Mathematik II Frühjahrssemester 2013

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1 Mathematik II Frühjahrssemester 2013 Prof Dr Erich Walter Farkas Kapitel 7: Lineare Algebra 71 Reelle Matrizen Prof Dr Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 71 Reelle Matrizen 1 / 31

2 Prof Dr Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 71 Reelle Matrizen 2 / 31

3 Transponierte einer Matrix 1 Transponierte einer Matrix 2 Diagonalmatrix und Einheitsmatrix Dreiecksmatrix Symmetrische Matrix Schiefsymmetrische Matrix 3 4 Addition und Substraktion von Matrizen Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar Multiplikation von Matrizen Prof Dr Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 71 Reelle Matrizen 3 / 31

4 Transponierte einer Matrix Definition Unter einer reellen Matrix A vom Typ (m, n versteht man ein aus m n reellen Zahlen bestehendes rechteckiges Schema mit m waagerecht angeordneten Zeilen und n senkrecht angeordneten Spalten: a 11 a 12 a 1k a 1n a 21 a 22 a 2k a 2n A = a i1 a i2 a ik a in a m1 a m2 a mk a mn k-te Spalte i-te Zeile Prof Dr Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 71 Reelle Matrizen 4 / 31

5 Transponierte einer Matrix : Anmerkungen (1/2 Anmerkungen Wir führen weitere Bezeichnungen ein: a ik : Matrixelemente (i = 1, 2,, m; k = 1, 2,, n i : Zeilenindex k : Spaltenindex m : Anzahl der Zeilen (Zeilenzahl n : Anzahl der Spalten (Spaltenzahl Eine reelle Matrix ist ein geordnetes Zahlenschema aus reellen Zahlen und besitzt keinen Zahlenwert (im Gegensatz zu den später noch einzuführenden Determinanten Gebräuchliche Schreibweisen für eine Matrix sind: A, A (m,n, (a i,k, (a i,k (m,n Eine Matrix vom Typ (m, n wird auch kurz als (m, n-matrix bezeichnet Prof Dr Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 71 Reelle Matrizen 5 / 31

6 Transponierte einer Matrix : Anmerkungen (2/2 Der Platz, den ein Matrixelement a ik innerhalb der Matrix A einnimmt, ist durch die beiden Indizes i und k eindeutig festgelegt (das Indexpaar (i, k kann als Platziffer aufgefaßt werden Das Matrixelement a ik befindet sich dabei in der i-ten Zeile und der k-ten Spalte: a 11 a 12 a 1k a 1n a 21 a 22 a 2k a 2n a i1 a i2 a ik a in i-te Zeile a m1 a m2 a mk a mn k-te Spalte Sonderfall m = n: die Matrix enthält gleichviele Zeilen und Spalten und wird daher als n-reihige, quadratische Matrix oder Matrix n-ter Ordnung bezeichnet Prof Dr Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 71 Reelle Matrizen 6 / 31

7 Transponierte einer Matrix :Beispiele Die Matrix A = ( besitzt 2 Zeilen und 4 Spalten und ist daher vom Typ (2,4 Man hat a 21 = 2 und a 31 = 5 Die Matrix A = ist ein Beispiel für eine 3-reihige, quadratische Matrix Prof Dr Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 71 Reelle Matrizen 7 / 31

8 Spezielle Matrizen Transponierte einer Matrix Nullmatrix 0: Matrix, deren Elemente sämtlich verschwinden Spaltenmatrix: Matrix mit nur einer Spalte Sie ist vom Typ (m, 1 und besitzt die Form: a 1 a 2 A (m,1 = a m Zeilenmatrix: Matrix mit nur einer Zeile Sie ist vom Typ (1, n und besitzt die Form: A (1,n = ( a 1 a 2 a n Prof Dr Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 71 Reelle Matrizen 8 / 31

9 Transponierte einer Matrix Zeilenvektoren und Spaltenvektoren (1/3 Die Zeilen einer Matrix werden daher auch als Zeilenvektoren, die Spalten einer Matrix auch als Spaltenvektoren bezeichnet Eine (m, n-matrix enthählt genau m Zeilenvektoren und n Spaltenvektoren: a 11 a 12 a 1k a 1n a 21 a 22 a 2k a 2n a i1 a i2 a ik a in a m1 a m2 a mk a mn ( a 1 a 2 a k a n }{{} Spaltenvektoren a 1 a 2 a i a m Zeilenvektoren Prof Dr Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 71 Reelle Matrizen 9 / 31

10 Transponierte einer Matrix Zeilenvektoren und Spaltenvektoren (2/3 Spaltenvektor : a i = ( a i1 a i2 a ik a in, i = 1, 2,, m Zeilenvektor: a k = a 1k a 2k a ik a mk, k = 1, 2,, n Prof Dr Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 71 Reelle Matrizen 10 / 31

11 Transponierte einer Matrix Zeilenvektoren und Spaltenvektoren (3/3 Die (m, n-matrix A lässt sich dann wie folgt durch Zeilen- bzw Spaltenvektoren beschreiben: A = ( a 1 a 2 a k a n (Zeile aus n Spaltenvektoren A = a 1 a 2 a i a m (Spalte aus m Zeilenvektoren Prof Dr Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 71 Reelle Matrizen 11 / 31

12 Transponierte einer Matrix Zeilenvektoren und Spaltenvektoren: Beispiele Beispiele 0 = ( A = ist eine Nullmatrix vom Typ (2, , B = A und B sind Spaltenmatrizen, dh Spaltenvektoren mit den Dimensionen 4 bzw 3 Prof Dr Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 71 Reelle Matrizen 12 / 31

13 Transponierte einer Matrix Zeilenvektoren und Spaltenvektoren: Beispiele Beispiel Die (2, 4-Matrix A = ( enthält zwei Zeilenvektoren, nämlich a 1 = ( , a 2 = ( und vier Spaltenvektoren, nämlich ( ( ( a 1 =, a 2 2 =, a 0 3 = 1, a 4 = ( 2 5 Prof Dr Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 71 Reelle Matrizen 13 / 31

14 Transponierte einer Matrix Transponierte einer Matrix Definition Werden in einer Matrix A Zeilen und Spalten miteinander vertauscht, so erhält man die Transponierte A T der Matrix A Anmerkungen Zwischen den Elementen a ik einer Matrix A und den Elementen a T ik der transponierten Matrix A T besteht der folgende Zusammenhang: (Vertauschen der beiden Indizes a T ik = a ki (für alle i und k Ist A eine Matrix vom Typ (m, n, so ist ihre Transponierte A T vom Typ (n, m Durch 2-maliges Transponieren erhält man wieder die Ausgangsmatrix, dh es gilt stets (A T T = A Prof Dr Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 71 Reelle Matrizen 14 / 31

15 Transponierte einer Matrix Transponierte einer Matrix: Beispiele Wir transponieren die Matrizen 1 3 A = 4 2, B = , C = und erhalten: A T = ( , B T = , C T = ( Der Spaltenvektor C ist dabei in den Zeilenvektor C T übergeführt worden Prof Dr Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 71 Reelle Matrizen 15 / 31

16 Quadratische Matrizen Diagonalmatrix und Einheitsmatrix Dreiecksmatrix Symmetrische Matrix Schiefsymmetrische Matrix Eine n-reihige, quadratische Matrix A = (a ik besitzt daher die Gestalt a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn Anmerkungen Die Hauptdiagonale einer quadratischen Matrix verlaüft von links oben nach recht unten Sie verbindet die Diagonalelemente a ii, i = 1, 2,, n miteinander Die Nebendiagonale verläuft von rechts oben nach links unten Transponieren bedeutet bei einer quadratischen Matrix A: Spiegelung der Elemente von A an der Hauptdiagonale Prof Dr Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 71 Reelle Matrizen 16 / 31

17 Diagonalmatrix Diagonalmatrix und Einheitsmatrix Dreiecksmatrix Symmetrische Matrix Schiefsymmetrische Matrix Definition Eine n-reihige, quadratische Matrix A = (a ik heißt Diagonalmatrix, wenn alle ausserhalb der Hauptdiagonale liegenden Elemente verschwinden: a ik = 0 für i k Eine n-reihige Diagonalmatrix besitzt daher die Gestalt a a a nn Prof Dr Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 71 Reelle Matrizen 17 / 31

18 Einheitsmatrix Diagonalmatrix und Einheitsmatrix Dreiecksmatrix Symmetrische Matrix Schiefsymmetrische Matrix Definition Eine n-reihige Diagonalmatrix mit den Diagonalelementen a ii = 1 (i = 1, 2,, n heißt n-reihige Einheitsmatrix E Die n-reihige Einheitsmatrix besitzt also die Gestalt Prof Dr Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 71 Reelle Matrizen 18 / 31

19 Dreiecksmatrix (1/2 Diagonalmatrix und Einheitsmatrix Dreiecksmatrix Symmetrische Matrix Schiefsymmetrische Matrix Definition Eine n-reihige, quadratische Matrix wird als Dreiecksmatrix bezeichnet, wenn alle Elemente ober- oder unterhalb der Hauptdiagonalen verschwinden a a 2 1 a a n 1 1 a n 1 2 a 0 a n 1 a n 2 a n 3 a n n }{{} Untere Dreiecksmatrix Prof Dr Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 71 Reelle Matrizen 19 / 31

20 Dreiecksmatrix (2/2 Diagonalmatrix und Einheitsmatrix Dreiecksmatrix Symmetrische Matrix Schiefsymmetrische Matrix a 1 1 a 1 2 a 1 n 1 a 1 n 0 a 2 2 a n 1 2 a n 2 a a n 1 n 0 0 a n n }{{} Obere Dreiecksmatrix Anmerkungen Für die Elemente einer unteren bzw oberen Dreiecksmatrix gilt demnach: Untere Dreiecksmatrix: a ik = 0 für i < k Obere Dreiecksmatrix: a ik = 0 für i > k Prof Dr Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 71 Reelle Matrizen 20 / 31

21 Symmetrische Matrix Diagonalmatrix und Einheitsmatrix Dreiecksmatrix Symmetrische Matrix Schiefsymmetrische Matrix Definition Eine n-reihige, quadratische Matrix A = (a ik heißt symmetrisch, wenn für alle i und k ist (i, k = 1, 2,, n Anmerkung a ik = a ki Bei einer symmetrischen Matrix sind die Elemente spiegelsymmetrisch zur Hauptdiagonale angeordnet Daher gilt für eine symmetrische Matrix A stets A T = A Beispiele A = Prof Dr Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 71 Reelle Matrizen 21 / 31

22 Schiefsymmetrische Matrix Diagonalmatrix und Einheitsmatrix Dreiecksmatrix Symmetrische Matrix Schiefsymmetrische Matrix Definition Eine n-reihige, quadratische Matrix A = (a ik heißt schiefsymmetrisch, wenn für alle i und k ist (i, k = 1, 2,, n Anmerkungen Beispiel a ik = a ki Bei einer schiefsymmetrischen Matrix A verschwinden sämtliche Diagonalelemente: a ii = 0, i = 1, 2,, n a ii = a ii 2a ii = 0 a ii = 0 Eine schiefsymmetrische Matrix erfüllt die Bedingung A T = A A = Prof Dr Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 71 Reelle Matrizen 22 / 31

23 Definition Zwei Matrizen A = (a ik und B = (b ik vom gleichen Typ (m, n heißen gleich, A = B, wenn a ik = b ik für alle i,k ist (i = 1, 2,, m; k = 1, 2,, n Anmerkung Gleiche Matrizen stimmen in ihrem Typ und in sämtlichen einander entsprechenden Elementen überein Beispiele ( ( A = B = A = B aber A C (a 22 c 22 C = ( Prof Dr Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 71 Reelle Matrizen 23 / 31

24 Addition and Substraktion von Matrizen Addition und Substraktion von Matrizen Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar Multiplikation von Matrizen Definition Zum Matrizen A = (a ik und B = (b ik vom gleichen Typ (m, n werden addiert bzw substrahiert, indem man die entsprechenden, dh gleichstelligen Matrixelemente addiert bzw substrahiert Die Matrix heisst die Summe von A und B Die Matrix C = A + B = (c ik mit c ik = a ik + b ik D = A B = (d ik mit d ik = a ik b ik die Differenz von A und B (i = 1, 2, m; k = 1, 2,, n Anmerkung Addition und Substraktion sind nur für Matrizen gleichen Typs erklärt Prof Dr Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 71 Reelle Matrizen 24 / 31

25 Addition und Substraktion von Matrizen Addition und Substraktion von Matrizen Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar Multiplikation von Matrizen Rechengesetze Kommutativgesetz Assoziativgesetz A + B = B + A A + (B + C = (A + B + C Beispiel A = ( B = ( Wir bilden die Summe C = A + B und die Differenz D = A B und erhalten: ( ( (1 + 5 (5 + 1 ( C = = (4 1 (0 + 4 ( ( ( (1 5 (5 1 ( D = = (4 + 1 (0 4 ( Prof Dr Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 71 Reelle Matrizen 25 / 31

26 Addition und Substraktion von Matrizen Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar Multiplikation von Matrizen Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar Definition Eine Matrix A = (a ik vom Typ (m, n wird mit einem reellen Skalar λ multipliziert, indem man jedes Matrixelement a ik mit dem Skalar λ multipliziert: λ A = λ (a ik = (λ a ik für alle i und k (i = 1, 2,, m; k = 1, 2,, n Anmerkungen Die Matrix λ A ist das Produkt aus der Matrix A und dem Skalar λ Der Multiplikationspunkt im Produkt λ A wird meist weggelassen: λ A = λa Prof Dr Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 71 Reelle Matrizen 26 / 31

27 Addition und Substraktion von Matrizen Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar Multiplikation von Matrizen Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar Rechengesetze λ und µ sind reelle Skalare, A und B Matrizen vom gleichen Typ: Assoziativgesetz λ(µa = (λµa Beispiel Distributivgesetze (λ + µa = λa + µa λ(a + B = λa + λb A = Wir berechnen die Matrix B = 4A: ( B = ( = ( Prof Dr Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 71 Reelle Matrizen 27 / 31

28 Multiplikation von Matrizen Addition und Substraktion von Matrizen Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar Multiplikation von Matrizen Definition A = (a ik sei eine Matrix vom Typ (m, n, B = (b ik eine Matrix vom Typ (n, p Dann heisst die Matrix mit C = A B = (c ik c ik = a i1 b 1k + a i2 b 2k + + a in b nk = n a ij b jk j=1 das Produkt der Matrizen A und B (i = 1, 2,, m ; k = 1, 2,, p Anmerkungen Das Matrizenprodukt A B ist vom Typ (m, p Der Multiplikationspunkt im Matrizenprodukt A B wird meist weggelassen: A B = AB Prof Dr Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 71 Reelle Matrizen 28 / 31

29 Addition und Substraktion von Matrizen Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar Multiplikation von Matrizen Matrix B k-ter Spaltenvektor b 11 b 1k b 1p b 21 b 2k b 2p i-ter Zeilenvektor a 11 a 12 a 1n a i1 a i2 a in a m1 a m2 a mn b n1 b nk b np c 11 c 1p c ik c m1 c mp Matrix A Matrix C = A B c ik :Skalarprodukt aus dem i-ten Zeilenvektor von A und dem k-ten Spaltenvektor von B Prof Dr Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 71 Reelle Matrizen 29 / 31

30 Multiplikation von Matrizen Addition und Substraktion von Matrizen Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar Multiplikation von Matrizen Beispiel Wir berechnen das Produkt C der Matrizen A = ( und B = Denn gibt es C = A B ( = = ( Prof Dr Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 71 Reelle Matrizen 30 / 31

31 Multiplikation von Matrizen Addition und Substraktion von Matrizen Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar Multiplikation von Matrizen Regeln für die Matrizenmultiplikation Bei der Multiplikation zweier Matrizen A und B sind folgende Regeln zu beachten: 1 Die Produktbildung C = A B ist nur möglich, wenn die Spaltenzahl von A mit der Zeilenzahl von B übereinstimmt 2 Das Matrixelement c ik ist das skalare Produkt aus dem i-ten Zeilenvektor von A und dem k-ten Spaltenvektor von B Rechengesetze Assoziativgesetz Distributivgesetz Weitere Gesetze A(BC = (ABC A(B + C = AB + AC (A + BC = AC + BC (AB T = B T A T AE = EA = A Prof Dr Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 71 Reelle Matrizen 31 / 31