4 Eigenwerte und Eigenvektoren

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1 4 Eigenwerte und Eigenvektoren Sei V {0} ein K Vektorraum und f : V V K linear. Definition: Ein Eigenwert von f ist ein Element λ K, für die es einen Vektor v 0 in V gibt, so dass f(v) = λ v. Sei nun λ K ein Eigenwert von f. Ein Eigenvektor von f zum Eigenwert λ ist ein Vektor w 0 aus V, so dass f(w) = λ w Zu jedem Eigenwert von f gehört also mindestens ein Eigenvektor. Beispiele: a) Ist f = id V, d.h. f(v) = v für alle v V, so gilt: λ = ist der einzige Eigenwert von f. Jeder Vektor v 0 von V ist Eigenvektor von f. b) Ist f die Nullabbildung, so gilt: λ = 0 ist der einzige Eigenwert von f. Jeder Vektor v 0 von V ist Eigenvektor von f. c) Genau dann ist 0 Eigenwert von f, wenn Kern f {0}. x y d) f : R 2 R 2 hat keine Eigenwerte: y x x Angenommen λ R wäre ein Eigenwert von f und v = 0 ( x 2 ) λx x x2 ein zugehöriger Eigenvektor, d.h. = λ =, also λx 2 x 2 x λx = x 2 und λx 2 = x. Wegen v 0 folgt x 2 0. Einsetzen ergibt x 2 = λλx 2 = λ 2 x 2 und = λ 2, Widerspruch!

2 (4.) Bemerkung: Genau dann ist λ K ein Eigenwert von f, wenn Kern (λ id V f) {0}. Beweis: λ ist Eigenwert von f genau dann, wenn es ein v 0 gibt mit f(v) = λv, d.h. v 0 und (λid V f)(v) = λv f(v) = 0, d.h. Kern (λid V f) {0}. Von nun an sei dim V = n <. B und B seien Basen von V, A = MB B(f) und A = MB B (f). (4.2) Bemerkung: det A = det A und Spur A = Spur A. Definiere deshalb det f := det A und Spur f := Spur A. Beweis: Nach (2.5) ist A = SAS, wenn S = M B B (id V ). Nach II.7 folgt det A = det SAS = det S det A(det S) = det A. Nach II.4 ist Spur A = Spur A. (4.3) Bemerkung: Die Aussagen det f 0, f Isomorphismus und Kern f = 0 sind äquivalent. Beweis: det A 0 II.7.6 A ist invertierbar f ist ein Isomorphismus.5.7 Kern f = {0}. Sei A eine n n Matrix über K. Definition: Die Funktion χ A (λ) := det(λe n A) in der Variablen λ heißt charakteristisches Polynom von A. Es hat den Grad n. 0 λ 0 0 λ Beispiel: A = : λe 0 2 A = = und 0 λ 0 λ λ χ a (λ) = det = λ λ 2 = (λ )(λ + ) 0 λ B = : χ 0 B (λ) = det = λ λ 2 + Definition: χ f (λ) := det(λid V f) heißt charakteristisches Polynom von f. Es hat den Grad n = dim V. Ist also A = MB B(f), so ist M B B(λidV f) = λmb B(id V ) MB B(f) = λe n A und somit χ f (λ) = det(λid V f) =: det MB B(λid V f) = det(λe n A) = χ A (λ) Beispiele: f : R 2 R 2 x x2, ; B = (e, e 2 ) x 2 x 2

3 0 MB B(f) = = B und χ 0 f (λ) = χ B (λ) = λ 2 + g : R 2 R 2 x x2 0, ; MB x 2 x B(g) = = A und 0 χ g (λ) = χ A (λ) = λ 2. (4.4) Satz: Die Eigenwerte von f sind die Nullstellen des charakteristischen Polynoms von f. Insbesondere hat f höchstens n = Grad χ f verschiedene Eigenwerte. Beweis: χ f (λ) = 0 det(λid V f) = Kern (λid V f) 0 4. λ ist Eigenwert von f. In den Beispielen: f hat keine Eigenwerte, da χ f (λ) = λ 2 + keine reelle Nullstelle hat. Die Eigenwerte g sind die Nullstellen ± von χ g (λ) = λ 2. (4.5) Satz: a) χ f (λ) hat den Grad n und den höchsten Koeffizienten, ist also von der Form χ f (λ) = λ n + c n λ n c λ + c 0 ; c 0,..., c n K b) c 0 = ( ) n det f und c n = Spur f. Beweis: Für n = ist die Aussage klar. Sei n 2. Sei B eine beliebige Basis von V und A = MB B(f) = (a ij). λ a a 2... a n a 2 λ a a 2n λe n A = (λδ ij a ij ) =... a n a n2... λ a nn Durch Entwicklung nach der. Spalte ergibt sich induktiv χ f (λ) = det(λe n A) = (λ a )... (λ a nn )+Q(λ), wobei Q ein Polynom vom Grad n 2 ist. Also ist χ f (λ) = λ n λ n (a a nn ) + R(λ) + Q(λ), Grad R n 2 = λ n + c n λ n c λ + c 0 Es folgt c n = (a a nn ) = Spur f. Setze noch λ = 0 in χ f (λ) = π S n sign(π)(λ δ,π() a π() )... 3

4 ... (λ δ n,π(n) a n,π(n) ). Erhalte c 0 = χ f (0) = π S n sign(π)( a,π() )... ( a n,π(n) ) = ( ) n π S n sign(π)a,π()... a n,π(n) = ( ) n det A = ( ) n det f. (4.6) Kästchenregel: Sei A M(n n, K) eine Kästchenmatrix A = B 0 B 2, B M(r r, K), B 2 M((n r) (n r), K) Dann gilt χ A = χ B χ B2. Beweis: λe n A = λe r B, also 0 λe n r B 2 χ A (λ) = det(λe n A) II.7.7 = det(λe r B ) det(λe n r B 2 ) = χ B (λ) χ B2 (λ) Eigenräume: Sei f End V und λ K. Setze V (f, λ) = {v f(v) = λv} (4.7) Bemerkung: a) V (f, λ) = Kern (λid V f) ist ein UVR von V. b) λ ist ein Eigenwert von f genau dann, wenn V (f, λ) 0. c) Sind λ λ 2 Eigenwerte von f, so ist V (f, λ ) V (f, λ 2 ) = {0}. Definition: Ist λ ein Eigenwert von f, so heißt V (f, λ) der Eigenraum von f zum Eigenwert λ. Nun sei K = R oder K = C, dim V < und λ ein Eigenwert von f, d.h. λ ist eine Nullstelle von χ f (x). Gemäß 3 schreibt sich χ f (x) eindeutig in der Form χ f (x) = (x λ) ν R(x) wobei ν und R(x) ein Polynom mit R(λ) 0 ist. Definition: 4

5 (i) ν = ν(χ f, λ) heißt die algebraische Vielfachheit des Eigenwerts λ von f. Sie gibt an, wie oft der Faktor x λ im Polynom χ f (x) aufgeht. (ii) dim V (f, λ) heißt die geometrische Vielfachheit des Eigenwerts λ von f. Offenbar ist dim V (f, λ). (4.8) Satz: Geometrische Vielfachheit (λ) Algebraische Vielfachheit (λ). Beweis: Wähle eine Basis (v,..., v r ) von V (f, λ) und ergänze sie zu einer Basis B = (v,..., v n ) von V. Wegen f(v i ) = λv i, i =,..., r ist A = MB B (f) von der Form λ A =.... λe r.. 0 = und nach 4.6 gilt λ 0 A 0 A χ f (x) = χ A (x) = χ λer (x).χ A (x) = (x λ) r χ A (x). Also ist dim V (f, λ) = r ν(χ f (x)) Beispiel: a a) f : R 2 R 2, b 0 MB B (f) = χ 0 0 f (x) = det b ; B = (e 0, e 2 ) x = x 2, also ν(χ 0 x f, 0) = 2 V (f, 0) = Kern (0 id f) = Kern ( f) = Kern f = R, also 0 Geometrische Vielfachheit (0) = < 2 = Algebraische Vielfachheit (0). b) g : R 2 R 2 x x2. Gesehen: χ x 2 x g (x) = x 2. Die Eigenwerte sind also λ = ± und Algebraische Vielfachheit (±) =. Es folgt: Geometrische Vielfachheit (± = denn hier gilt Geometrische Vielfachheit Algebraische Vielfachheit =. 5