Lösungsskizze zur Wiederholungsserie

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1 Lineare Algebra D-MATH, HS Prof. Richard Pink Lösungsskizze zur Wiederholungsserie. [Aufgabe] Schreibe die lineare Abbildung f : Q Q 5, x +x +x x x +x +6x f x := x +x +8x x x +x +x. x +x +5x als Linksmultiplikation mit einer Matrix und finde je eine Basis ihres Kerns und ihres Bildes.. [Lösung] Die Abbildung f ist gegeben durch Linksmultiplikation mit der Matrix 6 A := 8. 5 Der Kern von f ist und das Bild von f ist Kern(f) = Bild(f) = 5 7,, wobei die Erzeugenden hier auch eine Basis bilden.. [Aufgabe] Bestimme den Rang der Matrix a) über R,

2 b) über F.. [Lösung] Über R ist der Rang gleich und über F ist der Rang gleich.. [Aufgabe] Gegeben seien Elemente a,..., a n, b,..., b m K. Wechen Rang kann die n m Matrix A := (a i b j ) i n, j m haben?. [Lösung] Es gilt a a A =. (b ) b b m. a n Da der Rang jeder n und jeder m-matrix kleiner gleich ist, folgt aus Serie 9 Aufgabe 5 b), dass Rang(A) ist. Im Fall a i = für alle i, ist A die Nullmatrix und der Rang ist. Falls ein i und ein j existiert mit a i und b j, ist der (i, j)-te Koeffizient von A und damit auch A ungleich Null; der Rang von A ist somit. Wir schliessen, dass die Matrix A Rang oder haben kann, wenn m, n > sind, andernfalls nur Rang... [Aufgabe] Seien U, V zwei 5-dimensionale Untervektorräume von K 9. Zeige, dass U V ist.. [Lösung] Es gilt dim(u + V ) = dim(u) + dim(v ) dim(u V ) Wegen U + V K 9 ist dim(u + V ) 9, also dim(u) + dim(v ) dim(u V ) 9. Mit dim(u) = dim(v ) = 5 folgt dim(u V ), also U V. 5. [Aufgabe] Beweise oder widerlege: Für beliebige linear unabhängige Vektoren v,... v n eines Vektorraumes V und einen beliebigen Vektor w V sind die Vektoren v +w,..., v n +w linear abhängig genau dann, wenn w {v,..., v n } ist. 5. [Lösung] Wenn v +w,..., v n +w linear abhängig sind, gibt es Elemente λ,..., λ n K, nicht alle verschwindend, mit n i= λ i(v i + w) =. Es gilt also ( λ i v i = ) λ i w. i= i Falls c := i λ i = ist, folgt aus der linearen Unabhängigkeit der Vektoren v,..., v n, dass λ i = ist für alle i, im Widerspruch zur Annahme. Also ist c und damit w = n λ i i= v c i ein Element von v,..., v n. Die Umkehrung ist falsch im Allgemeinen: Seien n = und w = v und V ein Vektorraum über einem Körper, in dem invertierbar ist. Dann ist v +w = v linear unabhängig, aber w = v liegt in v im Widerspruch zur Aussage der Aufgabe.

3 6. [Aufgabe] Man berechne die Determinante und, wenn möglich, die Inverse folgender Matrizen über Q: A := 9, A :=, A :=, 8 7 A := 6. [Lösung], A 5 := (a) det A = und A = (b) det A = und A = (c) det A = und A = (d) det A = und A = (e) det A 5 =. (f) det A 6 = , A 6 := [Aufgabe] Gegeben sei eine reelle n n-matrix A = (a ij ), i, j n, mit (i) a ii (ii) a ij < n für alle i n, und für alle i j. Zeige, dass A invertierbar ist. 7. [Lösung] Angenommen es existiert ein Vektor x =. ( ) Ax = a ij x j j= i=,...,n =. x x n mit Wegen a ii, gilt dann x i = j= i j a ij a ii x j

4 und somit auch x i j= i j a ij a ii x j () für alle i =,..., n. Da es ein k gibt mit x k, folgt aus () und a ij /(n ) für alle i j und a ii für alle i die strikte Ungleichung und damit auch x i < n n x i < x j j= i j x j j= für alle i. Durch Aufsummieren erhält man n x i < i= i= x j = n j= x j, was ein Widerspruch ist. Damit kann kein solches x existieren und A ist invertierbar. 8. [Aufgabe] Über einem Körper K sei A eine n n Matrix mit AX = XA für alle n n-matrizen X. Zeige, dass ein λ K existiert mit A = λi n. 8. Lösung Die Matrix A = (a ij ) kommutiert insbesondere mit den Matrizen j= für alle k, l =,..., n. Es folgt E kl = (δ ki δ lj ) i,j n = (E kl A AE kl ) kj = (E kl ) ki a ij a ki (E kl ) ij = i= δ li a ij a ki δ ki δ lj = a lj a kk δ lj. i= Damit ist a lj = für alle l j und A also eine Diagonalmatrix. Da auch a ll = a kk gilt für alle l, k, sind alle Diagonalelemente gleich und A = λi n mit λ := a. 9. [Aufgabe] Die Spur einer n n-matrix A = ( a ij )i,j Spur(A) := ist definiert als a ii. i= Zeige: a) Für jede m n-matrix A und jede n m-matrix B gilt Spur(AB) = Spur(BA).

5 b) Für jede invertierbare n n-matrix U gilt Spur(UAU ) = Spur(A). c) Gib ein Gegenbeispiel zu der Aussage an. 9. [Lösung] Spur(A B C) = Spur(A C B) a) Die Aussage folgt aus direktem Nachrechnen. b) Es gilt Spur(UAU ) = Spur(U (AU )) (a) = Spur((AU ) U) = Spur(A). Aliter: Sei P A (λ) = det(λi n A) das charakteristische Polynom von A. Wir berechnen den Koeffizient von λ n in P A : Da Einträge mit λ in der Matrix λi n A nur auf der Diagonalen stehen und eine Permutation σ S n mit n Fixpunkten gleich der Identität ist, folgt aus der Formel det(λi n A) = σ S n sign(σ)(λi n A) σ()... (λi n A) nσ dass der λ n -Koeffizient von P A gleich dem λ n -Koeffizient von (λ a )... (λ a nn ) und damit gleich n i= a ii ist. Es folgt [λ n ]P A (λ) = Spur(A), wobei [λ n ]P A (λ) für den λ n -Koeffizient von P A steht. Da das charakteristische Polynom invariant unter Konjugation ist (also P U AU(λ) = P A (λ) ist für alle invertierbaren Matrizen U), gilt dasselbe auch für die Spur. c) Für gilt und A := ( ), B := Spur(ABC) = Spur Spur(ACB) = Spur ( ), C := ( ) = ( ) =. ( ). [Aufgabe] Gegeben seien die beiden geordneten Basen B := (v,..., v ) und B := (w,..., w ) von Q mit v :=, v :=, v :=, v :=

6 und w :=, w :=, w := Berechne die Basiswechselmatrix M B B(id).. [Lösung] Wir haben M B B(id) =. [Aufgabe] Berechne σ S n sign(σ) a(σ), = wobei a(σ) die Anzahl der Fixpunkte von σ bezeichnet:, w := a(σ) = # { k {,..., n} σ(k) = k } Hinweis : Die Summe ist die Determinante einer gewissen n n-matrix.. [Lösung] Für n gilt ) sign(σ) a(σ) = det (( + δ ij ) i,j n = n +, σ S n wobei man die Determinante mit Zeilen- oder Spaltenoperationen berechnet.. [Aufgabe] Zeige: Für jede m n Matrix A und für jede n m Matrix B gilt:. det(i m + A B) = det(i n + B A). ( ) Im A Hinweis : Zerlege die (m + n) (m + n)-blockmatrix M := als B I n Produkt M = M M von Blockdreiecksmatrizen M, M auf zwei verschiedene Arten und berechne die Determinante.. [Lösung] Wegen gilt und wegen gilt ( ) ( ) Im Im A M = B I n + BA I n det M = det(i n + BA) ( ) ( ) Im + AB A Im M = I n B I n det M = det(i m + AB). Durch Vergleichen erhält man die Aussage der Aufgabe.

7 . [Aufgabe] Seien Folgen (a i ) i, (b i ) i, (c i ) i in Q definiert durch die Rekursionsformeln a i+ := a i b i + c i, b i+ := a i + c i, c i+ := a i b i + c i für alle i, und die Anfangsbedingungen a :=, b := und c :=. Bestimme explizite Lösungsformeln für a i, b i, c i.. [Lösung] Wir schreiben die Rekursionsgleichung in Matrixschreibweise als v i+ = Av i, wobei a i A :=, v := und v i := b i c i für alle i ist. Die Matrix A hat die einfachen Eigenwerte,, und ist daher diagonalisierbar, und zwar ist A = V DV mit V :=, D := und V =. Es folgt ( ) i v i = A i v = V D i V v = ( ) i + i i und damit a i = ( ) i b i = ( ) i + i c i = i für alle i.. [Aufgabe] Sei K ein Körper, welcher ein Element a K mit a = und a, enthält. Zeige, dass die Matrizen und a a ähnlich sind.

8 . [Lösung] Die Matrix A := hat das charakteristische Polynom X = (X )(X a)(x a ) und daher die paarweise verschiedenen Eigenwerte, a, a der jeweiligen Vielfachheit. Sie ist daher diagonalisierbar, also ähnlich zu der Diagonalmatrix D := a. a Wer es genauer wissen will, bestimmt die Eigenvektoren, a, a zu den jeweiligen Eigenwerten, a, a ; mit der invertierbaren Matrix U := a a a a a a gilt dann A = UDU. 5. [Aufgabe] Sei A eine quadratische Matrix. Zeige, dass A und A T dieselben Eigenwerte mit denselben arithmetischen und geometrischen Vielfachheiten besitzen. 5. [Lösung] Sei n die Anzahl Spalten von A. Wegen P A (λ) = det(λi n A) = det ( (λi n A) T ) = det ( λi n A T ) = P A T (λ), haben A und A T dasselbe charakteristische Polynom und damit dieselben Eigenwerte mit denselben arithmetischen Vielfachheiten. Lemma. Für jede n n-matrix B gilt dim Kern(L B ) = dim Kern(L B T ). Beweis des Lemma. Wegen Rang(B) = Rang(B T ) (siehe Kapitel 5.8 in der Zusammenfassung) gilt dim Kern(L B ) = n dim Bild(L B ) = n Rang(B) = n Rang(B T ) = n dim Bild(L B T ) = dim Kern(L B T ).

9 Für jeden Eigenwert λ von A gilt wegen dem Lemma dim Kern(λI n A) = dim Kern ( (λi n A) T ) = dim Kern(λI n A T ). Damit stimmen auch die geometrischen Vielfachheiten überein. 6. [Aufgabe] Ein stochastischer Vektor ist ein Spaltenvektor mit Einträgen in R und Summe aller Einträge. Eine stochastische oder Markov-Matrix ist eine quadratische Matrix, deren Spalten stochastische Vektoren sind. Sei A eine stochastische n n-matrix mit n >. Zeige: (a) Für jeden stochastischen Vektor v ist auch Av ein stochastischer Vektor. (b) Jeder komplexe Eigenwert λ von A hat Absolutbetrag λ. (c) Die Zahl ist ein Eigenwert von A. Seien nun alle Einträge von A positiv. Zeige: (d) Der Eigenwert hat geometrische Multiplizität. (e) Der Eigenwert hat arithmetische Multiplizität. (f) Alle komplexen Eigenwerte λ haben Absolutbetrag λ <. (g) Es existiert genau ein stochastischer Vektor v mit Av = v. (h) Für jeden stochastischen Vektor v gilt A m v v für m. Hinweis: Für (e) und (h) nehme vorläufig an, dass A über C diagonalisierbar ist. Beweise den allgemeinen Fall, nachdem die Jordan-Normalform behandelt wurde. 6. [Lösung] (a) Sei v = v. v n ein stochastischer Vektor. Da alle Einträge von A und v nicht-negativ sind, gilt dasselbe für Av. Mit A = (a ij ) i,j n für gewisse a ij R gilt weiter ( ) (Av) i = a ij v j = a ij v j = v j =. i= i= j= j= Also ist auch Av ein stochastischer Vektor. v (b) Sei v =. v n i= j= ein Eigenvektor zum Eigenwert λ. Dann ist λv i = (Av) i = j a ij v j () und damit λ v i j a ij v j ()

10 für alle i =,..., n. Durch Aufsummieren über i folgt λ v i ( ) a ij v j = v j, () i j i j also λ. (c) Wir haben A T n j= a j. = =.. n j= a jn Damit ist ein Eigenwert von A T und mit Aufgabe 5 auch einer von A. (d) Sei λ ein komplexer Eigenwert von A vom Betrag λ =. Mit Aufgabe 5 gibt es dann einen komplexen Eigenvektor v := v. v n von A T zum Eigenwert λ. Sei k ein Index mit v k v j für alle j. Wir können annehmen, dass v k R > ist. Da λ = ist, gilt v k = (A T v) k = a jk v j a jk v j v k a jk = v k. j j j Aus dem Sandwich Prinzip (siehe Analysis) folgt v j = v k für alle j. Da in der obigen Dreiecksungleichung Gleichheit herrscht, gilt zudem dass alle a jk v j dasselbe komplexe Argument in C haben, also es für jedes j ein t j R > gibt mit a jk v j = t j a kk v k. Da a kk v k und auch alle a jk reell und positiv sind, folgt v j R > für alle j. Mit v j = v k für alle j gilt daher v = c. für ein c R > und mit Aufgabe b) somit λ =. Wir schliessen, dass λ = der einzige komplexe Eigenwert von A T vom Absolutbetrag ist ist und geometrische Vielfachheit hat. Mit Aufgabe 5 gilt dasselbe für A. (e) Wenn A diagonalisierbar ist, stimmen die arithmetischen und geometrischen Vielfachheiten überein und die Aussage folgt aus Teil d). (f) Siehe Teil d). (g) Sei v := (v,..., v n ) T ein komplexer Eigenvektor von A zum Eigenwert λ = mit v k R > für ein k. Dann gilt in () Gleichheit, was impliziert, dass auch () für alle i eine Gleichung ist, also a ij v j = a ij v j j j

11 gilt für alle i. Da diese Dreiecksungleichung eine Gleichheit ist, haben alle v j dasselbe komplexe Argument. Bei Annahme ist v k R > und daher v j R für alle j. Das zeigt, dass A den stochastischen Vektor v := j v j v. als Eigenvektor zum Eigenwert besitzt. Die Eindeutigkeit folgt aus Aufgabe (d). (h) Angenommen A ist diagonalisierbar. Sei U eine invertierbare Matrix U und D eine Diagonalmatrix mit A = UDU und D =. Durch die bisherigen Aufgabenteile wissen wir, dass D ii < ist für i. Es folgt, dass der Limes B := lim n A n = lim n UDU = U( lim n D n )U = UD U (5) existiert, wobei D = (δ i δ j ) i,j n die Diagonalmatrix mit Eintrag an (, )-ter Stelle und sonst verschwindenden Einträgen ist (Um den Limes in (5) ins Innere zu ziehen, nutzen wir, dass Multiplikation mit einer Matrix eine stetige Abbildung ist). Sei v ein beliebiger stochastischer Vektor. Dann ist A m v für jedes m ein stochastischer Vektor und somit auch Bv. Wegen v n ABv = A lim m Am v = lim m A Am v = lim m Am v = Bv ist Bv ein Eigenvektor von A zum Eigenwert λ. Aus Teil (g) folgt somit lim m Am v = Bv = v. 7. [Aufgabe] Gegeben sei eine lineare Abbildung f : V W. Zeige, dass f injektiv bzw. surjektiv bzw. bijektiv ist genau dann, wenn die duale lineare Abbildung f : W V surjektiv bzw. injektiv bzw. bijektiv ist. 7. [Lösung] Wenn f : V W injektiv ist gibt es nach Serie 9, Aufgabe eine lineare Abbildung g : W V mit g f = id V. Durch Dualisieren erhalten wir woraus folgt, dass f surjektiv ist. f g = id V = id V, Umgekehrt sei angenommen, dass f surjektiv ist und sei v V ein beliebiger nicht-verschwindender Vektor. Dann existiert ein λ V mit λ(v), und wegen der Surjektivität zudem ein µ W mit f (µ) = λ. Es folgt µ(f(v)) = f (µ)(v) = λ(v), also f(v). Also ist f injektiv. Wenn f : V W surjektiv ist, gibt es eine lineare Abbildung g : W V mit f g = id W. Wegen g f = id W = id W

12 ist notwendigerweise f injektiv. Wenn f : V W nicht surjektiv ist, wähle ein Unterraum U W mit W = Bild(f) U. Sei p : W U die zugehörige Projektionsabbildung. Für ein beliebiges nicht-verschwindendes Element µ U U, definiert die Komposition µ : W = Bild(f) U p U µ U K ein Element in W. Nach Konstruktion ist µ und verschwindet auf Bild(f). Für alle v V gilt also µ(f(v)) = f (µ)(v) = und folglich f (µ) =. Die Abbildung f ist also nicht injektiv. 8. [Aufgabe] Berechne die LR-Zerlegung der Matrix M := 5 8. [Lösung] Wir haben wobei P = ist., L = M = P L U, 9 und U = [Aufgabe] Für welche natürlichen Zahlen m existiert ein K-Vektorraum V mit m verschiedenen Unterräumen V,..., V m, so dass für alle i < j der Unterraum V i ein Komplement von V j ist? 9. [Lösung] Für ein beliebiges m sei V := Q und ( ) V i := i für i =,..., m. Dann ist V i V j = und die Unterräume V i und V j sind komplementär zueinander für alle i < j.. [Aufgabe] Für je zwei reelle m n-matrizen A und B sei A, B := Spur(A T B) (vergleiche Aufgabe 9). a) Zeige, dass dies ein Skalarprodukt auf Mat m n (R) definiert. b) Sei die zugehörige euklidische Norm. Zeige, dass für beliebige reelle Matrizen passender Grösse gilt AB A B.

13 c) Berechne die Operatornorm der Matrix ( ) bezüglich der euklidischen Standard-Norm auf R und vergleiche sie mit der Norm in b). *d) Berechne die Operatornorm auf Mat (R) bezüglich der euklidischen Standard- Norm auf R. Hinweis: Parametrisiere den Kreis {v R v = } durch. [Lösung] f : t (cos(t), sin(t)), t R und berechne das Maximum von L A f für eine beliebige -Matrix A. (a) Für A = (a ij ) i,j n und B = (b ij ) i,j n erhält man A, B = Spur(A T B) = a ij b ij. i,j= Bezüglich der Basis (E ij, i, j =,..., n) ist, deshalb gegeben durch das Standard-Skalarprodukt. Insbesondere ist, ein Skalarprodukt. (b) Sei A = (a ij ) i,j und B = (b ij ) i,j. Dann gilt AB = i,k ( ) a ij b jk = a ijb jk + j i,k,j i,k j <j a ij b j ka ij b j k. Andererseits haben wir ( ) ( A B = i,j a ij j,k b j k ) = a ijb jk+ i,k,j i,k j <j a ij b j k+a ij b j k. Nach Subtrahieren erhält man A B AB = ( ) a ij b j k + a ij b j k a ij b j ka ij b j k i,k j <j = (a ij b j k a ij b j k) i,k j <j, also AB A B.

14 ( (c) Sei A := ). Dann ist A = = 6. Um die Operatornorm zu berechnen können wir entweder wie im Tipp zu Teil d) vorgehen. Alternative kann man verwenden, dass es eine Orthonormalbasis aus Eigenvektoren von A gibt. Die Norm von A ist daher gleich der Operatornorm der zu A ähnlichen Diagonalmatrix D. Aber die Operatornorm einer Diagonalmatrix ist gleich dem Betrag ihres grössten Eintrages. Wir erhalten A = D = 5.