Reelle Zahlen. Mathematische Grundlagen Lernmodul 4. Stand: Oktober 2010

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1 Mathematische Grundlagen Lernmodul 4 Reelle Zahlen Stand: Oktober 200 Autoren: Prof. Dr. Reinhold Hübl, Professor Fakultät für Technik, Wissenschaftliche Leitung ZeMath, huebl@dhbw-mannheim.de Dipl.-Phys. Markus Pettinger, Akademischer Mitarbeiter Fakultät für Technik, markus.pettinger@dhbw-mannheim.de Dipl.-Math. Christine Vandaele, Akademische Mitarbeiterin Fakultät für Technik, vandaele@dhbw-mannheim.de 200 Fakultät für Technik DHBW Mannheim

2 4. Der Körper der reellen Zahlen Die für unsere Anwendungen wichtigste Menge ist die Menge der reellen Zahlen. Anschaulich entspricht die Menge der reellen Zahlen den Punkten des Zahlenstrahls π R Trotzdem können wir uns in der Regel nur ein unzulängliches Bild davon machen. Fragt man nach einer beliebigen Zahl, so wird man in der Regel eine ganze Zahl oder einen Bruch als Antwort bekommen, vielleicht noch eine Wurzel wie etwa 3 oder die Kreiszahl π. Dabei wusste schon im neunzehnten Jahrhundert der Mathematiker Georg Cantor, dass die rationalen oder die (reellen) algebraischen Zahlen (das sind alle reellen Zahlen, die sich mit Hilfe von Nullstellen von Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten beschreiben lassen) nur einen verschwindend kleinen Teil der reellen Zahlen ausmachen. Es gibt viele Möglichkeiten, die reellen Zahlen einzuführen, entweder durch Konstruktion aus den rationalen Zahlen oder axiomatisch. Viele dieser Ansätze benutzen topologische Begriffe wie Grenzwerte oder Cauchy Folgen. Wir wollen hier reelle Zahlen über ihre Eigenschaften beschreiben und charakterisieren. Auf einen Beweis, dass wir hiermit wirklich den reellen Zahlenstrahl bekommen, wollen wir aber verzichten. Stattdessen wollen wir voraussetzen, dass die Menge der reellen Zahlen R durch den Zahlenstrahl gegeben ist und nun deren Eigenschaften entwickeln und zeigen, dass sich alles, was wir über die reellen Zahlen wissen, aus wenigen Grundannahmen und Axiomen ableiten lässt. Wichtig für uns ist, dass auf dieser Menge der reellen Zahlen eine Addition + und eine Multiplikation erklärt sind. Die Addition ordnet je zwei reellen Zahlen a,b eine reelle Zahl a + b, ihre Summe, zu, und es gelten die folgenden Regeln:

3 Axiome der Addition: A Assoziativgesetz: a+(b+c) = (a+b)+c für alle a,b,c R. A2 Kommutativgesetz: a+b = b+a für alle a,b R. A3 Existenz der Null: Es gibt eine Zahl 0 R mit a+0 = a für alle a R. A4 Existenz des Negativen: Zu jedem a R existiert eine Zahl a R mit a+( a) = 0. Für a+( b) schreiben wir kurz a b und nennen diese Zahl die Differenz von a und b und den Vorgang der Differenzbildung Subtraktion. Bemerkung. Für die algebraisch interessierten Leser wollen wir hier erwähnen, dass die Regeln A - A4 besagen, dass (R,+) eine abelsche Gruppe mit neutralem Element 0 ist. Analog ordnet die Multiplikation je zwei reellen Zahlen a, b eine reelle Zahl a b, ihr Produkt, zu, und es gelten die folgenden Regeln: Axiome der Multiplikation: M Assoziativgesetz: a (b c) = (a b) c für alle a,b,c R. M2 Kommutativgesetz: a b = b a für alle a,b R. M3 Existenz der Eins: Es gibt eine Zahl R\{0} mit a = a für alle a R. M4 Existenz des Inversen: Zu jedem a R, a 0, existiert eine Zahl a R, a 0, mit a a =. Für a schreiben wir auch a, und für a b schreiben wir kurz a b oder a : b und wir nennen diese Zahl den Quotienten von a und b, der Vorgang der Quotientenbildung heißt Division. Bezeichnung: Wir schreiben oft kurz ab für a b, falls das ohne Verwirrung möglich ist. Beachten Sie aber, dass diese Konvention bei Zahlen nicht möglich ist: 2 3 ist das Produkt von 2 und 3, wohingegen 23 für die Zahl dreiundzwanzig steht. Die Regeln M - M4 besagen, dass (R \ {0}, ) eine abelsche Gruppe mit neutralem Element ist. Für R\{0} schreiben wir auch R und nennen es die Einheitengruppe von R. Addition und Multiplikation sind nicht völlig losgelöst voneinander. Die Verbindung zwischen den beiden Operationen ist gegeben durch D Distributivgesetz: a (b+c) = a b+a c für alle a,b,c R. 2

4 Bemerkung 2. Bei der Existenz des Negativen zu einer Zahl haben wir nur gefordert, dass a +( a) = 0, aber aufgrund des Kommutativgesetzes für die Addition gilt dann natürlich auch ( a)+a = 0, also etwa 5+( 5) = 0 = ( 5)+5 Genauso gilt auch für die Multiplikation a a = = a a für alle a 0, also etwa 5 5 = = 5 5 Bemerkung 3. Die Eigenschaften A - A4, M - M4 und D werden auch Körperaxiome genannt. Jede nichtleere Menge mit einer Addition und einer Multiplikation, die diese Eigenschaften hat, nennen wir einen Körper. So ist etwa auch Q, die Menge der rationalen Zahlen, ein Körper. Dagegen bilden die natürlichen Zahlen N und die ganzen Zahlen Z keinen Körper. Bei den natürlichen Zahlen scheitert das schon daran, dass es nicht zu jedem n N ein m N mit n + m = 0 gibt (etwa für n = 2). Bei den ganzen Zahlen ist das zwar immer möglich, dafür gibt es aber nicht zu allen Zahlen ein multiplikatives Inverses in den ganzen Zahlen, etwa zu 2 = 3. Viele bekannte Regeln für das Rechnen mit reellen Zahlen sind nicht in unserer Liste von Axiomen enthalten. Deshalb müssen sie aus diesen hergeleitet werden. Einige dieser Eigenschaften folgen unmittelbar, etwa Bemerkung 4. Es gilt:. a 0 = 0 a = 0 für alle a R. 2. a ( ) = ( ) a = a für alle a R. 3. ( a) = a für alle a R 4. a 0 a 0. Beweis:. Es gilt nach den Regeln für Addition und Multiplikation a = a = a (+0) = a +a 0 = a+a 0 wobeiwirzunächstm3,danna3,dannd unddannwiederm3angewendet haben. Subtrahieren wir a auf beiden Seiten, so erhalten wir: 0 = a a = a+a 0 a = a 0 wie gewünscht. Die entsprechende Aussage für 0 a folgt aus der Kommutativität M2 der Multiplikation 3

5 2. Wir wenden das Ergebnis aus. an und erhalten 0 = a 0 = a ( ) = a +a ( ) = a+a ( ) Subtrahieren wir a auf beiden Seiten, so ergibt das a = 0 a = a+a ( ) a = a ( ) wie gewünscht. Auch hier folgt nun die Gültigkeit von ( ) a = a aus der Kommutativität der Multiplikation. 3. Aus den Axiomen erhalten wir die folgenden Beziehungen also die Behauptung. ( a) = ( a)+0 = ( a)+( a+a) = ( ( a)+( a))+a = 0+a = a 4. Wir führen einen Widerspruchsbeweis: Wir nehmen an, dass a = 0. Dann gilt (wegen dieser Annahme, A3 und A4) 0 a = a+0 = a+( a) = 0 ein Widerspruch. Damit ist die Aussage bewiesen. Aufgabe 4.. Benutzen Sie nur die Axiome A - A4, M - M4 und D um folgende Aussagen zu zeigen: (a+b) = a+( b) ( a) b = (a b) für alle a,b R für alle a,b R Aufgabe 4.2. Zeigen Sie: Für a,b R gilt: ( a) ( b) = a b. Aufgabe 4.3. Benutzen Sie nur die Axiome A - A4, M - M4 und D um folgende Aussage zu zeigen: a b = 0 a = 0 oder b = 0 Die reellen Zahlen sind jedoch nicht nur ein Körper, sie haben auch noch eine Anordnung, d.h. es gibt Vergleichsoperationen < und >, so dass für je zwei reelle Zahlen genau eine der folgenden Beziehungen gilt: 4

6 V0 : a < b (a ist kleiner als b) a liegt auf dem Zahlenstrahl links von b a = b (a ist gleich b) a und b sind auf dem Zahlenstrahl gleich a > b (a ist größer als b) a liegt auf dem Zahlenstrahl rechts von b wobei folgende Anordnungsaxiome erfüllt sind V : Für a > b und c beliebig gilt: a+c > b+c V2 : Für a > b und c > 0 gilt: a c > b c V3 : Für a > b und b > c gilt: a > c (Transitivität). a 0 b c R a < b, c > b Bemerkung 5. Neben den strikten Vergleichsoperationen < und > werden wir auch oft die Vergleichsoperationen und benutzen, die wir wie folgt definieren: a b a < b oder a = b a b a > b oder a = b Dann gelten V, V2 und V3 auch für anstelle von >. Aus den Anordnungsaxiomen folgen sofort weitere grundlegende und wohlbekannte Eigenschaften der reellen Zahlen: Bemerkung 6. Für reelle Zahlen a,b,c gilt:. Ist a b und b c, so gilt a c. 2. Ist a b und b > c, so gilt a > c. 3. Ist a > b und b c, so gilt a > c. Beweis:. Diese offensichtliche Eigenschaft der reellen Zahlen ist nicht in unserer Liste von Axiomen enthalten und muss daher nachgewiesen und aus den Axiomen abgeleitet werden, auch wenn Sie uns noch so evident und klar erscheint. Nach Voraussetzung gilt a b, also a > b oder a = b, und b c, also b > c oder b = c. Wir spielen nun die verschiedenen Kombinationen einzeln durch: Falls a > b und b > c, so gilt nach V3: a > c, also auch a c. 5

7 Falls a = b und b > c, so gilt offensichtlich a > c, also auch a c, und analog folgt aus a > b und b = c, dass a > c, also a c. Ist schließlich a = b und b = c, so gilt auch a = c und damit a c, und die Aussage ist damit vollständig bewiesen. 2. Da b > c sind hier nur zwei Fälle zu beachten: Falls a > b, so gilt nach V3: a > c. Falls a = b, so gilt offensichtlich: a = b > c. 3. geht genauso wie (2). Bemerkung 7. Für reelle Zahlen a,b,c gilt:. Ist a b, so ist a b Ist a b und c d so gilt a+c b+d. 3. Ist a > 0, so ist a < 0; ist a < 0, so ist a > Für jedes a R gilt: a > Ist a > b und c < 0, so gilt ac < bc. 7. Ist a > 0 so ist a > 0. Der Beweis dieser Aussagen benutzt ähnliche Argumente wie der Beweis der vorangegangenen Bemerkung. Er findet sich im Anhang. Aufgabe 4.4. Zeigen Sie, dass für alle reellen Zahlen a < 0 gilt: a < 0. Aufgabe 4.5. Zeigen Sie, dass für positive reelle Zahlen a,b mit a > b gilt: a < b. Aufgabe 4.6. Für welche reellen Zahlen a,b gilt ab > a? Begründen Sie Ihre Antwort. Auch bei der Betrachtung der Vergleichsoperation spielt die 0 eine besondere Rolle: Definition. Eine reelle Zahl a heißt positiv, wenn a > 0 und negativ, wenn a < 0. Sie heißt nicht negativ, wenn a 0 und nicht positiv, wenn a 0. 6

8 Bemerkung 8. Die Zahl 0 ist weder positiv noch negativ. Sie ist aber sowohl nicht negativ als auch nicht positiv. Bemerkung 9. Die Anordnungsaxiome allein stellen schon sicher, dass die natürlichen Zahlen in den reellen Zahlen enthalten sind. Ein Beweis hiervon findet sich bei O. Forster, Analysis I, 3. Beispiel. Für ganze Zahlen gilt:. Alle natürlichen Zahlen sind nicht negativ, alle von 0 verschiedenen natürlichen Zahlen sind positiv. 2. Eine ganze Zahl ist genau dann negativ, wenn sie keine natürliche Zahl ist. 3. Die positiven Zahlen liegen am Zahlenstrahl rechts von der 0, die negativen Zahlen links davon. Aufgabe 4.7. Zeigen Sie, dass 2 >. Zeigen Sie ganz allgemein, dass für jede ganze Zahl n Z gilt: n+ > n Aufgabe 4.8. Zeigen Sie: Sind a,b positive reelle Zahlen mit a > b, so gilt auch a 2 > b 2. Beispiel 2. Aus Aufgabe 4.7 und der Eigenschaft V3 folgt Also gilt wegen V2: 3 >, 2 > 0 6 = 3 2 > 2 = 2 Beispiel 3. Aus Aufgabe 4.7 und der Eigenschaft V3 folgt 5 > 0, 2 > 0 und damit zunächst nach Bemerkung 7, dass 2 > 0, also nach V2: 5 2 > 0 Ganz allgemein gilt: Sind a,b zwei positive ganze Zahlen, so gilt a b > 0 7

9 Die reellen Zahlen R bilden zusammen mit den Operationen + und einen Körper, und mit der Relation > einen angeordneter Körper. Auch der Körper Q der rationalen Zahlen ist ein angeordneter Körper. Ebenso erfüllt die Menge Q[ 2] := {a+b 2 a,b Q} alle Eigenschaften, die wir bis jetzt für die reellen Zahlen betrachtet haben, und das Gleiche gilt für viele weitere Teilmengen von R. Definition 2. Der Betrag oder Absolutbetrag a einer reellen Zahl a ist ihr Abstand vom Nullpunkt, also { a falls a 0 a = a falls a < 0 Bemerkung 0. Folgende Rechenregeln für den Absolutbetrag erhalten wir sofort aus der Definition:. a b = a b für alle a,b R. 2. a b = a b für alle a,b R mit b a + b a + b für alle a,b R. Die Gleichheit a + b = a + b gilt genau dann, wenn entweder sowohl a als auch b nicht negativ oder sowohl a als auch b nicht positiv sind. Bemerkung. Für zwei Zahlen a,b ist d = b a der Abstand zwischen a und b auf dem Zahlenstrahl. Beispiel 4. Die Rechenregeln für Absolutbeträge können wie folgt angewendet werden:. 5 = 5, 5 = ( 3) ( 2) = 3 2 = = 3 2 Aus den Vergleichsoperationen können wir nun einige allgemeine Ungleichungen herleiten, etwa: Satz 4.. (Bernoullische Ungleichung) Für a und n 0 gilt: (+a) n +n a 8

10 Beweis: Wir zeigen die Aussage durch vollständige Induktion, die wir in der Lerneinheit über Logik kennengelernt haben: n = 0: (+a) 0 = +0 a. n : Sei die Aussage für n schon gezeigt. Dann gilt nach Induktionsvoraussetzung (+a) n = (+a) n (+a) (+(n )a) (+a) = (+na+(n )a 2 +na wobei wir auch noch aus Bemerkung 7 die Beziehung a 2 0 benutzt haben. Damit ist die Ungleichung gezeigt. Beispiel 5. Für alle natürlichen Zahlen n gilt 3 n 2n+. Das ergibt sich aus der Bernoulli Ungleichung, wenn wir a = 2 setzen. Aufgabe 4.9. Zeigen Sie, dass ( ) n+2 n n 3 für alle n N+ In den reellen Zahlen kennen wir verschiedene Begriffe von Mittelwerten. Definition 3. Wir betrachten reelle Zahlen a,...,a n. n. a arith := a n i heißt das arithmetische Mittel von a,...,a n. i= 2. Sind a,...,a n 0, so heißt a geom := n a a n das geometrische Mittel von a,...,a n. 3. Sind a,...,a n > 0, so heißt a harm := n n das harmonische Mittel a i= i von a,...,a n. Die unterschiedlichen Mittelwerte kommen in verschiedenen Anwendungen zum Einsatz: Beispiel 6. Ein Wanderer wandert 4 Kilometer in der ersten Stunde, dann zwei Stunden lang jeweils 5 ehe er in der vierten Stunde auf 3 Kilometer abfällt. In diesem Fall berechnet sich seine Durchschnittsgeschwindigkeit mit dem arithmetischen Mittel v = = 7 4 km h 9

11 Beispiel 7. Es ist bekannt, dass ein Wanderer, der drei Kilometer geht, den ersten Kilometer mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 6 km, den h zweiten mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 5 km und den dritten h mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 4 km geht. Dann ermittelt sich h seine Durchschnittsgeschwindigkeit über die ganze Strecke als das harmonische Mittel der einzelnen Durchschnittsgeschwindigkeiten, also 3 v = = ,86 km h Aufgabe 4.0. Zeigen Sie, dass es sich bei dem in Beispiel 7 angegebenen Wert tatsächlich um die Durchschnittsgeschwindigkeit des Wanderers handelt. Beispiel 8. Eine Kapitalanlage verzinst sich im ersten Jahr mit %, im zweiten mit 2%, im dritten mit 3% und im vierten Jahr schließlich mit 0%. Dann berechnet sich (bei Berücksichtigung des Zinseszinseffektes und bei einmaliger Zinsberechnung pro Jahr) die Durchschnittsverzinsung über das geometrische Mittel q = 4,0,02,03,0,0394 Wir hätten also denselben Endbetrag bekommen, wenn wir konstant über die vier Jahre 3,94% Zinsen erhalten hätten. Aufgabe 4.. Zeigen Sie, dass es sich bei dem in Beispiel 8 angegebenen Wert tatsächlich um den effektiven Durchschnittszinssatz handelt. Diese Mittelwerte stimmen in der Regel nicht miteinander überein, aber es bestehen gewisse Beziehungen zwischen ihnen: Satz 4.2. (Ungleichung von arithmetischem und geometrischem Mittel) Sind a,...,a n 0, so gilt a geom a arith Der Beweis dieser Ungleichung findet sich im Anhang. Satz 4.3. (Ungleichung von harmonischem und geometrischem Mittel) Sind a,...,a n > 0, so gilt a harm a geom Auch diese Aussage wird im Anhang bewiesen. 0

12 Die reellen Zahlen zeichnen sich gegenüber Q und allen anderen echten Teilmengen durch die (topologische) Vollständigkeit aus, ein Merkmal, das sich erst nach Einführung des Stetigkeitsbegriffs sinnvoll betrachten lässt. Eine Formulierung dieser Eigenschaft, die ganz ohne Grenzwerte und Stetigkeitsbetrachtungen auskommt, ist S (Gesetz vom Dedekindschen Schnitt): Sind A, B R zwei Teilmengen, A und B, und gilt A B (das bedeutet, dass für beliebige Elemente a A und b B gilt: a b), so gibt es (mindestens) eine reelle Zahl c mit a c b c für alle a A für alle b B A 0 )( c B R Beispiel 9. Die rationalen Zahlen Q erfüllen die Eigenschaft S nicht. Ist etwa A = {q Q + q 2 2} und B = {q Q + q 2 2}, so gilt sicherlich A B, aber es gibt keine rationale Zahl q 0 mit A q 0 und B q 0. Das Gesetz vom Dedekindschen Schnitt besagt aber, dass es (mindestens) eine reelle Zahl mit dieser Eigenschaft gibt. Bemerkung 2. Man kann zeigen, dass die Körperaxiome zusammen mit den Anordnungsaxiomen und dem Gesetz vom Dedekindschen Schnitt in der Tat die reellen Zahlen eindeutig festlegen, und dass dabei tatsächlich eine Erweiterung der rationalen Zahlen herauskommt, die durch den Zahlenstrahl abgebildet wird. Darauf wollen wir hier jedoch verzichten. Die Anordnung der reellen Zahlen und das Gesetz vom Dedekindschen Schnitt erlaubt es uns, obere und untere Schranken zu betrachten. Dazu betrachten wir eine nichtleere Teilmenge M R Definition 4. M heißt nach oben beschränkt, wenn es eine Zahl o R mit x o für alle x M gibt. Entsprechend heißt M nach unten beschränkt, wenn es eine Zahl u R mit x u für alle x M gibt. M heißt beschränkt, wenn es nach oben und nach unten beschränkt ist.

13 Satz 4.4. Ist M eine nicht leere, nach oben beschränkte Menge, so besitzt M eine kleinste obere Schranke, d.h. es gibt ein s R mit den folgenden Eigenschaften:. s ist eine obere Schranke von M. 2. Ist t < s, so ist s keine obere Schranke von M. Beweis: Dazu betrachten wir die Menge A := {r R r M}, also die Menge aller oberen Schranken von M. Nach unserer Annahme ist A. Dann gilt M A, und daher gibt es nach dem Dedekindschen Schnittgesetz ein s mit M s A Also ist s eine obere Schranke von M. Ist nun t < s so ist t / A, da ja s A. Daher ist t keine obere Schranke von M. Bezeichnung: Wir schreiben sup(m) für s und nennen es das Supremum von M. Falls s M nennen wir es das Maximum von M und schreiben hierfür max(m). Beispiel 0. Wir betrachten die Menge M = {x R 0 < x < }. Ihr Supremum ist s =. Da s / M, hat diese Menge also kein Maximum. Im Gegensatz dazu hat die Menge M = {x R 0 x } die Zahl s = als Maximum. Bemerkung 3. Ist die Menge M nicht nach oben beschränkt, so setzen wir sup(m) =. Ferner setzen wir sup( ) =. Die vollkommen analogen Aussagen gelten auch für untere Schranken: Satz 4.5. Ist M eine nicht leere, nach unten beschränkte Menge, so besitzt M eine größte untere Schranke, d.h. es gibt ein i R mit den folgenden Eigenschaften:. i ist eine untere Schranke von M. 2. Ist t > i, so ist t keine untere Schranke von M. Der Beweis ist sehr ähnlich zu dem von Satz 4.4. Er wird im Anhang ausgeführt. Bezeichnung: Wir schreiben inf(m) für i und nennen es das Infimum von M. Falls i M nennen wir es das Minimum von M und schreiben hierfür min(m). 2

14 Bemerkung 4. Ist die Menge M nicht nach unten beschränkt, so setzen wir inf(m) =. Ferner setzen wir inf( ) =. Eine wichtige Eigenschaft angeordneter Körper ist das (sogenannte) archimedische Axiom. Dieses können wir für die reellen Zahlen jetzt aus dem Gesetz vom Dedekindschen Schnitt herleiten. Den Beweis dazu führen wir im Anhang Satz 4.6. Zu jedem x R existiert eine natürliche Zahl n N mit x < n. Eine wichtige Konsequenz dieser Aussage ist Folgerung 4.7. Ist x R mit x > 0, so gibt es ein n N mit n < x. Beweis: Wegen x > 0 ist auch > 0 nach Bemerkung 7. Daher gibt es nach x dem archimedischen Axiom 4.6 ein n N mit n >, und deshalb gilt x wegen Aufgabe < n < ( x) = x In der Analysis von besonderem Interesse sind spezielle Teilmengen der reellen Zahlen, die sogenannten Intervalle, für die wir die folgende Schreibweise benutzen werden (wobei wir immer a < b voraussetzen): [a,b] = {x R a x b} [a,b[ = {x R a x < b} ]a,b] = {x R a < x b} ]a,b[ = {x R a < x < b} abgeschlossenes Intervall rechts halboffenes Intervall links halboffenes Intervall offenes Intervall Neben diesen beschränkten Intervallen betrachten wir auch noch unbeschränkte Intervalle: [a, [ = {x R x a} ]a, [ = {x R x > a} ],b] = {x R x b} ],b[ = {x R x < b} Spezialfälle hiervon sind ]0, [ =: R + die positiven Zahlen ],0[ =: R die negativen Zahlen ], [ = R 3

15 Bemerkung 5. Die Beschreibung von offenen Intervallen ist nicht einheitlich. Häufig findet man in Büchern auch die Bezeichnung (a,b) für ]a,b[ und (a,b] für ]a,b] bzw. [a,b) für [a,b[. Neben dem Körper R sind auch seine kartesischen Produkte (also etwa die Zeichenebene oder der Raum) von Interesse für uns. Dazu setzen wir ganz allgemein für zwei Mengen M und N: M N := {(m,n) m M,n N} und nennen es das kartesische Produkt von M und N. Das lässt sich analog auch mit mehreren Mengen machen: M M 2 M n := {(m,...,m n ) m i M für alle i =,...,n} Gilt dabei M = M 2 = = M n =: M, so schreiben wir auch kurz M n für M M 2 M n und nennen es das n fache kartesische Produkt der Menge M. Beispiel. Die Mengen R n können wir wie folgt interpretieren: Die Menge R 2 repräsentiert die Zeichenebene. Ihre Elemente sind (geordnete) Paare (a,b) von Zahlen, die dem Punkt P der Ebene mit x Koordinate a und y Koordinate b entsprechen. Die Menge[,2] [0,5] R 2 besteht aus allen Paaren (a,b) von Zahlen, für die gilt a 2, 0 b 5 Sie beschreibt also ein Rechteck in der Zeichenebene. Die Menge R 3 repräsentiert den Raum. Ihre Elemente sind Tripel (a,b,c) von Zahlen, die dem Punkt P im Raum mit x Koordinate a, y Koordinate b und z Koordinate c entsprechen. Die Menge R n ist die Menge alle n Tupel (r,r 2,...,r n ) reeller Zahlen r,...,r n. Eine geometrische Interpretation wie im Fall n = 2 oder n = 3 ist aber für höhere n nicht möglich. 4

16 Lösungen zu den Aufgaben Lösung zu Aufgabe 4.. Nach den Körperaxiomen gilt (a+b) = (a+b)+0+0 wegen A3 = (a+b)+(a+( a))+(b+( b)) wegen A4 = (a+b)+a+( a)+b+( b) wegen A = (a+b)+a+b+( a)+( b) wegen A2 = 0+( a)+( b) wegen A4 = ( a)+( b) also die erste Aussage. Zum Beweis der zweiten Aussage müssen wir auch das Distributivgesetz ausnutzen und erhalten damit ( a) b = ( a) b+0 wegen A3 = ( a) b+(a b+( (a b))) wegen A4 = ( a) b+a b+( (a b)) wegen A = (( a)+a) b+( (a b)) wegen D = 0 b+( (a b)) wegen A4 = (a b) wegen Bemerkung 4 Lösung zu Aufgabe 4.2. Hier können wir die vorangehende Aufgabe 4. zweimal benutzen und erhalten damit ( a) ( b) = (a ( b)) wegen Aufgabe 4. = (( b) a) wegen M2 = ( (b a)) wegen Aufgabe 4. = b a wegen Bemerkung 4 = a b wegen M2 Lösung zu Aufgabe 4.3. Wir nehmenan, dass sowohl a 0alsauchb 0. Dann existieren a und b und wir erhalten in offensichtlicherweise aus den Axiomen = a a = a a = a b b a = (a b) b a = 0 b a nach Voraussetzung = 0 wegen Bemerkung 4 ein Widerspruch. Damit ist unsere Annahme falsch und die Aussage bewiesen. 5

17 Lösung zu Aufgabe 4.4. Hier kann der Beweis von Bemerkung 7 (7) fast Wort für Wort übertragen werden. Wäre nämlich > 0, so folgt aus a < 0 a wegen Bemerkung 7 (6): 0 < = a a < 0 ein Widerspruch. Lösung zu Aufgabe 4.5. Wir wissen schon, dass aus a > 0 und b > 0 auch > 0 und > 0 folgt. Damit gilt nach V2 aber auch a b ab = a b > 0 und daher folgt aus der Angabe und wiederum V2: also wie gewünscht. a ab > b ab b > a Lösung zu Aufgabe 4.6. Wir betrachten hier verschiedene Fälle:. a = 0. Dann gilt auch a b = 0, und damit ist a b > a für kein b erfüllt. 2. a > 0. In diesem Fall ist auch a gilt nach V2 (und M4): > 0 nach Bemerkung 7 (7), und daher a b > a a a b > a b > a Damit gilt die Beziehung in diesem Fall genau dann, wenn b >. 3. a < 0. In diesem Fall ist auch a Bemerkung 7 (6): < 0 nach Aufgabe 4.4 und somit nach a b > a a a b < a b < a Damit gilt die Beziehung in diesem Fall genau dann, wenn b <. Insgesamt ist die Ungleichung also für a,b genau dann erfüllt, wenn a,b in folgender Menge ist: M = {(a,b) a > 0 und b > oder a < 0 und b < } 6

18 Lösung zu Aufgabe 4.7. Wir wissen bereits nach Bemerkung 7 (5), dass > 0. Damit gilt nach V auch + > 0 + also 2 >. Das gleiche Argument funktioniert natürlich auch im allgemeinen Fall: Aus > 0 und V folgt n+ > n+0 also n+ > n für alle ganzen Zahlen n. Lösung zu Aufgabe 4.8. Wir haben a > b und a > 0. Daraus folgt zunächst a 2 > ab. Analog folgt aus a > b und b > 0, dass ab > b 2. Daher erhalten wir aus V3 nun a 2 > b 2 wie gewünscht. Lösung zu Aufgabe 4.9. Wir können in dieser Aufgabe direkt die Bernoullische Ungleichung 4. anwenden und erhalten ( ) n ( n+2 = + 2 ) n +n 2 n n n = 3 Lösung zu Aufgabe 4.0. Die Durchschnittsgeschwindigkeit ermittelt sich als v = s, wobei s die gesamte Wegstrecke und t die dafür benötigte Zeit (in t Stunden) ist. In unserem Beispiel legt der Wanderer insgesamt drei Kilometer zurück. Da er den ersten mit einer Geschwindigkeit von 6 km wandert, h km benötigt er hierfür = Stunden, also 0 Minuten. Analog braucht er 6km/h 6 für den zweiten 2 Minuten und für den dritten 5. Insgesamt benötigt er also 37 Minuten, also 37 Stunden. Damit gilt 60 v = = = ,86 km h Lösung zu Aufgabe 4.. Bezeichnet K 0 das Startkapital, so beträgt das GesamtkapitalnacheinemJahrK 0,0undnachzwei JahrenK 0,0,02. Nach drei Jahren ist es K 0,0,02,03 und nach vier Jahren schließlich K 0,0,02,03,0. Dabei ist berücksichtigt, dass die Zinsen immer am Ende des Jahres dem Guthaben zugeschlagen werden und in der Folgezeit mitverzinst werden. Bei einem konstanten Zinssatz von p% erhalten wir entsprechend nach 4 Jahren ein Endkapital von K 0 (+ 00) p 4. Wir haben also nach 4 Jahren bei unserem Modell K 4 = K 0,0,02,03,0 = K 0 4,0,02,03,0 4 K 0, und damit hätten wir den gleichen Endbetrag bei einem konstanten Zinssatz von 3,94% pro Jahr erhalten. 7

19 Ergänzende Beweise zum Kapitel reelle Zahlen Beweis von Bemerkung 7:. Wir wenden V an mit c = b und erhalten a b b b = Zunächst folgt aus V : a+d b+d. Aus. folgt, dass c d 0, und hieraus folgt wiederum aus V: a+c = c d+(a+d) 0+(a+d) = a+d Die Behauptung ergibt sich aus der Transitivitätsbeziehung V Sei a > 0. Wir beweisen durch Widerspruch, d.h. wir nehmen an, dass nicht gilt a < 0 und führen diese Annahme zu einem Widerspruch. Da mit a auch a 0, muss gelten a > 0. Damit gilt nach 2.: 0 < a = a+0 a+( a) = a a = 0 also 0 < 0, ein Widerspruch. Damit war unsere Annahme falsch und es muss gelten a < 0. Den anderen Fall behandelt man genauso. 4. Für a = 0 ist nichts zu zeigen. Ist a > 0, so gilt nach V2 (mit b = 0 und c = a): a 2 = a a 0 Ist a < 0, so gilt nach 3. a > 0 und daher gilt wie oben a 2 = ( a) 2 = ( a) ( a) > 0 wobei wir auch Aufgabe 4.2 benutzt haben. 5. Es ist = 2 0. Da 0 folgt also > Da c < 0 ist c > 0 nach 3., und daher nach V2: also nach V: Wiederum nach 3. ergibt das also nach V: ca > cb (ca cb) > 0 ca cb < 0 ca < cb 8

20 7. Es ist sicherlich 0. Falls < 0, so folgt aus a > 0 wegen 6.: a a 0 > a =, a ein Widerspruch zu 5. Beweis von Satz 4.2: Wir leiten die Aussage mit vollständiger Induktion her: n = : Hier gilt a geom = a a = a arith Sein nun n 2 und die Aussage für n schon gezeigt. Wir können annehmen, dass a a 2 a n und wir setzen a := n n (also das arithmetische Mittel von a,...,a n ). Dann gilt nach der Bernoulli Ungleichung 4. i= a i also ( ) n a + +a n = (+ a ) n a n + a n a n a n a a ( a + +a n Nach Induktionsvoraussetzung gilt nun n ) n (a ) n a n a = (a ) n a n = a n a (a ) n a n a a n a n so dass insgesamt die Behauptung folgt. Beweis von Satz 4.3: Wir setzen b i = a i und wenden darauf die Ungleichung 4.2 von arithmetischem und geometrischem Mittel an: also n b b n n n n a a n und das ist gerade die Behauptung. 9 n i= n i= b i a i

21 Beweis von Satz 4.5: Dazu betrachten wir die Menge A := {r R r M} aller unteren Schranken von M. Dann ist nach Voraussetzung A, und es gilt A M. Daher gibt es nach dem Dedekindschen Schnittgesetz ein i mit A i M Also ist i eine untere Schranke von M. Ist nun t > i so ist t / A, da ja i A. Daher ist t keine untere Schranke von M. Beweis von Satz 4.6: Wir nehmen an, es gibt ein x R mit n x für alle n N und führen diese Annahme zum Widerspruch. Dazu setzen wir A := {a R n N mit a < n}, B := {b R n N gilt n b} Dann gilt sicherlich und ausserdem A B =, A B A B = R Ferner ist A, da A (mit n = 0) und B, da nach unserer Annahme x B. Damit sind die Voraussetzungen des Gesetzes vom Dedekindschen Schnitt erfüllt, und daher gibt es ein c R mit A c B Dann ist c R mit c < c, also notwendigerweise c A (denn R = A B). Also gibt es ein n 0 N mit c < n 0 und es folgt c < n 0 +, also n 0 + B (wieder wegen R = A B) Das bedeutet (nach Definition von B) n n 0 + für alle n N Speziell können wir also n = n 0 +2 wählen und erhalten n 0 +2 n 0 + also (nach Subtraktion von n 0 +) < 0, ein Widerspruch. Damit ist die Annahme falsch und der Satz bewiesen. 20

22 Abschlusstest Kapitel 4 Schlussaufgabe 4.. Zeigen Sie: 0 = 0. Schlussaufgabe 4.2. Benutzen Sie nur die Axiome A - A4, M - M4 und D um folgende Aussage zu zeigen: ( a) = ( a ) für alle a R\{0} Schlussaufgabe 4.3. Benutzen Sie nur die Axiome A - A4, M - M4 und D um zu zeigen, dass für ein a R\{0} und für b,x R gilt: a x = b x = b a Schlussaufgabe 4.4. Zeigen Sie: Ist a 0 und a so ist a. Schlussaufgabe 4.5. Benutzen Sie nur die Axiome A - A4, M - M4 und D um folgende Aussage zu zeigen: (a b) = a b Schlussaufgabe 4.6. Zeigen Sie: 3 >. für alle a,b R\{0} Schlussaufgabe 4.7. Zeigen Sie: Ist a > b > 0, so gilt 0 < a < b. Schlussaufgabe 4.8. Zeigen Sie: Für jede reelle Zahl a 0 gilt entweder a < 0 < a oder a < 0 < a. Schlussaufgabe 4.9. Zeigen Sie, dass für alle reellen Zahlen a, b gilt: a 2 +b 2 2ab Schlussaufgabe 4.0. Zeigen Sie, dass für zwei reelle Zahlen a,b mit a > b auch a 3 > b 3 gilt. Schlussaufgabe 4.. Zeigen Sie, dass es eine reelle Zahl a gibt mit a 3 = 5. Schlussaufgabe 4.2. Wir betrachten zwei Orte A und B die d Kilometer voneinander entfernt sind, wobei d > 0 ist, und eine positive Zahl c. Fahrer fährt die Hinfahrt von A nach B mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 6 5 c und die Rückfahrt von B nach A mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit 4 von 5 c. Fahrer2fährtbeideRichtungenmitderkonstantenGeschwindigkeit c. Wer von beiden ist früher am Ziel, wenn beide gleichzeitig losfahren? Schlussaufgabe 4.3. Eine Bakterienkultur nimmt an einem Tag 0% ab, am nächsten Tag % zu, am nächsten Tag wieder 0% ab, dann wieder um % zu usw. Wie entwickelt sich die Bakterienkultur langfristig? Schlussaufgabe 4.4. Schreiben Sie die nicht negativen Zahlen und die nicht positiven Zahlen als Intervall. 2