4 Determinanten. 4.1 Eigenschaften der Determinante. ME Lineare Algebra HT

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1 ME Lineare Algebra HT Determinanten 4. Eigenschaften der Determinante Anstatt die Determinante als eine Funktion IC n n IC durch eine explizite Formel zu definieren, bringen wir zunächst eine lange Liste von Eigenschaften, die am einfachsten 2 2-Beispiel erläutert werden: α A α det α : α Die Determinante ist eine lineare Funktion der ersten Zeile. D.h. seien A, B, C Matrizen alle vom Typ n n derart, dass Zeile von A Linear-Kombination der. Zeilen von B und von C und alle übrigen Zeilen von der 2. Zeile an von A, B und C seien identisch. Dann ist det A gleiche Linear-Kombination von det B und det C. Im Beispiel Addition und skalare Multiplikation getrennt: α + α + α + α + α + α ρα ρ ρα ρ ρ α Achtung! deta + A 2 det A + det A 2, zum Beispiel det det 0 0

2 ME Lineare Algebra HT Werden 2 Zeilen ausgetauscht, dann ändert Determinante das Vorzeichen. α α α 2 Determinante ist eine lineare Funktion jeder ihrer Zeilen einzeln für sich. 3 Normierung: det I. 0 0 Nach diesen definierenden Eigenschaften nur noch Folgerungen: 4 Sind zwei Zeilen einer Matrix A gleich, dann gilt det A 0. Nach Austausch dieser Zeilen folgt nämlich mit 2 det A det A IC. α α 0 5 Die Elementaroperation der Subtraktion eines Vielfachen einer Zeile von einer anderen Zeile lässt die Determinante unverändert. Nach ist nämlich mit 4 det modifizierte Matrix det ursprüngliche Matrix + Skalar det Matrix mit 2 identischen Zeilen det ursprüngliche Matrix. α ρ ρ α ρ α

3 ME Lineare Algebra HT Falls A eine Null-Zeile hat, ist det A 0. Addiere nämlich eine andere Zeile aus A zur Nullzeile hinzu, dies lässt det unverändert nach 5, aber die so erhaltene Matrix hat 2 identische Zeilen, also det 0 nach Für eine Dreiecks-Matrix A berechnet sich det A als das Produkt n a kk a a 22 a nn der Einträge auf Hauptdiagonalen. k Stehen insbesondere nur en auf der Hauptdiagonalen, ist det A. α 0 α, α 0 α. Beweis für nichtsingulären Fall: D.h. alle Hauptdiagonaleinträge seien 0. Eliminiere alle Einträge außerhalb der Hauptdiagonalen durch Elementaroperationen, die nach 5 die Determinante nicht verändern falls A linke -Matrix, übliche Gauß-Elimination; ist A rechte -Matrix, dann subtrahiere Vielfache der Pivotzeile von Zeilen darüber wie bei der Gauß-Jordan-Methode. Erhalte so Diagonalmatrix: a a 22 D... a nn Zur Berechnung von det D wende an; Ausfaktorisieren von jedem a kk liefert I-Matrix mit bekannter Determinante, also n det A det D a a 22 a nn det I a kk. q.e.d. k Der singuläre Fall wird in nachfolgender Regel geklärt:

4 ME Lineare Algebra HT A singulär det A 0 Sei o.b.d.a. α τ α singulär α 0 Sei o.b.d.a. 0. Dann setze τ Beweis des singulären Falls: für ein τ IR. Dann α τ τ 0 und es gilt α τ, τ. Sei A singulär, d.h. Rang A < n und mindestens eine Zeile linear abhängig von anderen Zeilen. Also liefern Elementaroperationen eine Matrix à mit Nullzeile. Es gilt det A det à und det à 0 wegen 6, also det A 0. Sei andererseits A nichtsingulär, dann liefern Elementaroperationen und evtl. l-facher Zeilenaustausch eine rechte -Matrix R mit Einträgen,..., n auf der Hauptdiagonalen; alle k 0, da Pivots. Es gilt n nach 2, und 5 det A l det R und wegen 7 det R k 0 det A 0. 9 Für n n-matrizen A und B ist detab det Adet B. Insbesondere für eine invertierbare Matrix A gilt det Adet A detaa, d.h. det A det A. erläutert am α η ϕ ψ κ αη + ψ αϕ + κ η + ψ ϕ + κ k q.e.d. α ηκ ϕψ αη + ψϕ + κ αϕ + κη + ψ Beweis der Produktregel: Sei A zunächst Diagonalmatrix D. Dann ziehe mit jedes Diagonalelement d j aus j-ter Zeile von DB vor Determinante. Also detdb det D det B. Ist A von allgemeiner Gestalt, aber singulär, dann ist AB auch singulär betrachte lineare Abhängigkeit in den Zeilen und Produktregel

5 ME Lineare Algebra HT gilt trivial. Ist A von allgemeiner Gestalt und nichtsingulär, so reduziere A auf Diagonalmatrix D durch die Gauß-Jordan-Methode: zuerst wie gewohnt auf rechte Dreiecksgestalt, dann durch entsprechende Subtraktion der Pivotzeile von den Zeilen darüber auf Diagonalgestalt. Mit und 2 ist det A l det D bei l-fachem Zeilenaustausch. Dieselben Schritte reduzieren AB auf DB, denn AB jk a T j b k mit Zeilenvektor a T j und Spaltenvektor b k von B. Daher detab l detdb l det D det B nach obigem, also detab det A det B. q.e.d. 0 det A T det A im α α α Beweis: Zuerst singulärer Fall: A singulär Rang A < n A T singulär und nach 8 gilt trivial 0 0. Sei A nichtsingulär, dann faktorisiere A, d.h. P A LDR und mit 9 det P det A det L det D det R 4. Transponiere Faktorisierung, d.h. A T P T R T D T L T und mit 9 ist deta T det P T detr T detd T detl T 4.2 L, R, L T, R T sind alles Dreiecksmatrizen mit en auf Hauptdiagonale, also mit det wegen 7. Ferner ist D D T und { +, bei gerader Anzahl der Zeilenaustauschschritte det P, bei ungerader Anzahl der Zeilenaustauschschritte Permutationsmatrix ist orthogonal: P P T I und daher ist wegen 9 det P detp T, detp T det P det P det A T det A. q.e.d. Konsequenz: Alles was für die Zeilen galt, gilt auch für die Spalten: det ändert das Vorzeichen beim Austausch zweier Spalten. Bei zwei gleichen Spalten oder Null-Spalte ist det 0; det ist eine lineare Funktion jeder ihrer Spalten.

6 ME Lineare Algebra HT Zusammenfassung: Die Determinante det ist eine alternierende d.h. Vorzeichenwechsel bei Austausch Multilinearform in den Zeilen und Spalten einer quadratischen Matrix, normiert durch det I. 4.2 Formeln für die Determinante Bereits oben in 4. gesehen: Satz 4. Ist A nichtsingulär, dann ergibt sich aus der Faktorisierung A P LDR die Formel n det A det P det D ± j. j Dabei haben die Dreiecksmatrizen L und R mit en auf der Hauptdiagonalen Determinante, det D j Produkt der Pivots, det P n j ±, je nachdem, ob die Anzahl der Zeilenaustauschschritte gerade oder ungerade ist. Fall n 2 α A Sei α 0. Dann lautet LDR-Faktorisierung von A: α 0 α /α 0 /α 0 α 0 /α 0 α /α und det A α Produkt beider Pivots Sei 0. Mit einem Zeilenaustausch ist 0 0 P A α α/ 0 α/ und das Produkt beider Pivots α det A. /α 0 / 0

7 ME Lineare Algebra HT Jetzt Ziel: Formel für det A, in der explizit die Einträge a ij auftreten und nicht indirekt über die Pivots. Dabei werden wir mit den definierenden Eigenschaften - 3 und den Folgerungen aus 4. die bekannten Formeln im Fall n 2 α α im Fall n 3 a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 { +a a 22 a 33 + a 2 a 23 a 3 + a 3 a 2 a 32 a a 23 a 32 a 2 a 2 a 33 a 3 a 22 a 3 Achtung: Rechenregel von Sarrus nur im Fall n 3! verifizieren. Dabei werden wir deren Herleitung so organisieren, dass die Determinante größerer Matrizen sichtbar wird. Jede Zeile von A zerlegen wir in die Zeilenvektoren in Koordinatenrichtung. Fall n 2 Hier schreiben wir α α ; und wenden an Linearität in jeder Zeile α α 0 α α Dabei verbleiben von den 4 Termen nur die zwei in der Mitte stehenden Terme, wo die Zeilenvektoren in unterschiedliche Koordinatenrichtungen weisen. Bei einer n n-matrix liefert die Zerlegung jeder der n Zeilen in n Koordinatenrichtungen zunächst n n Terme wie oben im Fall n 2. Davon bleiben nur Terme übrig, wo die Nichtnull-Einträge in verschiedenen Spalten auftreten sonst bleibt Null-Spalte übrig!, d.h. in Zeile Nichtnull-Eintrag in Spalte ν 2 ν 2. n ν n

8 ME Lineare Algebra HT mit ν, ν 2,..., ν n alle verschieden. Anders gesagt, die übrigbleibende Terme entstehen aus einer Umordnung oder Permutation ν : j N ν j N j,..., n auf N {, 2,..., n}. Da es zu n genau n! Permutationen gibt, sind statt der n n nur n! Determinanten aufzusummieren. ν, ν 2, ν 3, 2, 3, 2, 3,, 3,, 2,, 3, 2, 2,, 3, 3, 2, a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 a a 22 a 33 + a 2 a 23 a 3 + a 3 a 2 a 32 + a a 23 a 32 + a 2 a 2 a 33 + a 3 a 22 a 3 a a 22 a 33 + a 2 a 23 a 3 + a 3 a 2 a 32 + a a 23 a 32 + a 2 a 2 a 33 + a 3 a 22 a 3 ν a ν a 2ν2 a 3ν3 det P ν wobei P ν Permutationsmatrix zur Permutation ν : i N ν i N i,..., n det P ν k { k gerade k ungerade, wenn k-facher Zeilenaustausch P ν in Einheitsmatrix I transformiert; zum

9 ME Lineare Algebra HT ν, ν 2, ν 3, 3, 2, det P ν ν, ν 2, ν 3 3,, 2, det P ν 2 Allgemeine explizite Formel: det A ν a ν a 2ν2... a nνn det P ν 4.3 Hierbei ist über alle n! Permutationen ν zu summieren. P ν ist die zugehörige Permutationsmatrix zur Permutation ν : j N ν j N j,..., n, d.h. die en in P ν stehen an den Stellen ν, 2ν 2,..., nν n und det P ν k { k gerade k ungerade, wenn k-facher Zeilenaustausch P ν in die Einheitsmatrix I transformiert. Fasse in der Summe von 4.3 gewisse Terme zusammen, z.b. alle mit Faktor a. So bleibt mit der Wahl ν eine beliebige Permutation ν ν 2,..., ν n der Zahlen 2,..., n übrig und als Produkt tritt auf a α, wobei α ν a 2ν 2... a nν n det P ν Analog für a j j 2,..., n, d.h. aus 4.3 wird z.b. für n 3 det A a α + a 2 α a n α n mit Kofaktoren α,..., α n det A a a 22 a 33 a 23 a 32 + a 2 a 23 a 3 a 2 a 33 + a 3 a 2 a 32 a 22 a 3 a a 22 a 23 a 32 a 33 a 2 a 2 a 23 a 3 a 33 + a 3 a 2 a 22 a 3 a 32

10 ME Lineare Algebra HT Allgemein: Kofaktor α j +j det Ãj, wobei Teilmatrix Ãj Minore aus A durch Streichen der. Zeile und der j-ten Spalte entsteht. Vertausche Zeilen i und und erhalte für beliebige Zeile i analoge Formel: Satz 4.2 Entwicklungssatz det A berechnet sich durch Entwicklung in die Kofaktoren der i-ten Zeile: n det A a ij α ij, 4.4 j wobei der Kofaktor α ij i+j det Ãij und die Minore Ãij durch Streichen von Zeile i und Spalte j aus A entsteht. Bemerkung: Formel 4.4 reduziert det A auf Berechnung von Determinanten der Ordnung n, d.h. mit 4.4 ließe sich det A auch per vollständiger Induktion definieren mit Anfang deta a. - Man kann auch nach einer Spalte entwickeln; es gilt für beliebiges j und mit den Kofaktoren α ij der Spalten n det A a ij α ij 4.5 denn det A det A T, entwickle A T in Kofaktoren der j-ten Zeile, die die Transponierte der j-ten Spalte von A ist. n 2 α A ; dann α, α 2, α 2 ; α 22 α i 4.3 Anwendungen der Determinante a Berechnung von A n 2 Schreibe die α ij in folgende Matrix, beachte die Indizierung der α ij! α α 2 α 2 α 22 α.

11 ME Lineare Algebra HT Dann α α α α det A I. Allgemein: Nach obiger Entwicklung 4.4 in Kofaktoren der i-ten Zeile i,..., n: n det A a ij α ij, für i k {,..., n} gilt j n 0 a kj α ij ; j denn die rechte Seite ist det Ã, wobei in à die i-te Zeile durch die k-te Zeile ersetzt wird, d.h. diese Zeile tritt in à zweimal auf und daher det à 0. Andererseits ändern sich Kofaktoren α ij nicht, da diese durch Streichen der i-ten Zeile entstehen und somit unabhängig von Zeile i sind. q.e.d. Also kurz a... a n α α n.... a n... a nn α n α nn det A det A α α 2 α n... A A adj det AI wobei A adj α j α 2j α nj... α n α 2n α nn, 4.6 die Adjunkte von A, d.h. die Transponierte der Matrix der Kofaktoren von A. Ist det A 0 A nichtsingulär, folgt A det A Aadj I oder A det A Aadj 4.7

12 ME Lineare Algebra HT b Lösung von Ax b 4.7 führt sofort zu x A b det A Aadj b 4.8 Dies lässt sich auch durch die berühmte Cramersche Regel ausdrücken: Sei A a,, a n nichtsingulär. Setze B j : a,..., a j, b, a j+,..., a n. Dann gilt det Bj x j det A Beweis: Entwickle det B j in Kofaktoren der j-ten Spalte b nach 4.5: 4.9 det B j b α j + + b n α nj α j b + + α nj b n j-te Komponente von A adj b. Division durch det A liefert mit 4.8 die Formel 4.9. q.e.d. weitere Anwendung: Kreuzprodukt im IR 3 oder IC 3 ; Volumen eines Parallelflachs/Spats.