Mathematik 1. Inhaltsverzeichnis. Prof. Dr. K. Melzer.

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1 Mathematik 1 Prof Dr K Melzer karinmelzer@hs-esslingende Inhaltsverzeichnis 1 Matrizenrechnung 2 11 Matrixbegri 2 12 Spezielle Matrizen 3 13 Rechnen mit Matrizen/Vektoren Gleichheit, Addition, Subtraktion, S-Multiplikation Skalarprodukt Produkt einer Matrix mit einem Vektor Matrixmultiplikation 5 14 Determinanten Determinante einer (2x2)-Matrix Determinante einer (3x3)-Matrix 5 15 Inverse Matrix 6 2 Lineare Gleichungssysteme 6 21 Begrie 6 22 Lösungsmengen von linearen Gleichungssystemen 7 23 Lösen von LGS I: Gauÿ-Algorithmus Grundidee des Gauÿ-Algorithmus Erlaubte Umformungen beim Gauÿ-Algorithmus Matrixschreibweise Pivotelement, Pivotzeile Rechnerische Durchführung des Gauÿ-Algorithmus Bestimmen der Lösungsmenge Allgemeine Lösbarkeitskriterien mit Determinanten Lösen von LGS II: Cramersche Regel Cramersche Regel für (2x2)-Matrizen Cramersche Regel allgemein 13 1

2 1 MATRIZENRECHNUNG 2 1 Matrizenrechnung 11 Matrixbegri Beispiel 1: Betrachtet werden zwei lineare Gleichungen (Lineares Gleichungssystem /LGS) 5x 1 + 2x 2 + x 3 = y 1 x 1 6x 3 = y 2 Die Zuordnung der x-werte zu den y-werten (lineare Abbildung) wird eindeutig beschrieben durch das Koezientenschema ( ) A = (Matrix) x 1 ( ) Mit x = x 2 y1 und y = (Vektoren) lässt sich das Gleichungssystem in der Form y 2 x 3 ( ) x 1 x 2 x 3 = ( y1 y 2 ) A x = y schreiben Denition: Matrix oder (m n)-matrix A = A m,n : rechteckiges Zahlenschema von m Zeilen und n Spalten a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = A m,n = a m1 a m2 a mn Schreibweisen/Bezeichnungen: A = A = A m,n = [a ik ] = (a ik ), Matrix a ik IR Elemente der Matrix i Zeilenindex k Spaltenindex i = 1,, m (Indexbereich der Zeilen) k = 1,, n (Indexbereich der Spalten) Denition Vektoren: Matrizen mit nur einer Spalte oder einer Zeile A 1,n = ( ) a 11 a 12 a 1n n-dimensionaler Zeilenvektor oder a 11 a 21 A m,1 m-dimensionaler Spaltenvektor a m1 Schreibweise für Vektoren idr a, b, c, Matrixschreibweise nur in Ausnahmefällen

3 1 MATRIZENRECHNUNG 3 12 Spezielle Matrizen Quadratische Matrix Transponierte Matrix A T Symmetrische Matrix (n n)-matrix, d h # Zeilen = # Spalten Vertausche bei A Zeilen und Spalten Bei quadratischen Matrizen: Spiegelung an Diagonalen Es gilt: ( A T ) T = A A T = A (ändert sich beim Transponieren nicht) Diagonalmatrix Alle Elemente auÿerhalb der Diagonalen sind null r 11 r 12 r 1n 0 r 22 r 2n obere Dreiecksmatrix R = 0 0 r nn l l untere Dreiecksmatrix L = 21 l 22 0 l n1 l n2 l nn Nullmatrix 0 = (Alle Elemente haben den Wert Null) später: A + 0 = A (neutrales Element bzgl Addition) Einheitsmatrix E n = (Nur Einsen auf der Diagonalen, Rest Nullen) später: A E = A bzw E A = A (neutrales Element bzgl Multiplikation)

4 1 MATRIZENRECHNUNG 4 13 Rechnen mit Matrizen/Vektoren 131 Gleichheit, Addition, Subtraktion, S-Multiplikation Diese Operationen sind bei Vektoren und Matrizen analog deniert Vektoren a 1 a 2 a =, b 2 b = a n b 1 b n Gleichheit: a 1 = b 1 a = a 2 = b 2 b a n = b n Addition/Subtraktion: a 1 + b 1 a + a 2 + b 2 b = a n + b n Multiplikation mit einem Skalar/S-Multiplikation: λa 1 λa 2 λ a =, λa n λ IR Matrizen a 11 a 12 a 1n b 11 b 12 b 1n a 21 a 22 a 2n b 21 b 22 b 2n A =, B = a m1 a m2 a mn b m1 b m2 b mn A = B wenn a ik = b ik für alle i und für alle k elementweise Dimension muss gleich sein a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 1n + b 1n a 21 + b 21 a 22 + b 22 a 2n + b 2n A + B = a m1 + b m1 a m2 + b m2 a mn + b mn elementweise Dimension muss gleich sein λa 11 λa 12 λa 1n λa 21 λa 22 λa 2n λ A = λa m1 λa m2 λa mn elementweise 132 Skalarprodukt a b Multiplikation zweier Vektoren gleicher Länge; das Ergebnis ist ein Skalar (dh eine reelle Zahl) a 2 b 2 Skalarprodukt in Koordinatendarstellung: a b = = a 1b 1 +a 2 b 2 + +a n b n = Eigenschaften/Rechenregeln für das Skalarprodukt: a b = b a (Symmetrie, Kommutativgesetz) ( a + b) c = a c + b c (Linearität, Distributivgesetze) a ( b + c) = a b + a c λ a b = (λ a) b = λ( a b) = a (λ b) (Assoziativgesetz) a a 0 und (positiv denit) a a = 0 a = 0 a 1 a n b 1 b n n a i b i i=1

5 1 MATRIZENRECHNUNG Produkt einer Matrix mit einem Vektor A x Multiplikation einer (m n)-matrix mit einem Vektor der Länge n; das Ergebnis ist ein Vektor der Länge m n a 1k x k k=1 a 11 a 12 a 1n x 1 a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n n a 21 a 22 a 2n x 2 A x = = a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = a 2k x k k=1 a m1 a m2 a mn x n a m1 x 1 + a m2 x a mn x n n a mk x k Der Eintrag in der i-ten Zeile ist das Skalarprodukt der i-ten Zeile der Matrix mit dem Vektor x 134 Matrixmultiplikation AB Matrixprodukt ist vergleichbar mit Skalarprodukt Deniere Multiplikation so, dass ein lineares Gleichungssystem möglichst einfach mit Matrizen dargestellt werden kann Beispiel 2: 1 2 ( ) 1 1 x1 x = M(3 2) M(2 1) = M(3 1) 1 x x 2 = 1 1 x 1 1 x 2 = 2 2 x 1 3 x 2 = 0 Dimension: Das Produkt zweier Matrizen A B ist nur deniert, wenn die Gröÿe der Matrizen passt: # Spalten von A! = # Zeilen von B A B = C M(m p) M(p n) = M(m n) M(2 4) M(4 7) = M(2 7) (Beispiel) mit c ik = Skalarprodukt aus i-ter Zeile der 1 Matrix und k-ter Spalte der 2 Matrix Eigenschaften/Rechenregeln für Matrizen: Seien A, B, C Matrizen und E die Einheitsmatrix sowie λ IR Wenn die folgenden Summen und Produkte deniert sind, dann gilt: A(BC) = (AB)C (Assoziativität) (A + B)C = AC + BC (Distributivität I) A(B + C) = AB + AC (Distributivität II) AE = A und EA = A (neutrales Element der Multiplikation) λ(ab) = A(λB) (AB) T = B T A T Achtung: Auch für quadratische Matrizen gilt i A AB BA (nicht kommutativ) 14 Determinanten 141 Determinante einer (2 2)-Matrix det(a) = A = a 11 a 12 a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 Die Determinante ist die Dierenz aus dem Produkt der Elemente der Hauptdiagonalen minus dem Produkt der Elemente der Nebendiagonalen 142 Determinante einer (3 3)-Matrix Regel von Sarrus: Ergänze auf der rechten Seite die 1 und 2 Spalte der Matrix Bilde die Produkte über die Diagonalen der Elemente Die nach unten verlaufenden Produkte werden addiert, die nach oben verlaufenden Produkte werden davon subtrahiert k=1

6 2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 6 det(a) = A = 15 Inverse Matrix A 1 a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 31 a 22 a 13 a 32 a 23 a 11 a 33 a 21 a 12 Denition: Zu jeder quadratischen Matrix A, deren Determinante 0 ist, gibt es eine eindeutig bestimmte Matrix A 1, so dass A 1 A = AA 1 = E A 1 heiÿt inverse Matrix von A A heiÿt invertierbar oder regulär, falls sie eine Inverse hat, sonst singulär Berechnung ( der) Inversen einer (2 2)-Matrix: ( ) a b d b Sei A = Dann ist die Inverse von A: A c d 1 = 1 det(a), c a wobei det(a) = ad bc die Determinante von A ist Bemerkung: Die Elemente der Matrix auf der Hauptdiagonalen werden vertauscht, bei den Elementen der Nebendiagonalen ändert sich das Vorzeichen Rechenregeln für inverse Matrizen: A, B seien reguläre (n n)-matrizen Dann existieren alle folgenden Matrizen und es gilt: (A 1 ) 1 = A (A T ) 1 = (A 1 ) T (AB) 1 = B 1 A 1 (λa) 1 = λ 1 A 1 = 1 λ A 1 für alle λ 0 2 Lineare Gleichungssysteme 21 Begrie Eine lineare Gleichung mit n Unbekannten x 1, x 2,, x n, ist eine Gleichung, die man in die Form a 1 x a n x n = b bringen kann Eine solche Gleichung heiÿt linear, weil ihr Graph im Falle n = 2 eine Gerade, im Fall n = 3 eine Ebene ist usw Beispiel: 20x + 20y = 450 ist eine lineare Gleichung mit 2 Unbekannten x, y Ihr Graph ist die Gerade y = 22, 5 x Eine lineare Gleichung enthält nur Summen von Konstanten und von Termen der Art konstanter Faktor mal Unbekannte, also keine Terme wie x 2, e x, 1/x, sin y oder y x usw Ein lineares Gleichungssystem (LGS) besteht aus m linearen Gleichungen, lässt sich also auf die Form a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 12 x a 2n x n = b 2 (1) = a m1 x 1 + a m2 x a mn x n = b m bringen Wir suchen n Unbekannte x 1, x 2,, x n, die alle Gleichungen erfüllen Die Faktoren vor den Unbekannten tragen in der allgemeinen Schreibweise zwei Indizes: Der erste Index gibt die

7 2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 7 Nummer der Gleichung an (also die Zeile), der zweite Index gibt die Nummer der Unbekannten an, vor dem dieser Faktor steht (also sozusagen die Spalte) Beispielsweise ist a 12 der konstante Faktor in der 1 Gleichung vor der 2 Unbekannten (d h x 2 ) In einem LGS muss die Anzahl der Gleichungen (m) nicht dieselbe Zahl sein wie die Anzahl der Unbekannten (n) Man kann das LGS (1) auch in Matrixschreibweise in der Form A x = b schreiben Dabei gilt a 11 a 12 a 1n x 1 b 1 a 21 a 22 a 2n A =, x = x 2, b 2 b = a m1 a m2 a mn x n b m Dabei ist A die (gegebene) Koezientenmatrix und b der (ebenfalls gegebene) Vektor der rechten Seiten In der Schreibweise A x = b bezeichnet x den Vektor mit den gesuchten Unbekannten oder auch Lösungsvektor Ein LGS A x = 0 heiÿt homogen, also falls alle rechten Seiten Null sind Ist mindestens eine rechte Seite von Null verschieden, spricht man vom einem inhomogenen LGS 22 Lösungsmengen von linearen Gleichungssystemen Beispiele mit m = 2 Gleichungen und n = 2 Unbekannten x, y Die Gleichungen stellen jeweils Geraden dar (Auösen nach y) Lösungsmenge eines LGS: Werte, die beide (bzw alle) Gleichungen erfüllen Die Lösungsmenge des LGS in den Beispielen besteht somit aus den Punkten, die auf beiden Geraden liegen Beispiel A: 20x + 20y = x + 10y = 477 y = 22, 5 x y = 47, 7 3x Die Geraden haben den Schnittpunkt (12, 6 9, 9) Somit hat das LGS eine eindeutige Lösung x = 12, 6 und y = 9, 9 {( )} 12, 6 Die Lösungsmenge ist einelementig: L = 9, 9 Beispiel B: 20x + 20y = x + 10y = 225 y = 22, 5 x y = 22, 5 x

8 2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 8 Die Geraden stimmen überein Somit hat das LGS unendlich viele Lösungen, nämlich alle Punkte, die auf dieser doppelten Geraden liegen {( ) } 22, 5 t Die Lösungsmenge enthält also unendlich viele Elemente: L = t IR t Beispiel C: 20x + 20y = x + 10y = 200 y = 22, 5 x y = 20 x In diesem Fall erhalten wir zwei parallele Geraden Da es keinen Punkt gibt, der auf beiden Geraden liegt, ist das LGS unlösbar Die Lösungsmenge ist also leer: L = {} Ein lineares Gleichungssystem hat entweder eine eindeutige Lösung oder unendlich viele Lösungen oder gar keine Lösung Die Aussage gilt auch, wenn das LGS mehr als zwei Gleichungen und/oder mehr als zwei Unbekannte hat 23 Lösen von LGS I: Gauÿ-Algorithmus 231 Grundidee des Gauÿ-Algorithmus Ein Gauÿ-Algorithmus ist ein Verfahren, mit dem man jedes lineare Gleichungssystem lösen kann Weil bei der Durchführung dieses Verfahrens einige Unbekannte aus einigen Gleichungen eliminiert (entfernt) werden, spricht man auch vom Eliminationsverfahren

9 2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 9 Grundidee des Gauÿ-Algorithmus: Forme das LGS auf Dreiecksform (oder Trapezform) um Dabei müssen sämtliche Diagonalelemente des Dreiecksteils 0 sein Wichtig: Alle mit * bezeichneten Diagonalelemente müssen von 0 verschieden sein 232 Erlaubte Umformungen beim Gauÿ-Algorithmus Die folgenden Umformungen ändern die Lösungsmenge eines linearen Gleichungssystems nicht 1 Die Reihenfolge der Gleichungen ändern (d h Zeilentausch) 2 Eine Gleichung mit einem konstanten Faktor c 0 multiplizieren 3 Das c-fache einer Gleichung zu einer anderen addieren 4 Vertauschung der Unbekannten (d h Spaltentausch) 5 Gleichungen 0 = 0 streichen Bei Umformungsschritt (4) sollte man an die Spalten die zugehörigen Variablennamen schreiben; sonst besteht die Gefahr von Verwechslungen Allerdings ist dieser Umformungsschritt auch nur selten unbedingt erforderlich 233 Matrixschreibweise Um Schreibarbeit zu sparen und gröÿere Übersichtlichkeit zu erzielen, ist es beim Gauÿ-Algorithmus sinnvoll, das LGS nicht auszuschreiben, sondern die Umformungen nur an dem so genannten Gauÿ- Tableau (A b) durchzuführen Der senkrechte Strich steht (nur zu Orientierungszwecken) dort, wo in den Gleichungen das Gleichheitszeichen auf Manchmal (z B wenn Spalten vertauscht werden) kann es sinnvoll sein, zusätzlich an die Spalten die Variablennamen der Unbekannten zu schreiben Statt des LGS 20x + 20y = x + 10y = 477 würde man nur diese Matrix umformen ( ) bzw x y Pivotelement, Pivotzeile Eine besondere Rolle bei dem Gauÿ-Algorithmus spielen die Zahlen, die auf der Diagonalen der Koezientenmatrix stehen Diese Zahlen nennt man auch Pivotelemente Ein Schritt des Gauÿ-Algorithmus bestehen im Wesentlichen darin, jeweils Vielfache einer bestimmten Zeile (der Pivotzeile) zu den folgenden Zeilen zu addieren Dazu gelten die folgenden Regeln:

10 2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 10 Um einen Koezienten a aus einer Zeile zu eliminieren, muss man das ( a p ) -fache der Pivotzeile zu dieser Zeile addieren Dabei bedeutet p das Pivotelement Da es im Nenner des Faktors a/p auftritt, muss das Pivotelement von Null verschieden sein und sollte es bei der Rechnung von Hand eine möglichst einfache Zahl sein 235 Rechnerische Durchführung des Gauÿ-Algorithmus Vorbereitung: Das LGS muss auf die Form (1) gebracht werden Alle Unbekannten gehören nach links, alle Konstanten nach rechts Anschlieÿend stellen wir das Gauÿ-Tableau (A b) auf und formen im Weiteren nur noch dieses um 1 Gauÿ-Schritt Pivotzeile ist die erste Zeile; Pivotelement das Diagonalelement in der ersten Zeile (d h, das Element in der ersten Spalte der ersten Zeile) Das Pivotelement muss 0 sein Wenn das nicht der Fall ist, die Zeile 1 mit einer weiter unten stehenden Zeile tauschen und/oder Spalte 1 mit einer weiter rechts stehenden Spalte tauschen Das Pivotelement sollte bei Rechnung von Hand möglichst einfach sein Das lässt sich ggf erreichen durch Zeilentausch, evtl Spaltentausch, und/oder Multiplikation oder Division der Pivotzeile mit einem konstanten Faktor 0 Ein geeignetes Vielfaches der Pivotzeile zu jeder weiter unten stehenden Zeile addieren Wie das jeweilige Vielfache gefunden wird, steht im Merkkasten weiter oben 2 Gauÿ-Schritt Pivotzeile ist die zweite Zeile; Pivotelement das Diagonalelement in der zweiten Zeile (d h, das Element in der zweiten Spalte der zweiten Zeile) Das Pivotelement muss 0 sein Wenn das nicht der Fall ist, die Zeile 2 mit einer weiter unten stehenden Zeile tauschen und/oder Spalte 2 mit einer weiter rechts stehenden Spalte tauschen Das Pivotelement sollte bei Rechnung von Hand möglichst einfach sein Das lässt sich ggf erreichen durch Zeilentausch, evtl Spaltentausch, und/oder Multiplikation oder Division der Pivotzeile mit einem konstanten Faktor 0 Ein geeignetes Vielfaches der Pivotzeile zu jeder weiter unten stehenden Zeile addieren Wie das jeweilige Vielfache gefunden wird, steht im Merkkasten weiter oben usw Sofern man keinen Spaltentausch durchgeführt hat, bewirkt: der erste Gauÿ-Schritt, dass die Unbekannte x 1 aus den Gleichungen 2, 3,, m eliminiert wird; der zweite Gauÿ-Schritt, dass die Unbekannte x 2 aus den Gleichungen 3, 4,, m eliminiert wird; der k-te Gauÿ-Schritt, dass die Unbekannte x k aus den Gleichungen k + 1, k + 2,, m eliminiert wird

11 2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Bestimmen der Lösungsmenge Tritt im Rechenverlauf eine Gleichung 0 = 0 auf (also eine Zeile, die nur Nullen enthält), wird diese Gleichung ersatzlos gestrichen Fall 1: Entsteht hingegen eine Zeile (0 0 0 ) mit 0 (also eine Zeile, in der links nur Nullen stehen, rechts aber keine), dann ist das LGS unlösbar: L = {} Fall 2: Ein LGS, das sich auf Dreiecksform bringen lässt (wobei die unten mit * bezeichneten Diagonalelemente 0 sein müssen), hat eine eindeutige Lösung Diese Lösung ndet man durch Auösen und Einsetzen von unten nach oben In dem Beispiel oben wird aus der letzten Gleichung x 4 bestimmt Wenn man den errechneten Wert in die vorletzte Gleichung einsetzt, kann man x 3 ausrechnen Setzt man x 3 und x 4 in die zweite Gleichung ein, kann man nach x 2 auösen und am Schluss aus der ersten Gleichung x 1 ermitteln Fall 3: Ein LGS, das sich auf Trapezform bringen lässt (wobei die unten mit * bezeichneten Diagonalelemente des Dreiecksteils 0 sein müssen), hat unendlich viele Lösungen Die Unbekannten, die zu den (oben blau markierten) zusätzlichen Spalten hinter dem Dreiecksteil des LGS gehören, dürfen frei gewählt werden Im Beispiel oben dürfen also x 5 und x 6 frei gewählt werden Um alle Lösungen des LGS zu bekommen, wählen wir dabei für diese Unbekannten nicht feste Zahlenwerte, sondern Parameter, für die wir ggf später konkrete Werte einsetzen können Im Beispiel oben könnten wir etwa x 5 = s und x 6 = t setzen und dann wieder durch Auösen und Einsetzen von unten nach oben x 4 bis x 1 errechnen

12 2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 12 Merkkasten über die Lösungen eines LGS Anzahl der Lösungen eines LGS: wenn das LGS auf Dreiecksform ( ) gebracht werden kann: eindeutige Lösung; wenn das LGS auf Trapezform ( ) gebracht werden kann: unendlich viele Lösungen; wenn eine Gleichung 0 = b mit rechter Seite b 0 auftritt: keine Lösung ( ) wobei alle Diagonalelemente 0 sind Berechnung der Lösungen eines LGS: Dreicksform: Trapezform: Auösen und Einsetzen von unten nach oben Unbekannte, die den zusätzlichen Spalten (hinter dem Dreiecksteil) gehören, frei wählen (Parameter); weiter mit Auösen und Einsetzen von unten nach oben Dass ein LGS unendlich viele Lösungen hat, bedeutet anschaulich: Man hat nicht genügend viele Informationen, um alle Unbekannten zu bestimmen In der Tat besitzt ein unterbestimmtes LGS (= ein LGS, das weniger Gleichungen als Unbekannte hat, also mit m < n) unendlich viele Lösungen, sofern es überhaupt lösbar ist Der Fall unlösbar (anschaulich: die Gleichungen widersprechen sich) kann auch bei einem unterbestimmten LGS vorkommen, der Fall eindeutig lösbar aber nicht Auÿer bei unterbestimmten linearen Gleichungssystemen kann man auch bei homogenen linearen Gleichungssystemen (bei denen also die rechten Seiten aller Gleichungen = 0 sind) schon vor der Anwendung des Gauÿ-Algorithmus etwas über die Lösungsmenge sagen Ein unterbestimmtes LGS (das ist eines mit weniger Gleichungen als Unbekannten, also mit m < n) kann nicht eindeutig lösbar sein, da man es nicht auf Dreiecksform bringen kann Ein homogenes LGS (bei dem also die rechten Seiten aller Gleichungen = 0 sind) kann nicht unlösbar sein, da x = 0 stets eine Lösung ist Ein homogenes LGS hat also entweder nur die so genannte triviale Lösung x = 0, oder es gibt unendlich viele Lösungen und damit auch unendlich viele nichttriviale Lösungen, bei denen mindestens eine Unbekannte 0 ist Welcher der beiden Fälle vorliegt, ergibt sich bei Durchführung des Gauÿ-Algorithmus: Ein homogenes LGS, das sich auf Dreiecksform bringen lässt, hat nur die triviale Lösung Hier ist also L = { 0} Ein homogenes LGS, das sich auf Trapezform bringen lässt, hat (unendlich viele) nichttriviale Lösungen Der zuletzt genannte Fall liegt u a bei jedem unterbestimmten homogenen LGS vor

13 2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME Allgemeine Lösbarkeitskriterien mit Determinanten Für (n n)-systeme, dh LGS A x = b mit (quadratischer) (n n)-matrix A gilt: A x = b, b 0 (inhomogen) A x = 0 (homogen) det(a) 0 eindeutig lösbar eindeutige Lösung: triviale Lösung x = 0 det(a) = 0 keine Lösung oder unendlich viele Lösungen 25 Lösen von LGS II: Cramersche Regel unendlich viele Lösungen (triviale und nichttriviale) Das LGS A x = b mit quadratischer Koezientenmatrix ((n n)-matrix) A hat genau dann eine eindeutige Lösung, wenn die Determinante von A 0 ist In diesem Fall kann man die Lösung mit Hilfe von Determinanten berechnen 251 Cramersche Regel für (2 2)-Matrizen ( ) ( ) ( ) a11 a Das LGS 12 x1 b1 = hat die Lösung: a 21 a 22 x 2 b 2 x 1 = b 1 a 12 b 2 a 22 a 11 a 12 a 21 a 22, x 2 = a 11 b 1 a 21 b 2 a 11 a 12 a 21 a Cramersche Regel allgemein A x = b mit (n n)-koezientenmatrix A und det(a) 0 hat die eindeutige Lösung x i = D i A, für i = 1,, n Dabei ist D i die Determinante der (n n)-matrix, die aus A hervorgeht, indem man die i-te Spalte durch den Vektor der rechten Seiten b ersetzt