8. Quadratische Reste. Reziprozitätsgesetz

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1 O Forster: Prizahlen 8 Quadratische Reste Rezirozitätsgesetz 81 Definition Sei eine natürliche Zahl 2 Eine ganze Zahl a heißt uadratischer Rest odulo (Abkürzung QR, falls die Kongruenz x 2 a od eine Lösung x Z besitzt Andernfalls heißt a uadratischer Nichtrest odulo (Abkürzung NR Dies lässt sich auch so ausdrücken: a ist genau dann uadratischer Rest odulo, wenn die Klasse von a i Ring Z/ ein Quadrat ist Wegen des Chinesischen Restsatzes kann an den allgeeinen Fall darauf zurückführen, dass der Modul eine Prizahlotenz ist, k Wir beschäftigen uns in dieser Vorlesung hautsächlich it de Fall k 1, dh uadratischen Resten odulo einer Prizahl Der Fall 2 ist trivial (jede ganze Zahl ist Quadrat odulo 2 Sei daher jetzt eine ungerade Prizahl Die Frage nach den uadratischen Resten odulo ist dann gleichbedeutend it der Frage nach den Quadraten i Körer Z/ Da 0 stets ein Quadrat ist, kann an sich auf (Z/ beschränken Betrachten wir zunächst ein Beisiel 11 x x od 11 Es sind also die Restklassen von 1,3,4,5,9 Quadrate in (Z/11, die Restklassen von 2,6,7,8,11 sind Nicht-Quadrate Es sind also genau die Hälfte der Eleente von (Z/11 Quadrate Wir werden sehen, dass dies auch für beliebige ungerade Prizahlen gilt Dies gilt nicht ehr für zusaengesetzte Moduln ZB haben wir für für 15 folgende Quadrate-Tafel für (Z/15 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14} x x od 15 Hier gibt es also nur zwei Quadrate Dies lässt sich so erklären: Nach de Chinesischen Restsatz gilt (Z/15 (Z/3 (Z/5 In (Z/3 gibt es nur ein Quadrat und in (Z/5 zwei Quadrate, also i Produkt auch nur zwei Quadrate 82 Definition (Legendre-Sybol Sei a Z und eine ungerade Prizahl Dann wird das Legendre-Sybol wie folgt definiert: 0, falls a, : +1, falls a und a ist QR od, 1, falls a und a ist NR od Ka 8 zuletzt geändert a:

2 8 Quadratische Reste Rezirozitätsgesetz Die Gleichung x 2 a od ist also genau dann lösbar, wenn 0 Offenbar gilt a b od ( b 83 Satz (Euler-Kriteriu Sei eine ungerade Prizahl Dann gilt für jede ganze Zahl a a ( 1/2 od Beweis Falls a, sind beide Seiten 0 od Wir können also i folgenden voraussetzen, dass a 1 Fall: a ist uadratischer Rest odulo Dann gibt es eine ganze Zahl b it a b 2 od Natürlich gilt auch b Daher folgt aus de kleinen Satz von Ferat a ( 1/2 b 1 1 od b 2 Fall: a ist uadratischer Nichtrest Sei g eine Priitivwurzel odulo Dann ist a g it einer ungeraden Zahl 2k + 1 Dait folgt a ( 1/2 g (2k+1( 1/2 g k( 1 g ( 1/2 g ( 1/2 1 od b Beerkung Wegen des schnellen Potenzierungs-Algorithus liefert Satz 83 eine effiziente Methode, das Legendre-Sybol zu berechnen Wir werden aber säter sehen, dass an ittels des uadratischen Rezirozitätsgesetzes das Legendre-Sybol noch schneller berechnen kann 84 Corollar Für jede ungerade Prizahl und alle ganzen Zahlen a, b gilt ( b b Aus der Multilikativität des Legendre-Sybols folgt zb dass das Produkt zweier uadratischer Nichtreste ein uadratischer Rest ist Das Corollar bedeutet, dass die Abbildung ( ( x : (Z/ ±1}, x ein Gruen-Hooorhisus ist Dieser Hooorhisus ist surjektiv, da eine Priitivwurzel g odulo sicher ein uadratischer Nichtrest ist Der Kern dieser Abbildung ist die Menge der Quadrate in (Z/ Dies ist eine Untergrue vo Index 2 Es gibt also ebenso viele Quadrate wie Nichtuadrate in (Z/ 82

3 O Forster: Prizahlen 85 Quadratisches Rezirozitätsgesetz Das uadratische Rezirozitätsgesetz acht eine Aussage darüber, wie sich die Legendresybole ( und ( zueinander verhalten, wobei zwei ungerade Prizahlen sind Es stellt sich heraus, dass beide Sybole denselben Wert haben, falls wenigstens eine der beiden Prizahlen 1 od 4 ist; dagegen sind die Sybole entgegengesetzt gleich, falls 3 od 4 Das Rezirozitätsgesetz wurde zuerst von Gauß bewiesen, nachde sich vorher schon ua Legendre und Euler vergeblich daru beüht hatten Gauß selbst hat 8 Beweise gegeben und bis heute wurden rund 200 Beweise veröffentlicht, wenn auch die eisten nur Varianten von vorherigen sind Wir bringen hier einen eleentaren, auf Gauß zurückgehenden Beweis Dazu brauchen wir einige Vorbereitungen Sei eine ungerade Prizahl Wir bezeichnen it H( das Halbsyste odulo, H( : 1, 2,, 1 2 } Für jede ganze Zahl n, die nicht durch teilbar ist, lässt sich ihre Restklasse odulo eindeutig schreiben als n ε u od it ε ±1} und u H( Man nennt εu den absolut kleinsten Rest von n odulo Sei nun eine Zahl a Z it a vorgegeben Für x H( definieren definieren wir ε a (x ±1} und σ a (x H( durch die Bedingung ax ε a (xσ a (x od Es ist leicht zu sehen, dass die Abbildung σ a : H( H( bijektiv, dh eine Perutation von H( ist 86 Satz (Gaußsches Lea Sei eine ungerade Prizahl und a eine zu teilerfrede ganze Zahl Dann gilt ε a (x x H( Dies ist äuivalent it folgender Aussage: Sei die Anzahl der Eleente von a,, 3a,, 1 2 a }, deren absolut kleinster Rest odulo negativ ist Dann ist 1, wenn gerade, und 1, wenn ungerade ist Beweis Es gilt (ax x H( x H( ε a (x x H( σ a (x 83 x H( ε a (x x H( x,

4 8 Quadratische Reste Rezirozitätsgesetz denn durchläuft x alle Eleente von H(, so durchläuft auch σ a (x alle Eleente von H( Andrerseits ist (ax a ( 1/2 x, x H( x H( also folgt it de Euler-Kriteriu ε a (x a ( 1/2, ed x H( Beisiel Sei 7 Dann ist H( 1, 2, 3} Für a 2 haben wir 2 1 2, , , also ε 2 (1 1, ε 2 (2 1, ε 2 (3 1, woraus folgt 1, dh 2 ist uadratischer 7 Rest odulo 7 In der Tat ist od 7 Für die Anwendung des Gaußschen Leas ist eine Uforulierung nützlich Sei weiter eine ungerade Prizahl und a eine ositive, zu teilerfrede ganze Zahl Für ν 1,, a betrachten wir die Intervalle I ν : x R : (ν 1 2 < x < ν 2 Offenbar ist für k H( 1,, ( 1/2} der absolut kleinste Rest von ka odulo genau dann negativ, dh ε a (k 1, wenn ka in eine Intervall I ν it gerade Index ν liegt Wir bezeichnen it r ν die Anzahl der ka, k H, die in I ν liegen Da kein ka auf eine Randunkt eines der I ν liegt, folgt r ν ν (ν 1, wobei x für eine reelle Zahl x die größte ganze Zahl x bezeichnet Nach de Gaußschen Lea ist ( 1 it Soit folgt 0<2ν a r 2ν 87 Corollar Sei eine ungerade Prizahl und a eine ositive, zu teilerfrede ganze Zahl Dann gilt } ( a/2 a ( ( 1 it k a k1 (k 1 2 a Als erste Anwendung beweisen wir die sog Ergänzungssätze zu Rezirozitätsgesetz 84

5 O Forster: Prizahlen 88 Satz Sei eine ungerade Prizahl Dann gilt: i (1 Ergänzungssatz ii (2 Ergänzungssatz ( 1 ( 1 ( 1/2 ( 1 (2 1/8 +1 für 1 od 4, 1 für 3 od 4 +1 für ±1 od 8, 1 für ±3 od 8 Beweis i Dies folgt aus de Gaußschen Lea, da ε 1 (x 1 für alle x H( Die Behautung ist aber auch eine direkte Anwendung des Euler-Kriterius 83 ii Für a 2 ergibt die Forel des Corollars 87 ( 1 it /2 /4 Wir werten dies durch Fallunterscheidung aus /2 /4 ( 1 8k + 1 4k 2k 2k +1 8k 1 4k 1 2k 1 2k +1 8k + 3 4k + 1 2k 2k k 3 4k 2 2k 1 2k 1 1 Daraus folgt die Behautung 89 Satz Sei eine ungerade Prizahl und a eine ositive, zu teilerfrede ganze Zahl Sei eine weitere Prizahl it ± od 4a Dann folgt Beweis Nach de Corollar 87 gilt ( 1 it a/2 (s 2ν s 2ν 1, wobei s k ν1 k und entsrechend ( 1 it a/2 (s 2ν s 2ν 1, wobei s k ν1 k 85

6 8 Quadratische Reste Rezirozitätsgesetz i Wir behandeln zunächst den Fall od 4a Dann ist + 4at it einer ganzen Zahl t Es folgt s k k + 4at k + 2kt k + 2kt s k + 2kt Also gilt od 2, woraus die Behautung folgt ii Sei jetzt od 4a, dh 4at it einer ganzen Zahl t Dann ist s k + s k k 4at + für 1 k a, da dann k k 2kt + k + k 2kt 1 keine ganze Zahl ist Es folgt (s 2ν s 2ν 1 + (s 2ν s 2ν 1 0 od 2 für 1 ν a/2, also od 2, ed 810 Satz (Quadratisches Rezirozitätsgesetz Seien zwei ungerade Prizahlen Dann gilt ( ( ( Dies lässt sich auch so aussrechen: Ist wenigstens eine der Prizahlen 1 od 4, so gilt ( ( ; falls aber 3 od 4, so folgt ( ( Beweis i Wir behandeln zuerst den Fall od 4 Dann ist + 4r it einer ganzen Zahl r, die wir als ositiv annehen können (sonst vertausche an die Rollen von und Außerde gilt r Nach Satz 89 ist Andrerseits ist ( 4r ( 4r + ( und unter Benutzung des 1 Ergänzungssatzes ( 4r ( ( ( ( 1 1 2, also ( (, falls 1 od 4 und ( (, falls 3 od 4 ii Falls od 4, gilt od 4, also + 4r it einer ganzen Zahl r Wieder gilt nach Satz 89 86

7 O Forster: Prizahlen und sowie ( 4r ( 4r ( 4r ( ( 4r (, also ( ( Dait ist das uadratische Rezirozitätsgesetz vollständig bewiesen Beerkung Wir haben hier das Rezirozitätsgesetz aus Satz 89 abgeleitet Ugekehrt lässt sich Satz 89 auch leicht ithilfe des Rezirozitätsgesetzes beweisen (Übung Als Anwendung der Ergänzungssätze zu uadratischen Rezirozitätsgesetz beweisen wir jetzt die Existenz von unendlich vielen Prizahlen in arithetischen Progressionen zu Modul Satz In jeder der arithetischen Progressionen 8k + 1, 8k + 3, 8k + 5, 8k + 7, (k N, gibt es unendlich viele Prizahlen Beweis Sei B > 0 eine vorgegebene Schranke und U das Produkt aller ungeraden natürlichen Zahlen B Wir definieren N 1 : (2U 4 + 1, N 3 : U 2 + 2, N 5 : U 2 + 4, N 7 : 8U 2 1 Da ein Quadrat einer ungeraden Zahl stets 1 od 8 ist, folgt U 2 1 od 8 und N k k od 8 für k 1, 3, 5, 7 Außerde besitzt N k keinen Priteiler < B Denn ein solcher Priteiler ist ungerade und teilt U Also kann nicht N k ohne Rest teilen Unser Satz wird deshalb bewiesen sein, wenn wir zeigen, dass N k einen Priteiler N k it k od 8 besitzt i Sei ein Priteiler von N 1 (2U Dann gilt (2U od, dh x 4 1 od it x : 2U Daraus folgt, dass das Eleent x in (Z/ die Ordnung 8 besitzt Daher ist 8 ein Teiler von #(Z/ 1, dh 1 od 8, ed 87

8 8 Quadratische Reste Rezirozitätsgesetz ii Sei ein Priteiler von N 3 U Dann folgt U 2 2 od ( 2 1 Aus den Ergänzungssätzen zu uadratischen Rezirozitäts-Gesetz folgt dann 1 od 8 oder 3 od 8 Es können aber nicht alle Priteiler von N 3 kongruent 1 od 8 sein, denn dann wäre N 3 1 od 8 Es gibt also indestens einen Priteiler N 3 it 3 od 8 iii Sei ein Priteiler von N 5 U Dann folgt U 2 4 od ( 1 1 Daraus folgt 1 od 4, dh 1 od 8 oder 5 od 8 Es können aber nicht alle Priteiler von N 5 kongruent 1 od 8 sein, denn dann wäre N 5 1 od 8 Es gibt also indestens einen Priteiler N 5 it 5 od 8 iv Sei ein Priteiler von N 7 8U 2 1 Dann folgt 8U od, also nach Multilikation it 2 (4U 2 2 od 1 Nach de 2 Ergänzungssatz zu uadratischen Rezirozitäts-Gesetz ist daher ±1 od 8 Es können aber nicht alle Priteiler von N 7 kongruent 1 od 8 sein, denn dann wäre N 7 1 od 8 Es gibt also indestens einen Priteiler N 7 it 1 7 od 8, ed 812 Das Jacobi-Sybol Es ist für anche Zwecke nützlich, das Legendre-Sybol auf den Fall zu verallgeeinern, dass der Nenner keine Prizahl ehr ist Sei 3 eine ungerade Zahl und 1 2 r die Prifaktor-Zerlegung von (die j sind nicht notwendig aarweise verschieden Dann definiert an für eine ganze Zahl a das Jacobi-Sybol durch : r j j1 Das Jacobi-Sybol genügt folgenden Rechenregeln: 1 ( b, falls a b od, 2 b, 88

9 O Forster: Prizahlen 3 4 für ungerade, k 3, k k 0 gcd(a, 1 Diese Regeln folgen unittelbar aus der Definition und den entsrechenden Regeln für das Legendre-Sybol Man beachte jedoch folgenden Unterschied zu Legendre-Sybol: Ist a uadratischer Rest odulo und gcd(a, 1, so folgt zwar 1, aber ugekehrt kann an aus 1 nicht schließen, dass a uadratischer Rest odulo ist ZB ist 2 weder uadratischer Rest od 3 noch od 5, also auch nicht uadratischer Rest od 15, aber ( 1 ( Satz (Quadratisches Rezirozitätsgesetz für das Jacobi-Sybol Sei 3 eine ungerade Zahl (1 1 Ergänzungssatz: (2 2 Ergänzungssatz: ( 1 ( 1 ( 1/2 ( 1 (2 1/8 +1 für 1 od 4, 1 für 3 od 4 +1 für ±1 od 8, 1 für ±3 od 8 (3 Ist k 3 eine weitere, zu teilerfrede ungerade Zahl, so gilt ( k ( k dh ( k und ( k ( k 1 2, ( k, falls 1 od 4 oder k 1 od 4 (, falls k 3 od 4 k Beweis (Zurückführung auf die entsrechenden Aussagen für das Legendre-Sybol 814 Effiziente Berechnung des Jacobi-Sybols Mit de Rezirozitätsgesetz kann an einen effizienten Algorithus zur Berechnung des Jacobi-Sybols herleiten: Es sei, a, Z, 3 ungerade, zu berechnen 89

10 8 Quadratische Reste Rezirozitätsgesetz (1 Zunächst reduziere an a od, dh an bestie ein a it a a od und 0 a < Natürlich ist Falls a 0 oder a 1 ist an fertig (2 Falls a gerade, schreibe an a 2 ν b it b ungerade (Falls a ungerade, ist b a und ν 0 Dann ist ν ( b, und ±1 kann nach de zweiten Ergänzungssatz berechnet werden Falls b 1, ist an fertig (3 Auf ( b kann jetzt das Rezirozitätsgesetz angewendet werden: ( b ( 1 b 1 2 ( 1 2 b Dies gilt auch, wenn b und nicht teilerfred sind, denn dann sind beide Seiten 0 Auf ( kann an jetzt wieder (1 anwenden Da die Nenner des Jacobi-Sybols b ier kleiner werden, ist an nach endlich vielen Schritten fertig Die Anzahl der Schritte ist vergleichbar it den bei Euklidischen Algorithus für die Berechnung von gcd(a, nötigen Schritte, wächst also nur linear it der Stellenzahl von Man beachte: Selbst wenn an nur ein Legendre-Sybol it einer Prizahl it dieser Methode ausrechnet, kann an zwischenzeitlich auf die allgeeineren Jacobi- Sybole stoßen Beisiel ( ( 85 ( ( ( 85 ( 3 (