1.4 Gruppen, Ringe, Körper

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1 14 Gruppen, Ringe, Körper Definition 141 Eine Verknüpfung auf einer Menge M ist eine Abbildung : M M M : (a,b) a b Die Verknüpfung heißt assoziativ falls a,b,c M gilt: a (b c) = (a b) c; kommutativ falls a,b M gilt: a b = b a Man schreibt (M, ) für die Menge M mit der Verknüpfung Beispiel (N, ) (Subtraktion) keine Verknüpfung (nicht abgeschlossen) (Z, ) Verknüpfung, aber weder kommutativ noch assoziativ N, Z, R, Q mit Addition + oder mit Multiplikation, assoziativ und kommutativ X nichtleere Menge, M = Abb(X) = {f f : X X Abbildung} mit üblicher Verknüpfung f g, assoziativ aber ia nicht kommutativ Ähnlich für S X = {f f : X X bijektive Abbildung} Z/m mit Addition oder Multiplikation, assoziativ, kommutativ Definition und Satz 142 Sei eine Verknüpfung auf einer nichtleeren Menge M Dann heißt e M neutrales Element für die Verknüpfung falls a M gilt: e a = a e = a Falls ein neutrales Element existiert, so ist dieses eindeutig bestimmt Beispiel (N, +) kein neutrales Element N 0, Z, Q, R etc mit + : neutrales Element 0 N, Z, Q, R etc mit : neutrales Element 1 Abb(X), S X mit : neutrales Element id X : X X : a a Bemerkung Das Symbol + ( Addition ) wird nur bei bestimmten kommutativen Verknüpfungen genommen Gibt es dabei ein neutrales Element, so bezeichnet man es ia mit 0 (Null) (oder mit 0 M um die zu Grunde liegende Menge M hervorzuheben) 13

2 Definition 143 Sei G eine nichtleere Menge mit Verknüpfung Dann heißt (G, ) (oder nur G falls klar ist, welches gemeint ist) Gruppe falls gilt: (G1) ist assoziativ; (G2) neutrales Element e G für ; (G3) Zu jedem a G existiert ein b G mit a b = b a = e b heißt dann das zu a inverse Element oder das Inverse von a G heißt kommutativ oder abelsch falls die Verknüpfung kommutativ ist Satz 144 Sie (G, ) eine Gruppe Dann gibt es zu jedem a G genau ein Inverses Bemerkung Falls das Verknüpfungssymbol + ist, so schreibt man oft a (das Negative von a, Minus a) für das Inverse von a Ansonsten schreibt man ia a 1 für das Inverse von a Beispiel keine Gruppen: (N,+), (Z, ), (Z/m, ) (m 2) Gruppen: Z, R, Q etc mit + (Z/m, ) ist eine Gruppe R\{0}, Q\{0} mit sind Gruppen Sei m 2 Dann gilt: (Z/m \ {[0] m }, ) ist eine Gruppe m ist Primzahl (Korollar 139) Definition und Satz 145 Sei X eine nichtleere Menge (S X, ) ist eine Gruppe mit neutralem Element id X Das zu f S X inverse Element ist die Umkehrabbildung f 1 S X heißt die symmetrische Gruppe auf der Menge X Ein Element in S X nennt man auch eine Permutation (der Elemente) von X S n := S {1,,n} heißt symmetrische Gruppe vom Grad n Es gilt S n = n! Für kleine Gruppen G = {a,b,c,} kann man die Verknüpfungstafel oder Cayley-Tafel schreiben: 14

3 a b c a a a a b a c b b a b b b c c c a c b c c Beispiel Die Cayley-Tafeln für (Z/5\{[0] 5 }, ) (schreibe a statt [a] 5 ): Man sieht: jedes Element der Gruppe kommt in der Produkttabelle in jeder Zeile und jeder Spalte genau einmal vor Dies gilt allgemein für Cayley-Tafeln von Gruppen (warum?) Als Übung berechne man die Cayley-Tafel von S 3 Definition 146 Ein Ring ist eine nichtleere Menge R zusammen mit zwei Verknüpfungen, einer Addition + und einer Multiplikation, sodass gilt: (R1) (R, +) ist eine abelsche Gruppe, wobei das neutrale Element Nullelement oder Null heißt, in Zeichen 0 R oder 0; (R2) Die Multiplikation ist assoziativ; (R3) Es gilt das Distributivgesetz: a,b,c R gilt a (b+c) = a b+a c und (a+b) c = a c+b c; (R4) Es existiert ein neutrales Element für die Multiplikation, genannt Einselement oder Eins, in Zeichen 1 R oder 1 Falls die Multiplikation kommutativ ist, so spricht man von einem kommutativen Ring Bemerkung In der Literatur betrachtet man auch manchmal Ringe, die (R4) nicht notwendigerweise erfüllen Ringe, die (R4) erfüllen, werden dann auch unitäre Ringe genannt Es gibt auch eine Theorie von Ringen, die(r2) nicht erfüllen, solche Ringe heißen dann nichtassoziativ Falls nichts anderes gesagt wird, erfüllen alle unsere Ringe (R2) und (R4) 15

4 Bemerkung In einem Ring R gilt immer: 0 x = x 0 = 0 (Beweis?) Bezeichnet man ferner wie üblich das additiv Inverse eines Elements x R mit x, so gilt a,b R: (Beweis?) ( a) b = (a b) = a ( b) und ( a) ( b) = a b Beispiel (N 0,+, ) ist kein Ring Z, Q, R mit der üblichen Addition/Multiplikation sind Ringe R[X] = {a 0 + a 1 X + + a n X n a i R, n N 0 }, der Polynomring über R in der Variablen X, mit der üblichen Addition/Multiplikation von Polynomen Z[ 2] = {a+b 2 a,b Z} RmitderüblichenAddition/Multiplikation in R Sei (R,+, ) ein Ring Wir definieren mit Abb(M,R) = {f f : M R Abbildung} Addition: f +g : M R : x f(x)+g(x) (Summe der Werte in R) Multiplikation: f g : M R : x f(x) g(x) (Produkt der Werte in R) wobei 1 Abb(M,R) : M R : x 1 R 0 Abb(M,R) : M R : x 0 R (Z/m,, ) ist ein Ring All diese Ringe sind kommutativ, bis auf Abb(M, R) Man sieht leicht: Abb(M, R) ist kommutativ R ist kommutativ Wir werden auch nichtkommutative Ringe betrachten müssen, zb wie M 2 (R), den Ring der 2 2 Matrizen über R Dieser ist als Menge folgendermaßen definiert: {( ) } a b M 2 (R) = a,b,c,d R c d 16

5 Man definiert Addition und Multiplikation wie folgt: ( ) ( ) ( ) a b u v a+u b+v + := c d w x c+w d+x ( ) a b c d ( ) u v := w x ( ) au+bw av +bx cu+dw cv +dx Das Null- und das Einselement sind dann wie folgt: ( ) ( ) M2 (R) =, M2 (R) = 0 1 Man verifiziere die Ringaxiome und finde ein Beispiel, das zeigt, dass dieser Ring nicht kommutativ ist Definition 147 Ein Körper ist ein kommutativer Ring K mit 1 0, in dem jedes x K\{0} ein multiplikatives Inverses besitzt, welches mit x 1 bezeichnet wird Beispiel (Z, +, )ist kein Körper R, Q, C mit + und wie üblich sind Körper Satz 148 Sei m N, m 2 Dann gilt: (Z/m,, ) ist ein Körper m ist eine Primzahl Definition 149 SeiReinRing x RheißtEinheit desringesrfalls a R mit a x = x a = 1 (dh x hat ein multiplikatives Inverses) Man schreibt für a dann auch x 1 R := {x R x ist Einheit} Bemerkung 1410 Sei R ein Ring (a) / R R {0} (b) (R, ) ist eine Gruppe mit neutralem Element 1 R (hier ist die Multiplikation in R) Man nennt daher R auch die Einheitengruppe von R (c) R ist ein Körper R ist kommutativ und R = R\{0} Satz 1411 R Ring, a R Dann gilt: Die Abbildung L a : R R : x a x ist bijektiv genau dann, wenn a R Beispiel Z = {±1}; 17

6 Z[ 2] hat unendlich viele Einheiten, ist aber kein Körper ZB ist 0 2 = / Z[ 2] (wieso?) Man kann zeigen: Sei ζ = 1+ 2 Z[ 2] Dann ist ζ eine Einheit mit ζ 1 = Z[ 2], und man erhält Z[ 2] = {ζ n, ζ n n Z} Der Beweis der letzten Aussage ist nicht ganz einfach Satz 1412 Sei m N, m 2 (Z/m) = {[a] m 0 a m 1, ggt(a,m) = 1} Beispiel Multiplikationstafel für(z/12) = {1,5,7,11}(schreibe astatt [a] 12 ): Definition 1413 Sei (G, ) eine Gruppe mit neutralem Element e H G heißt Untergruppe von G, in Zeichen H G, falls gilt: (UG1) H ; (UG2) x,y H : x y H; (UG3) x H : x 1 H Bemerkung (i)(ug1) kann auch ersetzt werden durch die Bedingung e H (ii)gilth G,soistH selbsteinegruppemitdervong geerbten Verknüpfung und mit demselben neutralen Element e: e H = e Beispiel (Z,+) (Q,+), (Q, ) (R, ), (N 0,+) (Z,+), {2 n n Z} (Q, ), Definition 1414 Sei (R,+, ) ein Ring S R heißt Unterring von R, falls gilt: (UR1) (S,+) (R,+); (UR2) x,y S : x y S; (UR3) 1 R S 18

7 Bemerkung Damit wird S selber ein Ring mit der von R geerbten Addition/Multiplikation und mit 1 S := 1 R Beispiel Z als Unterring von Q, oder von Z[ 2] Z[ 2] als Unterring von R, aber nicht von Q Definition 1415 (1) Seien (G, ), (H,#) Gruppen Eine Abbildung f : G H heißt Gruppenhomomorphismus, falls f verknüpfungstreu ist, dh f(a b) = f(a)#f(b) a,b G Falls f zusätzlich noch bijektiv ist, so nennt man f einen Gruppenisomorphismus, in diesem Fall sagt man dann (G, ) ist isomorph zu (H,#), in Zeichen (G, ) = (H,#) (oder einfach nur G = H falls klar ist, welche Verknüpfungen gemeint sind) (2) Seien (R,+, ), (S,+, ) Ringe Eine Abbildung f : R S heißt Ringhomomorphismus, falls gilt: (RH1) f(a+b) = f(a)+f(b) a,b R; (RH2) f(a b) = f(a) f(b) a,b R; (RH3) f(1 R ) = 1 S Falls f zusätzlich noch bijektiv ist, so nennt man f einen Ringisomorphismus, in diesem Fall sagt man dann (R, +, ) ist isomorph zu (S, +, ), in Zeichen (R,+, ) = (S,+, ) (oder einfach nur R = S) Beispiel Man hat einen Gruppenisomorphismus f : (Z/2, ) (Z, ), wobei f([0] 2 ) = 1, f([1] 2 ) = 1 (Beweis?) Also (Z/2, ) = (Z, ) Man kann zeigen (Übung): (Z/4, ) = (Z/5, ) Beispiel Die Abbildung Q R : x x ist ein Ringhomomorphismus Sei m N, m 2 Die Abbildung Z Z/m : a [a] m ist ein Ringhomomorphismus von (Z,+, ) nach (Z/m,, ) Bemerkung 1416 (i) Sei (G, ) eine Gruppe mit neutralem Element e Wir definieren g 0 := e, und für jedes n N: g n := g g g }{{} n-mal, g n := g 1 g 1 g 1 }{{} n-mal Es gilt dann für alle n,m Z: (g n ) m = g nm und g n g m = g n+m (wieso?) 19

8 (ii) Falls die Gruppe (G, +) additiv (mit + als Verknüpfungssymbol) geschrieben wird mit neutralem Element 0 G (dies macht man nur für gewisse abelsche Gruppen), so schreibt man 0g := 0 G und für jedes n N: ng := g +g + +g }{{} n-mal, ( n)g := ( g)+( g)+ +( g) }{{} n-mal Es gilt dann für alle n,m Z: n(mg) = (nm)g und (n+m)g = (ng)+(mg) (wieso?) Satz 1417 Sei f : (G, ) (H,#) ein Gruppenhomomorphismus Dann gilt: (a) f(e G ) = e H ; (b) f(a 1 ) = f(a) 1 a G; (c) f(a n ) = f(a) n a G und n Z Beispiel Wir wissen, dass es Gruppen der Ordnung 3 gibt, zb (Z/3, ) mit Cayley-Tafel (hier wie üblich a statt [a] 3 ): Sei nun (G, )eine andere Gruppeder Ordnung 3, sagen wir G = {e,a,b}, wobei e das neutrale Element sei Dann kann man die Cayley-Tafel von G schon partiell ausfüllen: e a b e e a b a a b b Wir wissen ferner, dass bei den Produkten jedes Element aus G in jeder Zeile und jeder Spalte genau einmal vorkommt Dann sieht man schnell, dass die obige partielle Cayley-Tafel nur auf eine Weise komplettiert werden kann: e a b e e a b a a b e b b e a Dann sieht man, dass die Abbildung f : G Z/3 mit f(e) = 0, f(a) = 1 und f(b) = 2 die Cayley-Tafel von G in die von Z/3 überführt Das bedeutet 20

9 nichtsanderes, alsdassf ein Gruppenisomorphismusist(wieso?), alsog = Z/3 Somit haben wir gezeigt, dass alle Gruppen der Ordnung 3 isomorph zu (Z/3, ) sind In der Vorlesung Algebra 1 werden effizientere Methoden entwickelt, um so etwas zu zeigen Beispiel Anders als bei Gruppen der Ordnung 3 gibt es nicht-isomorphe Gruppen der Ordnung 4, hier ein Beispiel: (Z/4, ) = (Z/2, ) (Z/2, ) Man finde einen Beweis, warum diese Gruppen nicht isomorph zueinander sind Man kann sogar zeigen, dass jede Gruppe der Ordnung 4 zu einer dieser beiden Gruppen isomorph ist Man sagt dann auch: Es gibt bis auf Isomorphie zwei Gruppen der Ordnung 4, nämlich die obigen Auch für solche und ähnliche Aussagen werden in Algebra 1 Beweismethoden entwickelt 21