sei I M Abb(R, R) so wie in Beispiel 45 definiert. Zeigen Sie, dass I M ein Hauptideal ist! (Tipp: Die charakteristische Funktion der Menge R \ M könnte hilfreich sein.) Satz 8. Für einen kommutativen Ring R mit R 2 sind folgende Aussagen äquivalent: a) R ist ein Körper. b) {0} und R sind die einzigen Ideale von R. c) Jeder Ringhomomorphismus ϕ : R R in einen (nicht notwendig kommutativen) Ring R mit R 2 ist ein Monomorphismus.

8 Beispiel 52: Wieso kann es (wegen Satz 8) keinen Ringhomomorphismus ϕ : R Q geben? (Tipp: welche dieser Mengen ist abzählbar?) Beispiel 53: Beweisen Sie folgende Variante von Satz 8: ein kommutativer Ring R mit R 2 ist genau dann ein Körper, wenn {0} ein maximales Ideal von R ist. Satz 9. Es sei R ein kommutativer Ring und I R ein Ideal. Dann gilt: a) I ist genau dann ein maximales Ideal von R, wenn R/I ein Körper ist. b) I ist genau dann ein Primideal von R, wenn R/I ein Integritätsbereich ist. c) Jedes maximale Ideal von R ist auch ein Primideal von R. d) {0} ist genau dann ein Primideal von R, wenn R ein Integritätsbereich ist. e) Ist R ein Hauptidealring, so ist jedes nicht triviale Primideal {0} P R ein maximales Ideal. Beispiel 54: Es seien I 1, I 2 Abb(R, R) wie in Beispiel 47 gegeben. Zeigen Sie, dass beide maximale Ideale sind. Sind sie auch Primideale? Zeigen Sie, dass für eine Teilmenge M R mit M 2 das Ideal I M kein Primideal ist und Abb(M, R) kein Integritätsbereich ist! (Mehrere Beweismöglichkeiten!) Satz 10. Es sei R ein kommutativer Ring mit R 2. Dann besitzt R maximale Ideale. Darüber hinaus gilt: ist I R ein Ideal mit I R, so existiert ein maximales Ideal M R mit I M. Zum Beweis von Satz 11 benötigen wir das Zorn sche Lemma: Es sei M eine Menge mit einer Ordnungsrelation (vgl. 1, Def. 6.c). Eine Teilmenge K M heißt Kette (oder: total geordnete Teilmenge von M), wenn für alle x, y K gilt: x y oder y x. Ein Element s M heißt eine obere Schranke für eine Kette K M, wenn für alle k K gilt: k s. Lemma von Zorn. Es sei M eine Menge mit einer Ordnungsrelation. Besitzt jede Kette K M eine obere Schranke in M, so besitzt die Menge M maximale Elemente (d. h.: Elemente m M, sodass für alle x M gilt: x m = x = m). Beispiel 55: Überlegen Sie sich mit Hilfe von Beispiel 51, dass der Ring Abb(R, R),,unendlich lange Ketten von ineinander enthaltenen Hauptidealen besitzt. Beispiel 56: Haben Sie in Ihrem bisherigen Studium schon vom,,zorn schen Lemma gehört? Wurde in der,,linearen Algebra bewiesen, dass jeder Vektorraum (von beliebig großer Dimension) eine Basis besitzt? Können Sie sich einen entsprechenden Beweis mit dem Zorn schen Lemma vorstellen, indem man die Menge M aller Teilmengen von linear unabhängigen Vektoren eines Vektorraums V mit der Mengeninklusion als Ordnungsrelation versieht? 27

9 Chinesischer Restsatz und Euklidische Ringe Definition 8. a) (Das (äußere) direkte Produkt von Ringen) [vgl. 1.2 und 2.5] Es seien n N und R 1,..., R n (nicht notwendig kommutative) Ringe. Dann ist R = R 1... R n mit den komponentenweise definierten Operationen + und [vgl. 1, Def. 3] wieder ein Ring mit Nullelement 0 R = (0 R1,..., 0 Rn ) und Einselement 1 R = (1 R1,..., 1 Rn ). R heißt das (äußere) direkte Produkt der Ringe R 1,..., R n. Sind alle R i kommutativ, so ist auch R kommutativ. b) Es sei R ein kommutativer Ring. Ideale I, J R heißen (zueinander) teilerfremd (oder: relativ prim zueinander), wenn I + J = R gilt. Satz 11 (Chinesischer Restsatz). Es seien R ein kommutativer Ring, n N und I 1,..., I n R paarweise teilerfremde Ideale (d. h.: für alle i, j {1,..., n} mit i j ist I i + I j = R). Für 1 j n sei π j : R R/I j die kanonische Projektion auf den Restklassenring von R modulo I j. Dann ist π : R R/I 1... R/I n, definiert für a R durch π(a) = (π 1 (a),..., π n (a)) = (a + I 1, a + I 2,..., a + I n ), ein Ringepimorphismus mit ker(π) = n j=1 I j, also insbesondere / n R j=1 I j n ( ) R/Ij. j=1 Beispiel 67: Schreiben Sie die Abbildung π aus Satz 11 für R = Z, n = 3, I 1 = (3), I 2 = (5), I 3 = (7) an, und berechnen Sie die im Beweis verwendeten Elemente e j, (1 j 3)! Geben Sie damit π 1 ({(2, 3, 1)}) und π 1 ({(1, 2, 3)}) an! Welche Kongruenzsysteme haben Sie damit gelöst? Korollar (Chinesischer Restsatz für Kongruenzen). Es seien dieselben Voraussetzungen wie in Satz 11 gegeben. Sind a 1,..., a n R beliebig gegeben, so existieren x R, die x a j mod I j für alle 1 j n erfüllen, und alle diese x bilden genau eine Restklasse modulo n j=1 I j.

10 Definition 9. Ein Integritätsbereich R heißt ein euklidischer Ring, wenn es eine Abbildung δ : R \ {0} N 0 (genannt: euklidische Norm oder Gradabbildung) mit folgender Eigenschaft gibt: zu beliebigen Elementen a, b R mit b 0 gibt es q, r R mit a = qb + r und falls r 0 ist δ(r) < δ(b). Beispiel 58: Zeigen Sie, dass Z[ 2] = {m + n 2 m, n Z} R ein Teilring der reellen Zahlen ist und dass die Abbildung δ : Z[ 2] N 0 m + n 2 m 2 2n 2 eine euklidische Norm ist. Tipp: Ahmen Sie den Beweis für das Beispiel Z[i] aus der Vorlesung nach (,,Nenner rational machen ). Satz 12. Jeder euklidische Ring ist ein Hauptidealring. 29