36 2 Lineare Algebra

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1 6 Lineare Algebra Quadratische Matrizen a a n sei jetzt n m, A, a ij R, i, j,, n a n a nn Definition Eine quadratische Matrix A heißt invertierbar genau dann, wenn es eine quadratische Matrix B gibt, so dass gilt AB BA I In diesem Fall heißt B inverse Matrix zu A Beispiele : a Für A und b C 5 AB 5 ist B inverse Matrix, denn 5 5 BA 5 5 ist nicht invertierbar, denn für jede Matrix D 0 0 CD d d 0 0 d d 0 I 0 0 I 0 d d gilt d d d + d d + d I 0 0 Satz Sind B und C inverse Matrizen zu A, so folgt B C B e w e i s : Def AB BA I AC CA Satz C CI CAB CAB IB B Bezeichnung: Die eindeutig bestimmte inverse Matrix zu A wird mit A bezeichnet, für sie gilt AA A A I a b Beispiel : sei A mit ad bc 0 A c d existiert, A d b ad bc c a Satz 4 es gilt i Seien A und B invertierbare quadratische Matrizen Dann ist auch AB invertierbar und AB B A ii Für eine invertierbare Matrix A ist auch ihre inverse Matrix A invertierbar, es gilt A A iii Eine n n-matrix A ist invertierbar genau dann, wenn rga n gilt Bemerkung : Eine n n-matrix mit maximalem Rang, rga n, heißt regulär

2 Matrizen 7 B e w e i s : nur zu i, ii: I I I {}}{{}}{{}}{ zu i: ABB A A BB A AA I B B B A A B B A AB AB invertierbar, AB B A zu ii: AA A A I Def Berechnung der inversen Matrix A invertierbar, A A sei A eine invertierbare n n-matrix, betrachten erweiterte Matrix a a n 0 A I a n a nn 0 verwenden Gauß-Verfahren: I : II : III : A I Gauß-Verfahren Vorwärtselimination 0 Zeilen-Stufen-Form r rga n, siehe Satz 4iii Lösbarkeitsentscheidung 0 linker Block Rückwärtssubstitution Multiplikation mit passenden Skalaren I A 0 Beispiel : inverse Matrix zu A 0 berechnen A 4 0 A I Zeile Zeile Zeile 0 0 Zeile Zeile Zeile I A 4

3 8 Lineare Algebra Definition 5 Die zu einer m n-matrix A transponierte Matrix A ist jene n m-matrix, die durch Vertauschen der Zeilen und Spalten von A entsteht a a a m a a a a n Bemerkung a a a a n a a a m : A A a a a m a m a mn a n a n a mn Beispiele : A 0 A 5 0, B B Satz 6 Rechenregeln für transponierte Matrizen Seien die Matrizen A, B so gewählt, dass die Operationen erklärt sind Dann gelten: i A + B A + B ii λa λa, λ R iii A A iv AB B A v A ist invertierbar genau dann, wenn A invertierbar ist Dann gilt A A B e w e i s : i-iii offensichtlich, zu iv: a a a n b b b r AB a m a m a mn b n b n b nr c c c r n mit c ij a ik b kj, c m c m c k mr c c c m AB n mit c ij a ik b kj, c r c r c k mr i,, m, j,, r i,, m, j,, r b b b n a a a m B A b r b r b nr a n a n a mn d d d m n mit d ji b kj a ik c ij, d r d r d k rm B A AB i,, m, j,, r

4 4 Determinanten zu v: sei A invertierbar A A A A I I, analog A A AA I I iv iv A invertierbar, A A, umgekehrte Richtung folgt aus iii 4 Determinanten nach Definitionen und 7 schon spezielle Determinanten berechnet: a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a jetzt allgemeine Entwicklung für n n-matrizen Definition 4 Sei A eine n n-matrix Die n n -Matrix A ij, i, j,, n, entstehe aus A, wenn man die i-te Zeile und j-te Spalte von A streicht, dh a, a,j a,j+ a,n A ij a i, a i,j a i,j+ a i,n a i+, a i+,j a i+,j+ a i+,n a n, a n,j a n,j+ a n,n a, a,j a,j a,j a,n a i, a i,j a i,j a i,j+ a i,n A a i, a i,j a i,j a i,j+ a i,n a i+, a i+,j a i+,j a i+,j+ a i+,n a n, a n,j a n,j a n,j+ a n,n A ij, i, j,, n Definition 4 Entwicklung von Determinanten Sei A eine n n-matrix i Für n, A a, setzt man ii Für n, A a a, setzt man a a det A a a det A a a a a a det A a det A a a a a

5 40 Lineare Algebra iii Für n, A a a a a a a, setzt man a a a a a a det A a a a a a a a det A a det A + a det A iv Induktiv setzt man für eine n n-matrix A a a n det A n k+ a k det A k a n a nn k Entwicklung nach der ersten Spalte Bemerkung : Regel von Sarrus 0 : Nur für -Matrizen A gilt die vereinfachte Entwicklungsregel a a a Beispiele : i det A ii A a a a a a a a a a a a a a a a + a a a + a a a a a a a a a a a a 0 det A }{{}}{{} a a n Schreibweise: sei A a n a nn Zeilenvektoren a i a i a in, i,, n, Spaltenvektoren aj schreiben A als A a bzw A a a j a nj, j,, n 0 Pierre Frédéric Sarrus 078 Saint-Affrique/Frankreich 086 Saint-Affrique/Frankreich

6 4 Determinanten 4 Satz 4 Rechenregeln für Determinanten Sei A eine n n-matrix, n N i det ist linear in jeder Zeile oder Spalte, dh es gelten für λ, µ R, b R n, und j,, n, a a a det λ a j + µ b λ det a j + µ det ḅ, und det a λ a j + µ b λ det a a j + µ det a b Insbesondere gilt detλa λ n det A ii det ist alternierend, dh für die Matrix B, die durch Vertauschung zweier Zeilen oder Spalten aus A entsteht, gilt det B det A Besitzt also A eine Zeile oder Spalte doppelt, so gilt det A 0 iii Ist B die Matrix, die entsteht, wenn zu A das Vielfache einer Zeile der Spalte addiert wird, so gilt det B det A iv Für die transponierte Matrix gilt det A det A v Multiplikationssatz Für zwei n n-matrizen A und B gilt detab det Adet B vi Invertierbarkeitskriterium A ist invertierbar genau dann, wenn det A 0 gilt In diesem Fall ist vii Kästchensatz Hat A die Gestalt A B und D, so gilt det A det A B C bzw A 0 D det A det B det D B 0 mit quadratischen Kästchen C D a b Beispiel : A det A ad bc A c d existiert für ad bc 0 Satz 4vi Beispiel vor Satz 4 A d b ad bc c a }{{} λ deta d b ad bc }{{ c a ad bc ad bc } ad bc det A λ