16. Das Quadratische Reziprozitätsgesetz
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- Christin Wagner
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1 O Forster: Einführung in die Zahlentheorie 16 Das Quadratische Rezirozitätsgesetz 161 Das uadratische Rezirozitätsgesetz acht eine Aussage darüber, wie sich die Legendresybole ( und ( zueinander verhalten, wobei zwei ungerade Prizahlen sind Es stellt sich heraus, dass beide Sybole denselben Wert haben, falls wenigstens eine der beiden Prizahlen 1 od 4 ist; dagegen sind die Sybole entgegengesetzt gleich, falls 3 od 4 Das Rezirozitätsgesetz wurde zuerst von Gauß bewiesen, nachde sich vorher schon ua Legendre und Euler vergeblich daru beüht hatten Gauß selbst hat 8 Beweise gegeben und bis heute wurden rund 200 Beweise veröffentlicht, wenn auch die eisten nur Varianten von vorherigen sind Wir bringen hier einen eleentaren, auf Gauß zurückgehenden Beweis Dazu brauchen wir einige Vorbereitungen Sei eine ungerade Prizahl Wir bezeichnen it H( das Halbsyste odulo, H( : 1, 2,, 1 2 } Für jede ganze Zahl n, die nicht durch teilbar ist, lässt sich ihre Restklasse odulo eindeutig schreiben als n ε u od it ε ±1} und u H( Man nennt εu den absolut kleinsten Rest von n odulo Sei nun eine Zahl a Z it a vorgegeben Für x H( definieren definieren wir ε a (x ±1} und σ a (x H( durch die Bedingung ax ε a (xσ a (x od Es ist leicht zu sehen, dass die Abbildung σ a : H( H( bijektiv, dh eine Perutation von H( ist 162 Satz (Gaußsches Lea Sei eine ungerade Prizahl und a eine zu teilerfrede ganze Zahl Dann gilt ε a (x x H( Dies ist äuivalent it folgender Aussage: Sei die Anzahl der Eleente von a,, 3a,, 1 2 a }, deren absolut kleinster Rest odulo negativ ist Dann ist 1, wenn gerade, und 1, wenn ungerade ist 16 zuletzt geändert a:
2 16 Das Quadratische Rezirozitätsgesetz Beweis Es gilt (ax ε a (x σ a (x ε a (x x, x H( x H( x H( x H( x H( denn durchläuft x alle Eleente von H(, so durchläuft auch σ a (x alle Eleente von H( Andrerseits ist (ax a ( 1/2 x, x H( x H( also folgt it de Euler-Kriteriu ε a (x a ( 1/2, ed x H( Beisiel Sei 7 Dann ist H( 1, 2, 3} Für a 2 haben wir 2 1 2, , , also ε 2 (1 1, ε 2 (2 1, ε 2 (3 1, woraus folgt 1, dh 2 ist uadratischer 7 Rest odulo 7 In der Tat ist od 7 Für die Anwendung des Gaußschen Leas ist eine Uforulierung nützlich Sei weiter eine ungerade Prizahl und a eine ositive, zu teilerfrede ganze Zahl Für ν 1,, a betrachten wir die Intervalle I ν : x R : (ν 1 2 < x < ν } 2 Offenbar ist für k H( 1,, ( 1/2} der absolut kleinste Rest von ka odulo genau dann negativ, dh ε a (k 1, wenn ka in eine Intervall I ν it gerade Index ν liegt Wir bezeichnen it r ν die Anzahl der ka, k H, die in I ν liegen Da kein ka auf eine Randunkt eines der I ν liegt, folgt r ν ν (ν 1, wobei x für eine reelle Zahl x die größte ganze Zahl x bezeichnet Nach de Gaußschen Lea ist ( 1 it Soit folgt 0<2ν a r 2ν 162
3 O Forster: Einführung in die Zahlentheorie 163 Corollar Sei eine ungerade Prizahl und a eine ositive, zu teilerfrede ganze Zahl Dann gilt ( a/2 a ( ( 1 it k a k1 (k 1 2 a Als erste Anwendung beweisen wir die sog Ergänzungssätze zu Rezirozitätsgesetz 164 Satz Sei eine ungerade Prizahl Dann gilt: i (1 Ergänzungssatz ii (2 Ergänzungssatz ( 1 +1 für 1 od 4, ( 1 ( 1/2 1 für 3 od 4 ( 1 (2 1/8 +1 für ±1 od 8, 1 für ±3 od 8 Beweis i Dies folgt aus de Gaußschen Lea, da ε 1 (x 1 für alle x H( Die Behautung ist aber auch eine direkte Anwendung des Euler-Kriterius 153 ii Für a 2 ergibt die Forel des Corollars 163 ( 1 it /2 /4 Wir werten dies durch Fallunterscheidung aus /2 /4 ( 1 8k + 1 4k 2k 2k +1 8k 1 4k 1 2k 1 2k +1 8k + 3 4k + 1 2k 2k k 3 4k 2 2k 1 2k 1 1 Daraus folgt die Behautung 165 Satz Sei eine ungerade Prizahl und a eine ositive, zu teilerfrede ganze Zahl Sei eine weitere Prizahl it ± od 4a Dann folgt Beweis Nach de Corollar 163 gilt ( 1 it a/2 (s 2ν s 2ν 1, wobei s k ν1 163 k
4 16 Das Quadratische Rezirozitätsgesetz und entsrechend ( 1 it a/2 (s 2ν s 2ν 1, wobei s k ν1 k i Wir behandeln zunächst den Fall od 4a Dann ist + 4at it einer ganzen Zahl t Es folgt s k k + 4at k + 2kt k + 2kt s k + 2kt Also gilt od 2, woraus die Behautung folgt ii Sei jetzt od 4a, dh 4at it einer ganzen Zahl t Dann ist s k + s k k 4at + für 1 k a, da dann k k 2kt + k + k 2kt 1 keine ganze Zahl ist Es folgt (s 2ν s 2ν 1 + (s 2ν s 2ν 1 0 od 2 für 1 ν a/2, also od 2, ed 166 Satz (Quadratisches Rezirozitätsgesetz Seien zwei ungerade Prizahlen Dann gilt ( ( ( Dies lässt sich auch so aussrechen: Ist wenigstens eine der Prizahlen 1 od 4, so gilt ( ( ; falls aber 3 od 4, so folgt ( ( Beweis i Wir behandeln zuerst den Fall od 4 Dann ist + 4r it einer ganzen Zahl r, die wir als ositiv annehen können (sonst vertausche an die Rollen von und Außerde gilt r Nach Satz 165 ist Andrerseits ist ( 4r ( 4r + ( und unter Benutzung des 1 Ergänzungssatzes ( 4r ( ( ( ( 1 1 2, 164
5 O Forster: Einführung in die Zahlentheorie also ( (, falls 1 od 4 und ( (, falls 3 od 4 ii Falls od 4, gilt + 4r it einer ganzen Zahl r Wieder gilt nach Satz 165 und sowie ( 4r ( 4r ( 4r ( ( 4r (, also ( ( Dait ist das uadratische Rezirozitätsgesetz vollständig bewiesen Beerkung Wir haben hier das Rezirozitätsgesetz aus Satz 165 abgeleitet Ugekehrt lässt sich Satz 165 auch leicht ithilfe des Rezirozitätsgesetzes beweisen (Übung Wir können nun einen Prizahltest von Péin (1877 für Feratzahlen beweisen 167 Satz Die n-te Feratzahl F n 2 2n + 1 ist für n 1 genau dann ri, wenn 3 (Fn 1/2 1 od F n In diese Fall ist 3 eine Priitivwurzel odulo F n Beweis a Die i Satz angegebenene Bedingung 3 22n 1 1 od F n sagt, dass die Restklasse von 3 in (Z/F n die Ordnung 2 2n hat, dh (Z/F n hat indestens 2 2n F n 1 Eleente Dies ist nur öglich, wenn F n ri und 3 Priitivwurzel odulo F n ist b Wir zeigen jetzt, dass die Bedingung auch notwendig ist Sei also F n ri Da F n 1 od 4, gilt ( 3 F n ( Fn Dabei wurde F n 2 2n + 1 ( 1 2n od 3 benutzt Aus de Euler-Kriteriu folgt nun 3 (Fn 1/2 1 od F n, ed 165
6 16 Das Quadratische Rezirozitätsgesetz 168 Satz Jeder ögliche Priteiler von F n, n 5, hat die Gestalt k 2 n it einer ganzen Zahl k Beweis Aus F n 2 2n + 1 folgt 2 2n 1 od Daraus folgt, dass das Eleent 2 in (Z/ die Ordnung 2 n+1 hat Daraus folgt bereits 2 n+1 1, dh h 2 n it einer ganzen Zahl h Nach de zweiten Ergänzungssatz ist nun 1, dh es gibt eine ganze Zahl x it x 2 2 od Die Ordnung von x in (Z/ ist 2-al die Ordnung von 2 in (Z/, dh 2 n+2 1, dh k 2 n it einer ganzen Zahl k, ed Beisiel Jeder Priteiler von F hat die Gestalt k k + 1 Für k 1, 2, 3, 4, 5, ist dies gleich 129, 257, 385, 513, 641, Davon sind 129, 385, 513 nicht ri Ebenso scheidet 257 F 3 als Teiler von F 5 aus, da die Feratzahlen aarweise teilerfred sind Die erste Möglichkeit, die an testen uss, ist also 641 Tatsächlich geht die Division F 5 / auf, dh F 5 ist nicht ri, was schon Euler festgestellt hat 169 Das Jacobi-Sybol Es ist für anche Zwecke nützlich, das Legendre-Sybol auf den Fall zu verallgeeinern, dass der Nenner keine Prizahl ehr ist Sei 3 eine ungerade Zahl und 1 2 r die Prifaktor-Zerlegung von (die j sind nicht notwendig aarweise verschieden Dann definiert an für eine ganze Zahl a das Jacobi-Sybol durch : r j j1 Das Jacobi-Sybol genügt folgenden Rechenregeln: 166
7 O Forster: Einführung in die Zahlentheorie ( b, falls a b od, b, für ungerade, k 3, k k 0 gcd(a, 1 Diese Regeln folgen unittelbar aus der Definition und den entsrechenden Regeln für das Legendre-Sybol Man beachte jedoch folgenden Unterschied zu Legendre-Sybol: Ist a uadratischer Rest odulo und gcd(a, 1, so folgt zwar 1, aber ugekehrt kann an aus 1 nicht schließen, dass a uadratischer Rest odulo ist ZB ist 2 weder uadratischer Rest od 3 noch od 5, also auch nicht uadratischer Rest od 15, aber ( 1 ( Satz (Quadratisches Rezirozitätsgesetz für das Jacobi-Sybol Sei 3 eine ungerade Zahl (1 1 Ergänzungssatz: (2 2 Ergänzungssatz: ( 1 +1 für 1 od 4, ( 1 ( 1/2 1 für 3 od 4 ( 1 (2 1/8 +1 für ±1 od 8, 1 für ±3 od 8 (3 Ist k 3 eine weitere, zu teilerfrede ungerade Zahl, so gilt ( k ( k dh ( k und ( k ( k 1 2, ( k, falls 1 od 4 oder k 1 od 4 (, falls k 3 od 4 k 167
8 16 Das Quadratische Rezirozitätsgesetz Beweis (Zurückführung auf die entsrechenden Aussagen für das Legendre-Sybol 1611 Effiziente Berechnung des Jacobi-Sybols Mit de Rezirozitätsgesetz kann an einen effizienten Algorithus zur Berechnung des Jacobi-Sybols herleiten: Es sei, a, Z, 3 ungerade, zu berechnen (1 Zunächst reduziere an a od, dh an bestie ein a it a a od und 0 a < Natürlich ist Falls a 0 oder a 1 ist an fertig (2 Falls a gerade, schreibe an a 2 ν b it b ungerade (Falls a ungerade, ist b a und ν 0 Dann ist ν ( b, und ±1 kann nach de zweiten Ergänzungssatz berechnet werden Falls b 1, ist an fertig (3 Auf ( b kann jetzt das Rezirozitätsgesetz angewendet werden: ( b ( 1 b 1 2 ( 1 2 b Dies gilt auch, wenn b und nicht teilerfred sind, denn dann sind beide Seiten 0 Auf ( kann an jetzt wieder (1 anwenden Da die Nenner des Jacobi-Sybols b ier kleiner werden, ist an nach endlich vielen Schritten fertig Die Anzahl der Schritte ist vergleichbar it den bei Euklidischen Algorithus für die Berechnung von gcd(a, nötigen Schritte, wächst also nur linear it der Stellenzahl von Man beachte: Selbst wenn an nur ein Legendre-Sybol it einer Prizahl it dieser Methode ausrechnet, kann an zwischenzeitlich auf die allgeeineren Jacobi- Sybole stoßen Beisiel ( ( 85 ( ( ( 85 ( 3 (
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