4 Lineare Algebra (Teil 2): Quadratische Matrizen

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1 4 Lineare Algebra (Teil : Quadratische Matrizen Def.: Eine (n n-matrix, die also ebensoviele Zeilen wie Spalten hat, heißt quadratisch. Hat sie außerdem den Rang n, sind also ihre n Spalten linear unabhängig, so heißt sie regulär, andernfalls singulär. 4.1 Matrizeninversion Das Inverse einer regulären Matrix Def.: Die (n n-einheitsmatrix ist gegeben durch := ( Bem.: Für jede beliebige (n n-matrix A gilt: A 1 = 1 A = A. Satz: Die (n n-matrix A ist genau dann regulär, wenn es eine (n n-matrix A 1 gibt mit A 1 heißt die zu A inverse Matrix. A A 1 = A 1 A = 1. (13 Bem.: Die zu einer gegebenen (n n-matrix A Inverse A 1 ist eindeutig. Für eine (n n-matrix B mit A B = B A = 1 folgt nämlich B = B 1 = B (A A 1 = ( B A A 1 = 1 A 1 = A 1. (14 Bsp.: Zur Veranschaulichung betrachten wir zwei zueinander inverse Matrizen, ( ( 1 1 A = 1, A 1 = 3 3 1, (15 1 und stellen die entsprechende lineare Abbildung f : R R, x A x und deren Umkehrung f 1 graphisch dar. Gezeigt ist, auf welche Linien die Koordinatenlinien

2 und auf welche Vektoren die Vektoren der Standardbasis (linkes Bild durch f (Mitte bzw. durch f 1 (rechts abgebildet werden. Bem.: Sind A und B zwei reguläre (n n-matrizen, so gilt dies auch für die Matrizen C = A B, D = B A. (16 Wie man nämlich direkt durch Einsetzen sieht, sind deren Inverse gegeben durch ( 1 ( 1 C 1 A B = B 1 A 1 bzw. D 1 B A = A 1 B 1. (17 Somit bildet die Menge der regulären (n n-matrizen bezüglich der Matrizenmultiplikation eine (nicht-abelsche! Gruppe, mit der (n n-einheitsmatrix als Einselement Berechnung der inversen Matrix Die Berechnung des Inversen X = A 1 (x ij einer gegebenen (n n-matrix A = (a ij läuft auf n Gleichungen für n Unbekannte x ij hinaus (i, j = 1,..., n, ( A X ij n a ik x kj = δ ij. (18 k=1 Dies ist für jeden festen Wert von j {1,..., n} jeweils ein unabhängiges System für die n unbekannten Elemente x 1j,..., x nj der j-ten Spalte von X = A 1. Bsp. 9: Die Forderung ( ( 1 1 x11 x A X := x 1 x ( x11 + x 1 x 1 + x x 11 x 1 = ( (19 führt auf 4 Gleichungen. Diese zerfallen in zwei unabhängige Gleichungssysteme { } { } ( x11 + x 1 = 1 x1 + x, = X A 1 =. (0 x 11 = 0 x 1 =

3 4. Determinanten 4..1 Permutationen Def.: Wir betrachten die Menge N n := {1,,..., n} der ersten n natürlichen Zahlen. Jede invertierbare Selbstabbildung P : N n N n, k k = P(k (1 heißt eine Permutation dieser Zahlen. Man schreibt auch ( 1... n P =. ( P(1 P(... P(n Bsp. 11: Zwei Permutationen von N 4 sind etwa ( ( 4 4 P 1 =, P = Ihre Hintereinanderausführung, erklärt durch ( 1... n P P 1 := P (P 1 (1 P (P 1 (... P (P 1 (n ist wieder eine Permutation. Im aktuellen Beispiel ergibt sich ( ( 4 4 P P 1 = = P (4 P (1 P (3 P ( (3, (4. (5 Wie man sich leicht überzeugt, ist die Operation nicht kommutativ, P P 1 P 1 P. Satz 9/Def.: Die Gesamtheit aller Permutationen P : N n N n bildet bezüglich der Hintereinanderausführung eine (für n 3 nicht-abelsche Gruppe, die Symmetrische Gruppe S n. Diese ist endlich und hat genau n! Elemente. Bsp. 1: Die 3! = 6 Elemente der Symmetrische Gruppe S 3 sind ( ( ( P 1 =, P =, P =, 3 1 ( ( ( P 4 =, P =, P =. (6 1 3 Def.: Unter der Transposition P ij versteht man jene spezielle Permutation, bei der nur die beiden Elemente i, j N n ihren Platz tauschen, j (k = i, P ij (k = i (k = j, (7 k (sonst. 40

4 Bsp. 13: P 4, P 5 und P 6 in Bsp. 1 sind alle Transpositionen aus der S 3. Eine Transposition aus der S 7 ist etwa ( P 5 = S (8 Satz 10: Jede Permutation P S n läßt sich entweder durch eine gerade oder durch eine ungerade Anzahl hintereinanderausgeführter Transpositionen darstellen. Entsprechend spricht man von geraden oder ungeraden Permutationen. Bsp. 14: In Bsp. 1 sind P 1, P und P 3 die geraden und P 4, P 5 und P 6 die ungeraden Permutationen. Alle Transpositionen sind definitionsgemäß ungerade. 4.. Definition der Determinante Von den n Elementen einer (n n-matrix A = (a ij wählen wir n Elemente so aus, daß keine zwei von ihnen in der gleichen Zeile oder Spalte stehen. Eine solche Auswahl ist in der folgenden (3 3-Matrix durch Hervorhebung gekennzeichnet, (9 Die hier ausgewählten Elemente sind, nach Zeilenindex geordnet, a 1, a 1 und a 33. Ihre Spaltenindizes bilden eine bestimmte Permutation P der Zeilenindizes, } } ( {a 1, a 1, a 33 = {a 1,P(1, a,p(, a 3,P(3, P =. ( Daher können wir das Produkt dieser drei Elemente schreiben als n a 1 a 1 a 33 = a i,p(i a 1,P(1 a,p( a 3,P(3. (31 i=1 Unter der Determinante von A versteht man die Summe aller möglichen solchen Produkte von jeweils n Elementen, die auf die beschriebene Art ausgewählt sind, wobei ein Produkt immer dann negativ zur Summe beiträgt, wenn die Pernutation P ungerade ist: Def.: Die Determinante der (n n-matrix A M(n n, K ist die Zahl det A := P S n ( 1 P n i=1 a i,p(i P S n ( 1 P a 1,P(1...a n,p(n K. (3 Dabei ist ( 1 P = ±1, je nachdem ob die Permutation P gerade oder ungerade ist. 41

5 4..3 Praktische Berechnung von Determinanten Bsp.: Für die Fälle n = und n = 3 kann man sich leicht einprägen: ( a11 a det 1 a 1 a a 11 a 1 a 13 = a 11 a a 1 a 1, det a 1 a a 3 = +a 11 a a 33 + a 1 a 3 a 31 + a 13 a 1 a 3 + a 31 a 3 a 33 a 13 a a 31 a 1 a 1 a 33 a 11 a 3 a 3. (33 Für n 4 ist der Entwicklungssatz von Laplace nützlich: Satz: Für die (n n-matrix A = (a ij gilt (Entwicklung nach der k-ten Zeile det A = n a ki ( 1 k+i det A (ki. (34 i=1 Hier bezeichnet A (ij jene (n 1 (n 1-Matrix, die durch Streichen der i-ten Zeile und der j-ten Spalte aus A hervorgeht. Ebenso gilt (Entwicklung nach der k-ten Spalte det A = n a ik ( 1 i+k det A (ik. (35 i=1 Bsp.: Da hier die zweite Zeile viele Nullen enthält, entwickeln wir nach dieser: det = ( 1+1 det ( 1 +4 det [ = ( ( ] [ ] + 7 (7 + 1 ( = 166. (36 4

6 4..4 Eigenschaften der Determinante Satz: Eine Matrix A M(n n, K ist genau dann regulär, wenn gilt det A 0. (37 Bem.: Fassen wir det A als Funktion der n Spalten a i von A auf, det A = D(a 1,..., a n, (38 so gilt: (a Die Funktion D : K n... K n K ist in jeder ihrer n Variablen linear, D(a 1,..., a i = λb + µc,..., a n = λd(a 1,..., b,..., a n + µd(a 1,..., c,..., a n. (39 (b Sie ist antisymmetrisch bezüglich Vertauschen zweier Variable, D(a 1,..., a i,..., a j,..., a n = D(a 1,..., a j,..., a i,..., a n. (40 Mit (a und (b ist D eine alternierende Multilinearform. Mit obigem Satz folgt weiter: (c D ändert sich nicht, wenn zu einer Spalte das Vielfache einer anderen addiert wird. All diese Aussagen gelten entsprechend auch für die Zeilen von A Rechnen mit Determinanten Die Determinante ist sicherlich nicht additiv. So haben etwa die Matrizen ( ( A =, B = (41 die Determinanten det A = det B = 1 während offenbar gilt det ( A + B = 0. Für das Produkt zweier (n n-matrizen A und B gilt dagegen die einfache Formel ( ( ( ( det A B = det B A = det A det B. (4 Obwohl also die Produktmatrizen A B und B A im allg. voneinander verschieden sind, sind ihre Determinanten gleich. Für das Inverse einer regulären (n n-matrix A folgt det (A 1 = 1 det A. (43 Zur Berechnung der inversen Matrix selbst merken wir ohne Beweis an: 43

7 4..6 Matrizeninversion mit Hilfe der Determinante Satz: Das Element in der i-ten Zeile und der j-ten Spalte der zu einer gegebenen regulären (n n-matrix A inversen Matrix A 1 ist (A 1 ij det A(ji i+j = ( 1 det A. (44 Wie in Abschnitt 4..3 bezeichnet A (ji jene (n 1 (n 1-Matrix, die durch Streichen der j-ten Zeile und der i-ten Spalte aus A hervorgeht. Bsp.: Die reguläre (3 3-Matrix A = hat die Determinante det A = 5. Nach obigem Satz gilt also etwa (A 1 1 det A(1 1+ = ( 1 5 Insgesamt findet man auf diese Weise A 1 = 1 5 (45 ( 1 1 det 3 = = 1 5. (46. (47 44

8 4.3 Eigenwerte und Eigenvektoren Definition Def.: Der Vektor x K n \{0} heißt Eigenvektor der Matrix A M(n n, K zum Eigenwert λ K, wenn gilt A x = λx. (48 Bsp.: Eine ( -Matrix und zwei ihrer Eigenvektoren sind ( ( ( 1 1 A =, x 4 1 =, x = 1 denn für x 1 etwa gilt A x 1 = ( 1 4 ( 1 = ( 5 10, (49 = λ 1 x 1, λ 1 = 5. (50 Entsprechend findet man A x = 0 = λ x, mit dem zweiten Eigenwert λ = 0. Der Nullvektor 0 K n verhält sich wie ein Eigenvektor jeder (n n-matrix A, A 0 0 = λ0. (51 Er wird aber als einziger Vektor des K n nicht als Eigenvektor einer Matrix zugelassen. Der Eigenwert λ = 0 ist dagegen zugelassen und wichtig: Hat nämlich A den Eigenwert 0, dann existiert ein Vektor x 0 mit A x = 0x 0. (5 Dann hat also das homogene Gleichungssystem A x = 0 eine nicht-triviale Lösung x 0, was bedeutet, daß die Matrix A singulär ist. Eigenvektoren sind nur bis auf einen frei wählbaren Faktor c 0 festgelegt, ( A x = λx A (cx c A x = λ(cx. (53 Sind x 1 und x Eigenvektoren von A zum gleichen Eigenwert λ, so ist auch jede ihrer Linearkombinationen ein Eigenvektor zu diesem Eigenwert, A x A (c 1 x 1 + c x = c 1 (A x 1 + c (A x = λx. (54 45

9 Def.: Der Eigenwert λ einer (n n-matrix A heißt g-fach entartet, wenn es einen linear unabhängigen Satz {x 1,..., x g } von maximal g Eigenvektoren gibt, A x i = λx i (i = 1,..., g. (55 Der von diesen Eigenvektoren aufgespannte g-dimensionale Untervektorraum E λ K n heißt der zum Eigenwert λ gehörende Eigenraum von A. Bsp.: Die Matrix A = (56 hat offenbar den zweifach entarteten Eigenwert λ 1 = 5 und den nicht-entarteten Eigenwert λ = 7. Die entsprechenden zwei- bzw. eindimensionalen Eigenräume sind E 5 = c c 1 c 1, c R, E 7 = c 3 0 c 3 R. ( Bestimmung der Eigenwerte einer Matrix Ist λ K ein Eigenwert der Matrix A = (a ij M(n n, K, so gibt es nach unserer Definition einen (Eigen- Vektor x K n mit x 0 und A x = λx ( A λ1 x = 0. (58 Dies ist ein homogenes Gleichungssystem mit nicht-trivialer Lösung x. Dessen Matrix a 11 λ a 1... a 1n a 1 a λ... a n A λ1 =..... (59. a n1 a n... a nn λ muß also singulär sein, d.h.: ihre Determinante muß verschwinden, χ A (λ := det ( A λ1 = 0. (60 χ A (λ ist eine gewisse, durch die Matrix A festgelegte Funktion der Variable λ. Da λ nur in den n Diagonalelementen von A auftritt, ist χ A (λ ein Polynom n-ten Grades, genannt das charakteristische Polynom von A. Es gilt also: Satz: Eine Matrix A M(n n, K hat maximal n verschiedene Eigenwerte. Diese sind gerade die Nullstellen des charakteristischen Polynoms χ A (λ von A. 46

10 Bsp.: Die (3 3-Matrix A = (61 hat das charakteristische Polynom 1 λ 0 5 χ A (λ = det 1 λ λ = (1 λ [ (1 λ ] = λ 3 + 3λ 4λ + 1. (6 Dessen drei Nullstellen λ 1 = 3 und λ,3 = ± i sind die Eigenwerte von A. Um die zugehörigen Eigenvektoren x n zu bestimmen müssen wir für jeden Eigenwert λ n jeweils ein homogenes Gleichungssystem lösen, A x n = λ n x n. (63 Mit dem Ansatz x 1 = (u, v, w ist dieses System im Fall λ 1 = 3 gegeben durch u + 5w = 3u u + v + w = 3v v + w = 3w mit der eindimensionalen Lösungsmenge L 0 = { (5 u + 5w = 0 u v + w = 0 v w = 0, (64 w, w, w w C }. (65 Für den Eigenvektor x 1 ergibt sich also x 1 = 1 5w 4w w (w 0. (66 Den Wert von w 0 können wir beliebig wählen, da Eigenvektoren nur bis auf einen willkürlichen Faktor bestimmt sind. Mit den beiden anderen Gleichungssystemen findet man (nach geeigneter Wahl des jeweiligen willkürlichen Faktors die drei Eigenvektoren x 1 = 5 4, x = 1 i +1 i 1, x 3 = 1 + i +1 + i 1. (67 Im Fall K = R gibt es nur den einen Eigenwert λ 1 = 3 und den einen Eigenvektor x 1. 47