Matrizen. a12 a1. a11. a1n a 21. a 2 j. a 22. a 2n. A = (a i j ) (m, n) = i te Zeile. a i 1. a i 2. a i n. a i j. a m1 a m 2 a m j a m n] j te Spalte

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1 Mathematik I Matrizen In diesem Kapitel werden wir lernen was Matrizen sind und wie man mit Matrizen rechnet. Matrizen ermöglichen eine kompakte Darstellungsform vieler mathematischer Strukturen. Zum Darstellung von linearen Gleichungssysteme in einer einzigen Matrizengleichung Beschreiben von linearen Abbildungen. Codieren von digitalen Bilder durch Matrizen im Rechner. Definition einer Matrix: Unter einer Matrix (Mehrzahl: Matrizen) versteht man ein rechteckiges Anordnung (Tabelle) von Elementen mit denen man rechnen kann. Zahlen werden in einer Matrix ähnlich wie in einer Tabelle angeordnet. Deshalb spricht man auch von Zeilen und Spalten einer Matrix. Wenn eine Matrix m Zeilen und n Spalten hat, spricht man von einer m n -Matrix. A (a i j ) (m, n) a11 a12 a1 j a1n a 21 a 22 a 2 j a 2n a i 1 a i 2 a i j a i n a m1 a m 2 a m j a m n j te Spalte i te Zeile Die Zahlen a i j R heißen Elemente der Matrix A a i j Eintrag in der i ten Zeile und j ten Spalte Der erste Index (i 1,, m) gibt die Nummer der Zeile an. Der zweite Index ( j 1,, n) gibt die Nummer der Spalte an. Ist A einer Matrix mit m Zeilen und n Spalten, so sagt man auch, sie sei vom Typ m, n und schreibt A A ( m, n ) ( a i j ) ( m, n ) A m n M. Komasi 1

2 1 2 1) Die Matrix A (a i j ) (3, 2) 3, Elemente Lauten: besitzt 3 Zeilen und 2 Spalten. Ihre a 1 1 1, a 1 2 2, a 2 1 3,3, a 2 2 4, a 31 0 und a Ist m n, so heißt die Matrix A n, n quadratisch. a 11 a 12 a 1n A (a i j ) ( n, n ) a 21 a 22 a 2 n a n1 a n 2 a n n Die Elemente a 1 1, a 2 2,, a n n einer quadratischen Matrix heißen Diagonalelemente, sie bilden die Hauptdiagonale der Matrix A n, n. Beispiele: 1) A (a i j ) ( 2, 2 ) ist eine 2-reihige, quadratische Matrix. a 11 1 und a 22 4 sind Diagonalelemente der Matrix A 2) B (b i j ) ( 3, 3 ) ist eine 3-reihige, quadratische Matrix. a 11 1, a 22 5 und a 33 9 sind Diagonalelemente der Matrix B Gleichheit Zwei Matrizen A (a i j ) (m, n ) und B (b i j ) (m, n) gleichen Typs heißen genau dann gleich, wenn a i j b i j für alle i, j A B a i j b i j für alle i, j 1) Die Matrizen A, B, C und D sind gegeben mit A Dann gilt: , B 0 5 0, C 0 5 und D A C während A B D. 2 4 M. Komasi 2

3 Spezielle Matrizen i) Nullmatrix Eine Matrix, deren Elemente Null sind, heißt Nullmatrix, geschrieben 0 A (a i j ) ( m, n ) , a 0 i j ii) Diagonalmatrix Eine quadratische Matrix A (a i j ) ( n, n ), deren Nichtdiagonalelemente gleich Null sind, heißt Diagonalmatrix. A (a i j ) (n, n) a a 22 0, 0 0 a nn a i j 0 für i j 1) A (a i j ) ( 3, 3 ) ist eine 3-reihige Diagonalmatrix. iii) Obere (untere) Dreieckmatrix Eine quadratische Matrix A (a i j ) ( n, n ) bei der Elemente unterhalb ( oberhalb ) der Diagonalen gleich Null sind, heißt obere ( untere ) Dreieckmatrix. A (a i j ) ( n, n ) a 11 a 12 a 1n 0 a 22 a 2n 0 0 a nn, A (a i j ) (n, n) a a 21 a 22 0 a n1 a n2 a n n obere Dreieckmatrix untere Dreieckmatrix Beispiele: 1) A (a i j ) ( 3, 3 ) ) B (a i j ) ( 3, 3 ) ist eine obere Dreieckmatrix ist eine untere Dreieckmatrix M. Komasi 3

4 iv) Einheitsmatrix Eine Diagonalmatrix A (a i j ) ( n, n ), deren Diagonalelemente gleich Eins sind, heißt Einheitsmatrix A (a i j ) (n, n), a 1 für i j i j Beispiele: 1) E ist eine 2-reihige Einheitsmatrix. 2) E ist eine 3-reihige Einheitsmatrix. Operationen mit Matrizen i) Transponieren von Matrizen A (a i j ) ( m, n ) sei eine m n -Matrix. Dann nennt man die durch vertauschen von Zeilen und Spalten entstehende ( n m )-Matrix. A T (a j i ) ( n, m ) die transponierte Matrix A T zu A. A (a i j ) ( m, n ) A T (a j i ) ( n, m ) 1) Es sei A (a i j ) (3, 4) Dann ist AT (a j i ) (4,3) 2) Es sei B (b i j ) (1, 4) Dann ist B T (b j i ) (4, 1) Bemerkungen: Ist A eine quadratische Matrix, so erhält man A T durch Spiegelung der Elemente von A in ihrer Hauptdiagonalen. Durch Transponieren geht ein Zeilenvektor in einen Spaltenvektor über und umgekehrt. (A T ) T A M. Komasi 4

5 Definitionen: A (a i j ) (n, n) sei eine n-reihige, quadratische Matrix. A heißt symmetrisch, wenn A T A antisymmetrisch, wenn A T A ) Es sei A (a i j ) (3, 3) A ist eine symmetrische Matrix. A T (a j i ) (3, 3) AT A ) Es sei B (b i j ) (3, 3) B ist eine antisymmetrische Matrix. B T (b j i ) (3, 3) BT B ii) Addition oder Subtraktion von Matrizen Unter der Summe bzw. Differenz zweier m n Matrizen A (a i j ) und B (b i j ) gleichen Typs versteht man die m n Matrix C (c i j ) mit c i j a i j ± b i j C A ± B C (c i j ) mit c i j a i j ± b i j Rechenregeln A, B und C sind Matrizen vom gleichen Typ: A + B B + A A + ( B + C) (A + B) + C (A + B) T A T + B T M. Komasi 5

6 1) Es seien A (a i j ) (2, 4) , B (b ) i j (2, 4) Dann ist ( 4) A + B ( 12) ( 12) ( 4) A B iii) Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar Wird jedes Element a i j einer Matrix A mit demselben Skalaren Faktor R multipliziert, so spricht man von der Multiplikation der Matrix A mit dem Skalar. λ A (λ a i j ) ( m, n ) A λ Rechenregeln und sind reelle Skalare, A und B Matrizen vom gleichen Typ. Dann gilt: λ ( A + B) λ A + λ B (λ + μ) A λ A + μ A (λ μ) A λ (μ A) μ (λ A) (λ A) T λ A T ) Es seien A (a i j ) (2, 3) 1 0 2, B (b ) i j (2, 3) dann gilt: A ( 3) ( 5) ( 2) ( 11) B A 3 B M. Komasi 6

7 iv) Multiplikation von Matrizen Gegeben seien die Matrizen A (a i k ) ( m, p ) und B (b k j ) ( p, n ) Unter dem Produkt A B der Matrizen A und B versteht man die Matrix C (c i j ) ( m, n ) deren Element c i j das Skalarprodukt aus i ter Zeile von A und j ter Spalte von B ist. p c i j a i k b k j i (1,,m ), j (1,,n) k1 Bemerkung: Das Produkt von zwei Matrizen A B ist nur definiert, wenn die Anzahl der Spalten von A gleich die Anzahl von Zeilen in B ist. Ist A eine (m, n) Matrix und B eine (n, m) Matrix, m n, so existieren zwar sowohl A B jedoch ist A B B A, da die Matrix A B vom Typ (m, m) Matrix und B A vom Typ (n, n) Matrix ist. Aber auch für den Fall, daß m n ist, ist A B B A. Rechenregeln für die Matrizenmultiplikation A, B und C seien Matrizen und E Einheitsmatrix, λ, μ R. Dann gilt: A B B A A ( B C) (A B) C A ( B + C) A B + A C (A + B) C A C + B C A 0 0 A 0 A E E A A λ ( A B) (λ A) B A (λ B) (A B ) T B T A T M. Komasi 7

8 1) Es seien A (a i k ) ( 3, 3 ) und B (b k j ) ( 3, 2 ) dann gilt: A ( 3 3 ) B ( 3 2 ) C ( 3 2 ), c11 c1 2 c 21 c 2 2 c 31 c 3 2 B A c 11 c c 21 c 2 2 c 31 c 3 2 A B c 1 1 : Die erste Zeile von A wird skalar mit der ersten Spalte von B multipliziert: und ergibt sich das Element c c 12 : Die erste Zeile von A wird skalar mit der zweiten Spalte von B multipliziert: und ergibt sich das Element c c 21 : Die zweite Zeile von A wird skalar mit der ersten Spalte von B multipliziert: und ergibt sich das Element c c 2 2 : Die zweite Zeile von A wird skalar mit der zweiten Spalte von B multipliziert: und ergibt sich das Element c c 3 1 : Die dritte Zeile von A wird skalar mit der ersten Spalte von B multipliziert: und ergibt sich das Element c c 3 2 : Die dritte Zeile von A wird skalar mit der zweiten Spalte von B multipliziert: und ergibt sich das Element c C (c i j ) (3, 2) (1 1) + (2 3) + (0 0) (1 2) + (2 1) + (0 1) (3 1) + (6 3) + (1 0) (3 2) + (6 1) + (1 1) (0 1) + (1 3) + (2 0) (0 2) + (1 1) + (2 1) M. Komasi 8

9 v) Die inverse Matrix Für Matrizen ist eine Division nicht erklärt. Eine Matrizengleichung des Typs A x B lässt sich also nicht ohne weiteres nach x auflösen. Allerdings kann man auch beim gewöhnlichen Rechnen mit reellen Zahlen die Division umgehen, indem man die Gleichung a x b mit dem zu a inversen Element a 1 1 a multipliziert. Definition: A sei eine quadratische Matrix. Gibt es dann eine Matrix A B B A E B, für die gilt:, so nennt man B die Inverse Matrix zu A und schreibt dafür A 1. Existiert zu A die Invers A 1, so heißt A regulär, sonst singulär. Bemerkung: Für eine reguläre Matrix A gilt: A A 1 A 1 A E Rechenregeln A und B sind reguläre n reihige Matrizen. Dann gilt: (A 1 ) 1 A (A 1 ) T (A T ) 1 (A 1 ) n ( A n ) 1 (A B) 1 B 1 A 1 (λ A) 1 λ 1 A 1 1 λ A 1 1) Es sei A (a i j ) (2, 2) Dann ist B a b c d Invers von A, wenn A B E a b c d a b a b a 1, b 0 a 0, b 1 Dies ist jedoch Widerspruch, d.h. eine Inverse von A existiert nicht, A ist singulär. M. Komasi 9