14 Ideale und Ringhomomorphismen

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1 14 Ideale und Ringhomomorphismen Falls nichts anderes gesagt wird, so bezeichnen wir ab jetzt mit Ring immer einen kommutativen Ring mit 1 0. Definition Sei R ein Ring, I R. Dann nennt man I ein Ideal in R (oder von R) falls gilt: (I1) I ; (I2) I ist abgeschlossen unter der Addition: x, y I : x + y I; (I3) I ist abgeschlossen unter Multiplikation mit Elementen aus R: x I, λ R: λx I. Bemerkung (i) Falls I R ein Ideal ist, so gilt 0 I. Also kann (I1) ersetzt werden durch (I1 ): 0 I. (ii) Falls I R ein Ideal ist, so gilt (I, +) (R, +), also kann (I1)+(I2) ersetzt werden durch (I4): (I, +) (R, +). Bemerkung. Falls R nicht-kommutativ, so muss man unterscheiden zwischen Linksidealen, definiert wie oben, und Rechtsidealen, wo (I3) ersetzt wird durch: x I, λ R: xλ I. Man definiert dann ein 2-seitiges Ideal (oder kurz: Ideal) als eine Teilmenge, die sowohl Links- als auch Rechtsideal ist. Z.B. kann man zeigen, dass in M n (K) (K Körper) die einzigen 2-seitigen Ideale {0} und M n (K) sind, aber z.b. in M 2 (K) die Teilmenge {( ) } x 0 x, y K y 0 ein Links- aber kein Rechtsideal ist, und {( ) 0 0 x, y K } x y ein Rechts- aber kein Linksideal ist. Beispiel. (0) {0} und R sind Ideale im Ring R. (1) Die Untergruppen von (Z, +) sind genau die nz, n N 0. Man sieht leicht, dass dies auch Ideale in Z sind, dies sind dann also genau die Ideale in Z. 1

2 (2) R Ring, a R. Wir definieren Ra := {λa λ R}. Man sieht leicht: Ra ist ein Ideal in R, üblicherweise bezeichnet mit (a) := Ra, das von a erzeugte Ideal in R. Ein Ideal I R heißt Hauptideal falls a R mit I = (a). (3) Sei I = {2P (X) + XQ(X) P (X), Q(X) Z[X]} Z[X]. Man rechnet nach, dass I ein Ideal in Z[X] ist und man kann zeigen, dass I kein Hauptideal ist. Bemerkung (1) Beachte: (0) = R 0 = {0} und (1) = R 1 = R. (2) (a) = R a R. (3) R ist ein Körper die einzigen Ideale in R sind {0} und R. Wir wissen: Sei R ein Ring, I R ein Ideal. Dann gilt (I, +) (R, +) (beachte, dass (R, +) als Gruppe abelsch ist und daher jede Untergruppe Normalteiler ist. Man hat also die übliche Faktorgruppe R/I = {a + I a R} mit Addition (a + I) + (b + I) = (a + b) + I. Man definiert eine Multiplikation auf R/I auf die offensichtliche Weise: (a + I) (b + I) := ab + I. Man muss natürlich zeigen, dass dies wohldefiniert ist, also dass das Produkt unabhängig von der Wahl der Repräsentanten a und b in den Nebenklassen a + I, b + I ist. Damit erhält man: Satz und Definition Sei R ein Ring, I R ein Ideal. Dann ist R/I = {a + I a R} mit Addition (a + I) + (b + I) = (a + b) + I und Multiplikation (a+i) (b+i) := ab+i ein Ring mit Einselement 1 R/I = 1 R +I und Nullelement 0 R/I = 0 R + I = I und wird Faktorring oder Quotientenring von R bzgl. I oder von R modulo I genannt. Bemerkung. Statt a + I schreibt man oft a mod I oder [a] I oder a (aber Achtung: bei der Bezeichnung a geht die Information verloren, bzgl. welchen Ideals man die Nebenklasse nimmt). Beispiel. (1) I + R: R/R = {0 R/R }, ein 1-elementiger Ring mit 1 R/R = 0 R/R. (2) I = {0} = (0): a + (0) = {a}, also R/(0) = {{a} a R}, dieser Ring kann mit R identifiziert werden mittels a {a}. (3) Die Ideale in Z sind nz, n N 0. Z/nZ ist genau der Ring, in dem schon in 0 gerechnet wurde. Definition Seien A, B Ringe. Eine Abbildung f : A B heißt Ringhomomorphismus falls gilt: (RH1) x, y A: f(x + y) = f(x) + f(y); 2

3 (RH2) x, y A: f(xy) = f(x)f(y); (RH3) f(1 A ) = 1 B. Einen bijektiven Ringhomomorphismus nennt man Ringisomorphismus. Einen Ringhomomorphismus f : A A nennt man Ringendomorphismus von A. Einen bijektiven Ringendomorphismus von A nennt man Ringautomorphismus von A. Für einen Ringhomomorphismus definiert man den Kern und das Bild wie folgt: Kern(f) := {x A f(x) = 0 B } Bild(f) := {f(x) x A} Bemerkung. (RH1) impliziert: Jeder Ringhomomorphismus f : A B ist insbesondere ein Gruppenhomomorphismus (A, +) (B, +), daher sicher f(0 A ) = 0 B. Lemma Sei f : A B ein Ringhomomorphismus. Dann gilt: (i) Kern(f) ist ein Ideal in A. (ii) Bild(f) ist ein Unterring von B. (iii) f injektiv Kern(f) = {0 A }. (iv) Falls f ein Ringisomorphismus ist, so ist die Umkehrabbildung f 1 : B A auch ein Ringisomorphismus. (v) Ist g : B C ein weiterer Ringhomomorphismus, so ist g f : A C auch ein Ringhomomorphismus. Beispiel. Sei R ein Ring, I R ein Ideal. Betrachte π : R R/I : a a + I. Dies ist ein surjektiver Ringhomomorpismus mit Kern(π) = I. Beispiel. Sei A ein Unterring eines Ringes B, und b B. Dann können wir P (X) = a 1 +a 1 X +...+a n X n A[X] in b auswerten (evaluieren): P (b) = a 1 + a 1 b+...+a n b n B. Wir erhalten die Auswertungs- oder Evaluierungsabbildung ev b : A[X] B : P (X) P (b) Dies ist ein Ringhomomorphismus mit Kern(ev b ) = {P (X) A[X] P (b) = 0}, also der Kern besteht aus den Polynomen, die b als Nullstelle haben. (1) ev i : C[X] C (wobei i 2 = 1). Dann hat man Kern(ev i ) = {(X i)p (X) P (X) C[X]} = (X i) 3

4 (2) ev i : R[X] C. Hier kann man nun zeigen (dies wird in späteren Kapiteln klarer): Kern(ev i ) = {(X 2 + 1)P (X) P (X) R[X]} = (X 2 + 1) Satz 14.7 (Hauptsatz über Ringisomorphismen). Sei f : A B ein Ringhomomorphismus, und sei I A ein Ideal mit I Kern(f). Dann ist die Abbildung f : A/I Bild(f) : a + I f(a) ein wohldefinierter surjektiver Ringhomomorphismus. Ferner gilt: f ist injektiv I = Kern(f); in diesem Fall ist f also ein Ringisomorphismus und es gilt A/ Kern(f) = Bild(f) Lemma Seien R ein Ring, S R ein Unterring und I R ein Ideal. Dann ist S I ein Ideal in S. Bemerkung. In dieser Situation haben wir id S : S R : x x und π : R R/I, und damit ϕ := π id S : x x + I mit Kern(ϕ) = S I. Man erhält so einen injektiven Ringhomomorphismus ϕ : S/(S I) R/I : x + (S I) x + I Insbesondere kann man so S/S I auf natürliche Weise mit einem Unterring von R/I identifizieren. Korollar Sei f : A B ein Ringhomomorphismus und J B ein Ideal. Dann gilt: (i) J Bild(f) ist ein Ideal im Unterring Bild(f) von B. (ii) f 1 (J) = {a A f(a) J} ist ein Ideal in A. Ferner gilt f 1 (J) = f 1 (J Bild(f)). (iii) A/f 1 (J) = Bild(f)/(J Bild(f)). Insbesondere ist A/f 1 (J) isomorph zu einem Unterring von B/J. Korollar Sei f : A B ein surjektiver Ringhomomorphismus und I A ein Ideal. Dann gilt: (i) f(i) ist ein Ideal in B. (ii) f 1 (f(i)) = I + Kern(f). 4

5 (iii) A/(I + Kern(f)) = B/f(I). Beispiel. (1) ev 0 : Q[X] Q ist ein surjektiver Ringhomomorphismus mit Kern(ev 0 ) = (X), also Q[X]/(X) = Q. (2) ev 1 : R[X] R ist ein surjektiver Ringhomomorphismus mit Kern(ev 1 ) = (X 1), also R[X]/(X 1) = R. (3) ev i : R[X] C ist ein surjektiver Ringhomomorphismus mit Kern(ev i ) = (X 2 + 1), also R[X]/(X 2 + 1) = C. 5