Die allereinfachste Rechenoperation ist das Zusammenzählen zweier Zahlen etwa = 7

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1 I. 1 Rechenoperationen erster Stufe Die Addition Die allereinfachste Rechenoperation ist das Zusammenzählen zweier Zahlen etwa = 7 Nun gibt es aber unendlich viele (natürliche) Zahlen, da es ja keine größte Zahl gibt (warum nicht?). Daher gibt es auch unendlich viele Additionen. Wie kann man nun die Summe mathematisch beschreiben? Dazu ist eine weitere Abstraktion notwendig: Wir definieren Buchstaben als die Stellvertreter aller Zahlen und schreiben a + b SUMME = c Wert der Summe a und b sind als beliebige Zahlen, die man Summanden nennt. Ihre Summe ergibt wieder eine Zahl aus der Menge N, wobei die Reihenfolge, wie ich addiere, unwichtig ist, denn die Addition ist eine schöne Rechenoperation: Schön ist nicht anders als symmetrisch, also vertauschbar (kommutativ): Beispiel 3+4 =4+3 und allgemein 1 a + b = b + a Die Summanden (Posten) sind vertauschbar, denn die Reihenfolge des Addierens ist unerheblich. Betrachtet man zb. auf einer Weide zehn Kühe, 1 Wie zählt man zusammen? Man rechnet wegen 7+93 = 100 also = = 128 Außerdem sind die natürlichen Zahlen bezüglich der Addition noch nicht asozial, sondern - assoziativ, d. h. die Reihenfolge ist beliebig ausführbar: (a + b) +c = a + (b+c) - 1/ 6

2 so spielt es keine Rolle, ob möglicherweise zuerst 7 da waren und dann drei dazu kamen, oder ob zuerst drei da waren und sieben dazu kamen Der Buchstabe x soll nun für eine gesuchte Zahl reserviert sein. Fragen wir uns etwa, welche Zahl zu drei addiert sieben ergibt, 3 + x = 7, dann liefert das uns eine einfachste Gleichung mit einer Unbekannten Größe x. Wie kann man diese Gleichung auflösen? Dazu benötigen wir die Umkehroperation zur Addition, die Subtraktion (das Vermindern oder Abziehen): x = 7 3 Allgemein a b = c Wert der Differenz DIFFERENZ Die Differenz ist nicht mehr symmetrisch, die Reihenfolge also nicht vertauschbar, denn 7-3 und 3 7 sind nicht dasselbe (nur betragsmäßig sind sie gleich 4). Man erhält durch die Subtraktion manchmal keine natürlichen Zahlen mehr, und geschichtlich dauerte es recht lange, bis man die negativen Größen (und übrigens auch die Null durch die Inder) als Zahlen allgemein anerkannte: - 2/ 6

3 Wenn sich drei Personen in einem Zimmer befinden, sieben Personen das Zimmer verlassen, wie viele Personen müssten das Zimmer betreten, damit es leer ist? Unmögliches wird möglich gemacht, indem man den Zahlbereich erweitert. Jede ganze Zahl bekommt nun ein Vorzeichen und ist Plus oder Minus; dieses Minuszeichen ersetzt die Operation des Subtrahierens durch eine Addition der Gegenzahl: a b = a + ( b) Aus dem Operations-Minus wird ein Vorzeichen-Minus, ähnlich wie wir später bei der nächsten Zahlbereichserweiterung die Division durch die Multiplikation mit dem Kehrwert ersetzten (mit dem reziproken Wert malnehmen) können. Allerdings machen negative Zahlen durchaus Sinn, wenn etwa das Thermometer an einem Winter tagsüber drei Grad anzeigt und nachts wegen der Abkühlung die Temperatur um sieben Grad zurückgeht, erhält man vier Grad unter Null. Oder wenn man eine Markierung für den Wasserstand als Null erklärt und das Wasser unter diese Linie sinkt. Oder wenn man auf seinem Konto mehr Geld abhebt, als man eigentlich hat. Dann sind die negative Zahlen Schulden und man könnte sie zur deutlicheren Unterscheidung rot schreiben. Man erhält die negativen Zahlen als Ergebnis von Differenzen, deren Subtrahend größer ist als der Minuend. Aber a b unterscheidet sich von b - a recht wenig; nur durch ein Vorzeichen: a - b = - (b-a) Die Subtraktion ist also pseudo-symmetrisch, denn bei Vertauschung kommt (nur) eine Änderung des Vorzeichens hinzu. Die durch die Negativitäten erweiterte Menge der natürlichen Zahlen nennt man die ganzen Zahlen; symbolisch Z / 6

4 Die natürlichen Zahlen tragen zusammen mit ihren Gegenzahlen 2 bezüglich des Zusammenzählens eine wichtige mathematische Struktur (siehe folgende Verknüpfungstafel) ß ß ß Der Mathematiker sagt, sie bilden eine Gruppe 3. Eine Menge G bezüglich einer Operation (Verknüpfung) G x G G bildet eine Gruppe, wenn 1.) (ABG) für jede Verknüpfung innerhalb der Menge G bleibt: a b = c mit c G 2.) (ASS) die Verknüpfung ASSOZIATIV ist, d.h. das Klammerungsgesetz gilt (a b) c = a (b c 3. (NE) 2 Man könnte von den genau soweit von der Null auf der Zahlengeraden entfernten Antizahlen sprechen, und sie statt mit Minuszeichen zu versehen einfach (als Schuldenzahlen) rot darstellen. Die Antizahl bezüglich der Multiplikation ist der Kehrwert (reziproke Wert), den man auch mit >>hoch minus 1<< kennzeichnet. 3 Genauer gesagt, handelt es sich um eine kommutative oder abelsche Gruppe, d. h. es gilt zusätzlich noch das Vertauschungsgesetz a b = b a Da die Operation also schön symmetrisch ist, wird die Gruppentafel symmetrisch zur Hauptdiagonalen / 6

5 ein neutrales Element n der Gruppe angehört, das nichts bewirkt x n = x für alle x G 4.) (INV) zu jedem Element x G ein neutralisierendes Umkehrelement (oder Gegenelement) x* G existiert, mit x x* = n Daraus folgt nun, dass wenn x z = y z ist, folgt x = y. Diese Gruppen-Struktur gewährleistet die eindeutige Auflösbarkeit von Gleichungen! Auch die Multiplikation von Brüchen 4, - den rationalen oder messbaren Zahlen -, bildet eine Gruppe 5, wenn man von der Null absieht (diese hat eine Sonderstellung unter den Zahlen). 4 auch nur die positiven schon alleine für sich genommen 5 mit der 1 statt der Null als Neutralität (Neutrales Element, Einselement), denn die Addition mit 0 ändert wie die Multiplikation mit 1 gar nichts am Wert / 6

6 Anmerkungen: Nun gibt es ja unendlich viele Zahlen und daher ist dies eine Gruppe unendlicher Ordnung. Es gibt aber auch endliche Gruppen (siehe übernächstes Kapitel)! Für mathematisch mehr bewanderte: Da die Multiplikation keine immer ausführbare Umkehrung besitzt (die Umkehrung des Verdoppelns wäre das Halbieren, also die Teilung durch 2, und z.b. ist die Eins innerhalb der Menge der ganzen Zahlen Z nicht durch Zwei teilbar, da ½ keine ganze Zahl ist), bildet Z nur eine multiplikative Halbgruppe. In ihrer Struktur bilden die ganzen Zahlen Z bezüglich der Addition und Multiplikation einen sog. Integritäts-RING, einen nullteilerfreien Ring (d.h. wenn ein Produkt Null ist, muss auch einer der Faktoren Null sein) mit einem multiplikativen neutralen Element (Einselement) und mit vertauschbaren Faktoren. Hat man zwei Gruppenstrukturen, wie die Addition und die Multiplikation der messbaren Zahlen, wobei man bei der zweiten Verknüpfung, dann das neutale (Null-) Element der ersten ausschließen muss, und wenn noch die Distributivgesetze (Verteilungsgesetze) gelten, a(b+c) = ab +ac dann spricht man von einer Köperstruktur. Für endliche Körper müssen beide Gruppen kommutativ (vertauschbar) sein. Ist nur die eine Verknüpfung (die additive) kommutativ, nicht aber die multiplikative, so spricht man von einem Schiefkörper / 6